Уравнение Пелля и системы уравнений второй степени с параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ПАРАМЕТРАМИ О.Г. Балканова, К.В. Правдин Научный руководитель - к.ф.-м.н., доцент А.В. Норин

В статье предлагается алгоритм определения параметров систем квадратных уравнений при работе в поле рациональных чисел. Алгоритм основывается на известной процедуре решения уравнений Пелля.

Введение

В связи с решением прикладных задач информационных технологий в последние годы возник интерес к классическим разделам теории чисел, в частности к решению диофантовых уравнений. В данной работе необходимо найти алгоритм определения целых параметров Ь и с системы квадратных уравнений

2

ал х + Ьх + с = 0

1 2 (1)

а2 У + Ьу + с = 0

так, чтобы каждое из уравнений (1) имело рациональные корни. Натуральные числа ал, а2 (ал ^ а2) предполагаются заданными.

Задача носит прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы при компьютерном составлении учебных заданий по элементарной математике.

Часть 1. Частный случай

Рассмотрим частный случай ал = 2, а2 = 1. Система (1) имеет вид

(2)

2 х2 + Ьх + с = 0

2

у + Ьу + с = 0

Заметим, что при решении системы в поле рациональных чисел второе уравнение (2) должно иметь целые корни, а первое - рациональные со знаменателем q = 2. Чтобы каждое уравнение имело рациональные корни, необходимо, чтобы оба дискриминанта П1 и Б2 были полными квадратами целых чисел ¿1 и г2 :

Б1 = Ь2 - 8с = ¿I2

1 . (3)

В2 = Ь2 - 4с = г22

2 2 2 Выразим с и Ь через и г2 :

2 . 2

I'

с = ■

г 2 - ¿1

(4)

Ь2 = 2г22 - ¿!2

2

Разделим второе уравнение полученной системы на Ь и введем новые переменные

¿1

и = —

Ь (5)

V =

Ь

Таким образом, получим уравнение Пелля, являющееся диофантовым уравнением второй степени:

и 2 - 2у 2 =-1. (6)

Его решения в натуральных числах можно получить, следуя классической рекуррентной схеме [1]. Нетрудно указать начальные значения = 1, Уд = 1. Все остальные решения получаются из рекуррентных соотношений: ип +1 = 3ип + 4уп

< Уп+1 = 2ип + 3уп , где п е N0. (7)

и0 = У0 = 1

Приведем несколько первых значений (ип, Уп):

(1,1), (7, 5), (41, 29), (239,169), (1393, 985), (8119, 5741),... Применяя метод бесконечного спуска Ферма [2], нетрудно показать, что других решений в натуральных числах уравнение (6) не имеет.

Выбирая пары (ип, Уп ) и задавая целые значения Ь, по формулам (5) можно получить ^ и /2 . Тогда из первого уравнения системы (4) находим с: 2 2

с = Ь2

4

Докажем, что с при этом является целым числом.

Утверждение 1. Числа ип, Уп являются нечетными.

Воспользуемся методом математической индукции. -0 = 1, У0 = 1 - нечетные. Тогда по формуле (7) х^ = 7, у = 5 - тоже нечетные.

Пусть , ук - нечетные, тогда их можно записать в виде хк = 2/ +1, ук = 2т +1, где / и т - целые числа. Тогда

хк+1 = 3(2/ +1) + 4(2т +1) = 2(3к + 4т + 3) +1 = 2щ +1,

ук+! = 2(2/ +1) + 3(2т +1) = 2(2/ + 3т + 2) +1 = 2п2 +1, где п^, п2 - целые. Следовательно, хк+1, Ук+1 - нечетные. По методу математической индукции все хп и уп, полученные по формулам (7), является нечетными числами. Утверждение доказано. ■

Утверждение 2. (уп2 - ип2 ) делится на 4.

Так как (ип, Уп) - решения уравнения (6), то ип 2 - 2уп 2 =-1 или

Уп2 - ип2 = 1 - Уп2. Следовательно, достаточно показать, что 1 - Уп2 делится на 4. По утверждению 1 число Уп - нечетное, поэтому Уп может быть записано в виде Уп = 2/ +1, где / е2. Тогда

1 -Уп2 = 1 -(2/ +1)2 = 1 -4/2 -4/-1 = 4(-/2 -/) М 4,

значит, (уп2 - ип2 ) : 4, что и требовалось доказать. ■

Заметим, что если в системе (3) взять Ь с противоположным знаком, то ^ и /2 останутся целыми. Поэтому, кроме положительных Ь, для решения поставленной задачи рассмотрим также им противоположные. Таким образом, заменив для удобства вы-

(уп2 -1), получим формулы для нахождения значений Ь и с:

числений Уп - ип на -,, п

2 1

< = - V к 2, (8)

Ь = к

где к е2, \п - число из пары (ип, Уп ), полученной по формулам (7). Опуская тривиальный случай п = 0, приведем несколько первых систем квадратных уравнений (2), имеющих рациональные корни. • п = 1: (иь V! ) = (7,5),

Ь = к, с =-6к 2, к е2,

(Ь, с) = (1, - 6), (-1, - 6), (2, - 24), (- 2, - 24), (3, - 54), (- 3, - 54), ...

2

2 х2 + х - 6 = 0 .2

2 х2 - х - 6 = 0

у + у - 6 = 0 I у - у - 6 = 0

2х2 + 2 х - 24 = 0 у 2 + 2у - 24 = 0

2х 2 - 2х - 24 = 0 у2 - 2у - 24 = 0

2 х2 + 3х - 54 = 0 у 2 + 3у - 54 = 0

2х2 - 3х - 54 = 0 у2 - 3у - 54 = 0

п

= 2: (и2, V2 ) = (41,29),

Ь = к, с = -210к2, к ё2

(Ь, с) = (1, -210), (-1, -210), (2, -840), (-2, -840),...

2 х2 + х - 210 = 0

2

I 2 х2 - х - 210 = 0

2

2

2

2 х* + 2 х - 840 = 0 12х* + 2 х - 840 = 0

2

2

у + у - 210 = 0 I у - у - 210 = 0 I у + 2у - 840 = 0 I у + 2у - 840 = 0

п

= 3: (3, У3 ) = (239,169),

Ь = к, с = -7140к2, к ё2 , (Ь, с) = (1, -7140), (-1, -7140),...

2 х2 + х - 7140 = 0

у2 + у - 7140 = 0 [ у2 - у - 7140 = 0

Аналогично можно получить другую серию значений Ь и с, при которых система квадратных уравнений (2) имеет рациональные корни. Для этого разделим второе урав-

2

нение системы (4) на ^ и введем новые переменные

' „ Ь

2х2 - х - 7140 = 0

2

и =

V =

ч < 2

В результате имеем уравнение, аналогичное уравнению (6):

и2 -2~2 = -1.

Определив его решения, получим еще одну формулу для нахождения значений Ь и с:

с =

к 2

(9)

Ь = ипк

где к е2, ип и vn определяются по формулам (7).

Опуская тривиальный случай п = 0, приведем несколько первых систем квадратных уравнений (2), имеющих рациональные корни. • п = 1: ,v1 ) = (7, 5),

Ь = 7к, с = 6к2, к ё2 ,

(Ь, с) = (7, - 6), (- 7, - 6), (14, - 24), (-14, - 24), (21, - 54), (- 21, - 54), ...

г

1

2

V

п

2х2 + 7х + 6 = 0 {2х2 -7х + 6 = 0 \2х2 + 14х + 24 = 0 у 2 + 7у + 6 = 0 ' | у 2 - 7у + 6 = 0 ' { у 2 +14у + 24 = 0

2х2 -14х + 24 = 0 {2х2 +14х + 54 = 0 {2х2 -14х + 54 = 0 у2 -14у + 24 = 0 ' | у2 +14у + 54 = 0 ' | у2 - 14у + 54 = 0

• п = 2: (2, У2 ) = (41,29), Ь = 41к, с = 210к 2, к ё2 ,

(Ь, с) = (41, - 210), (- 41, - 210), (82, - 840), (- 82, - 840),... [2х2 + 41х + 210 = 0 [2х2 - 41х + 210 = 0 [2х2 + 82х + 840 = 0 у2 + 41у + 210 = 0 ' | у2 - 41у + 210 = 0 ' [ у2 + 82у + 840 = 0

2 х 2 + 82 х + 840 = 0 у 2 + 82 у + 840 = 0

• п = 3: (3, ) = (239,169),

Ь = 239к, с = 7140к2, к ё2 ,

(Ь, с) = (239, - 7140), (- 239, - 7140),...

2х2 + 239х + 7140 = 0 {2х2 - 239х + 7140 = 0 у2 + 239у + 7140 = 0 ' { у2 - 239у + 7140 = 0

Часть 2. Общий случай: ау, а2 — произвольные натуральные числа («2 ^ а\)

Рассмотрим задачу в общем виде. Не умаляя общности, положим а2 > а^. Чтобы каждое уравнение системы (1) имело рациональные корни, необходимо, чтобы оба дискриминанта П1 и Б2 были полными квадратами целых чисел ^ и Х2 .

Б1 = Ь2 - 4а1с = Ху

Б2 = Ь2 - 4а2с = Х22

2 2 2 Выразим с и Ь через Х\ и Х2 :

с = • Х1 2

4(а2 - а,)

2 - 2. (10)

Ь2 = а2Х1 а1Х2

а2 - а1

т-т а2 (а2 - а1) После умножения второго уравнения полученной системы на —-—--1 имеем:

Ь 2

( х Л2 ( + ^2

21 ' " " "т I = а2 (2 - ах).

Ь

1 2

Ь

Введя новые переменные

и =

V =

а 2^1

Ь

X 2

Ь

ё = аа т = «2 (2 - а\) получим

и 2 - (IV2 = т . (12)

Уравнение (12) часто называют уравнением, подобным уравнению Пелля. При этом ё - натуральное, не являющееся точным квадратом, т - целое и {(ип, vn )} - множество решений уравнения. Заметим, что X} = —п и X2 = Ьvn должны быть целыми.

а2

Данное условие выполняется посредством выбора значений Ь; X 2 принимает целые значения для любого Ь е 2, поэтому достаточно чтобы Ьип : а.2. Рассмотрим 8 = НОД(ип, а2), тогда

а =а8

|ип = ип8'

где а, ип е2 и взаимно просты. Верно, что Ьип М а2 ^ Ьип :а ^ Ь :а. Поэтому положим Ь = а к, к е2. Тогда из системы (10) следует: Ь = ак

а2 (V

с = --

п

4а2

-1 2 , где а = к

а2

НОД(ип, а2 К

к е2.

(13)

Аналогичный результат можно получить при умножении второго уравнения сис-

а2 (а2 - ах)

темы (10) на

Г 2 Х 2

и введении новых переменных

и =

V = ■

а 2 ¿1

X 2 Ь_

X 2

(14)

ё = а2 (а2 - а1) т = а^2

С учетом условия делимости ¿2и2 на а2 имеем: Ь = аvnk

уп'

с = а2(2 -1)к2, где " =

а 2

4а

НОД(ип, а2 У

к е2.

(15)

2

Далее рассмотрим метод нахождения решений уравнения (12), описанный в [3]. Введем обозначения: ё - натуральное число, не являющееся точным квадратом; я -наименьшее натуральное число, для которого существует такое натуральное число X,

что я2 - ёX2 = 1; д = я + ^fёx; т - некоторое целое число, т ^ 0.

2 3

Пусть q < q < q <... - возрастающая последовательность. Если q > 1, она стремится к бесконечности, а убывающая последовательность 1 > -1 > -1 > ... - к нулю.

q q2 q

41

__П_1 I у ^ ттг и I V ^^ (Л -г-гг

Поэтому существует целое п: q < и + < q . Введем число Ж =—п-— . Ж

q

представимо в виде: Ж = г + , где 2,1 е2 . При этом

2 2 - М 2 = т, (*)

1 < 2 + ¡41 < q . (* *)

Теорема. Рассмотрим множество М пар (г, I), удовлетворяющих условиям (*) и (* *). Верны следующие утверждения.

1) Если М = 0, то уравнение (12) не имеет решений в целых числах и и V.

2) М конечно.

3) Все целочисленные решения уравнения (12) можно получить из формул и + = ± (г + ¡41 , п е2 . ■

При нахождении пар (г, I) множества М часто оказываются полезными оценки

I I q+|т|

г <--—-

2

21. (16) q + |т|

Таким образом, алгоритм нахождения параметров уравнения состоит из следующих пунктов:

1. выбрать а^, а2 - произвольные натуральные числа, а2 > а^;

2. используя теорему и оценки (16), решить уравнение Пелля (12) при условиях

(11), (14);

3. получить значения параметров Ь и с по формулам (13), (15).

Пример

1. Выберем а1 = 2, а2 = 7 и получим систему (1) в виде

(17)

2 х2 + Ьх + с = 0

7 у2 + Ьу + с = 0

А). 1 = 14, т = 35 - значения Ь и с получаются из системы (13).

22

2. Запишем уравнение Пелля (12): и - 14г = 35. Минимальным решением уравнения ^2 -14 Х2 = 1 является (5, Х) = (15, 4), поэтому q = 15 + 4л/14. Элементы множества М = {(7,1), (7, -1)} удовлетворяют условиям (*), (* *). Тогда по теореме решением уравнения будет любая пара чисел (и, V) такая, что

а). и + гл/14 = ±(7 + л/14)(15 + 4л/м)п, где п е2,

б). и + г>/14 = ±(7 - л/14)(15 + 4>/14)п, где п е2 .

3. Опуская тривиальный случай п = 0, приведем несколько первых систем квадратных уравнений (17), имеющих рациональные корни.

а). (г, I) = (7,1):

• п = 1: (и1,Vl) = (161, 43), НОД(161, 7) = 7, а = 1.

Ь = к, с = -66к , к еЪ,

(Ь, с) = (1, - 66), (-1, - 66), (2, - 264), (- 2, - 264), (3, - 594), (- 3, - 594), ...

2х 2 + х - 66 = 0 12х 2 - х - 66 = 0 12х 2 + 2х - 264 = 0 7у 2 + у - 66 = 0' [7у 2 - у - 66 = 0' [7у 2 + 2у - 264 = 0'

2х2 - 2х - 264 = 0 12х2 + 3х - 594 = 0 12х2 - 3х - 594 = 0 7у2 - 2у - 264 = 0' [7у2 + 3у - 594 = 0' [7у2 - 3у - 594 = 0'

• п = 2 : (и2, v2 ) = (4823,1289), НОД(4823, 7)

= 7, а = 1.

Ь = к, с = -59340к 2, к е2, (Ь, с) = (1, -59340), (-1, -59340), ...

2х2 + х - 59340 = 0 12х2 - х - 59340 = 0 7у 2 + у - 59340 = 0' [7у 2 - у - 59340 = 0' б). (г,1) = (7, -1):

• п = 1: (и1,v1 ) = (49,13), НОД(49, 7) = 7, а = 1.

Ь = к, с = -7к 2, к е2,

(Ь, с) = (1, - 7), (-1, - 7), (2, - 28), (- 2, 28), (3, - 63), (- 3, - 63), ...

2х2 + х - 7 = 0 12х2 - х - 7 = 0 Г2х2 + 2х - 28 = 0 7у2 + у - 7 = 0, |7у 2 - у - 7 = 0, |7у 2 + 2у - 28 = 0,

2х2 - 2х - 28 = 0 12х2 + 3х - 63 = 0 |2х2 - 3х - 63 = 0 7у 2 - 2у - 28 = 0' [7у 2 + 3у - 63 = 0' ^7у 2 - 3у - 63 = 0'

• п = 2: (и2,v2) = (1463, 391), НОД(1463, 391)

= 7 , а=1.

Ь = к, с = -5460к2, к е2, (Ь, с) = (1, -5460), (-1, -5460), ...

2х2 + х - 5460 = 0 12х2 - х - 5460 = 0 7у 2 + у - 5460 = 0' [7у 2 - у - 5460 = 0'

В). ё = 35, т = 14 - значения Ь и с получаются из системы (15).

22

2. Запишем уравнение Пелля (12): и - 35v = 14. Минимальным решением уравнения я2 - 35 X2 = 1 является (я, X) = (6,1), поэтому д = 6 + л/35 . Множество М содержит единственную пару чисел (г, I) = (7, -1), удовлетворяющую условиям (*), (* *). Тогда по теореме решением уравнения будет любая пара чисел (и, V) такая, что

и + ^л/35 =±(7 - -\/3~5)(6 + л/35)п , где п е2 .

3. Опуская тривиальные случаи при п = 0 и п = 1, приведем несколько первых систем квадратных уравнений (17), имеющих рациональные корни.

• п = 2: (и2, v2 ) = (77,13), НОД(77,7) = 7, а = 1,

Ь = 13к, с = 6к2, к е2,

(Ь, с) = (13, 6), (-13, 6), (26, 24), (-26, 24), (39, 54), (-39, 54), ...

2х2 + 13х + 6 = 0 [2х2 - 13х + 6 = 0 {2х2 + 26х + 24 = 0 7у 2 +13у + 6 = 0 , [ 7у 2 -13у + 6 = 0 , [ 7у2 + 26у + 24 = 0 ,

2х2 - 26х + 24 = 0 12х2 + 39х + 54 = 0 [ 2х2 - 39х + 54 = 0 7у2 - 26у + 24 = 0, [7у2 + 39у + 54 = 0, ^7у2 - 39у + 54 = 0, • п = 3: (3, г3 ) = (917,155), НОД(917, 7) = 7, а = 1,

Ь = 155к, с = 858к2, к ё2 ,

(Ь, с) = (155, 858), (-155, 858), (310, 3432), (-310, 3432), ...

2х2 + 155х + 858 = 0 Г2х2 - 155х + 858 = 0 7у2 +155у + 858 = 0 ' {7у2 -155у + 858 = 0 '

2х2 + 310х + 3432 = 0 [2х2 - 310х + 3432 = 0 7у2 + 310у + 3432 = 0' [7у2 - 310у + 3432 = 0'

Заключение

В работе найден и сформулирован алгоритм определения целых параметров Ь и с системы квадратных уравнений (1) так, чтобы каждое из уравнений (1) имело рациональные корни. При этом а^, а2 (а ^ а2 ) предполагались заданными.

Литература

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. - 4-е изд. - М.: Наука, 1983. -64 с. - (Популярные лекции по математике).

2. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма: Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. - М.: Мир, 1980. - 243 с.

3. Спивак А. Уравнения Пелля // Квант. - 2004. - №4. - С. 5-11.