Критерии разрешимости и алгоритмы построения решений диофантовых уравнений второй степени от двух переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 7-12.

УДК 511.5 В.В. Камнев

КРИТЕРИИ РАЗРЕШИМОСТИ И АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

На основе языка топокарт Конвея построен алгоритм, проверяющий разрешимость произвольного диофантова уравнения вида ax* 1 2 * 4 + hxy + by2 = m.

В случае конечного числа решений алгоритм дает общее решение. Представлен алгоритм, устанавливающий эквивалентность квадратичных форм из левой части уравнения. С помощью топокарт доказаны классические результаты о критерии разрешимости уравнений вида х2 — Ny2 = —1 и об общем виде решения уравнения вида х2 — Ny2 = ±1. Доказана гипотеза Капланского: если простое число р может быть записано в виде суммы двух квадратов вида р = а2 + (2b')2, то квадратичная форма х2 — ру2 представляет а и 4Ъ. Ранее это более сложно было доказано Мэтьюсом. Получены критерии разрешимости уравнений вида х2 — Ny2 = m, —6 < m < 5, имеющие место для достаточно больших чисел N.

Ключевые слова: квадратичная форма от двух переменных, базис, супербазис, топо-карта, уравнение Пелля.

Введение

Наиболее известнымииз уравнений вида ах2 + hxy + by2 = m являются уравнение Пелля х2 — Ny2 = 1 и уравнение х2 — Ny2 = —1, где натуральное число N не является полным квадратом. Уравнения вида х2 — Ny2 = m, |m| >

1 ,N^k2, называют обобщенными уравнениями Пелля. Если N - полный квадрат, то соответствующие уравнения не представляют интереса, так как их решение сводится к решению системы линейных уравнений. Отметим, что если уравнение Пелля (в том числе обобщенное) разрешимо, то оно имеет бесконечное множество решений.

Критерии разрешимости и общий вид решения уравнений х2 — Ny2 =

±1 хорошо известны (см., например, [1; 2]). Уравнение Пелля разрешимо всегда. Уравнение х2 — Ny2 = —1 - не всегда. Для существования целочисленных решений необходимо, чтобы число —1 было квадратичным вычетом по модулю N. Это условие равносильно тому, что число N не делится на 4 и не имеет простых делителей вида 4к + 3 (см. [3]). Если N - простое число, это необходимое условие (сводящееся в этом случае к тому, что N = 4к + 1) является также достаточным (см. [3]). Но для произвольного N данное условие не является достаточным. Например, уравнение х2 — 34у2 = —1 не имеет решений в целых числах, при этом число N = 34 = 2 • 17 не делится на

4 и не имеет простых делителей вида 4к + 3.

Естественным языком для формулировки критериев разрешимости и получения решения уравнений Пелля является язык цепных дробей. В силу теоремы Лагранжа о квадратичных иррациональностях разложение числа V~N в цепную дробь периодично. Уравнение х2 — Ny2 = —1 разрешимо тогда и только тогда, когда длина этого периода нечетна. Попытки отыскания критериев, формулируемых через арифметические свойства числа N (через вид разложения на простые множители и т. п.), приводят к громоздким и искусственным условиям. Например, Мэтьюс в [4] сформулировал следующий критерий: уравнение х2 — Ny2 =—1 разрешимо тогда и только тогда, когда N = a2+b2 и существуют натуральные числа А, В, С такие, что А2 + В2 = С2, НОД(А,В) = 1 и |аА — ЬВ| = 1. Моллин [5] установил следующий критерий. Пусть N = 1,2 (mod 4) не является полным квадратом. Тогда

© В.В. Камнев, 2015

8

В. В. Камнев

уравнение х2 — Ny2 = —1 разрешимо в целых числах в том и только том случае, если х0 = —1 (mod 2N), где х0,у0 - это примитивное решение классического уравнения х2 — Ny2 = 1.

Моллин [6] формулирует критерий разрешимости уравнений х2 — Ny2 = ±2 в терминах цепных дробей. Нами получен более простой критерий разрешимости данных уравнений. Он тоже связан с процедурой разложения числа V~N в цепную дробь, но позволяет установить разрешимость уже по виду разложения без дополнительных вычислений. Также мы приводим общий вид их решений. Уравнения х2 — Ny2 = ±2 также исследовал Чунганг в [7]. Им получены достаточные условия разрешимости данных уравнений в терминах теории графов, проверка которых технически сложна.

Существующие утверждения, касающиеся разрешимости общих уравнений Пелля х2 — Ny2 = т, |ш| > 2, имеют более частный характер. Например, Каплан [8] приводит следующее утверждение. Если уравнение x2—Ny2 = — 1 разрешимо, то уравнение х2 — Ny2 = —4 разрешимо во взаимнопростых числах тогда и только тогда, когда 1{Vn~) =

= <+1) (mod 4), где 1(a) означает длину периода разложения квадратичной иррациональности а в цепную дробь. Большинство исследований в этой области проводились Моллином (см., например, [9; 10]). Далее мы приводим результаты для уравнений х2 — Ny2 = т, —6<т<5, которые не следуют из результатов Моллина. Полученные критерии сформулированы на языке цепных дробей, они основаны лишь на виде разложения V~N в цепную дробь и также не требуют дополнительных вычислений, но выполнены для достаточно больших чисел N.

Наши рассуждения основаны на использовании техники топокарт квадратичных форм, изложенной в книге Конвея [11]. По мнению Конвея, подход, использующий топо-карты, позволяет построить алгоритм решения всех однородных диофантовых уравнений второй степени от двух переменных, но ни в книге [11], ни в каких-либо других источниках изложения такого алгоритма найти не удалось. Далее соответствующий алгоритм изложен подробно. Существует классический алгоритм построения общего решения, основанный на гауссовой теории квадратичных форм (изложен, например, в [3]). Язык топокарт позволяет построить гораздо более наглядный и элементарный алгоритм. Также в работе приведены утверждения не алгоритмического, а теоретического характера. При этом язык то-покарт вновь играет основную роль.

В работе получены следующие результаты:

1. На основе языка топокарт построен алгоритм, проверяющий разрешимость любого диофантова уравнения ax2 + hxy + by2 = = т; a,h,b,m £ Ж.

2. В случае конечного числа решений алгоритм позволяет получить общее решение уравнения. Бесконечное число решений возможно лишь для неположительно определенных, неотрицательно определенных и знакопеременных, не представляющих ноль форм. Для первых двух типов построен другой алгоритм, дающий общее решение. Для последнего типа алгоритм топокарт дает некоторое конечное подмножество решений.

3. Некоторая модификация указанного алгоритма проверяет любые две квадратичные формы на эквивалентность.

4. Написана программа, реализующая вышеуказанные алгоритмы. Ссылка для скачивания: http://ifolder.su/43760940.

5. С помощью топокарт доказаны классические результаты о критерии разрешимости х2 — Ny2 =—1 и об общем виде решения х2 — Ny2 = ±1.

6. Из предыдущих результатов выводится доказательство следующей гипотезы И. Капланского. Если простое число р может быть записано в виде суммы двух квадратов следующим образом: р = а2 + (2Ь)2, то квадратичная форма х2 — ру2 представляет а и 4Ь. Ранее это более сложно было доказано Мэтьюсом.

7. Получены критерии разрешимости уравнений вида х2 — Ny2 = т, —6 < т <5, для достаточно больших чисел N.

Топокарты квадратичных форм

Нас интересует целочисленное решение (х,у) £ Ж х Ж уравнения ах2 + hxy + by2 = т.

Левая часть этого уравнения - квадратичная форма f(x,y). Множество векторов ЖхЖ можно рассматривать как целочисленную решетку или как свободную абелеву группу ранга два.

Определение 1. Вектор v = (х,у) со взаимно простыми координатами называется примитивным вектором. Значение квадратичной формы на примитивном векторе будем называть примитивным значением.

Если НОД(х,у) = к > 1, то f(v) = f(x,y) = f(kx,ky) = а(кх)2 +

+ h(kx')(ky) + b(kyr)2 =

= к2 (ax'2 + hx y' + by'2^ = k2f(x',y').

Таким образом, чтобы изучить значения, принимаемые квадратичной формой, достаточно рассмотреть ее значения на примитивных векторах.

Любой элемент базиса является примитивным вектором. Любой примитивный вектор ex = (x1,y1) дополняется до базиса вектором е2 = (х2,у2), более того, он входит в бесконечное число базисов (е1,е2 (к)), где е2(к) = (х2+кх1,у2+ку1).

Нестрогим вектором будем называть пару {v, — v}.

Определение 2. Нестрогий базис - это множество {(б!, е2), (—е1, е2), (ег, -е2), (~е1, -е2)}, где (е1,е2) - базис.

Критерии разрешимости и алгоритмы построения решений диофантовых уравнений...

9

Определение 3. Супербазис - это тройка векторов (е1, е2,е3) такая, что (е1,е2) — базис и е1+ е2 + ез = 0.

Определение 4. Нестрогий супербазис -это множество {(±е1,±е2,±е3)} такое, что при некоторой комбинации знаков векторы е1,е2,ез образуют супербазис.

Квадратичная форма принимает одно и то же значение на векторах v и —v. По этой причине будем рассматривать значения квадратичной формы на нестрогих векторах и далее под понятиями «вектор», «базис», «супербазис» будем подразумевать соответствующие нестрогие понятия. Примем также соглашение, что при записи нестрого вектора v = аег + Ре2 коэффициент при ех будет неотрицательный: а >0,р Е2.

Утверждение 1. Любой базис (е1,е2) содержится ровно в двух супербазисах: (е1( е2, е1 + е2) и (е1( е2, е1 — е2). Любой супербазис (е1,е2,е3) содержит ровно три базиса: (ei,e2), (е1,е3), (е2,е3).

Отсюда возникает идея представления базисов и супербазисов в виде графа. Ребру соответствует базис, вершине - супербазис. Две вершины ребра соответствуют двум супербазисам, в которых содержится базис, соответствующий данному ребру. Из каждой вершины выходят три ребра, что соответствует трем базисам, содержащимся в супербазисе, соответствующим данной вершине.

Пусть вектор и содержится в базисе (и, v), который в свою очередь содержится в супербазисе (и, v,u + v), тогда и будет содержаться только в одном из оставшихся базисов, содержащихся в супербазисе (u,v,u + v), а именно в (u,u + v). Таким образом, ребра и вершины, содержащие и, образуют выпуклую ломаную. Область, ограниченную этой ломаной, отождествим с вектором и.

Определение 5. Топокарта квадратичной формы от двух переменных - это граф, каждая вершина которого соответствует некоторому супербазису, каждое ребро - некоторому базису, а каждая область - примитивному вектору.

Легче понять, что такое топокарта, если строить ее конструктивно, начиная с произвольного базиса (е1,е2) и достраивая базисы.

Областям на топокарте соответствуют примитивные векторы (нестрогие). Любые два вектора и и v, граничащие по ребру, образуют базис (u,v). Любые три вектора, сходящиеся в одной точке, образуют супербазис. Векторы являются примитивными, так как базисы содержат только примитивные вектораы Области бесконечны, так как каждый примитивный вектор содержится в бесконечном числе базисов.

Замечание 1. В качестве начального базиса (е3, е2) будем обыкновенно использовать базис ((1,0), (0,1)). Области топокарты будем помечать значениями квадратичной формы на векторах, соответствующих этой области.

Утверждение 2. Любой примитивный вектор и представлен на топокарте, т. е. ему соответствует некоторая область.

Доказательство. Утверждение эквивалентно тому, что всякий базис (u,v) = (х1е1 + + У1е2,х2е1 + У2е2) = ((*i,yi), (*2,У2)) присутствует на топокарте, так как примитивный вектор входит в некоторый базис. Покажем, что можно осуществить спуск к начальному базису (е3, е2) путем перехода от текущего базиса к следующему соседнему базису. Этим будет доказано, что (и, v) представлен на топокарте.

Базис {(х^уР), {x2 x2 ')'j зададим в виде (х1 У1\

матрицы у J, ее определитель равен

*1У2 — У1*2 =±1.

Переход к одному из четырех соседних базисов

((*i — *2,У1 — У2),(*2,У2,)),

((*1,Уь), (х2—х1,у2 — yi)),

((*i +*2,У1 +Уг),(*2,У2,)),

((х1,у1),(х2 +х1,у2+у1)) представляет собой следующие преобразова-

УП

ния матрицы \х2 У2У

/*1 — х2 У1 —УА ( Хх У!

V х2 у2 )’\х2 — Xi у2 — У1

<хг + х2 У1 + У2\ ( Xi У1

V х2 у2 )’\х2 + хг у2 + У1

Эти преобразования оставляют определитель равным ±1. Нам нужно показать, что с помощью данных преобразований матрицы мы получим единичную матрицу, т. е. осуществим спуск к начальному базису

(ei,e2).

С 2Ь(0 ±iH0 ±),ad—bc=±1-

НОД(а,с) = НОД (b,d) = 1, иначе не выполнено ad — bc = ± 1. Первая стрелка соответствует переходу столбца столбцу (д).

Этот переход представляет собой алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя а и с. Напомним, что по соглашению в записи векторов первая координата неотрицательная, т. е. а, с > 0.

Пусть а > с,а = кс + гг ,г1 < с , тогда

НОД(а, с) = НОД(г3,с), т. е. из первой строки вычитаем к раз вторую. Далее аналогичным образом строим цепочку НОД(г3 ,с) =

НОД(г3 ,г2 ) = ••• = НОД(гп_3 ,гп) = 1. Цепочка соответствует последовательному вычитанию из одной строки другой. Таким образом будет

получен столбец (Ц). Второй столбец при этих преобразованиях станет (±1), так как опре-

делитель матрицы должен быть ±1. Таким об-

(а Ь\ (1 Ь' \

разом, переход ^ -» К ±1 выполнен.

Переход Q ± ^ (0 Д) очевиден. ■

Следствие 1. Чтобы изучить значения, принимаемые квадратичной формой, нужно

10

В. В. Камнев

рассмотреть значения, которые она принимает на векторах топокарты, при этом будут рассмотрены все примитивные значения квадратичной формы. Напомним, что векторы топокарты нестрогие, т. е. под вектором и понимается ±и, но f(u) = f(—u). Так как на топокарте представлены все примитивные векторы, то будут рассмотрены все примитивные значения. Все остальные значения квадратичной формы получаются умножением примитивных значений на всевозможные квадраты.

Оказывается, можно вывести удобное правило, по которому строятся примитивные значения квадратичной формы. Рассмотрим значения квадратичной формы f(x,y) = = ax2 + hxy + by2 на произвольном базисе (е1,е2), а также на векторах е1+е2,е1 — е2, каждый из которых дополняет его до соответствующего супербазиса.

Пусть f(e1) = А, f(e2) = В, f(e1 + е2) = С, /(е 1 — е2) = D.e1 = (х1,у1), е2 = (х2,у2).

Области топокарты будем помечать значениями квадратичной формы на векторах, соответствующих этой области.

f(ei) = f(x1,y1')= axj2 + hx1y1 + byi2,

/(е2) = f(x2,y2) = ax22 + hx2y2 + by22, f(e i + e2) = f(x1 + x2,y1 + y2) =

= a(xx + x2)2 + h(x1+x2)(y1 + y2) + b(y± + y2)2, f(el — e2) = f(X 1 — X2,y1 — y2) =

= a(x1—x2)2 + h(x1—x2)(y1—y2) + b(y1—y2)2.

Утверждение 3 (правило арифметической прогрессии). Пусть f(e1) = A, f(e2) = В, f(e i + е2) = С, f(e1 — е2) = D, тогда f(e1) + + f(ej = f(e1+e2)+^f(e1-e2), т. е. числа D, A + B, C

образуют арифметическую прогрессию.

Замечание 2. Для того чтобы получить все примитивные значения квадратичной формы, достаточно вычислить значения формы на некотором супербазисе, а остальные получить по правилу арифметической прогрессии.

Две квадратичные формы называют эквивалентными, если совпадают множества значений, которые они принимают.

Утверждение 4. Если существуют два супербазиса таких, что две квадратичные формы принимают на них одинаковые значения, то эти квадратичные формы эквивалентны.

Имея топокарту квадратичной формы, можно построить эквивалентную ей форму, взяв за коэффициенты при х2, у2 значения на произвольном ребре, а за коэффициент при х,у - значение разности арифметической прогрессии для этого ребра.

Утверждение 5 (о возрастании). Пусть на некотором базисе форма принимает неотрицательные значения А >0,В >0 и на двух векторах, дополняющих его до супербазисов, форма принимает значения C и D. Пусть h = С — А — В = А + В — D >0. Тогда А + С — В > >0 и С + В — А > 0.

Утверждение 6 (об убывании). Пусть на некотором базисе форма принимает неположительные значения А <0,В <0 и на двух векторах, дополняющих его до супербазисов, форма принимает значения C и D. Пусть h = С — А — В = А + В — D > 0. Тогда В — A — D > >0 и А — D — В >0.

Алгоритм построения решений дио-фантова уравнения ах2 + hxy + by2 = т и его следствия

Чтобы изучить значения, принимаемые квадратичной формой, нужно рассмотреть значения, которые она принимает на векторах топокарты, при этом будут рассмотрены все примитивные значения квадратичной формы. Все остальные значения квадратичной формы получаются умножением примитивных значений на всевозможные квадраты.

Замечание 3. Чтобы определить разрешимость и найти решения уравнения ах2 + + hxy + by2 = т, нужно проверить, присутствуют ли на топокарте области со значениями т и со значениями т/к2, где к2 - это всевозможные квадраты, делящие т. В первом случае решением уравнения будут примитивные векторы (х,у), соответствующие области т, во втором случае - векторы к(х,у), где (х,у) - это вектор, соответствующий области т/к2. Таким образом, основной алгоритм надо запустить для всевозможных М = т/к2, где к2 - это всевозможные квадраты, начиная с единицы, делящие т.

Основной алгоритм

Пусть М >0.

1. Находим множество ребер ‘S1, удовле-

творяющее следующим свойствам: 1) для ребер из выполнено утверждение 4 о возрастании; 2) - это минимальный набор ребер,

для которых в направлении возрастания будут строиться деревья, содержащие все положительные значения формы. Далее будем называть это множество начальным множеством базисов формы /. Способ построения начального множества зависит от вида формы и будет описан после алгоритма. Мощность |®г| = п, п>1. Проверяем, принимает ли форма значение М на элементах начального множества. Если да, то записываем соответствующие векторы (в соответствии с замечанием перед алгоритмом) в решение. Уточнение: в алгоритме мы работаем со значениями формы на областях, но при этом отслеживаем, на каких векторах они принимаются. Если все значения формы на элементах ‘S1 больше или равны М, то КОНЕЦ. Переходим к шагу 2 (счетчик(высота деревьев)! = 1).

2. На ребрах в направлении возрастания выходят два ребра. Рассматриваем значения, принимаемые формой на областях, которые они ограничивают (эти значения по-

Критерии разрешимости и алгоритмы построения решений диофантовых уравнений...

11

лучаем по правилу арифметической прогрессии). Назовем это множество значений Ct ,|С;| = |®;|. По утверждению 5 о возрастании, каждое из значений С из Ct строго больше значений A и B, по которым оно было построено. Проверяем, содержится ли М в С;. Если да, записываем соответствующие решения. Если все значения из Ct больше или равны М, то КОНЕЦ. Переходим к шагу 3.

3. На тех вершинах, для которых С < М, строим по два ребра. В силу замечания к утверждению 5 о возрастании. Увеличиваем счетчик высоты деревьев i = i + 1. Построенные ребра составляют множество . Мощность |®;| = (|®г_!| — fc) • 2, где к - это количество элементов С из Ci_1 таких, что С > М. Вершины, для которых С > М, не рассматриваются, так как по утверждению 6 все полученные по ним новые значения будут строго больше С. Переходим к шагу 2.

Алгоритм конечен, так как на каждом проходе алгоритма рассматриваются все большие значения формы, и алгоритм завершится, когда все полученные значения из Ct будут больше или равны М. В результате работы алгоритма будет получен некоторый набор решений. Следует помнить, что решения - это нестрогие векторы, т. е. каждое решение и представляет собой два решения ±и. Если рассматриваемое уравнение имеет конечное число решений, то алгоритм выдаст все решения. Если решений бесконечно много, то будет получен некоторый набор решений. Конечность решений однозначно определяется по виду квадратичной формы. Все это будет рассмотрено ниже.

Если М <0, то алгоритм совершенно аналогичный, только рассматриваются отрицательные значения формы и используется утверждение 6. На практике для М >0 и М <0 используется один и тот же алгоритм, просто все значения формы берутся по модулю. В случае М <0 множество ‘S1 строится из векторов, удовлетворяющих утверждению 6, по которым строятся все отрицательные значения формы.

Как следствие из основного алгоритма можно сформулировать алгоритм проверки двух квадратичных форм на эквивалентность.

Утверждение 7. Квадратичные формы Д и Д эквивалентны тогда и только тогда, когда в начальных множествах базисов этих форм можно выбрать по базису, каждому из которых соответствует супербазис, так, что множество значений формы Д на своем супербазисе совпадает с множеством значений формы Д на своем супербазисе.

Алгоритм. Находим дискриминанты и определяем виды квадратичных форм Д и Д. Если они отличаются, то формы неэквивалентны. Иначе осуществляем следующие действия. Фиксируем некоторый базис

формы Д из ее начального множества и находим значение Д на элементах соответствующего ему супербазиса. Затем аналогичную процедуру реализуем для всех начальных базисов формы Д. Если для одного из начальных базисов второй формы получился тот же набор, что и для базиса первой формы, то формы эквивалентны, иначе - не эквивалентны.

Критерии разрешимости некоторых обобщенных уравнений Пелля х2 — Ny2 = m

С помощью теории топокарт можно доказать классическую теорему о решении уравнений х2 — Ny2 = ±1 в терминах цепных дробей.

Теорема 1. Обозначим через V~N = = [o’o.Co'i,<?2» — -Як)] разложение VN в непрерывную дробь, (Ц]_,Ц2’ — ’Чк) - период непрерывной дроби. Полагаем Qs = [q0,q1,—,qs],s >0 -подходящая дробь с номером s,Q_x = 1/0.

Пусть N - не полный квадрат.

1. Уравнение х2 — Ny2 = 1 разрешимо для любого N.

1.1. Если к четно, тогда х, у > 0 являются его решением в том и только том случае, если

~ = Qtk-1, ^ > °.

1.2. Если к нечетно, то х,у > 0 являются решением тогда и только тогда, когда

“ = Qztk—l, t > °.

2. Уравнение х2 — Ny2 = —1 разрешимо в том и только том случае, когда к нечетно.

2.1. Числа х,у > 0 являются решением тогда и только тогда, когда к нечетно и

“ = Q(2t-l)k-l, t > 1

Как простое следствие из доказательства теоремы 1 можно привести доказательство гипотезы Ирвинга Капланского: если простое число р может быть записано в виде суммы двух квадратов следующим образом: р = а2 + + (2Ь)2, то квадратичная форма х2—ру2 представляет а и 4Ь.

Для этого устанавливается следующее утверждение из [12].

Утверждение 8. Для любого натурального числа N, не равного точному квадрату, для которого уравнение х2 — Ny2 =—1 разрешимо, существуют натуральные числа а и b такие, что N = а2 + Ь2. Причем разрешимы уравнения х2 — Ny2 = ±а,х2 — Ny2 = ±2Ь.

Справедливость гипотезы Капланского следует из утверждения 8 и из того, что х2 — ру2 = —1 разрешимо тогда и только тогда, когда р = 4к + 1, что равносильно р = а2 + (2Ь)2. При этом разложение р = а2 + (2Ь)2 единственно.

Следующая теорема получена независимо от [6].

Теорема 2. Пусть [?„,( q1,q2, — ,qm,—, 4z,4i,Чк)] - разложение V~N в непрерывную дробь, (qi,q2,—,4k) - период непрерывной

12

В. В. Камнев

дроби. Обозначим Qs = [q0,q1,^,qs],s > 0 -подходящая дробь с номером s,Q_1 = 1/0.

Пусть N >2, N - натуральное число, не равное точному квадрату, тогда:

1. Уравнение х2 — Ny2 = 2 разрешимо тогда и только тогда, когда k = 4t,t >1, и Чт = Чо или qm = q0 — 1.

1.1. Числа х,у > 0 являются его решением тогда и только тогда, когда - =

у

= Q(2t-l)m-l> t — 1

2. Уравнение х2 — Ny2 = — 2 разрешимо тогда и только тогда, когда к = 4t + 2, t >0, и Чт = Чо или qm = q0 — 1.

2.1. Числа х,у > 0 являются его решением тогда и только тогда, когда - = Q(2t-i)m-i-t> 1.

Заметим, что уравнение х2 — 2у2 = ±2 разрешимо. Это единственный случай, когда для данного N разрешимы оба уравнения х2 — Ny2 = ±2, а также единственный случай, когда уравнения разрешимы для нечетной длины периода разложения VW в непрерывную дробь, V2 = [1, (2)].

Приведем результаты, касающиеся решения уравнений х2 — Ny2 = т для некоторых т в терминах цепных дробей

Теорема 3. Пусть = [чо,(Ч1,Ч2,-,Чк)] -разложение в непрерывную дробь, (q1,q2, — ,Чк) - период непрерывной дроби.

Пусть —6<т<5, т^0. Если для

t = и s = — 1 неравенствам <

< z < 1 и L+zJ < z < -—'■ (*) удовлетворяет

лишь z = \m\, то:

1) уравнение x2 — Ny2 = m, m < 0 разрешимо тогда и только тогда, когда существует i = 2s + 1 такой, что qt = t или qt = s;

2) уравнение x2 — Ny2 = m, m> 0 разрешимо тогда и только тогда, когда существует i = 2s такой, что qt = t или qt = s.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бухштаб A. A. Теория чисел. М. : Просвещение, 1966. 384 с.

[2] Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М. : Наука, 1965. 176 с.

[3] Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М. : ОНТИ, 1937. 218 с.

[4] Matthews K. Primitive Pythagorean triples and the

negative Pell equation. URL: http://www.

numbertheory.org/pdfs/negative_pell.pdf.

[5] Mollin R., Shrinivasan A. Central Norms: applications to Pell's equation // Int. J. of Algebra. 2010. Vol. 4. № 19. P. 919-922.

[6] Mollin R. Lagrange, central norms, and quadratic Diophantine equations // Int. J. Math. аnd Math. Sci. 2005. Vol. 7. P. 1039-1047.

[7] Chungang Ji. Diophantine equations x2 — Dy2 = = —1, ±2, odd graphs, and their applications // J. Number Theory. 2005. Vol. 114. № 1. P. 18-36.

[8] Kaplan P., Williams K. S. Pell's equations x2 — — Dy2 = —1, —4 and continued fractions // J. Number Theory. 1986. Vol. 23. № 2. P. 169-182.

[9] Mollin R. Generalized Lagrange Criteria for Certain Quadratic Diophantine equations // New York J. of Math. 2005. Vol. 11. P. 539-545.

[10] Mollin R. Quadratic Diophantine Equations x2 — Dy2 = c2 // Irish Math. Soc. Bulletin. 2006. Vol. 58. P. 55-68.

[11] Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. М. : МЦНМО, 2008.

[12] Roberton J. P., Matthews K. R. A continued fractions approach to a result of Feit. URL: http:// www.numbertheory.org/pdfs/john9.pdf.