CC BY
25
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ СТЕПЕНЕЙ И РАДИКАЛОВ
К. Н. Шихаев
Разрабатываются теоретические и практические аспекты числовых рядов степеней и радикалов.
1. Беспредельно растущая матрица разностей второго порядка.
Для создания беспредельно растущей матрицы разностей второго порядка, была получена формула исчисления разностей второго порядка (минуя первую разность), которая имеет следующий вид:
Ч*] ,2к
АV) = 2 £ (ЩТ^)^ (1)
к —• X
где к - любое целое положительное число.
Формула (1) (конечный полином) получена разложением центральной разности второго порядка: А2(хк) = (х + К)к + (х - Н)к - 2хк (классика теории конечных разностей) в ряд Тейлора, что позволяет считать ее справедливой для любых целых чисел и любого целого положительного показателя степени - числа к.
Формула (1) дает беспредельно растущую матрицу разностей второго порядка (матрица 1).
Беспредельный рост размерности матрицы разностей второго порядка. Рост матрицы разностей второго порядка до беспредельной размерности обеспечивает оператор роста, который также имеет вид матрицы:
- Оператор беспредельного роста матрицы разностей второго порядка.
Матрица 2 построена по принципу арифметического квадрата - прекрасного произведения древних математиков.
Правило арифметического квадрата гласит: Искомое число для заполнения любой ячейки арифметического квадрата рав-
но числу, стоящему над искомым числом в ранее заполненной строке, плюс число, стоящее слева от искомого числа в заполняемой строке.
Для того чтобы сэкономить пространство страницы для размещения членов матрицы, все ее числа поделены на число 2, что следует учитывать при получении ее новых строк.
1) Рост матрицы 1 на основе матрицы 2.
Матрица 1 начиная с пятой строки (после вычислений по формуле (1)) была получена с использованием матрицы 2. Это происходило следующим образом:
гу г
- получение А ух ) строки матрицы 1. Проводим диагональ по ячейкам матрицы 2 от начала строки А2(хБ) до ячейки х5 первой строки и выписываем числа, стоящие на пересечении диагонали с заштрихованными ячейками, вместе с переменными, стоящими в столбцах над этими числами. Получаем:
Д2(х5) = 2(5хх + Юх3) = 10х + 20х3;
- получение А2(х6) строки матрицы 1. Проводим диагональ по ячейкам матрицы 2 от начала строки Д2(ж6) до ячейки х6 первой строки и выписываем числа, стоящие в заштрихованных ячейках, вместе с переменными, стоящими в столбцах над этими числами. Получаем:
Д2(х6) = 2(1 4- 15х2 + 15х4) = 2 + ЗОх2 4- ЗОж4
Далее все аналогично, до строки Д2(ж10) матрицы 2, где она закончилась. Необходим ее рост.
© К. Н. Шихаев, 2010
о
Матрица 1
И
м о
я
Я
£ о
О
со
о §
п
о <<
а а
со л
■а
о
к
3
н р
N3 О
к А2(хк) Члены полинома Л2(хк) для четных и нечетных к 1*1
0 1 2 3 4 5 6 7 : 8 9 10 11
1 А2(х1) 0
2 А2(х2) 2 0
3 А2(х3) 0 6х 0
4 А2(х4) 2 + 12х2 0 - >
5 А2(х5) 0 Юге + 20х3 0
6 А2(х6) 2 + ЗОх2 с + ЗОх4 0
7 А2(х7) 0 14х + 70х3 42х5 0
8 А2(х8) 2 + 56х2 ▼ + 140х4 + 56х6 0
9 А2(х9) 0 18х г + 168а:3 0 252х5 + 72х7 0
10 А2(х10) 2 + 90х2 + 42 Ох 4 + 420х6 + 90х8 0
11 А2(хп) 0 22х + ЗЗОх3 + 924х5 + 660х7 + НО®9 0
12 А2(х12) 2 132х2 + 990х4 1 + 1848х6 + 990х8 + 132а:10 0
13 А2(х13) % 1 0 26х + 572х3 + 2574х5 * + 3432х7 + 1430х9 + 156Ж11
• • • 1 • » • 1 # 1 • • III I • 1 1 • 1 • • • III • # 1 1 1 • I III
Матрица 2
хк 1 X1 _2 X X3 X4 „5 X -в X X7 X8 X9
А2(хк) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Д2(х2) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
Д2(х3) 1 4 10 20 35 56 84 120 165 210
Д2(х4) 1 5 15 35 70 126 210 330 495 715
Д2(х5) 1 6 21 56 126 252 462 792 1284 2002
Д2(х6) 1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005
Д2(х7) 1 8 36 120 330 792 1716 3432 6735 11746
Д2(х8) 1 9 45 165 495 1287 3003 6735 13470 25210
Д2(х9) 1 10 55 220 715 2002 5005 11740 25210 50420
Д2(х10) 1 11 66 286 1001 3003 8008 19784 14958 95378
• # • « * + • • • • • • Л Ш # • • • • • • • • • • • т • • • 9 9 •
2) Рост матрицы 2.
Для роста матрицьг 2 в ней есть все необходимое. Две первые строки матрицы 2 имеют неограниченный рост, как перечисление чисел натурального ряда. Два первых столбца матрицы 2 (столбец А2(хк) и столбец единиц) также имеют неограниченный рост.
Две первых строки и два первых столбца заключают в своем «створе» два вида строк, которые реализуют принцип арифметического квадрата. Заштрихованные ячейки дают рабочие числа, а светлые ячейки обеспечива-
ют беспредельный рост матрицы 2. Согласно этим свойствам матрица 2 получает беспредельный рост, ограниченный только временем и читаемым носителем информации.
- «Рост матрицы 2 вправо». Для того чтобы обеспечить «рост матрицы 2 вправо» (в данном случае до получения в первой строке символа х13), следует продолжить заполнение четырех первых строк, как это показано на части матрицы с названием «рост матрицы 2 вправо».
«Рост матрицы 2 вправо»
* 10
* 55
* 210
х
10
11
55 + 11 : 210 + 66
2
66
276
11
х
12
66 + —>
х
12
X
13
>
13
>
12 = 78
>
- «Рост матрицы 2 вниз». Для того чтобы обеспечить «рост матрицы 2 вниз» (в данном случае до получения строки Д2(х13)), следует продолжить запол-
нение четырех дополнительных строк матрицы 2, как это показано на части матрицы с названием «рост матрицы 2 вниз».
«Рост матрицы 2 вниз»
А2(х10) 1 11
Д2(жп) 1 1 + 11 = 12
Д2(х12) 1 1 + 12 = 13
Д2(х13) 1 —►
66 286 —» 12 + 66 = 78 —►
3) Дальнейший рост матрицы 1 на основе матрицы 2. Используя числа, полученные при росте матрицы 2 «вправо» и «вниз», проводим диагональ от конца
новой ячейки АА(хп) до
ячеики х
11
в первой строке матрицы 2. Выбираем числа, стоящие в заштрихованных ячейках матрицы 2 вместе с переменными, стоящими в столбцах над этими числами. Получаем:
Д2(хи) = 2(11® 4- 165х3 + 462х5 4- ЗЗОх7 + 55х9) = 22х + ЗЗОх3 + 924х5 4- 660х7 4- 110х9
Аналогично для Д2(х12):
Аг(х12) = 2(1 4- 66х* 4- 495х* + 924х° 4- 495х° 4- 66х1и) = 1 4- 132х* 4- 990х*4-
8
ю
+1848х6 + 990х8 4- 132х10
Д^(х13) = 2 (13х число из «роста матрицы 2 вниз») 4- 2(286х 4- 1287х 4- 1716х -I-
О
-|-715х числа из матрицы 2) + 2(78х число из «роста матрицы 2 вправо»). Умножая все полученные числа на число 2, получим:
Д2(х13) = 26х 4- 572х3 4- 2574х5 4- 3432х7 4- 1430х9 4- 156хп
Проверяем сумму всех коэффициентов второй разности Д2(х13), которая должна быть равной числу 213-2 = (8192-2) = 8190, что подтверждает верность коэффициентов матрицы 1, полученных способом роста матрицы 2. Дальнейший рост матрицы 1 происходит аналогично до наперед заданной или (при внесении соответствующих обобщений) до беспредельной размерности.
2. Разложения целочисленной степени в числовые ряды.
Числовые ряды. Для разложения целочисленной степени будут использоваться числовые ряды линейного и треугольного суммирования переменных в членах разностей второго порядка (в членах матрицы 1).
1) Числовые ряды линейного суммирования переменных в членах разности второго
порядка. Числовые рады линейного суммирования переменной имеют следующий вид и обозначение:
Х0 = (ж-1)
£
ОС г
V
v
г=0
(1У +2" +3' +...+
(2)
где символ Ь обозначает линейное суммирование, а символ V обозначает степени чисел, подлежащих суммированию.
2) Числовые ряды треугольного суммирования переменных в членах разности второго порядка. Числовые ряды имеют следующий вид и обозначение треугольного суммирования переменных:
тт^
+ 1У
+
ЖО =Х—1
V , оУ
+ 2У 4- 3 4-... + (х + 2^
1)У +
4- . . 4- (х 4- 2У 4- ... + (х -4- ... +
-2) 3)у
4-
+
Ьт(У=к^(х0=х-1),
(3)
Здесь символ Т означает треугольное суммирование переменных, а символ V обозначает степень суммируемых чисел. Все числовые ряды линейного и треугольного суммирования могут именоваться по степени, в кото-
рой представлены суммируемые числа. Беспредельно растущая матрица разностей второго порядка (матрица 1) является основой, которая дает возможность получать на ее основе рабочие выражения первой разности
х — х, а следовательно, и целочисленной степени хк в числовых рядах.
Замечание. При нечетных показателях степени числовые ряды линейного суммиро-
3. Практика разложения целочис- вапия участия не принимают.
ленной степени в числовые ряды.
Практика разложения целочисленной степени в числовые ряды обеспечивает получение первой разности (хк — х) по классике: «первая разность есть сумма вторых разностей».
- Предположим, что для нашей задачи необходимо разложить в числовые ряды целое число х9 Для выражения числа х9 числовыми рядами, следует взять строку первой матрицы Д2(х9) и переписать ее в следующем виде:
(х9 - х) = 181/г,у=1(х-1) + 1681/Г)^=з(х-1) + -Ь252Ьт,у=з(х-1) 4- 72Ьт,\/=7(ж-1)-
Затем вычисляем треугольные суммы Т и умножаем их на свои коэффициенты.
Хд—2
3
11
177147 = 3 4- 22(ЬТ,У=1(2)
14-2+ +1
Пример: к = 9, х = 2
х
(х = 2) + (18 4- 168 + 252 4- 72
29 — 2
510) = 512; х = ± У512 = ±2.
В этом примере при х = 2 все треугольные суммы, взятые при хо = х — 1 = 1, стали равными единице, а сумма всех коэффициентов, равная числу А9, получила свое значение: А9 = (29 - 2) = 510 + (х = 2) = 512.
Пример: к = 11, х = 3. Возьмем строку Д2(хп) матрицы 1 и просуммируем переменную х = 3 во всех ее членах (количество которых [13/2] = 5) по правилу треугольника. Получим:
хр=2 1^+2* + +13
22 • 4) = 88 + 330(1^=3(2)
330 • 10) - 3300 + 924(1/7^=5(2)
хр=2 1Ь+2Ь+ +15
хр=2
1У4-2У 4 + 17
924 • 34) = 31416 + 660(ЬТ,У=7(2)
660 - 130) = 85800 + 110(1^=9(2)
хр=2 1У+2У + +19
110-514)
56540 - 3 + 88 + 3300 + 31416 + 85800 + 56540 = 177147.
При этом сумма всех коэффициентов получила свое значение:
22 + 330 + 924 + 660 + 110 = 2046 - (2
11
2048 - 2).
И так для любого целого числа х и любого ном показателе степени первые два чле-
(четного и нечетного, в том числе абсолютно простого) показателя степени к - ряда натуральных чисел получаем сравнения.
4. Сравнения. Для использования сравнений Лк в решении конкретных уравнений, их следует разделить по четности-нечетности показателей степени: Акгети. и Ак1четН4.
Разделение общего сравнения Ак = 2к - 2 на сравнения для четных и нечетных показателей степени при п > 3 основано на следующем факте: при четном показателе степени первые два члена правой части разложения дают число х2 : х + 2Ьь,у=\(х0=х-1) = х2-При этом коэффициент (теперь первого) члена ряда уменьшается на число 2. При нечет-
на правой части разложения дают число
О
х : х+6Ьт,у=\(х0=х-1) = х . При этом коэффициент (теперь первого) члена ряда уменьшается на число 6. Покажем это разделение на примерах.
Пример для четных к. к =
4, х — 3 :
3
81= (х
9) +Л
4
четн.
2 — 2
X
— 12(1/7^=2(2:0=3-1=2) = 6) =
= 12 • 6 = 72 = 9 + 72 = 81.
Пример для нечетных кш /с — 5« х = 4 :
5 = х3 + (2к = 10 - 6 - 4)£,г^=1(х0=х-1)+
+ 20£т,у=з(*о=*-1) = 45 = 1224 = 43 = 64+
+ Ьт,у=1(х0=4-1=з) = 4 • 10 = 40+
+ 20(ЬТ5у==з,(хо=4-1=з) = 46 - 20 • 46 = = 920) = 64 + 40 4- 920 = 1024.
5. Решение некоторых задач со срав-
» «
нениями А Для примеров возьмем уравнения аддитивной теории чисел. Уравнения аддитивной теории чисел считаются сложными, а в теории чисел (в составе Диофантовых уравнений) наиболее представительными.
В данной работе делается попытка упростить решения аддитивных уравнений, используя сравнение Акг, которое дает все необходимые условия их целочисленной разрешимости. Возьмем уравнения аддитивной теории чисел для целых, взаимно простых чисел х, у и г, предварительно умножив их на сравнения Акг: А2(х2 + у2-г2 = 0); А3(х3 + у3 - г3 = 0); А(х4 + у4-г4 = 0); ... Ак{хк + ук - гк = 0), где к натуральное число, растущее в бесконечность. Если предположить, что все выше приведенные аддитивные уравнения получили целочисленные решения, то получим необходимые условия их целочисленной разрешимости: А2 = 0; А3 = 0; А4 = 0, Ак = 0. Раскрывая эти необходимые условия,
гу
получим уравнения: А — 0 дает уравнения: 22 = 2; 4 - 2 = 2; к = 2 или 2=1, чего не может быть. А3 = 0 дает уравнение 23 = 2, чего не может быть. А4 = 0 дает уравнения: 24 = 22, которое имеет решения: 24 = 24 или 22 = 22; к = 4 условие задачи. Принимаем: к — 2. Или 21 = 1, чего не может быть. И так для любых целых взаимно простых чисел х, у, г и любых показателей степени, целых положительных чисел /с, аддитивные уравнения теории чисел могут иметь целочисленные решения, только в одном случае -при к = 2.
Остается один вопрос. Если брать общее сравнение Ап = 0, 2П = 2, то все выше рассмотренные аддитивные уравнения получат необходимое условие их целочисленной разрешимости: 21 — 21, к = 1 или 2к~г — 1, чего не может быть при к > 2. Но классика теории чисел говорит о том, что все аддитивные уравнения, если и могут иметь целочисленные решения, то только во взаимно простых числах. Это в свою очередь говорит о том, что при к = 1 уравнение первой степени
Поступила 11.10.10.
не имеет целочисленных решений: х + у Ф г, х + у — г ~2к. В определенных ситуациях автор склонен использовать решение к — 1, с припиской «в соответствующих числах».
Естественно, что автору данной работы будет задан вопрос о Ферма и его теореме. Пьер Ферма - талантливый математик и ге-
Г
ниальный юрист. Он смог так поставить заг дачу, что тысячи любознательных умов всех стран мира несколько веков «...посещают его всемирный университет». Ферма очень много сделал для математики. Что касается его теоремы, то Ферма оставил нам только текст: «...невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и, в общем случае, любую степень, большую двух, в сумму таких же степеней». Этот текст может быть принят по-разному. Например:
- первая фраза: «Невозможно разложить куб на два куба...». Это задача удвоения куба, которую решали софисты в V веке до н. э.: 2х3 = г3;
- вторая фраза: «...биквадрат на два биквадрата...». Это задача удвоения биквадра-та: 2х4 = г4
- третья фраза: -...и в общем случае любую степень, большую двух, в сумму таких же степеней». В результате получаем урав-нение, которое Ферма не мог не решить: 2хк = гк. В
тексте Ферма есть «намек» на третью переменную, который заключен в словах: «...большую двух». Эти два слова можно принять как «загадка Ферма». Но при этом теорему Ферма не следует «трогать», поскольку она касается не только уравнений (одного или другого, а возможно и третьего). Это «тренажер» ума и интеллекта людей самых различных возрастов, взглядов и профессий, безвозмездно и добровольно обучающихся в его «всемирном университете». Кстати, уравнение 2х2 = г2 которое наследует самое великое достижение пифагорейцев - закон несоизмеримости катета и гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника, по моему убеждению, таит в себе большие возможности раскрытия проблем теории чисел.
