Упругопластическое деформирование хаотически армированного композиционного материала с эллипсоидальными включениями Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Краткие сообщения Механика деформируемого твердого тела

УДК 539.378

В. С. Глущенков, А.Ю. Саранцев

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Получены макроскопические определяющие соотношения упругопластического деформирования композиционных материалов, образованных связующей матрицей с эллипсоидальными включениями различных конфигураций и материалов.

Пусть композиционный материал образован компонентами, соединенными между собой с идеальной адгезией, первый из которых играет роль матрицы - Ут, а другие п - роль отдельных хаотически распределенных в матрице включений различных материалов формы эллип-

п

соидов с главными полуосями а1(51 , От1 , а35 . Причем У у = ^ У5, где Уу - объем всех включе-

,5=1

ний, У5 - объем 5 -того компонента.

Исходные локальные уравнения упругопластического деформирования имеют вид

5] = 2 т т^Ф^к)егр О рр = 3Кт5 е рр • ( 1)

Здесь тт.5(л1ек1ек1) - нелинейные модули пластичности сдвига; Кт 5 - объемные модули;

5] = О у - 3 О кк, е]] = е у - 3 е кк - девиаторные части тензоров напряжений и деформаций; О у, е у

- тензоры напряжений и малых упругопластических деформаций.

Геометрическая структура композита описывается индикаторными функциями ст (г),

С у (г), с 5 (г) (5 = 1, п), равными единице в объемах Ут , У у , У5 и нулю вне этих объемов соответственно. Здесь г = (х1, х2, х3) - радиус-вектор координат.

Эллипсоидальные включения будем описывать характеристическими функциями Си,а(г) (а = 1,5а ), равными единице в объемах У,а включений направления а конфигурации

п

5 ~

~а ->а

. Тогда с Г (г) = Х С. (г)> с, (г) = Х (г) ’ = Х •

5,а

5=1 а=1 а=1

Исходные локальные уравнения (1) являются нелинейными. Линеаризуем их, пренебрегая флуктуациями деформаций в пределах объемов матрицы и объемов эллипсоидальных включений конфигураций 5, положив Ат5 = -^(ек^т5(ек^т5 . Здесь угловыми скобками обозначены

средние значения по соответствующим объемам. Тогда

(Г) = 2т тЄг] (Г) + ^[^ОМ] (Г) О рр(Г) = 3Кт Є рр(Г) + 3ХИХ>)£ рр(Г) • (2)

5=1 5=1

Здесь [т5] = т5(А5) - т т (Ат), [К5] = К5 - Кт . После осреднения по полному объему композита, уравнения (2) преобразуются к виду

пп

(]=2т т(еу)+(орр) = зк^ерр)+зХ[К5к(е р^1. (3)

5=1 5=1

Для нахождения эффективных соотношений применим вариант метода осреднения [1] к

системе уравнений, состоящих из уравнений (2), уравнений равновесия и формул Коши. В результате получим систему тензорных уравнений для определения деформаций, осредненных по объемам компонентов:

Л» + Ё КИ1 Ё (2Іт р ]+«А Я К (е„,}р =Ё (2[и, ]+5А [я, ]>к« («в> • (4)

= ) і ' р^кі / р 'ч^'1/^5 -Iі ^ І] ^ кі 1/^5 і]кІ х0 кі /

5=1 J р=1 5=1

Здесь Х]?) = З^а) - ^^ (рра1 , 1]а) - компоненты тензора Эшелби, записанные в лабора-

1 + П т

торной системе координат эллипсоидальных включений направления а,

1 Г 1 Г -1-1 5а

р (5,а) = 1 2II Л7 (5, а) + X Го 17 &а) П 1>,а) = 7 + р (5,а) к(5 =V с О (^а)

гук1 ~ 2 М'тГ'ук! ^ик11лт\е'урр Хук1 ~ \* ]к1 ^гук1 \ > ^ук1 ~ ^ *,а^]к1 '

2т т а=1

Если эллипсоидальные включения ориентированы равновероятно с5,1 = с,2 =... = с5 5 , то тензоры четвертого ранга К^ = Ё с^оО.]? будут изотропными, и их общее представление будет

а=1

иметь вид К(к = с(а ] + Ь к,), а, = 1. [30- О рЦ Ь, = 1. [О р^ - 20 р)вд].

Подставляя эти соотношения в тензорное уравнение (4) и выделяя объемную и девиатор-ную части, находим деформации, осредненные по объемам матрицы и включений:

А =---------------У • (е„). =-----------------------------------------------------------^-(еЛ , А т =-П-/.\ . (.)

Ст + Ё ^5а 5 Ст + Ё ^7 5 С” + Ё 5

5=1 5=1 5=1

ЗДеСЬ 7 5 = а 5 - 3Ь 5 •

Макроскопический закон упругопластического деформирования хаотически армированного композиционного материала имеет вид

(*]) = 2т*ш(Л т , Л 1,. • • ,Лп) (]; (°рр) = 3К*(л т, Л 1,. • • ,Лп) (ер^ • (6)

Эффективные тензоры пластичности вычисляются по формулам

п п

Ё[т 5]а5 Ё[К55

т*= т т +-------------, К *= Кт + ----•

Ст +Ё ^5а 5 ст +Ё ^7 5

5=1 5=1

Параметры линеаризации необходимо вычислять по формулам (5) после задания вида функций т(Лт 5) на основе экспериментальных данных, вычисляя инварианты а5, (5, полученные после обращения тензоров ІІ]кі + •

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Глущенков В.С., Сараев Л. А., Хохрякова Ю. В. Малые упругопластические деформации композиционного материала, хаотически армированного эллипсоидальными включениями // Вестн. СамГУ. 2001. № 2(20).

С. 121-125.