CC BY
22
В. С. Глущенков, И. С. Макарова, Н. А. Архипова
К ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Моделируются эффективные параметры течения микронеоднородных нелинейных вязкоупругих изотропных двухкомпонентных композиционных материалов типа "матрица — эллипсоидальные включения различных конфигураций", реологические свойства компонентов которых описываются двухэлементными механическими моделями тела Фойгта.
Рассмотрим композиционный материал, образованный двумя компонентами, соединенными между собой с идеальной адгезией. Первый компонент является связующей матрицей, а второй - хаотически распределенными в матрице включениями эллипсоидальной формы п различных конфигураций с главными полуосями а(‘^, а(2!), а(3!), 5 = 1,2, • ,п .
Пусть реологические свойства компонентов описываются двухэлементными механическими моделями типа тела Фойгта, упругие элементы которых подчиняются обобщенному закону линейной упругости
5,3 М = 2т„,/еа (г,4 О* (г,/) = (КтГг]Л (гЛ С1)
а вязкие - нелинейным законам течения
(Г’()= 2Лт,/(л/(Г’()5Ы (Г^)К (ГЛ)■ (2)
Здесь т, /- индексы материалов фаз; тт/,Кт/ - сдвиговый и объемный модули упругости соответственно; цт/ (V(гЛ)уи (гЛ)) - коэффициенты нелинейной вязкости материалов фаз; 59 = Оу -81уОа/(, е ц = е. -81у£и/(- девиаторные части тензоров напряжений и деформаций;
О у, £у - тензоры напряжений и деформаций; г = (хь Х2, Х() - радиус - вектор координат; t -время; точкой обозначена операция дифференцирования по времени.
Структуру композита будем описывать индикаторными функциями сг) (5=1,2,...,п),
равными единице в объеме матрицы Ут, всех включений V/, фракции 5 ¥х, и нулю - вне этих объемов соответственно. Положение разориентированных в пространстве эллипсоидальных включений будем описывать характеристическими функциями с5а(г), (а = 1,2, ...,5а), равными единице в объемах Vs а эллипсоидальных включений направления а конфигурации 5, и нулю вне этих объемов соответственно.
П°л°жим Лт/ (Л/5ЛгЛЛгЛ )=Лт/ ф т/ (л/ (г Л (г Л) ). С помощью системы индикатСф-
ных функций %т/(г) перепишем локальные определяющие соотношения в виде:
5,з( гЛ) = 2т( г )е у( г л) + 2л( г )ф(г,t )е1у( г,t), о кк (гл ) = (К (г )еи (г,t), (()
где фМ=фт (л1(г Л У'Ы (г Л ))С т (г)+ф / (л1(г Л У'Ы (г Л ))С / (г) , Л( г) =ЛтСт( г) + Л/С/( г X т( г ) = т т Ст( г ) + т / С {( г X К( г ) = Кт С т( г ) + К/ С /( г)■
Присоединяя к (() уравнения равновесия и формулы Коши
°у>/гЛ) = о, £/г,t) =(и.у(г,t) + г,t))/2, /(г, (4)
получим замкнутую систему уравнений деформирования композиционного материала, на границе которого выполняется условие отсутствия флуктуаций стохастических величин, заданных в объеме V, а все процессы, протекающие во времени, детерминированы. Угловыми скобками обозначена операция осреднения.
С целью линеаризации физически нелинейных исходных определяющих соотношений (() будем пренебрегать флуктуациями функции ф(г Д) в объеме композиционного материала V:
ф(гЛ)= Стфт ((Skl(t)})+ С/ф/ ((5к,(t)))= Д(t) . (5)
Здесь ст, с/ - объемные концентрации материалов матрицы и включений.
Введем новую переменную т, связанную с t соотношением dт = Л/Д(t) и, применяя преоб-
разование Лапласа /(г,р) = | /(г, х)е рхёх к системе уравнений (3) - (4), получим в простран-
0
стве изображений ассоциированную линейно - упругую задачу установления эффективных характеристик:
*,1 = 2Мт./еи> = 3 Кт:/еи, о, „ = 0, е,7 ={йи + иу.)/ 2. (6)
Здесь мт/ = тт/ +цт/р, кт/ = кт/.
Запишем определяющие уравнения в виде оу = 2Мт /Єіу + +8у Лт / ерр и осредним их по полному объему композиционного материала
(о) = 2Мт( Єу) + 8 у Лт( £рр) + 21М/ ^ Єу| + 8 у [Л/ У
-Л є рр/,
(7)
где Л , = К , -
^ т,/ т,/
2М
і
3
т,/ .
квадратными скобками обозначены скачки величин при переходе че-
рез границу раздела фаз: [Е 1 = Е/. — Ет . Из (7) видно, что для нахождения эффективных соотношений необходимо вычислить средние деформации . Для этого преобразуем систему уравнений (6), в систему уравнений в перемещениях
Ми +| К —1М р — х. = 0. (8)
т >,рр I т ( т 0 р,р 1Р’Р 4 '
Здесь ху = —2[М„]£х/г)еу — 8у\4/ Шх/г )ерр , штрихами обозначены флуктуации величин в
5=1 5=1
объеме композиционного материала. С помощью тензора Грина эта система уравнений заменяется системой интегральных уравнений
£у(г)=| (г—г1 К, (г1 К. (9)
Определим моменты
С,,а еу ) = I °л,и (г1 )(х,,а (г Хі (г + г1)) ёг1
(10)
будем считать, что корреляционные функции имеют вид
С,а (г )Хкі (г + г1 ^ = /к
г(,,а ) /і
2 2 2
*1 * *
[а, ]2 + [ ]2 + [ ]2
. Это допущение является обобщением гипотезы
сильной изотропии на случай эллипсоидальной анизотропии в одном направлении. Тогда интегралы (10) вычисляются точно и их значения выражаются формулами
,]• (“>
с Z(s^a)
(%,,*еу) = "2 т‘ Кх») - с л х,„
т
,,а ./\ кі і / -I
где Z(s’a} = ?(,’а) — 8
где Zijkl = Ьцы 8;
1 + У
т_____о(,,а) .
рркі > у т
т
Vт - коэффициент Пуассона; - компоненты тензора
Эшелби, записанные в лабораторной системе координат эллипсоидальных включений направления а. Подставляя выражение (11) в известное соотношение =(ёу) + с—1^Хаае'д) и
проводя преобразования, получим
(~ ч(£„)_ 1+ . (12)
=0(,-а) р(,,а) jmr тгкі
д=1
+ єы) .
У
Здесь Р^,а} = М (2[Мт ^; + 8к, [Лт ]г^; ),в^) =)1ук, + Р(Ша) )1. Умножим (12) на с5,а и^
суммируя по всем направлениям а, запишем уравнения для деформаций, осредненных по объему включений:
(1()
Єу// аукІ\єкі/ .
Здесь а Яы =с;—1
4—1
с I -и +Е к (т> У к(,)к1, к к = у с Q
т укі утг тгкі > укі і
(,) тг(х) = \л с Q(s’aJ
^іукі Аа ,,а^ іукі ,=1 а=1
Макроскопический закон упругопластического деформирования рассматриваемого компо-
197
и
,=1
зиционного материала имеет вид
(°у) = £,*■«( £и) ^ (14)
где в;и = 2Мт11}к1 + Лт 8у8к1 + С/ (2[М/ У + [Л/ ]8у8„г ^ - эффективный тензор модулей упругости. Важным частным случаем общих соотношений (14) является модель композита, в котором эллипсоидальные включения ориентированы равновероятно. В этом случае
5а
с, 1 = с5 2 =... = с55 . При этом тензоры четвертого ранга К^ = Ус5ав^,а; будут изотропными
а=1
и их общее представление будет иметь вид:
К£= с^(а„113к1 — РД8И), аг =((вРЧРч — вРЧV15, Р5 = (вРЧРч — 2вРрЧч)М Подставляя эти соотношения в уравнение (1() и выделяя объемные и девиаторные части, находим деформации, осредненные по объемам включений:
п п
Хс а У су
У/ =-----^-----------(У (£рр)/ =----------^— (£рр), У5=а— (р. (15)
с с + сг У с а сх + сг У с у
/ т / / т /
5=1 5=1
Запишем уравнения (14) в виде
(5и (Р)) = 2 М* (Р )(еи (Р)(^кк (Р )) = ( К* (Р) (% (Р)). (16)
и воспользуемся решениями, полученными в [1], заменяя в них модули пластичности на модули упругости:
п п
Г П У ^ а5 Г 1 У ^ у5
М*= Мт +[М/ ^=4- , К *= Кт + |_К/ ]^=^------------------------------------- . (17)
ст +У с5а5 ст +У с5У*
5=1 5=1
Так как в общем случае
__ I ! М _ N /Я
2М"(р) = £а,р1 £ЬтРт , (К"(р) = £/пр" £ч,Рг, (18)
, =0 / т=0 п =0 / г=0
то коэффициенты а, , Ьт, /, чг в выражениях (18) являются рациональными алгебраическими функциями материальных параметров компонентов композиционного материала и их объемных концентраций.
Трансформанты изотропных функций ползучести находятся из соотношений
71 = (р 2М*(р))—1, Л = (Р(К*(Р))—1. (19)
1 О + ,¥
Применяя к уравнениям (16) - (19) операцию обращения /(г, х) =-------- [ /(г,р)е ~рхdp, по-
2Р> а——,»
лучим эффективные реологические соотношения, записанные в дифференциально-операторной форме:
У ЪтВт ((5, у (t))) = У а, Б, ((еи (t)))
d ]Р
У ЧБ (К (0)) = У /пБп ((% (0>), Бр {. . .} = Ш0-!• {. . .}. (20)
г=0 п = 0 I — ]
Интегральная форма соотношений ползучести между напряжениями и деформациями имеет вид
еу) = } 71 (t — t1 )((5 У ( ) / dt1 К , (£кк ) = }7 2 ( — t1 )((О кк ( )) / dt1 )dt1 . (2 1)
Анализ выражения (20) показывает, что композиционный материал при объемном деформировании ведет себя как нелинейно-наследственное тело. Свойство объемной макроползучести проявляется лишь тогда, когда материалы фаз имеют разные по величине объемные модули.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Глущенков В. С., Сараев Л. А., Хохрякова Ю. В. Малые упругопластические деформации композиционного материала, хаотически армированного эллипсоидальными включениями // Вестник СамГУ, 2001. № 2(20).
С. 121 - 125.
Поступила 16.12.2003 г.
