CC BY
29
УДК 539.3 : 539.376
ПОЛЗУЧЕСТЬ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С АБСОЛЮТНО ЖЁСТКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
© 2015 В.С. Глущенков1, 2, Н.А. Архипова2
1 Самарский филиал Московского городского педагогического университета 2 Самарский государственный университет путей сообщения
Статья поступила в редакцию 06.11.2015
В работе рассматривается макроскопический (эффективный) закон ползучести многокомпонентного стохастически армированного изотропного композиционного материала типа «матрица - шаровые включения».
Ключевые слова: макроскопический (эффективный) закон ползучести, функция ползучести, композиционные материалы.
Рассмотрим многокомпонентный композиционный материал, первый компонент которого является матрицей, а другие - отдельными, хаотически распределенными в матрице включениями различных материалов, имеющих шаровую форму. Индексом т будем обозначать характеристики материала матрицы, индексом 5 - материала включений, 5 = 0, 1, 2, ..., п, (индекс 0 соответствует порам).
Запишем локальные уравнения материала матрицы композиционного материала в виде:
e.(r, t) = s.(r, t) + \Tm(t-r)st.(r, r)dr,
%(r t) = ■
°kk(r t)
(1)
3K
или:
i
e..(r, t) = J Jm(t-T)ds.(r,r),
*kk(rt) =
°kk(r> t) 3Km :
(2)
e.(r, t) =
(r t) 2p,
£кк (rt) =
°kk(rt)
3Ks
. (3)
Здесь и далее Гт ^), Jm (Г) - ядро ползучести и функция ползучести (податливость) при
о
чистом сдвиге материала матрицы; ¡Лт, - мгновенный модуль упругости сдвига материала матрицы; /ит, Кт, /Л!,, Кх - сдвиговые и объёмные модули упругости компонентов композиционного материала; Су (г, () , Еу(г, ?) - компоненты тензоров напряжений и деформаций; Яу(г, 0 = Оу(г, 0-^8у<гкк(г, 0 ,
е у(Г ) = £у (г> ) - 3ду£кк (г> ) - девиаторные
составляющие тензоров напряжений и деформации; 5у - символ Кронекера; ? - время;
Г = (" 5 Х2' "3) .
Функция ползучести материала матри-
J (0
цы тЧ/ определяется по экспериментальным кривым ползучести при чистом сдвиге
то есть будем считать, что объёмные деформации не обладают наследственными свойствами. Пусть локальные свойства материалов включений не проявляют наследственных свойств и имеют вид:
(s12(r, t) = s12(r, 0) = S2 = const) :
J (t)=e#.
m V / о
S1 о
(4)
Ядро ползучести материала матрицы определяется соотношением:
Гm (t) = 2,1° J1 dt
(5)
Записи (1) и (2) девиаторных соотношений для материала матрицы отличаются тем, что в соотношении (2) отсутствует мгновенный модуль упругости сдвига.
Глущенков Вячеслав Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и информатики. E-mail: glushenkov_vs@mail.ru Архипова Наталья Александровна, старший преподаватель кафедры высшей математики. E-mail: arkipova_n_a@mail.ru
Применяя к (2), (3) преобразование Лапласа-Карсона, получим в пространстве изображений определяющие соотношения упругого деформирования компонентов композиционного материала:
5у (Г Р) = 2Дт (РЦ (Г, р),
_ - _ (6) °кк (Г) = 3Кт% (ГХ
5У (Г) = 2ДДу (Г) СГкк (Г) = эКДкк (Г). (7)
>
Здесь чертой сверху обозначены трансфор-
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т.17, №6(3), 2015
манты Лапласа-Карсона; для постоянных модулей упругости кт = кт, д = м.< , к = к,;
2/Лт (р) = —- р — параметр преобразования.
зт(р)
В пространстве изображений соотношения для определения эффективных модулей упругости матричного композиционного материала с шаровыми включениями [1] запишутся в виде:
Р) = Мт (р) + ■
Ё -Мт (Р))С*а* (Р)
+Ёса(р)
Ё 1 ((р) к * ( р ) = к + ^-.
/ т п
а,(р) =■
Ст + Ё С$, (р)
, =0
1
6 кт + 2Мт (р) ~Мт (р))
1 +-
5 3 Кт + 4Дт (р) К (р)
К(р) =
1
3(к - к )
1 +__У ,_т '
т + 4№т (р)
(г)> = \и-т) й ({<ткк (г))).
(12)
хотя его компоненты таких свойств не проявляют. Отмеченное свойство объясняется сложным перераспределением во времени системы внутренних напряжений в композиционном материале в процессе его деформирования.
В качестве ядра ползучести материала матрицы рассмотрим ядро вида:
4 (г) = Ё ^
к =1
-Лкг
(13)
Подставляя это выражение в (1), получим
0
(8)
^ (г) =
1 +
к 1
г Л
-4(г-г) йТ
У
0
2//°
1+Ё А- (1 - ))■
к =1 Лк У
Отсюда и из (4) следует:
= е12(г) =
Зт (г) =
(9)
1
12
( к
2//°
Л
1 + Ё^Т
1
(14)
Ё-
^кг
к=1 \ У 2 И к=1 Л
Таким образом, в пространстве изображений эффективный закон деформирования композиционного материала будет иметь вид:
(г. р)) = 2Д*((Г Р)),
_ (10) К (г, р)> = 3к*(р)(ёкк (г, р)).
Здесь Ст, С, - объёмные концентрации компонентов композиционного материала, звёздочкой обозначены макроскопические (эффективные) величины, угловыми скобками - средние по объёму композиционного материала значения.
Применяя к этим соотношениям операцию обращения и учитывая, что для сдвиговых и объёмных функций ползучести З (г), и (г) выполняются соотношения:
(р) = и' (р) = зк\ ), (11)
2И (р) зк (р)
>
окончательно найдём макроскопический закон ползучести:
(е, (г)) ==}г (г -г) й (( ,, (т))),
Параметры в выражении функции ползучести можно определить методом наименьших квадратов при сравнении с экспериментальными данными.
В пространстве изображений функция ползучести (14) имеет вид:
Зт (р) =
1
(
2Л°
; А Л 1+ Ё — ■
, к=1 Ак У
1
кА
(15)
р +4'
Из (15) получим: 1
Мт (р) =
2Л (р)
( 1 '
^ V
Л
1 + ЁТ --ЬЁ
1
\
■ (16)
Из выражений (8), (9), (10), (11), (12) следует, что композиционный материал обладает объёмными наследственными свойствами,
к ^ К У м к=1 ¿к р+Л у
В предположении, что С° = ° (композиционный материал не содержит пор) и включения матричного композиционного материала являются абсолютно жёсткими, то есть, ц ^го, , = 1, 2, п из (8), (9) следует:
5 С '
М'(р) = Ит (р) + или с учётом (16):
-—с) с = ЁС, , <17)
1
то есть:
J ( Р ) =
(18)
(19)
После применения обратного преобразования Лапласа - Карсона, получим эффективную функцию ползучести рассматриваемого композиционного материала:
J *(t ) =
1 (L ¿4 ^
к A,
Л
1 ^ ^^ з ^^ з
VV к=1 Лк У к =1 Лк
' 5 с Y1
к g-V
(20)
xl 1 +-
V 2 1-с J
Рассмотрим соотношение
I
(в12(1)) = | 3'(! -г )), (21)
0
после интегрирования которого запишем макроскопический закон ползучести композиционного материала в виде:
M )>
(
2m°
Л
Л
1+ -Y^e
1 Лк J к=1 Лк
-ht
VV к =1 к J -1
xl 1 +
5
21-с
(22)
Для модельного композиционного материала с абсолютно жёсткими включениями на рис. 1 приведены экспериментальные и расчётные значения кривых сдвиговой ползучести при различных объёмных концентрациях включений; на рис. 2 - зависимости значений деформации композиционного материала от объёмной концентрации включений в различные моменты времени. Время I измеряется в условных единицах.
Рис. 1. Кривые ползучести материала матрицы (с = 0) и композиционного материала при различных объёмных концентрациях абсолютно жёстких включений;
- экспериментальные данные; 1 - (с = 0); 2 - (с = 0,1) ;3 - (с = 0,4)
®12
-Л::-,
0,012 О 008 0,004
0
0 0,6 0,9
Рис. 2. Зависимости значений деформации композиционного материала от объёмной концентрации абсолютно жёстких включений в различные моменты времени;
1 - (t = 1,5); 2 - (t = 0,7) ; 3 - (t = 0,5)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Глущенков, В.С. Макроскопические свойства деформирования нелинейных матричных многокомпонентных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями / В. С. Глущенков // Неоднородные материалы и конструкции. Избранные труды Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий. - М.: РАН, 2013. - С. 71-94.
о
THE CREEPAGE OF COMPOSITE MATERIALS WITH ABSOLUTELY RIGID INCLUSIONS
© 2015 V.S. Glushchenkov1, 2, N.A. Arkhipova2
1 Samara Branch of the Moscow City Teachers' Training University 2 Samara State Railway Transport University
The paper considers the macroscopic (effective) law of creepage of multicomponent stochastically reinforced isotropic composite material such as "the matrix - spherical inclusions." Keywords: macroscopic (effective) creepage law, the function of creepage, composite materials.
Vyacheslav Glushchenkov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor at the Higher Mathematics and Computer Science Department.E-mail: glushenkov_vs@mail.ru Natalia Arkhipova, Senior Lecturer at the Higher Mathematics Department. E-mail: arki-pova_n_a@mail.ru
