CC BY
20
УДК 539.3
В. Я. Базотов, В. С. Глущенков, Э. Р. Ногачева ЭФФЕКТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЗУЧЕСТИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ
КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Ключевые слова: матричные композиционные материалы, функция ползучести, эффективные механические характеристики.
В работе моделируются макроскопические (эффективные) функции ползучести многокомпонентных изотропных вязкоупругих композиционных материалов типа «матрица - шаровые включения».
Keywords: matrix composites creep function, effective mechanical characteristics.
In simulated macroscopic (effective) function creep multicomponent isotropic viscoelastic composites such as "matrix -ball inclusion. "
Рассмотрим многокомпонентный композиционный материал, первый компонент которого является матрицей, а другие - отдельными, хаотически распределенными в матрице включениями различных материалов, имеющих шаровую форму.
Пусть локальные реологические свойства материала матрицы композиционного материала имеют вид:
t
e (r 0=\JJï (r A %(r, t)
G (Г О
(1)
0 К
то есть будем считать, что объёмные деформации не обладают реологическими свойствами. Пусть также локальные свойства материалов включений (наполнителей матричного композиционного материала) не проявляют реологических свойств и имеют вид:
Mr. о=]^. (г, t) = ст“(r-0
(2)
2ц, ' 3Ks
Здесь Jm (t) - функция ползучести (податливость) при чистом сдвиге материала матрицы; ц, Km и Ks - сдвиговые и объёмные модули упругости компонентов композиционного материала; индексы m, s соответствуют материалам матрицы и включений соответственно s = (1,2,...,n); a.(r, t), s.(r, t) -
компоненты тензора напряжений и деформаций;
s.(r о=а(r о -(rt),
e. (r, t) = s (r, t) - (r, t) - девиаторные
составляющие тензоров напряжений и деформации;
S - символ Кронекера; t - время; r = (х1, x2, x3).
Функцию ползучести материала матрицы Jm (t) можно определить по экспериментальным
кривым ползучести, полученным из опытов на чистый сдвиг (<г12(г, t) = ст12(г, 0) = a02 = const) [1]:
S12(t)
Jm (t) =-
(3)
G
12
Функцию ползучести J (?) будем искать в виде конечной суммы экспоненциальных функций:
Jm (t) =Ê Am exp№).
(4)
а т л т
где постоянные Ак , Ак определяются аппроксимацией соответствующих экспериментальных кривых ползучести.
Применим к (1), (2), (4) преобразование Лапласа. Тогда в пространстве изображений получим определяющие соотношения упругого деформирования компонентов композиционного материала:
Ц, ^ Р) = 2Дт (р)ё„ (r, р)
(5)
I] \ 5 г ; Г m\r ; IJ
Gkk (r) = 3Km% (r) _
J] (r) = 2Щ (r) , Gkk (r) = 3Ks£kk (r), (6)
где p — параметр преобразования Лапласа,
i K Am —
1 -,„ч к A Km = Km,
2Mm (p) =-
Jm (p) =X-
+ p
J_m (Р)
& = М,, К* = К.
Используя соотношения для определения эффективных модулей упругости матричного композиционного материала с шаровыми включениями [2, 3], получим:
п
* Е(Я-Дт (Р))с*а*
Д*(Р) = Мт (Р) + —-------------------------п-’
cm +
K • ( p) = Km
I
s—1
n
I (K - K )c V
m
_s—1_________________
n
c +Ic V
m
s=1
1
(7)
a =■
Vs =
1 + 6 Km + 2Mm (p) (M-Mm (p)) 5 3Km + 4Mm (p) Mm (p)
1.
1 + 3(Ks - Km )
3Km + 4Mm (p)
(8)
Здесь звездочкой обозначены эффективные (макроскопические) величины.
В пространстве изображений эффективный
k=1
0
закон деформирования композиционного материала запишется в виде:
(*,,(Г Р^ = 2Д*(р){(Г, р)),
(&кк (г, р)) = 3К*(р) (ёкк (г р)), (9)
Здесь угловыми скобками обозначены средние по объёму композиционного материала значения величин.
Применяя к этим соотношениям операцию обращения при помощи стандартных методов, окончательно найдём макроскопический закон ползучести:
{ву (*)) == { У *(/ - т) ё((% (г))) ,
0
(еп 0 ^ =={ и *0 -Т) ^ (( ^Т))). (10)
0
Здесь функции ползучести J*(?), и*(?) (при чистом сдвиге и объёмные) получены обращением величин: у * (р) = 1 , щ * (р) = 1 .
3K (^)
Литература
1. Москвитин, В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твёрдом топливе) [Текст] / В.В. Москвитин. - М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1972. - 328 с.
2. Сараев, Л.А. Неупругие свойства многокомпонентных композитов со случайной структурой [Текст] / Л.А. Сараев, В.С. Глущенков. - Самара: Изд-во «Самарский университет», 2004. — 164 с.
3. Сергеева, Е.А. Прочностные характеристики композиционных материалов на основе плазмоактивированных сверхвысокомолекулярных полиэтиленовых волокон / Сергеева Е.А., Ибатуллина А.Р., Брысаев А.С. //Вестник Казанского технологического университета. 2012. т.15, №18, С. 133-136.
4. Кадыйров, А.И. Математическая модель стационарного теплообмена и гидродинамики при ламинарном течении вязких реологически сложных сред в изогнутых каналах с закручивателем потока / Кадыйров А.И., Вачагина Е.К. //Вестник Казанского технологического университета. 2012. т.15, №19, С. 49-53.
5. Глущенков, В.С. Эффективные упругие постоянные многокомпонентных композиционных материалов [Текст] / В.С. Глущенков // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. третьей Всерос. научн. конф. (1-3-июня 2006, Самара). Ч. 1: «Мат. модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций». - Самара: Сам-ГТУ, 2006. - С. 46 - 47.
© В. Я. Базотов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. технологии твердых химических веществ КНИТУ, femi@kstu.ru; В. С. Глущенков - канд. физ. - мат. наук, доцент, в.н.с. каф. химии и технологии полимерных и композиционных материалов СамГТУ, fctpm@samgtu.ru; Э. Р. Ногачева - мл.н.с. той же кафедры, fctpm@samgtu.ru.
