CC BY
30
УДК 539.3
В. Я. Базотов, В. С. Глущенков
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Ключевые слова: задачи термоупругости, фундаментальное решение.
В работе находится матричное фундаментальное решение квазистатической связанной задачи термоупругости для неограниченной изотропной среды.
Keywords: thermoelasticity problem, a fundamental solution.
The work is a fundamental matrix solution of the problem related to the quasi-static thermoelasticity for an infinite isotropic medium.
Система уравнений квазистатической связанной задачи термоупругости для однородной и изотропной среды имеет вид:
цы (г,0 + (X + ц)ы111(г,0 + Р(г,0 = у0,.(г,0, (1)
1 л
е ,,(r,t) —е(r,0-■фіц(r,t) = -
Q(r,t)
(2)
X X
Здесь г = (х1, Х2, Х3} - радиус-вектор пространственных координат, t- время, 0=Т — Т0 -малое приращение температуры, Т0 и Т - начальная и текущая температура тела, и. (г,^) - смещения, ц, X -изотермические постоянные Ламе,
к - коэффициент температуропроводности, К -
Х 3
коэффициент теплопроводности, 3- удельная теплоемкость единицы объема, у = (2ц + 3Х)а, а -
коэффициент теплового расширения, ^ = уТ0 / К,
Q(r t) = ^(Г, ^ - распределённые источники тепла, 3
ц(у, t)- количество тепла, производимое в единице
объема за единицу времени, р (г^) - объёмные
массовые силы, точкой обозначено дифференцирование по времени.
При помощи матричного фундаментального решения системы уравнений (1), (2) поле смещений и температур для неограниченной среды можно представить в виде свёртки:
Ыа (г,) = | СаР (г— г1,/ (г1,(г1) (3)
К3
Здесь Ыа = ы, 0}, / = {Р, Q / X}.
Предполагая однородность начальных условий, применим к (1) (2) и (3) преобразование Лап-
ласа по времени
: g (r, p) = J g (r, t)e-ptdt.
Здесь ^(г, р)-изображение функции g(г, Ї),
р = а + і со - параметр преобразования Лапласа. В результате получим:
К,и (г, р) + (X + мОи,й (г, р) + Рі (г, р) = у0,і (г, р), (4)
0, и (г, р) - - 0(г, р) - Црщ, (г, р) = ^(г’р), (5)
И.
; (r, p) = J Gap (r - ri, p)fp (ri, p)dV(ri) (6)
Применим к (4), (5) и (6) преобразование Фурье по координатам: у*(к) = |у(г)е-іЬг^г, где
г
к = [кг,к2,к3}- векторный параметр преобразования. В пространстве Фурье получим систему алгебраических уравнений относительно трансформант смещений и температур:
(х+ц)кки*(к, р)+мк2и*(к, р) -іук0*(к р)=^Т(к р) (7)
е*(к, р) - тісрХк р)=ШХХ (8)
Х^ X
и* (к, р)=(к, р )/;(к, р). (9)
После преобразований решение системы уравнений (7), (8) запишется в виде:
410)
k 2 + p
u’(k,p)=^ [5і'— a
Fi*(k, p)+■
iyki Q (k, p)
k2 + Р г
е'съ p)=-
Х+2ц Q(k, p) + КЛ-Х^ f
(11)
(Л+2ц)! k
где введены обозначения: ail =
г yk (Л+2ц)
kikl
■$(K p)
k2
Л = Х +
_РГЦ_-
k 2 + p
Отсюда с учётом (9) имеем:
G* (k, p) =-L ^
«Ж p) =
iyki
x Л + ц
8д----------------al
Л + 2ц
А
k2 +p |(Л + 2ц)
v г)
k (Л - Х)
iki (Л-Х) : Р^(Л + 2ц)
G4l(к, p) =
yk (Л + 2ц)
«44 (k, Г) =
(Х + 2ц)
(Л - Х)(Х + 2ц)
k2+p | (л+2ц) 2ц)
г
Применяя к этим соотношениям последовательно обратное преобразование Фурье
2В
у(г) = 1 | у*(к) еік'гйк и обратное преобразо-
а+іда
у(0=— Г У(р) е^,
2га -
(21)3 , вание Лапласа
оконча-
тельно запишем аналитические выражения для компонентов матричного фундаментального решения связанной задачи термоупругости:
А + 2ц
ай I е гйк \ер йр
а*-г',°=цК8'- А+ц
а-іда ^,3 \
64(г - г1,ґ) = —1Г Г )г гк(А Х) е^йк] е*ф
^ 16і4і а-іда | ,з рл(А + 2ц) I ^
4/
л а+іда [
(г - гі-г)=Т61Ї7
ік (А-Х) к
161 і а-іда 1,3 Ук2(А + 2Ц
егйк ^ ер йр
л а+іда
6> -гт,0“ЙЙ Г и
а-іда ,
• (А-ХХХ+2ц) ект^к руг|(Д+2ц)
ф
Литература
1. Сергеева, Е.А. Прочностные характеристики композиционных материалов на основе плазмоактивированных сверхвысокомолекулярных полиэтиленовых волокон / Сергеева Е.А., Ибатуллина А.Р., Брысаев А.С. - Казань: Изд-во «Вестник казанского технологического университета», т.15, №18, стр. 133-136.
2. Кадыйров, А.И. Математическая модель стационарного теплообмена и гидродинамики при ламинарном течении вязких реологически сложных сред в изогнутых каналах с закручивателем потока / Кадыйров А.И., Вачагина Е.К. - Казань: Изд-во «Вестник казанского технологического университета», т.15, №19, стр. 49-53.
3. Глущенков, В.С. Эффективные упругие постоянные многокомпонентных композиционных материалов [Текст] / В.С. Глущенков // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. третьей Всерос. научн. конф. (1-3-июня 2006, Самара). Ч. 1: «Мат. модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций». - Самара: Сам-ГТУ, 2006. - С. 46 - 47.
© В. Я. Базотов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. технологии твердых химических веществ КНИТУ, Геші@к8Іи.ги; В. С. Глущенков - канд. физ. - мат. наук, доцент, в.н.с. каф. химии и технологии полимерных и композиционных материалов СамГТУ, fctpm@samgtu.ru.
