Научная статья на тему 'Фундаментальное решение одной задачи термоупругости'

Фундаментальное решение одной задачи термоупругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
110
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ / ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ / THERMOELASTICITY PROBLEM / A FUNDAMENTAL SOLUTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Базотов В. Я., Глущенков В. С.

В работе находится матричное фундаментальное решение квазистатической связанной задачи термоупругости для неограниченной изотропной среды.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Базотов В. Я., Глущенков В. С.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The work is a fundamental matrix solution of the problem related to the quasi-static thermoelasticity for an infinite isotropic medium.

Текст научной работы на тему «Фундаментальное решение одной задачи термоупругости»

УДК 539.3

В. Я. Базотов, В. С. Глущенков

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Ключевые слова: задачи термоупругости, фундаментальное решение.

В работе находится матричное фундаментальное решение квазистатической связанной задачи термоупругости для неограниченной изотропной среды.

Keywords: thermoelasticity problem, a fundamental solution.

The work is a fundamental matrix solution of the problem related to the quasi-static thermoelasticity for an infinite isotropic medium.

Система уравнений квазистатической связанной задачи термоупругости для однородной и изотропной среды имеет вид:

цы (г,0 + (X + ц)ы111(г,0 + Р(г,0 = у0,.(г,0, (1)

1 л

е ,,(r,t) —е(r,0-■фіц(r,t) = -

Q(r,t)

(2)

X X

Здесь г = (х1, Х2, Х3} - радиус-вектор пространственных координат, t- время, 0=Т — Т0 -малое приращение температуры, Т0 и Т - начальная и текущая температура тела, и. (г,^) - смещения, ц, X -изотермические постоянные Ламе,

к - коэффициент температуропроводности, К -

Х 3

коэффициент теплопроводности, 3- удельная теплоемкость единицы объема, у = (2ц + 3Х)а, а -

коэффициент теплового расширения, ^ = уТ0 / К,

Q(r t) = ^(Г, ^ - распределённые источники тепла, 3

ц(у, t)- количество тепла, производимое в единице

объема за единицу времени, р (г^) - объёмные

массовые силы, точкой обозначено дифференцирование по времени.

При помощи матричного фундаментального решения системы уравнений (1), (2) поле смещений и температур для неограниченной среды можно представить в виде свёртки:

Ыа (г,) = | СаР (г— г1,/ (г1,(г1) (3)

К3

Здесь Ыа = ы, 0}, / = {Р, Q / X}.

Предполагая однородность начальных условий, применим к (1) (2) и (3) преобразование Лап-

ласа по времени

: g (r, p) = J g (r, t)e-ptdt.

Здесь ^(г, р)-изображение функции g(г, Ї),

р = а + і со - параметр преобразования Лапласа. В результате получим:

К,и (г, р) + (X + мОи,й (г, р) + Рі (г, р) = у0,і (г, р), (4)

0, и (г, р) - - 0(г, р) - Црщ, (г, р) = ^(г’р), (5)

И.

; (r, p) = J Gap (r - ri, p)fp (ri, p)dV(ri) (6)

Применим к (4), (5) и (6) преобразование Фурье по координатам: у*(к) = |у(г)е-іЬг^г, где

г

к = [кг,к2,к3}- векторный параметр преобразования. В пространстве Фурье получим систему алгебраических уравнений относительно трансформант смещений и температур:

(х+ц)кки*(к, р)+мк2и*(к, р) -іук0*(к р)=^Т(к р) (7)

е*(к, р) - тісрХк р)=ШХХ (8)

Х^ X

и* (к, р)=(к, р )/;(к, р). (9)

После преобразований решение системы уравнений (7), (8) запишется в виде:

410)

k 2 + p

u’(k,p)=^ [5і'— a

Fi*(k, p)+■

iyki Q (k, p)

k2 + Р г

е'съ p)=-

Х+2ц Q(k, p) + КЛ-Х^ f

(11)

(Л+2ц)! k

где введены обозначения: ail =

г yk (Л+2ц)

kikl

■$(K p)

k2

Л = Х +

_РГЦ_-

k 2 + p

Отсюда с учётом (9) имеем:

G* (k, p) =-L ^

«Ж p) =

iyki

x Л + ц

8д----------------al

Л + 2ц

А

k2 +p |(Л + 2ц)

v г)

k (Л - Х)

iki (Л-Х) : Р^(Л + 2ц)

G4l(к, p) =

yk (Л + 2ц)

«44 (k, Г) =

(Х + 2ц)

(Л - Х)(Х + 2ц)

k2+p | (л+2ц) 2ц)

г

Применяя к этим соотношениям последовательно обратное преобразование Фурье

у(г) = 1 | у*(к) еік'гйк и обратное преобразо-

а+іда

у(0=— Г У(р) е^,

2га -

(21)3 , вание Лапласа

оконча-

тельно запишем аналитические выражения для компонентов матричного фундаментального решения связанной задачи термоупругости:

А + 2ц

ай I е гйк \ер йр

а*-г',°=цК8'- А+ц

а-іда ^,3 \

64(г - г1,ґ) = —1Г Г )г гк(А Х) е^йк] е*ф

^ 16і4і а-іда | ,з рл(А + 2ц) I ^

4/

л а+іда [

(г - гі-г)=Т61Ї7

ік (А-Х) к

161 і а-іда 1,3 Ук2(А + 2Ц

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

егйк ^ ер йр

л а+іда

6> -гт,0“ЙЙ Г и

а-іда ,

• (А-ХХХ+2ц) ект^к руг|(Д+2ц)

ф

Литература

1. Сергеева, Е.А. Прочностные характеристики композиционных материалов на основе плазмоактивированных сверхвысокомолекулярных полиэтиленовых волокон / Сергеева Е.А., Ибатуллина А.Р., Брысаев А.С. - Казань: Изд-во «Вестник казанского технологического университета», т.15, №18, стр. 133-136.

2. Кадыйров, А.И. Математическая модель стационарного теплообмена и гидродинамики при ламинарном течении вязких реологически сложных сред в изогнутых каналах с закручивателем потока / Кадыйров А.И., Вачагина Е.К. - Казань: Изд-во «Вестник казанского технологического университета», т.15, №19, стр. 49-53.

3. Глущенков, В.С. Эффективные упругие постоянные многокомпонентных композиционных материалов [Текст] / В.С. Глущенков // Мат. моделирование и краевые задачи: Тр. третьей Всерос. научн. конф. (1-3-июня 2006, Самара). Ч. 1: «Мат. модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций». - Самара: Сам-ГТУ, 2006. - С. 46 - 47.

© В. Я. Базотов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. технологии твердых химических веществ КНИТУ, Геші@к8Іи.ги; В. С. Глущенков - канд. физ. - мат. наук, доцент, в.н.с. каф. химии и технологии полимерных и композиционных материалов СамГТУ, fctpm@samgtu.ru.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.