Решение несвязанной задачи термоупругости с заданными на границе тела перемещениями и тепловым потоком Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

РЕШЕНИЕ НЕСВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ С ЗАДАННЫМИ НА ГРАНИЦЕ ТЕЛА ПЕРЕМЕЩЕНИЯМИ И ТЕПЛОВЫМ ПОТОКОМ

© 2012 И.С. Макарова

Самарский государственный университет путей сообщения

Предложен метод решения несвязанной задачи термоупругости с граничными условиями первого рода. Найдено аналитическое решение поставленной задачи для однородного изотропного тела произвольной формы, ограниченного кусочно-гладкой поверхностью.

Краевая задача термоупругости, граничные условия первого рода, задача теплопроводности, задача Неймана, преобразование Фурье.

Повышение прочности и надёжности узлов и конструкций летательных аппаратов предполагает необходимость диагностики теплового и термонапряжённого состояния элементов, работающих в условиях нестационарного нагрева, что требует предварительных исследований как экспериментального, так и теоретического характера. Моделирование процессов деформирования тел, находящихся в условиях нагрева, может быть основано на численном и аналитическом решении краевых задач термоупругости.

Ограничимся случаем

квазистатической несвязанной задачи

термоупругости, представляющей

наибольший интерес с точки зрения экспериментальных исследований машин и конструкций. Рассмотрим линейно-упругое, однородное, механически и термически изотропное тело произвольной формы

объёма V, ограниченное поверхностью 5 . На поверхности 5 известны вектор

термоупругих перемещений и1 (г, t) и тепловой поток. Требуется в односвязной области V найти решение нестационарной квазистатической задачи термоупругости:

°іі,і (г, і) + ^ (г, і) = °>

, (г, і) = 2 (и , і (г , і) + ии (г, і)),

(г, і) = ЕтєРч(г, і) - сі 0(г, іX

(1)

(2)

(3)

л 1 5

А-------

, X ді.

л

0(г, і) = - — Q(г, і), X

(4)

и (г, і)

= иІ(г,іX

0(г, 0) = ©0(г), д0(г, і)

дп

= ¥ (г, і).

Здесь (г, t) , (г, t) - компоненты

тензоров напряжения и деформации; Fi (г, t) - составляющие массовой силы; и5 (г, t) -значения компонентов вектора перемещений на поверхности тела 5; Е - компоненты

постоянных;

С

тензора упругих

компоненты тензора термоупругих

постоянных; А - оператор Лапласа; г = г(д:1, х2, х3) ; 0 = Т-Т0 - малое

Т -

приращение температуры

0

( Т0

и

начальная

К

х = 7

и текущая температура тела);

- коэффициент

температуропроводности, К - коэффициент теплопроводности, 5 - удельная

теплоёмкость единицы объёма;

Ч(г, t)

д(г, і) - количество тепла,

производимое в единице объёма за единицу

времени; (г, і) = —1 qs(г, і) , д!1 (г, і) - ^(г, р) ®о(г) + ^(г, р),

К

плотность теплового потока через поверхность тела. Соотношение (1) является уравнением равновесия тела под действием массовых сил, соотношение (2) представляет собой формулы Коши, соотношение (3) -закон Дюамеля-Неймана, (4) - уравнение теплопроводности.

Рассматриваемая краевая задача несвязанной термоупругости распадается на начально-краевую задачу теплопроводности с заданным на границе тепловым потоком (задача Неймана):

Яп(г, р) = ©!(г)+ Ф(г, p),

(8)

(9)

л 1 5

А------

, X 6і.

Л

0(г, і) = - — Q(г, і): X

Р8 (k, Р) = X (г, Р) ег ^(г), (10)

РІ (к, Р) = х\ Фіп (г , Р) е ^ г ^(r ), (11)

0Оп (к, Р) = (к, р) <§'(к, р) +

&(к, р) х/(г, р)е(г) , (12)

0(г, 0) = 0о(г),

60(г, і)

(5)

6п

= / (г, і)

?є£

и краевую задачу линеинои теории упругости

, і (г ,і) + ^ (г,і) = 0

(г,і) = 2 {щ і (г,і) + и і . (г, і)),

(г, і) = ЕтаЄра (г, і) - Сіі 0(г, і),

(6)

+

функция Ф(г, і) есть результат деИствия

оператора [ — - х • А | на опорную функцию,

\6і )

<§* (к, р) - Фурье-образ трансформанты

Лапласа функции Грина исходной начальнокраевой задачи (5).

Краевая задача (6) с помощью тензора Кельвина - Сомильяны Кір(гЛ) сводится к однородной краевой задаче в перемещениях

[3]:

Цри "Р (r,і) = 0,

|С а = и (" ) = и Со ) 1 "" (13)

гє8 гє8 гє5

Решение начально-краевой задачи (5) получено методом опорных функций и имеет вид [1, 2]:

Шг 0 =—^~Тер‘\ Г ^*(к, р) V(к, Р) х

, (2ж)41 Ь» 1 $*оп (к, р) + ф*т (к, р) (7)

Здесь L = 1 {е.. + Е.. )—6-----

ір 2У т тр)6х;6хд

компоненты оператора Ламе, и"(г, і) = и{ (г, і) - и" (г, і),

(14)

х0Оп (к, р) егк г рк Рр

Здесь символом А (крышка) обозначены изображения функций, полученные в результате преобразования Лапласа, символом * обозначены Фурье-образы соответствующих величин, р -параметр преобразования Лапласа, индекс оп относится к опорной функции задачи,

"(г, і) = -| Кр (г,Л) Ф р (Л, і) РЛ (15)

Фі (г , і) = Сіі 0 і (г, і) + Рг (г , і)

(16)

- компоненты вектора обобщённых массовых сил.

и

Будем искать решение краевой задачи и*(к, і) = Г[и8 (г8,і) - и"(г8,і)]х (13) в виде: *

"(г, і) = -Г Кр (г - Л) Ф"р (Л, О РЛ . (17)

V"

8 (21)

х п; (г ) е-гЬЧ8 (г ).

Тогда соотношение (20) можно записать в виде:

Здесь Ф'р (Л, I) - компоненты вектора массовых сил, распределённых по объёму V ' = R3 - V .

Подберём функцию Фр (Л, I) таким

образом, чтобы удовлетворялись граничные условия краевой задачи (13). Для этого положим в уравнении (17) г е , :

и'(Г,, I) = -/ К,р (г, -Л) Фр (Л, I) d( . (18)

•(к,і) = -| ГК(г-Л).ф"(л,і)РЛ

8 IV"

х п 1 (г ) е - к • (г ).

(22)

V"

Используя теорему Г аусса -

Остроградского, переходим в правой части равенства (22) от интеграла по поверхности к интегралу по объёму:

Последнее соотношение запишем в матрично-векторной форме:

и'й, і) = -Г К (г - Л). Ф"(Л, г) РЛ .

(к,/) = -Г<Ц ел’ ГК(г-Л) • Ф"(Л,0РЛ

Рг.

V" • I

Выполняя дифференцирование в Свёртка к •ф в декартовой системе правой части последнего соотношения и определяется как умножение матрицы К на переходя к компонентной форме, получим: вектор-столбец Ф' . С учётом граничных

условий исходной краевой задачи последнее и*(к,|) = -|Дкг ,(г -£)-гкКг(г -£)]Х

соотношение можно записать в виде:

и 8 (г8, і) - и"^, і) = -| К Ъ - Л) • Ф '(Л, і )РЛ.(19)

VV' -і к • г

(23)

хе-к г Ф"(Л,і) РЛ Я.

Умножим обе части равенства (19) скалярно на величину п; (г) е-кг и проинтегрируем по поверхности тела 8 (здесь П; (г) является /-ой компонентой вектора нормали к поверхности тела):

Производя замену переменных ^ = Г - а , Г = ^ + а и применяя теорему о свёртке по конечной области, окончательно находим:

и*(к, I) = |/к,к; (к) - К‘„ (к) ].Ф* (к,I). (24) Здесь

к; (к) = Г К (»). е-к*т,

Г [и 8 (г5 ,1) - и"(г5,1)] П / (г) е-к"Ю(г)

-Г Г К(г, - Л) • Ф"(Л,О РЛ

К*,/ (к) = /

6К/" (" )

.V"

е -'к • "Р",

(25)

(20)

Ф""*(к, і) = /Ф" (Л, і )• е -'«РЛ,

х П; (г) е -кгР8 (г).

Введём обозначение для левой части соотношения (20):

объём W определяется объёмами V, V' и равенством ^ = Г - Л .

Из соотношений (24) определяем неизвестные компоненты Фурье-образа обобщённых массовых сил Ф'*(к, I) :

и

и

X

>1=

и

X

Ф',^, t) = R, (k) u*(k, t).

(26)

Здесь R, (k) - матрица, обратная

матрице

ik,K‘, (k) - к;(k)]

то есть

u'(r,') ^тЛг U KP (r - І) R„ (k)

(2*)3 V- r. x u*(k, t) єІІ ■ f dkdf.

(28)

(r, t) = -J K,, (r - І) Ф p (I, t) d|

V |j к,,(Г-i)R,i(k) x (29)

(2*)3 V- R

x u;(k, t) єik-fdk df

или, учитывая выражение обобщённых массовых сил (16):

u (r, Г) =-J KJri) (c,,e, (І, о + Fp(f,

для

удовлетворяющая уравнению:

•[ гк,К*л(к) - К',т](к)]= д,„ .

Применяя к соотношению (26) обратное преобразование Фурье, получим выражение для компонент вектора массовых сил:

Ф. (r, t) = -^т J R, (k )u, (k, f^dk. (27)

(2^) R3

Подставляя полученное выражение в уравнение (18), находим:

(2^);

3 JJK,(S,-IR#):

(30)

xu*(k, t) ikIdkd£.

Окончательно, соотношение для нахождения решения краевой задачи (6) при заданных начальных и граничных условиях записывается в виде:

Таким образом, с учётом соотношений (7) - (12) получено

аналитическое решение несвязанной задачи термоупругости с граничными условиями первого рода в условиях, когда на границе тела задан вектор перемещений и тепловой поток.

Библиографический список

1. Глущенков, В.С. Решение начальнокраевых задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности методом опорных функций [Текст] / В.С. Глущенков, Г.Ю. Ермоленко, И.С. Макарова // Вестник Самарского государственного университета путей сообщения. - 2010. Вып.3(9). - №3. -С. 120-123.

2. Глущенков, В.С. Решение краевой задачи Неймана для уравнения теплопроводности [Текст] / В.С. Глущенков, Г.Ю. Ермоленко, И.С. Макарова // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. -2011. -Вып. 13. - С.89-93.

3. Колтунов, М.А. Прикладная механика деформируемого твердого тела [Текст] / М.А. Колтунов, А.С. Кравчук, В.П. Майборода. - М.: Высшая школа, 1983. - 349 с.

t

х

u

THE SOLUTION OF AN UNCOUPLED THERMOELASTIC PROBLEM WITH A DISPLACEMENT VECTOR AND A HEAT FLOW DEFINED ON A BODY BOUNDARY

© 2012 I. S. Makarova Samara State University of Transport

In this paper the method of the solution of an uncoupled thermo elastic problem with boundary conditions of the first kind is offered. The analytical decision for homogeneous isotropic arbitrary form body limited to a piecewise smooth surface is found.

Boundary thermoelastic problem, boundary conditions of the first kind, heat conduction problem, Neumann boundary condition, Fourier transform.

Информация об авторе Макарова Ирина Сергеевна, кандидат физико - математических наук, доцент, доцент кафедры информатики, Самарский государственный университет путей сообщения. E-mail: makarova_is@mail.ru. Область научных интересов: моделирование поведения

конструкций в условиях нестационарного нагрева, макроскопическое поведение композиционных материалов.

Makarova Irina Sergeevna, Department “Information Science”, PhD in Physics and Mathematics, Assistant Professor, Samara State University of Transport. E-mail: makarova_is@mail.ru. Area of research: modeling of solid behavior in the conditions of non-stationary heating, macroscopic behavior of composite materials.