Применение метода граничных интегральных уравнений к решению связанных задач термоупругости с подвижной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ СВЯЗАННЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ C ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ

© 2012 г. А.В. Галабурдин

Галабурдин Александр Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и информатики, декан, финансово-экономический факультет, Ростовский технологический институт сервиса и туризма Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса, ул. Варфоломеева, 215, г. Ростов н/Д, 344018, e-mail: fef@rostinserv.ru.

Galaburdin Alexander Vasil'evich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Mathematics and Computer Science, Dean, Financial and Economic Faculty, Rostov Technologic Institute of Service and Tourism of the South-Russian State University of Economics and Service, Varfolomeev St., 215, Rostov-on-Don, 344018, e-mail: fef@rostinserv.ru.

Предлагается метод решения плоских задач теории упругости для тел с круговым отверстием, на котором действует подвижная силовая и тепловая нагрузки. Метод основан на применении граничных интегральных уравнений к соответствующей краевой задаче плоской динамической теории упругости в пространстве преобразований Фурье по времени. Приводятся результаты решения задач о бесконечной плоскости с круговым отверстием.

Ключевые слова: граничные интегральные уравнения, плоская задача термоупругости с подвижной нагрузкой.

The method of the decision of flat problems of the theory of elasticity for bodies with a circular aperture on which mobile loading operates is offered in work. The method is based on application of a method of the boundary integrated equations to the appropriate regional problem of the flat dynamic theory of elasticity in space of Fourier transformations. Results of the decision ofproblems about an infinite plane with a circular aperture are resulted.

Keywords: boundary integral equations, two-dimentionedproblems of thermoelasticity theory with moved load.

Развитие многих областей техники все чаще приводит к необходимости рассматривать задачи, в которых температурные напряжения играют весьма значительную, а иногда и доминирующую роль. При решении подобных проблем приходится иметь дело с задачей термоупругости, являющейся обобщением классической теории упругости и теории теплопроводности. Особый интерес представляют задачи термоупругости, связанные с распространением термоупругих волн в неограниченных областях. В подобных задачах проявляются качественные отличия между распространением упругих и термоупругих волн. Применению граничных интегральных уравнений (ГИУ) к изучению распространения термоупругих волн, обусловленных действием подвижной нагрузки, посвящена данная работа.

Рассмотрим плоскую задачу теории связанной термоупругости для области, ограниченной замкнутой кривой у и окружностью уо с радиусом a, расположенной внутри у, отнесенной к полярной системе координат с полюсом, совмещенным с центром окружности. На окружности уо приложены сила Р и тепловой поток g, движущиеся с угловой скоростью Ь. На границе у приложены усилие Р© и тепловой поток G, периодически изменяющиеся во времени с периодом изменения 2я/Ь.

Данная задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений [1]

~ д 2и

/иАи + (Л + /)graddivu — ygrad& = р ^ 2 ,

1 dS

AS----rdivu = 0 ,

X dt '

a ■ n

A,

7 дЗ

dn

= P(t),

a ■ n

= F(p- bt)

A

dS dn

7

= g (t)

Го

Фурье по времени на отрезке

- 2ж где T = —, b

получим следующую краевую задачу:

/-Auk + (A + ju)graddivuk - ~gradSk = -pcok uk,

ASk + Sk = 0 , ak ■ n X

= g AdSk г = gk' ^

a, ■ n

= Fke -

я дЗ

o dn

= Gke-ilap .

Здесь ик, Зк, Рк, Fk, %к, Ок - трансформанты Фурье, вектора перемещений, температуры и величин, заданных на границе Р(?), F(í), g(?), О(?).

Решив приведенную краевую задачу численно мето-

2жк

дом ГИУ [2], для значений юк=- (к = 0,+1,+2...)

Ь

можно определить компоненты тензора напряжений, вектор перемещения и температуру в любой точке тела, а обратив преобразование Фурье, вычислить перемещения, напряжения и температуру внутри исследуемой области.

Предложенным методом решалась задача о бесконечной плоскости с круговым отверстием, по границе которого с угловой скоростью Ь перемещается сила Р, касательная составляющая которой пропорциональна ее нормальной составляющей Гт = кГп, где k - коэффициент трения. Тепловыделение в зоне действия этой силы приводит к появлению движущегося с той же скоростью теплового потока, пропорционального скорости движения нагрузки, коэффициенту трения и нормальному усилию Q = кЬа¥п [3]. Приложенная движущаяся нормальная нагрузка описывается формулой

Fn (р) =

л ^ ч Г Ж Ж,

A(1 + cos ap), ре [--, —]

a o

/л г ж Ж '

0,pg[--,—]

oo

где a = 10,5 ; A=1.

dt2

при граничных условиях

zG(p- bt), где З = T - T; Т - текущая абсолют-

ная температура тела; ~ = (3Л + 2/)аг, а, - коэффи-

Л

циент теплового расширения; % = —° , Л - коэффициент теплопроводности; 77 = ~Т0 / Л0 ; Г0 - абсолютная температура исходного недеформированного состояния; се - теплоемкость при постоянной деформации.

Будем рассматривать установившийся процесс. Начальные условия в такой постановке отсутствуют. Применяя конечное интегральное преобразование

т т" 2' 2

При этом скорость распространения продольных волн с1=5740 м/с; модуль сдвига ¡л = 7 600 000 Н/см2; X = 1 049 500 Н/см2; коэффициент теплового расширения а, = 15 -10 —6; коэффициент теплопроводности Х0 = 0,47 Вт/(см К); теплоемкость при постоянной теплопроводности се = 366,6 кДж(м3К); Т0 = 300 К.

При обращении преобразования Фурье удерживались первые 11 слагаемых ряда.

Проводились расчеты для различных значений угловой скорости движения нагрузки в диапазоне от 10п до 170п и различных значений коэффициента трения k. Полученные результаты показали, что нормальные компоненты тензора напряжений, радиальная координата вектора перемещений, а также температура довольно слабо изменялись во времени. Причем компоненты тензора напряжений и вектора перемещений значительно превосходят касательную компоненту тензора напряжений и тангенциальную координату вектора перемещений. Характер изменения компонент тензора напряжений и вектора перемещений позволяет сделать вывод о том, что напряженно -деформированное состояние определяется в основном тепловыми процессами и изменением температуры. Расчеты показали, что зависимость компонент тензора напряжений и вектора перемещений от температуры хорошо описывается параболической регрессией. Значения вычисленных при этом показателей детерминации, показывающих, какая часть изменения соответствующей компоненты объясняется изменением температуры, очень близки к 1.

и

7

о

7

7

о

о

1 /

Заметное изменение температуры имеет место лишь в радиальном направлении и достаточно точно описывается логарифмической функцией T = 0,053843bk • lnr (r > 1,5a).

Для изучения распространения энергии определялись усредненные за период линии тока энергии упругих колебаний, которые по форме очень близки к спиралям р = 0,1ap . Усредненные линии тока тепловой энергии представляли собой прямые линии, проходящие в радиальном направлении. Суммарный за период поток тепловой поток через окружность радиуса 1,5а равнялся величине 0,16852 b. Суммарный за период поток энергии упругих колебаний представлял собой существенно меньшую по сравнению с тепловым потоком величину (порядка 10-6 и менее). Это вполне согласуется с тем, что линии тока энергии упругих колебаний представляют собой спирали.

В таблице представлена зависимость температуры Т, нормальной радиальной компоненты тензора напряжений сг и радиальной координаты вектора перемещений иг в точке с по- в

лярными координатами г=1,5 и Ф=0 в момент времени t= 27п /25 b от скорости вращения нагрузки b.

Анализ таблицы легко позволяет выявить практически пропорциональную зависимость величин T, сг и иг от угловой скорости движения нагрузки b.

Рассмотрено влияние коэффициента трения к на состояние среды вблизи отверстия. Проведенные расчеты показали, что это влияние (на напряжения, перемещения и температуру) достаточно точно описывается пропорциональной зависимостью.

Изучен случай подвижной нагрузки, изменяющейся в процессе движения. Показано, что подвижная нормальная нагрузка описывалась функцией

Pn (p, t) = (d0 + d1 • cos bt)Fn (p- bt), где

F (P) = Ь - (PP)2)'P< ", h=0,25.

[0, <> h

Параметры d и d подбираются таким образом, чтобы максимальное значение двигающейся по границе нагрузки изменялось от 0,5 в точке окружности, соответствующей значению координаты p = я, до 1,5 - в точке, соответствующей p = 0. При этом радиус отверстия a=1, угловая скорость движения нагрузки изменяется в тех же пределах, что и в предыдущей задаче, а остальные параметры принимают те же значения. При обращении преобразования Фурье удерживались первые 11 слагаемых ряда.

Результаты представлены на рисунке: а - представлены усредненные по периоду векторы теплового потока, порожденные описанной выше движущейся по границе нагрузкой; б и в - изменение компоненты тензора напряжения <гг и температуры вдоль окружностей, радиусы которых 1,25 (сплошная линия), 1,75 (штриховая) и 2,25 (пунктирная); г - усредненные линии тока и векторы плотности потока энергии упругих колебаний.

14000

12000 10000 еооо

-

^ —

\ У

\ Х- / f

-

---J

< У

\ 1

Случай подвижной нагрузки

-2 -1 г

Зависимость температуры Т, нормального радиального напряжения аг и радиального перемещения иг от угловой скорости движения нагрузки Ь

Ь, с-1 T, K <rr, H/см2 ur, см

10п 2,0590e-001 5,5309e+001 1,2088e-005

30п 6,1778e-001 1,6593e+002 3,6026e-005

50п 1,0296e+000 2,7663e+002 6,0033e-005

70п 1,4415e+000 3,8719e+002 8,4089e-005

90п 1,8533e+000 4,9775e+002 1,0813e-004

110п 2,2652e+000 6,0834e+002 1,3217e-004

130п 2,6771e+000 7,1893e+002 1,5620e-004

150п 3,0889e+000 8,2953e+002 1,8024e-004

170п 3,5008e+000 9,4013e+002 2,0427e-004

Следует отметить, что компоненты тензора напряжений, вектора перемещений и температура и в этом случае во времени практически не изменялись.

Изменение температуры Т в области, прилегающей к отверстию, хорошо аппроксимируется выражением T = bk((0,0485 cos p + 0,24) • ln r - 0,0893 cos p).

Литература

1. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975. 872 с.

2. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., 1962, 472 с.

3. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М., 1985. 256 с.

Поступила в редакцию

30 сентября 2011 г.

б