Применение метода граничных интегральных уравнений к решению плоских задач теории упругости с подвижной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ К РЕШЕНИЮ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ

© 2010 г. А.В. Галабурдин

Ростовская академия сервиса Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса, ул. Варфоломеева, 215, г. Ростов-на-Дону, 344018, fef@rostinserv. т

Rostov Academy of Service of South Russian State University of Economics and Service, Varfolomeev St., 215, Rostov-on-Don, 344018, fef@rostinserv. ru

Решается плоская задача теории упругости для тел с круговым отверстием, на котором действует подвижная нагрузка. Применен метод граничных интегральных уравнений к соответствующей краевой задаче плоской динамической теории упругости в пространстве преобразований Фурье по времени . Приводятся результаты решения задач о бесконечной плоскости с круговым отверстием.

Ключевые слова: граничные интегральные уравнения, преобразование Фурье, подвижная нагрузка.

The method of the decision of flat problems of the theory of elasticity for bodies with a circular aperture on which mobile loading operates is offered in work. The method is based on application of a method of the boundary integrated equations to the appropriate regional problem of the flat dynamic theory of elasticity in space of Fourier transformations. Results of the decision ofproblems about an infinite plane with a circular aperture are resulted.

Keywords: boundary integrated equations, Fourier transformation, mobile loading.

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости для области ограниченной замкнутой кривой у и окружностью уо радиуса а , расположенной внутри у, отнесенной к полярной системе координат с полюсом, совмещенном с центром окружности. На окружности уо приложена сила F, движущаяся с угловой скоростью Ь. На границе у приложена периодически изменяющаяся во времени сила Р(0. Период изменения данной силы равен 2пГЬ.

Задача сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений

jAu + (Л + ju) graddivu = р

д 2u "dt2

при граничных

условиях an

Y

= P(t), стп

Уа

= q(i)F(cp- bt), где u -

вектор перемещений; а - тензор напряжений; р -плотность; Я , ц - материальные постоянные Ляме; Р(0, ) - периодические функции (период 2жГЬ).

Будем рассматривать установившийся процесс. Начальные условия в такой постановке отсутствуют.

Применяя конечное интегральное преобразование

Фурье по времени на отрезке

2 ' 2

где

T = —j— , получим

2

/иАик + (Л + /u)graddivak = -рсок ик ,

(1)

= P

У

k ,

Ус

= g k, <°k = bk.

Здесь Р^ , § к - трансформанты Фурье величин, заданных на границе Р^) и д(?)F(ф — Ь) .

Полученная краевая задача решалась методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Для их построения использовались фундаментальные решения

дифференциальных уравнений (1)[1] и(р, д, Ск). Введем в рассмотрение упругий потенциал простого

слоя У(р) = 1 и (р, д,щк Шд^у^ . Здесь О(д) -

г

двухмерный вектор, координаты которого равны Ql(д),Q2(я) ■ Интеграл У(д) удовлетворяет уравнениям (1) на всей плоскости, за исключением кривой у .

Введем оператор напряжений Т п, который определяет вектор напряжений по заданному полю перемещений в соответствующей точке на площадке с нормалью п .

Зададим некоторую точку на плоскости и проходящую через нею площадку с направлением нормали п . Вектор напряжений, действующий на данную площадку, можно представить в виде

Тп У(д) = | Г (р, д, сок )О(д^у(д), где

у

Г(P,д,ск) = Тп(д)и^я,ак) .

Будем рассматривать предельные значения

Тп У(р) на кривой у изнутри (из области £ + ) -

Т+У(р) , извне (из области £— ) - Т—У(р) и прямое значение, получаемое непосредственной подстановкой в подынтегральное выражение координат точек кривой у (р0 е у). Используя методы, развитые в работе [2], легко получить зависимости между прямыми и предельными значениями Тп У(д)

Т+У(р0) = Одо) + ТУ(р0),

Т—У(р0) = —О(р°) + Тп^(р°),

Будем искать решение указанной задачи в виде потенциала простого слоя

У(р) = и (р, д,щ Шд^у(д) +

у

+ / и(р, Чщк Шд^у(д). (2)

уо

Подействуем на (2) оператором напряжений, устремив точку д к точкам граничных кривых у и у0 . Получим интегральные уравнения, определенные на границе области

р) + / Г (р, д, щ Шд)^у(д) +

у

+ /Ц(р, д,щ )Оо (Ч)^7(Ч) = Рк , р еу,

уо

Оо (р) +1 Гх (р, д, щ Шд^у(д) +

у

+ /Щ p, дщщ Юо (д)^г(ч) = § к, р е у о .

уо

Решим приведенные интегральные уравнения для значений щ = Ь • к (к = 0,±1,±2...). По соотношению (2) определим вектор перемещения в любой точке тела для указанных значений со к ■ Обратив преобразование Фурье, вычислим перемещения и напряжения внутри исследуемой области.

Предложенным выше методом решалась задача о плоскости с круговым отверстием радиуса 0,01 м, на котором приложена постоянная по величине движущаяся касательная нагрузка

^ фф)={*(1—(ф)2)- ф<к, л=—

[о, |ф> к 4Ь

Угловая скорость движения нагрузки Ь = 100я. При обращении преобразования Фурье удерживались первые 15 слагаемых ряда. Скорость распространения продольных волн принималась равной 5000 м/с, скорость распространения поперечных волн 2500 м/с, И=0,25. На рисунке представлены усредненные за период линии тока энергии упругих колебаний, обусловленных действием указанной нагрузки (пунктирные кривые). В таблице приведены изменения напряжения (аг\ Сф1, сг ф1) во времени на отрезке

2 ' 2

в точке А (1,25;0).

Изменение напряжений во времени

t i CTr 1 Оф 1 Оф 2 Ог 2 Оф 3 ОГф

-0,008 0,0153 0,0690 0,01580 -0,00975 -0,00720 -0,02031

-0,006 0,00897 0,06328 -0,01903 -0,02160 -0,1153 -0,04067

-0,004 -0,03153 -0,09167 -0,09226 -0,07978 -0,2871 -0,05210

-0,002 -0,2212 -0,4747 -0,2604 -0,02826 -0,2695 0,08865

0 0 0 -0,1350 2,6275 -0,0122 0

0,002 0,2212 0,4747 -0,2604 -0,02826 -0,2695 -0,08865

0,004 0,03153 0,09168 -0,09226 -0,07978 -0,2871 0,05210

0,006 -0,00897 -0,06327 -0,01903 -0,02160 -0,1153 0,04067

0,008 -0,01530 -0,069 0,01580 -0,00975 -0,00720 0,02031

0,01 0 -0,02544 0,03360 0,00799 0,01218 0

Усредненные энергии упругих колебаний

Рассматривался также случай движущейся нагрузки, которая изменяется в процессе движения. При этом подвижная нормальная нагрузка описывалась функцией Pr (ф, t) = (d0 + d1 • cos bt) • F(ф — bt), где

функция F(ф — bt) имела тот же вид, что и ранее, d0 = 1, d1 = 1.

Остальные параметры принимали те же значения, что и в предыдущей задаче.

Литература

1. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975. 872 с.

2. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости.

М., 1962. 472 с.

Поступила в редакцию

2 ноября 2009 г.