Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАЗДЕЛ 3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении

к.т.н., доцент Михайлова В.Л., д.т.н., проф. Сухомлинов Л.Г., Мазин В. А.

Московский государственный технический университет "МАМИ"

Кубанский государственный университет (495) 223-05-23, доб.1318 Аннотация. Излагаются результаты по распределению напряжений в продольно растягиваемой трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями, полученные с применением вариационно-разностной процедуры численного решения задач плоской теории упругости для прямоугольных областей с отверстиями. Дается оценка влияния упругих постоянных слоев на уровень напряжений вокруг отверстий.

Ключевые слова: растяжение трехслойной упругой плоскости с двумя отверстиями, напряжения вокруг кругового отверстия.

Вопросы концентрации напряжений около всевозможного рода вырезов, отверстий и включений в однородных упругих телах достаточно подробно (в рамках плоской постановки задачи статики теории упругости) исследованы в литературе [1]. Гораздо менее исследованными в этом плане остаются случаи, касающиеся тел неоднородной, в частности, слоистой структуры. Из имеющихся публикаций этого направления можно отметить работы [2, 3], где получены решения задач о концентрации напряжений в двухслойных упругих средах с дефектами типа щелей и включений на межслойной границе. Между тем практический интерес представляют также случаи слоистых сред, ослабленных отверстиями такой широко распространенной формы, как круговая. В настоящей статье вопрос о концентрации напряжений в подобных случаях рассматривается на примере задачи о продольном растяжении трехслойной упругой плоскости, ослабленной двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями (рисунок 1).

Исследование выполняется с использованием вариационно-разностной процедуры численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с отверстиями, представленной в статье [4]. При численном моделировании вместо бесконечно протяженного объекта, каким является плоскость, рассматривается конечная прямоугольная область с размерами, многократно превышающими радиус отверстия. Основные соотношения используемой вычислительной модели формулируются следующим образом.

Рассматриваем прямоугольную область £, составленную из изотропных слоев. Считаем, что каждое из имеющихся в области £ отверстий заполнено материалом включения с пренебрежимо малым значением модуля Юнга (другими словами, при численном моделировании случай свободного отверстия сводим к случаю включения пренебрежимо малой жесткости; в данном исследовании модуль Юнга такого "фиктивного" включения принят в виде Е /Ш000, где Е - значение модуля Юнга материала слоя).

На рисунке 2 представлена схема разбиения рассматриваемой области £ на М х N

прямоугольных элементов £ ^1) (/ = 1,2,...,М; 1 = 1,2,...,На рисунке 3 представлена схема, изображающая элементарный прямоугольник £ (г, 1) с системой его срединных материальных волокон и узловых точек. Для определенности считаем, что на участке Ги границы Г рассматриваемой области £ , который включает левую и нижнюю стороны прямоугольника £ ,

заданы перемещения (u x = u *x, u y = u * ), а на остальном участке Гq границы Г заданы по-

x x > y y

верхностные нагрузки qx, qy .

4(2),

44

P(2)

4(3) = 4(1)

i У

Рисунок 1 - Схема продольно растягиваемой трехслойной плоскости, ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями

£г

J'v+i .Kv »1 У, Уг Л

гр Tq

№ Tq / I

(№1)

(J) я« Ív®

Р) Ги

<1) Ги /

(1) (2) (M-l) т

О X, X, ■■ ■ X¡ Xiti ■■■ X¡t JC.W+1 X

Рисунок 2 - Прямоугольная область с сеткой прямоугольных элементов

i,j+l (¡),j+l i+l,j+l

Mj)

ti, j J

i+МЛ

i. Í (i),j i+1>j

Рисунок 3 - Элементарный прямоугольник S j) с системой срединных материальных

волокон и узловых точек

190 Известия МГТУ «МАМИ» № 2(12), 2011

С учетом малости величин ¡X} = х+ - xi и ¡у-1 = у1+1 - у}. (г = 1,2,...,М; у = 1,2,..., Ы) соответствующее данной задаче вариационное уравнение принципа возможных перемещений может быть приближенно представлено в виде

М N

II (;)^Хх;(,ЛX11 =

г=1 у=1

= И и Х,у1) +/ V'^¡у) +

г= 1=1 (1)

М

+ I Ч ЭД') + Чу (г '^^УХ ) +

г =1

N

+ I [Чх (1 ^1) + ЧУ (у(1 у)5~у1 )]1У1).

1=1

Здесь "волной" отмечены величины, определяемые в серединах соответствующих участков. При этом ~(г) = хг + ¡(хг) / 2 , ~(1) = у ^ + ¡у) / 2 . Величины /х, /у представляют собой интенсивности объемных сил (которые применительно к заявленной задаче равны нулю).

Вводим далее обозначения и1х1, и'у1 для значений перемещений в узловых точках рассматриваемой сетки прямоугольных элементов с координатами хг, уу (г = 1,2,..., М +1; 1 = 1,2,..., N +1). Обозначаем так же, как и'ха), и'уи), и х0,1, и (у0,1 ((г) = 1,2,...,М; (1) = 1,2,...,Ы), перемещения узловых точек срединных материальных волокон элементарных прямоугольников. Входящие в вариационное уравнение (1) деформации, относящиеся к середине элемента £ 1) , определяем по следующей приближенной схеме: е«,1) = (иг+ц 1 -игХ 1))/¡(°, ё°,1) = (и(г),1+1 - и(г),1)/¡( 1)

хх V х х / х ' уу V у у у э

уу у у у (2) еху;1 = 0,5(ихг),1+1 -ихг 11)/¡^ + 0,5(иу+ц 1) -))/¡(^.

Значения перемещений в средних точках упомянутых участков интегрирования, а также в узловых точках, введенных в рассмотрение срединных материальных волокон, получаем путем осреднения перемещений соответствующих смежных узлов сетки прямоугольных элементов. В результате для узловых точек срединных материальных волокон имеем:

и'х( 1) = 0,5(и'х 1+1 + и^1) (х о у), (3)

^11 = 0,5(их+1,1 + их1) (х о у), ()

для середин граничных отрезков -

~) = и«*"+1 (х о у), 1) = иМ1) (х о у) ()

и для середин прямоугольных элементов -

~х(г,1) = 0,25«1 + их+и + и^+1 + <+и+1) (х о у). (5)

Для напряжений в серединах элементов в соответствии с соотношениями упругости записываем

= Л ехх,1)+¿2 е5,Л,

= Л ехх,1)+Л1еуу,1), (6)

<~ху,1)=2 сех™.

При этом имеем в виду, что значения параметров упругости в выражениях (6) однозначно определяются принадлежностью данного элемента либо включению, либо подобласти, заполненной материалом слоя. Учитываем также, что коэффициенты G , Л1, Л 2 линей-

ных зависимостей (6) выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V согласно следующей схеме:

Е

1) О = ■ ,

2(1 + V)

2) в случае плоского напряженного состояния

Е

¿1 =-—-, Л2 =vЛl; 1 - V

3) в случае плоского деформированного состояния

vE

Л, = 2О + Л, Л , = Л, Л = ■

(1 + v)(1 - 2^

Заметим, что определяемые схемой (2) параметры а^1), а^у1) и 2 ау1) представляют

собой относительные удлинения срединных материальных волокон элементарного прямоугольника и угол сдвига между этими первоначально перпендикулярными волокнами (что соответствует известной трактовке компонент тензора деформаций применительно к достаточно малому элементу деформируемой среды, где картина деформации близка к однородной). Это дает основание сформировать представление о дискретной модели, строящейся с применением схемы (2), как об ансамбле элементарных пар срединных материальных волокон, работающих с учетом схемы (6) на растяжение-сжатие и сдвиг. Схема (3) обеспечивает совместность работы таких пар, принадлежащих смежным элементарным прямоугольникам. А вариационное уравнение в форме (1) обеспечивает приведение внутренних силовых факторов (напряжений) в каждом из элементарных прямоугольников области £ к соответствующим срединным волокнам. Такое приведение осуществляется на основе критерия равенства работ.

С использованием связей (2)-(6) окончательно приходим к формулировке вариационного уравнения (1) в терминах перемещений узлов сетки прямоугольных элементов (узловых перемещений). С учетом того, что часть узловых перемещений задается граничными условиями, приравнивая коэффициенты при вариациях неизвестных узловых перемещений в левой и правой части указанного вариационного уравнения, получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений. Ее решение осуществляем по методу Гаусса.

К важному свойству данной дискретной модели следует отнести то, что в случае однородного напряженно-деформированного состояния исследуемой области результаты численного моделирования совпадают с точным решением соответствующей задачи теории упругости. В этом можно убедиться, рассматривая случай прямоугольной области £, находящейся под действием равномерно распределенных по ее сторонам поверхностных нагрузок, обеспечивающих однородный характер ее напряженного состояния. В таком случае значения напряжений в точках области и значения интенсивностей соответствующих поверхностных нагрузок совпадают между собой. Если теперь область £ представить в виде одного прямоугольного элемента (М = 1, N = 1), то из вариационного уравнения (1), сформулированного применительно к рассматриваемому случаю нагружения, с учетом связей (2) следует, что значения напряжений в середине элемента (в данном случае области £ ) совпадают со значениями интенсивностей соответствующих поверхностных нагрузок. Другими словами, в рассматриваемом случае получаемые численным моделированием результаты по напряжениям в середине области £ совпадают с точным решением. Аналогичное совпадение имеет место для деформаций и перемещений, вычисляемых в середине области £ .

Отметим, что для настройки программы расчета на конкретный случай слоистой среды необходимо внести соответствующие изменения в подпрограмму, определяющую модуль Юнга и коэффициент Пуассона элемента модели, имеющего в сформированной сетке номер

Раздел 3. Естественные науки.

(г, 1). Значения упомянутых упругих постоянных задаются при этом в зависимости от принадлежности данного элемента с номером (г, 1) определенному слою или включению (с пренебрежимо малой жесткостью в случае свободного отверстия). Принадлежность элемента слою при этом устанавливается путем проверки условия попадания середины элемента в подобласть, занимаемую слоем, а принадлежность данному включению - условию попадания всех четырех вершин элемента в подобласть, занимаемую включением (при этом имеется в виду подобласть вместе с ее границей).

Численное моделирование заявленного случая растяжения трехслойной упругой плоскости (см. рисунок 1) осуществляем в рамках следующих предположений. Считаем, что материалы первого и третьего слоев одинаковы и что отверстия расположены симметрично по отношению к срединной линии второго слоя. Считаем также, что при растяжении рассматриваемой трехслойной плоскости в каждом из ее слоев на бесконечности реализуется состояние однородной деформации при нулевых поперечных напряжениях (стуу = 0 ).

В результате приходим к расчетной схеме рассматриваемой трехслойной плоскости в виде ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями трехслойной прямоугольной области с размерами а >> Я, ё >> Я (при расчетах принято а = ё = 10Я ), растягиваемой в направлении оси Ох нагрузками q{l), д^, д^, равномерно распределенными по торцам соответствующих слоев. При этом имеют место связи вида

дР) = чт [л (2) - (л 22))2/л (2) v [л ((1)-(л 2!))2/л «], д0) = чт. (7)

Используемые в записи (7) верхние индексы 1 и 2 у параметров упругости Л ^ Л2 указывают на то, что отмеченные таким образом величины относятся соответственно к первому и второму слою.

С учетом симметрии принятой расчетной схемы относительно двух срединных осей (вертикальной и горизонтальной) в качестве моделируемой области £ рассматриваем правую верхнюю четверть прямоугольника, изображенного на рисунке 1, формулируя условия симметрии вдоль левой и нижней сторон прямоугольника £ в виде и х = 0, ду = 0 и

и у = 0, дх = 0 соответственно.

Поскольку напряжения в обсуждаемой дискретной модели определяются исключительно в серединах элементов, разбиение исследуемой области £ на элементы проводим так, чтобы середины элементов, граничащих с отверстием, оказывались на кромке отверстия. В этих целях равномерно разбиваем контур отверстия на некоторое количество п элементарных дуг (в данном исследовании принято п = 200). Проводя через концы указанных дуг прямые, параллельные осям Ох и Оу, приходим к сетке элементов с требуемым свойством. В процессе дальнейшего разбиения моделируемой области на элементы отрезок Я < х < 10Я на оси Ох и отрезок 0 < у < 9Я на оси Оу разбиваем (двигаясь в направлении от центра О1 к

периферии) на участки с размерами 0,2Я; 0,2Я; 0,6Я; 2Я; 2Я; 4Я, а отрезок 11Я < у < 11Я + Ь1 (где Ь 1= Ь - Я ) - на участки с размерами 0,05 Ь 1; 0,05 Ь 1; 0,1 Ь 1; 0,2 Ь 1; 0,3 Ь 1; 0,3 Ь 1. Указанные наборы участков в свою очередь разбиваем соответственно на 30, 20, 30, 20, 15, 20 и 30, 20, 30, 20, 20, 15 одинаковых отрезков. Через концы образованных элементарных отрезков проводим прямые, параллельные осям Ох и Оу, завершая формирование сетки расчетной модели.

Тестирование окончательно сформированной вычислительной модели осуществляем следующим образом. Полагаем (на программном уровне), что параметры упругости слоев рассматриваемой области £ имеют одинаковые значения, приходя тем самым к случаю растягиваемой в горизонтальном направлении однородной упругой плоскости с двумя одинако-

выми вертикально расположенными отверстиями. При этом в соответствии с записью (7) имеет место равномерное распределение растягивающей нагрузки вдоль правой стороны моделируемой области £, так что = ^ = = д . Результаты численного моделирования

для данного (тестового) случая (при Ь = 1,25 Я ) в виде зависимости окружного напряжения на кромке отверстия от угла 0 представлены сплошной линией на рисунке 4. Здесь же для сравнения представлены точками результаты приближенного аналитического решения А. С. Космодамианского [1].

оч/д

а

•Л / /

/

О 20 40 60 80 100 120 140 160 в град

Рисунок 4 - Результаты численного моделирования в сравнении с аналитическим

решением А. С. Космодамианского

Убедившись на основе выполненного сравнения в способности сформированной модели давать надежные результаты применительно к рассматриваемого типа задачам о концентрации напряжений, приступаем к исследованию (с использованием этой модели) заявленного случая трехслойной плоскости с двумя отверстиями.

ое/д.

(2)

л

\

/у

, 4 V ""б 5" / / /

7 \\ 11

1 \

20

40

60

80

100

120

140

160 в град

Рисунок 5 - Распределение напряжений по контуру отверстия в зависимости от

значений упругих постоянных слоев

На рисунке 5 представлены полученные численным моделированием результаты в виде кривых распределения напряжений по контуру отверстия в зависимости от значений упругих постоянных слоев. Моделирование осуществлялось в предположении, что Ь = 1,25 Я, е = 1,2Я и что исследуемая трехслойная среда находится в состоянии плоской деформации.

Раздел 3. Естественные науки.

Пунктиром на рисунке 5 выделена зависимость, относящаяся к рассмотренному выше случаю однородной плоскости. Кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 на рис. 5 получены при задании значений параметров E(2)/E((), v(1), v(2) в виде (10; 0,1; 0,45), (2; 0,1; 0,45), (10; 0,45; 0,1), (2, 0,45; 0,1), (0,1; 0,1; 0,45), (0,1; 0,45; 0,1), соответственно. Как видно, в случае E(2)/E(1) = 0,1; V = 0,45; V = 0,1 наблюдается снижение уровня напряжений на кромке отверстия в 1,6 раза по сравнению со случаем однородной плоскости. При E(2)/E(1) = 0,1 наблюдается, кроме того, ситуация, когда изменения параметров v(1) и v(2) в широком диапазоне значений (см. кривые 6 и 7) не приводят к выходу уровня напряжений на кромке отверстия за пределы того, что имеет место в случае однородной плоскости (кривая 4). Наконец, даже в ситуации, когда E(2)/E(1) = 2 , выбрав V() = 0,45 и Vе ) = 0,1 (кривая 5), можно также снизить уровень напряжений на кромке отверстия по сравнению со случаем однородной плоскости.

В качестве общего вывода по выполненному исследованию отметим, что проведенный анализ позволил дать оценку влияния слоистой структуры продольно растягиваемой плоскости на характер распределения напряжений вокруг имеющихся в ней двух одинаковых круговых отверстий. Более того, установлена возможность существенного снижения уровня указанных напряжений при надлежащем выборе характеристик слоев.

Литература

1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888с.

2. Ефимов В.В., Кривой А.Ф., Попов Г.Я. Задачи о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. с. 42-58.

3. Члингарян Г.С. Напряженное состояние составной упругой плоскости с включениями на границе раздела материалов // Изв. НАН Армении. Механика. 2009. Т.62. № 3. с. 52-58.

4. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Вариационно-разностная процедура численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с включениями и отверстиями// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). 2010. № 2. с. 53 - 62.

Математическое моделирование циклического деформирования

д.т.н., проф. Темис Ю.М., к.т.н. Азметов Х.Х.

«ЦИАМ им. П.И. Баранова» tejoum@ciam.ru

Аннотация. На основе модели поведения конструкционного материала при циклическом упругопластическом деформировании и оценки ресурса малоцикловой усталости создана система математического моделирования циклического на-гружения конструкций методом конечных элементов. Приведены примеры решения тестовых задач и реальных конструкций.

Ключевые слова: циклическое нагружение, малоцикловая усталость, метод конечных элементов

Математическое моделирование циклического деформирования и оценка ресурса малоцикловой усталости актуально для высоконагруженных машин и установок энергетического машиностроения, авиационных двигателей и других конструкций, работающих при циклическом нагружении. Явление малоцикловой усталости непосредственно связано с процессами пластического деформирования в зонах концентрации напряжений в деталях конструкции: отверстиях, галтелях, выточках, сварных швах, шпоночных и шлицевых соединени-