Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при поперечном сжатии Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при поперечном сжатии

к.т.н. доц. Михайлова В.Л., д.т.н. проф. Сухомлинов Л.Г., МазинВ.А.

Университет машиностроения, Кубанский государственный университет

8(495)223-05-23, доб. 1318 Аннотация. Излагаются результаты по распределению напряжений в поперечно сжимаемой трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями, полученные с применением вариационно-разностной процедуры численного решения задач плоской теории упругости для прямоугольных областей с отверстиями. Дается оценка влияния упругих постоянных слоев на уровень напряжений вокруг отверстий.

Ключевые слова: поперечное сжатие трехслойной упругой плоскости с двумя отверстиями, напряжения вокруг кругового отверстия.

Решению задач статики плоской теории упругости о концентрации напряжений в однородных телах, имеющих всевозможного рода вырезы, отверстия и включения, посвящена обширная литература (см. [1]). На этом фоне в значительной мере не исследованными представляются вопросы концентрации напряжений в таких неоднородных объектах, как тела слоистой структуры, имеющие отверстия и включения. Из решенных здесь отметим, в частности, задачи о концентрации напряжений в двухслойных упругих средах с дефектами типа щелей и включений на межслойной границе [2, 3]. Укажем, кроме того, на работы авторов [4, 5], где с использованием вариационно-разностной процедуры [6] выполнены решения задач о концентрации напряжений применительно к случаю ослабленной круговым отверстием двухслойной упругой полуплоскости в ситуациях продольного растяжения и поперечного сжатия, а также - на работу [7], где аналогичным образом осуществлено решение применительно к случаю продольно растягиваемой трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными во втором слое круговыми отверстиями. В настоящей статье та же трехслойная плоскость, что и в работе [7], рассматривается в ситуации поперечного сжатия. Численное решение соответствующей задачи осуществляется с применением вариационно-разностной модели, описанной в работе [7].

При численном моделировании вместо бесконечно протяженного объекта, каким является упомянутая поперечно сжимаемая (равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью р) трехслойная плоскость, рассматриваем конечную прямоугольную область с размерами, многократно превышающими радиус отверстия. Соответствующая расчетная схема представлена на рисунке 1.

При этом имеется в виду, что а» Я, с! » К (при расчетах принято а = с/ = \ ОМ). Продольные сжимающие нагрузки с интенсивностями ц(Л), ¿/(2) и ц(Ъ) = ц(Л) предполагаются

равномерно распределенными по торцам соответствующих слоев. Считаем, что материалы первого и третьего слоев одинаковы и что отверстия расположены симметрично по отношению к срединной линии второго слоя. Считаем также, что в рамках принятой схемы нагру-жения в каждом из слоев рассматриваемой трехслойной плоскости на бесконечности реализуется состояние однородной деформации. При этом полагаем, что продольные деформации 8ХХ на бесконечности стеснены настолько, что можно принять ехх = 0 .

С учетом симметрии принятой расчетной схемы трехслойной плоскости относительно срединной линии второго слоя расчет нагрузок, обеспечивающих указанное однородное деформированное состояние в слоях на бесконечности, выполним, рассматривая вспомогательную расчетную схему в виде соответствующего двухслойного пакета (рисунок 2) в ситуации поперечно-продольного сжатия нагрузками р , с/(] ) и цП)

4(3} = 4(1)

Рисунок 1 - Схема поперечно сжимаемой трехслойной плоскости, ослабленной двумя одинаковыми круговыми отверстиями

Р

4(1)

I

Чо>

первый слой

второй слой

т

\

1(1)

4(2)

V т

р.

Рисунок 2 - Двухслойный пакет в ситуации поперечно-продольного сжатия

Введем обозначения И ' (к = 1,2) для модулей Юнга и коэффициентов Пуассона

материалов первого и второго слоя. С учетом этого физические соотношения плоской задачи теории упругости, связывающие напряжения с деформациями в каждом из этих слоев, запишем в виде:

п(к) {к) (к) ,(*) (к) ихх ~л\ ьхх ^л 2 УУ '

т(к) _ 1 (к) (к) ,(*) (к) УУ ~ 2 хх ^л 1 ьуу '

т%=20™е%\ {к = 1,2).

(1)

Коэффициенты Л^ линейных зависимостей (1) выражаются через упру-

гие постоянные

Е<*> и

согласно следующей схеме:

1)G<*>=0,5£<*7(l + v<*>);

2) в случае плоского напряженного состояния

Л[ к) = Е«\

1-

3) в случае плоского деформированного состояния

л[к) = 2С^+Л^к\Л(к) = Л(к\

В соответствии с принятыми условиями нагружения и деформирования рассматриваемого двухслойного пакета должно быть:

e(D = ff(2) = о ахх ахх и' (2)

ста) = ст(2) УУ УУ ' 1 (3)

®ху ~ Sxy ~ Sxy ~ О, (4)

= ~С1( 1)' ^хх = ~Я(2)- (5)

сг(1) =

w ху

ат

XX

Считая заданной величину р , с использованием равенств (1), (3), (5), получаем:

9(1) = M'V-i". 'Im = Р (6)

(7)

Настройка дискретной модели, описанной в работе [7], на интересующий нас случай поперечного сжатия ослабленной двумя круговыми отверстиями трехслойной плоскости осуществляется путем включения в программу расчета нагрузки р, а также нагрузок <7(1) и

<7(2), вычисляемых по формулам (6). Как и в [7], все расчеты приводим в предположении, что Ъ = 1,25 R, е = 1,2 R и что исследуемая трехслойная среда находится в состоянии плоской деформации.

Тестирование окончательно сформированной вычислительной модели осуществляем следующим образом. Полагаем (на программном уровне), что параметры упругости слоев рассматриваемой прямоугольной области имеют одинаковые значения и что <7(1) = <7(2) = 0.

Тем самым приходим к случаю сжимаемой в вертикальном направлении (нагрузкой р) однородной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными отверстиями. Результаты численного моделирования для данного (тестового) случая в виде зависимости окружного напряжения ов на кромке отверстия от угла в представлены (сплошной линией) на рисунке 3. Здесь же для сравнения представлены (точками) результаты приближенного аналитического решения A.C. Космодамианского [1].

Убедившись на основе выполненного сравнения в способности сформированной модели давать надежные результаты применительно к рассматриваемого типа задачам о концентрации напряжений, приступаем к исследованию (с использованием этой модели) заявленного случая поперечного сжатия трехслойной плоскости с двумя отверстиями.

На рисунке 4 представлены полученные численным моделированием результаты в виде кривых распределения напряжений по контуру отверстия в зависимости от значений упругих постоянных слоев.

Пунктиром выделена зависимость, относящаяся к случаю однородной плоскости (E(2)/E(l) = 1, v« = v<2> = 0,3). Кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 получены при задании значений параметров Е(2)/Е(1\ va\ v(2) в виде (10; 0,45; 0,1), (2; 0,45; 0,1), (0,1; 0,45; 0,1), (0,1; 0,1; 0,45),

Рисунок 3 - Результаты численного моделирования в сравнении с аналитическим

решением A.C. Космодамианского

,1

2 \ 1 --__2_

3 _4 __ \ -

Г \ ч -5. /4. \\ 4

\ - __

\

7__ J/ \' \7

Т

О 20 40 60 80 100 120 140 160 в граб

Рисунок 4 - Распределение напряжений по контуру отверстия в зависимости от

значений упругих постоянных слоев

При анализе результатов, представленных на рисунке 4, обнаруживается эффект перехода (при значениях v(2), приближающихся к 0,45) положения максимума (по абсолютной величине) напряжений на контуре отверстия из зоны 60° <0 <100° в точку с угловой координатой в = 180° при одновременном увеличении значения этого максимума (см. кривые 3, 4, 5). Подобный эффект существенным образом ограничивает возможности по снижению уровня напряжений на кромке отверстия в данной ситуации. Наиболее оптимальными при этом оказываются варианты 3 и 5. Следует отметить, что при выборе этих вариантов сдвиговые напряжения <7Ху на межслойной границе (вблизи отверстия), как показывают расчеты,

соответственно уменьшаются в 2,2 раза и увеличиваются в 1,2 раза по сравнению с однородным случаем.

Что касается точек рассматриваемой трехслойной области, достаточно удаленных от отверстий (на расстоянии более 8R), то получаемые численным моделированием значения напряжений и деформаций в этих точках оказываются в хорошем согласовании со значениями, получаемыми по формулам (2)-(7). Это подтверждает приемлемость принятой при моделировании расчетной схемы, в соответствии с которой исходная бесконечно протяженная область заменяется конечной прямоугольной областью с размерами а = d = 10R.

В качестве общего вывода по выполненному исследованию отметим, что проведенный анализ позволил дать оценку влияния слоистой структуры поперечно сжимаемой плоскости на характер распределения напряжений вокруг имеющихся в ней двух одинаковых отверстий. Более того, установлена возможность снижения уровня указанных напряжений при надлежащем выборе характеристик слоев.

Литература

1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888

2. Ефимов В.В., Кривой А.Ф., Попов Г.Я. Задачи о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. с. 42-58.

3. Члингарян Г.С. Напряженное состояние составной упругой плоскости с включениями на границе раздела материалов // Изв. HAH Армении. Механика. 2009. Т.62. № 3. с. 52-58.

4. Мазин В. А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Напряжения вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при продольном растяжении // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. № 1. с. 62-68.

5. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Напряжения вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при поперечном сжатии // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Выпуск 1. с. 119-128.

6. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Вариационно-разностная процедура численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с включениями и отверстиями// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). 2010. № 2. с. 53 - 62.

7. Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г., Мазин В.А. Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении // Известия МГТУ «МАМИ». №2(12). 2011. с. 189-195.

Анализ и синтез робастного управления для линейных систем двойного

демпфирования

Триндюк В. А., к.ф-м.н. доц. Кийко Г.И.

Университет машиностроения 8 (967) 008-23-55, ¡rindiiikvladimiramail.ni. 8 (495) 527-34-75

Аннотация. В статье изложен способ построения робастного управления подвеской автомобиля при наличие интервальной неопределенности массы груза автомобиля и массы водителя, а также невозможности измерения отклонения кузова автомобиля и кресла водителя от своих состояний покоя. Приведено наглядное обоснование актуальности применения синтезированного робастного управления по сравнению с другими по качеству переходных процессов.

Ключевые слова: робастное управление, интервальная неопределенность параметров, подвеска автомобиля.

Робастные системы и робастные устройства значительно увеличивают надежность и устойчивость технических комплексов. Одним из подходов к созданию живучих функциональных узлов может стать поиск решений, обладающих нулевой чувствительностью выход-