CC BY
70
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 119-128
Механика =
УДК 539.3
Напряжения вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при поперечном сжатии
В.А. Мазин, В.Л. Михайлова, Л.Г. Сухомлинов
Аннотация. Излагаются результаты по распределению напряжений вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при поперечном сжатии, полученные с применением вариационно-разностной процедуры численного решения задач плоской теории упругости для прямоугольных областей с отверстиями. Дается оценка влияния положения отверстия и упругих постоянных слоев на уровень напряжений вокруг отверстия.
Ключевые слова: поперечное сжатие двухслойной упругой полуплоскости, напряжения вокруг кругового отверстия.
Вопросы концентрации напряжений около всевозможного рода вырезов, отверстий и включений в однородных упругих телах достаточно подробно (в рамках плоской постановки задачи статики теории упругости) исследованы в литературе [1]. Гораздо менее исследованными в этом плане остаются случаи, касающиеся тел неоднородной, в частности, слоистой структуры. Из имеющихся публикаций этого направления можно отметить работы [2, 3], где получены решения задач о концентрации напряжений в двухслойных упругих средах с дефектами типа щелей и включений на межслойной границе. Между тем практический интерес представляют также случаи двухслойных сред, ослабленных отверстиями такой широко распространенной формы, как круговая. В настоящей статье вопрос о концентрации напряжений в подобных случаях рассматривается на примере задачи о поперечном сжатии двухслойной упругой полуплоскости, ослабленной круговым отверстием у края. Исследование выполняется с использованием вариационно-разностной процедуры численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с отверстиями, представленной в статье [4]. При численном моделировании вместо бесконечно протяженного объекта, каким является полуплоскость, рассматривается конечная прямоугольная область с размерами, многократно превышающими радиус отверстия.
Итак, рассматриваем прямоугольную область 5, составленную из изотропных слоев 5(1) и 5(2) (см. рис. 1). Считаем, что имеющееся в области 5 круговое отверстие 5(з) заполнено материалом включения с пренебрежимо малым значением модуля Юнга (другими словами, при численном моделировании случай кругового отверстия сводим к случаю кругового включения пренебрежимо малой жесткости).
о *
, ■ ■■ ■■ ■■ . ■ -т —•»
Щк С
ЩжзШМ
О 2'У
2а
'У
Рис. 1. Схема двухслойной прямоугольной области с круговым
включением
Как следует из описания вариационно-разностной процедуры [4], она может быть непосредственно применена к исследованию области 5 рассматриваемой структуры. Достаточно лишь настроить соответствующим образом подпрограмму, определяющую значения упругих постоянных элементов расчетной модели в зависимости от их положения в области 5.
Введем обозначения Е(к), V(к) (к = 1,2,3) для модулей Юнга и
коэффициентов Пуассона материалов участков 5(1), 5(2), 5(3) области 5. Для удобства последующего изложения перепишем физические соотношения плоской задачи теории упругости (см. записи (1) статьи [4]) с указанием номера к (к = 1, 2, 3) участка, к которому эти соотношения относятся. В результате будем иметь
а(к) = \(к)Лк) + \(к)Лк)
ихх /Х1 °хх 1 /х2 уу >
4? = Л2к) 4Х +Л 1к) 4к), (1)
аХк =2С(к)ек, (к = 1, 2, 3).
Коэффициенты С(к), Л1к), Л2к) линейных зависимостей (1) выражаются через упругие постоянные
Е(к)
, V(к) согласно следующей схеме:
1) С(к) =0, 5 Е(к)/ (1 + V(к)) ;
2) в случае плоского напряженного состояния
Л1к) = Е(к)/ 1 - (V(к)) 2 , Л2к) = V(к)л1к);
3) в случае плоского деформированного состояния
Л1к) =2С(к) + Л(к), л? = Л(к),
где
Л(к) = v(k)E(k)/[(1 + V(к))(1 - 2v(к))].
Считаем далее, что рассматриваемая область 5 нагружена таким образом, что в каждом из ее слоев 5(1) и 5(2) на достаточно большом удалении от отверстия 5(3) реализуется состояние, близкое к однородной деформации. Оценку напряжений и деформаций, отвечающих таким однородным состояниям слоев 5(1) и 5(2), выполним, исходя из расчетной модели в виде сплошного (без отверстия) двухслойного пакета, находящегося под действием равномерно распределенного вдоль горизонтальных участков границы давления р в условиях, когда продольные деформации слоев стеснены настолько, что можно принять
В описанных условиях для поперечных напряжений, а также сдвиговых напряжений и деформаций в слоях должно быть
Введем для значений продольных напряжений в первом и втором слое рассматриваемого двухслойного пакета обозначения д^) и д(2), так что
Настройку программы расчета на интересующий нас случай поперечного сжатия двухслойной полуплоскости с круговым отверстием осуществляем по схеме, аналогичной изложенной в статье [4] применительно к случаю бесконечной однородной области, ослабленной круговым отверстием. Как ив [4], при численном моделировании вместо (бесконечной) полуплоскости рассматриваем конечную прямоугольную область с большими по сравнению с радиусом отверстия Я размерами, а именно полагаем Ь = а = 10Я. Исходя из симметрии принятой расчетной схемы относительно оси Оу, моделирование осуществляем для половины указанной прямоугольной
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
области. При этом на участке границы моделируемой половины, лежащем на оси Oy, формулируем условия симметрии пх = 0, дy = 0; на участке, параллельном оси Ox, — условия иу = 0, дx = 0; на участке, лежащем на оси Ox, — условия дx =0, дy = p; на участке, параллельном оси Oy, — условия дy = °
= / q(l), при у<о,
дх
Я(2), при у> о,
где параметры д(1) и д(2) определяются с использованием равенств (6). При дискретизации рассматриваемой прямоугольной области 5 с круговым включением 5(з) пренебрежимо малой жесткости используем (как и в [4]) сетку прямоугольных элементов (порождаемую разбиением каждой из двух четвертей контура отверстия в расчетной схеме на п = 100 одинаковых элементарных дуг), которая позволяет получать числовые результаты по напряжениям вокруг кругового отверстия с погрешностью менее 6% (в сравнении с точным аналитическим решением).
В правильности настройки программы на рассматриваемый случай поперечного сжатия двухслойной области с круговым отверстием убеждаемся следующим образом. Полагаем сначала (на программном уровне), что материалы включения 5(з) и слоя, в котором это включение находится, одинаковы. Если при этом численное моделирование (с описанными граничными условиями и схемой дискретизации) приводит к однородной картине напряжений и деформаций в слоях 5(1) и 5(2) в полном соответствии с тем, что дают равенства (2)—(7), считаем, что первый этап тестирования выполнен. Полагаем далее, что материалы слоев 5(1) и 5(2) одинаковы, жесткость включения пренебрежимо мала (Е(3)/Е(1) = 0,0001) и д(1) = д(2) = 0. Тем самым приходим к модели, соответствующей исследованному в литературе [1] случаю поперечного сжатия ослабленной круговым отверстием широкой изотропной полосы (свободной от нагрузок в продольном направлении). Проводимый этап тестирования считаем успешным, если отмечается согласование результатов численного моделирования с имеющимися для такого случая данными по распределению напряжений вокруг отверстия.
Укажем, что выполненное описанным образом тестирование программы расчета подтвердило корректность ее работы. При этом отклонение результатов численного моделирования от экспериментальных данных, представленных в монографии [1], составило величину порядка 5% (в процессе указанных тестовых исследований рассматривались случаи (1/Я = 1, 34; 1, 54; 2, 58, соответствующие различной степени близости отверстия по отношению к границе области).
Предпринимаемое далее численное моделирование применительно к двухслойной полуплоскости нацелим на исследование распределения напряжений вокруг кругового отверстия в условиях его близкого
расположения как по отношению к границе полуплоскости, так и по отношению к границе раздела сред. Моделирование будем проводить, полагая, что исследуемая двухслойная среда находится в состоянии плоской деформации и что с1/Я = 1,54. Отметим, что численные исследования, проводимые с применением уже настроенной программы расчета, осуществляются без изменения сетки расчетной модели. Изменения при этом касаются лишь значений упругих постоянных элементов расчетной модели, относящихся к слоям 5(1) и $(2).
Рассмотрим сначала случай, когда отверстие расположено в первом (верхнем) слое. При этом принимаем, что межслойная граница находится на расстоянии с = 2,74Я от границы полуплоскости. Результаты параметрических исследований для этого случая в виде зависимостей окружных напряжений на кромке отверстия от угла в представлены на рис. 2-4.
1
\ / я
5/ V
О 20 40 60 80 100 120 140 160 в град
Рис. 2. Отверстие в первом слое. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от модулей Юнга слоев
Графики, изображенные на рис. 2, иллюстрируют влияние модулей Юнга слоев на распределение напряжений вокруг отверстия; графики на рис. 3 — влияние коэффициентов Пуассона слоев; графики на рис. 4 — совместное влияние модулей Юнга и коэффициентов Пуассона слоев. Пунктирная кривая, отмеченная на рис. 2, 3, 4 номерами 3, 4, 3 (соответственно), относится к случаю однородной полуплоскости (Е(1) = Е(2), ^(1) = V(2)). Отслеживая отклонения от этой опорной кривой других кривых на обсуждаемых рисунках, можно получить наглядное представление о влиянии параметров упругости слоев на распределение напряжений вокруг отверстия в рассматриваемом случае. Остается только указать, что кривые
1, 2, 4, 5 на рис. 2, изображают результаты, полученные при V(1) = V(2) =0, 3 и при е(2)/Е(1) = 0 , 2; 0, 5; 2; 5 (соответственно); кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7
на рис. 3 — при Е(2)/Е(1) = 1 и при (V(1) = 0,1; V(2) = 0, 3), (и(1) = 0,1; V(2) = 0, 45), (и(1) = 0, 3; V(2) = 0,1), (и(1) = 0, 3; V(2) = 0, 45), (и(1) = 0, 45; и(2) = 0,1), (V(1) = 0, 45; v(2) = 0, 3), соответственно; кривые 1, 2, 4, 5, 6, 7 на рис. 4 — при
(Е(2)/Е(1) = 0,1;v(1 = 0,1; V(2) = 0, 45),
(Е(2)/Е(1) = 10^ =0,1; V(2) = 0, 45),
(Е(2)/Е(1) = 10^ = 0, 45; V(2) =0,1),
(Е(2)/Е(1) = 0,1;v(1) = 0, 45; v(2) =0,1),
(Е(2)/Е(1) = 0, 05^(1) = 0, 45; V(2) =0,1),
(Е(2)/Е(1) = 20;v(1) = 0, 45; V(2) =0,1),
соответственно.
Рис. 3. Отверстие в первом слое. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от значений коэффициентов Пуассона
слоев
Из анализа представленных на рис. 2-4 результатов можно сделать следующие выводы. В рассматриваемом случае изменение параметра Е(2)/Е(1) в широком диапазоне значений (от 0,2 до 5) не приводит к заметному изменению уровня напряжений на кромке отверстия при условии, что коэффициенты Пуассона слоев одинаковы. Наоборот, различия в значениях коэффициентов Пуассона слоев существенным образом сказываются на картине распределения напряжений вокруг отверстия. В такой ситуации уровень напряжений на кромке отверстия (при фиксированном значении параметра Е (2)/Е(1)) тем ниже, чем выше значение коэффициента Пуассона первого слоя (слоя, в котором расположено отверстие). При V1-1) = 0,45 напряжения по всему контуру отверстия становятся сжимающими (это обстоятельство особенно важно
для материалов типа грунтов, которые обладают несущей способностью только при сжатии). Если, кроме того, выполняется условие Е(2)/Е(1) ^ 0,1, то уровень указанных сжимающих напряжений не выходит за рамки обозначенных пунктиром значений, соответствующих ситуации однородной среды.
<7в/р
-2
-В
1
\ у
2 \ /
з \\ N \ / 2
N V \ 7 ' / * / 3
\\\ ч\\ /■О / /
V Х\\ X. 4 V 7/ уу / ' / * / ' У
✓ — /
—1~- ^6
О 20 40 60 80 100 120 140 160 в град
Рис. 4. Отверстие в первом слое. Совместное влияние модулей Юнга и
коэффициентов Пуассона слоев на картину распределения напряжений
вокруг отверстия
Рассмотрим теперь случай, когда отверстие расположено в нижнем слое. При этом полагаем, что межслойная граница находится на расстоянии с = 0,486Я от границы полуплоскости. Результаты параметрических исследований для этого случая представлены на рис. 5-7. Здесь так же, как и на рис. 2-4 для целей сравнения пунктиром представлена кривая, относящаяся к случаю однородной полуплоскости. Для ее обозначения на рис. 5, 6, 7 использованы номера 3, 4, 2 (соответственно). Кривые 1, 2, 4, 5
на рис. 5 изображают результаты, полученные при V(1) = V(2) =0, 3 и при
Е(2)/Е(1) = 0 , 2; 0, 5; 2; 5 (соответственно); кривые 1, 2, 3, 5, 6, 7 на рис. 6 — при Е(2)/Е(1) = 1 и при (V(1) = 0, 3; V(2) = 0, 45), (V(1) = 0,1; V(2) = 0, 45), (V(1) = 0, 45; V(2) = 0, 3), (V(1) = 0,1; V(2) = 0, 3), (V(1) = 0, 45; V(2) = 0,1), (V(1) = 0, 3; V(2) =0,1), соответственно; кривые 1, 3, 4, 5, 6, 7 на рис. 7 — при
(Е(2)/Е(1) = 0,1^(1) = 0, 45; Vй =0,1),
(Е(2)/Е(1) = 0,1^(1) = 0,1; V(2) = 0, 45),
(Е(2)/Е(1) = 10^(1) = 0, 45; V(2) =0,1),
(Е(2)/Е(1) = 10^(1) =0,1; V(2) = 0, 45),
(E(2)/E(1) = 0, 5;v(1) = 0,1; v(2) = 0, 45),
(E(2)/E(1) = 2;v(1) = 0,1; v(2) = 0, 45),
соответственно.
сте/р
l о
-l -2 -3 -4 -5 -6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 в град
Рис. 5. Отверстие во втором слое. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от отношений модулей Юнга слоев
Как видно из рис. 5-7, в рассматриваемом случае (в отличие от предыдущего) уровень напряжений на кромке отверстия при v(2) = v(1) существенным образом зависит от отношения E(2)/E(1).
сте/р
2
1 о -1 -2 -3 -4 -5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 в град
Рис. 6. Отверстие во втором слое. Картина распределения напряжений вокруг отверстия в зависимости от значений коэффициентов Пуассона
слоев
ав/р
о
-2
-4 -6 -8
О 20 40 60 80 100 120 140 160 в град
Рис. 7. Отверстие во втором слое. Совместное влияние модулей Юнга и коэффициентов Пуассона слоев
Аналогично предыдущему случаю, определяющее влияние на картину распределения напряжений вокруг отверстия здесь оказывает такой фактор, как различие в значениях коэффициентов Пуассона слоев. При этом существенное снижение уровня напряжений на кромке отверстия наблюдается при V(2) = 0, 45. Ситуация, при которой напряжения по всему контуру отверстия оказываются сжимающими, а их уровень не выходит за пределы того, что имеет место в случае однородной среды, в данном случае реализуется при 0, 5 ^ £(2)/£(1) ^ 2 и V(2) = 0, 45.
В качестве общего вывода по изложенной статье отметим, что проведенный анализ позволил дать оценку влияния двухслойной структуры сжимаемой в поперечном направлении полуплоскости на характер распределения напряжений вокруг имеющегося вблизи ее границы кругового отверстия. Более того, установлены значения характеристик слоев, при которых напряжения по всему контуру отверстия оказываются сжимающими, а их уровень не выходит за пределы того, что имеет место в случае однородной среды.
Список литературы
1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888 с.
2. Ефимов В.В., Кривой А.Ф., Попов Г.Я. Задачи о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. №2. С.42-58.
3. Члингарян Г.С. Напряженное состояние составной упругой плоскости с включениями на границе раздела материалов // Изв. НАН Армении. Механика. 2009. Т.62, №3. С.52-58.
4. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Применение вариационно-разностной вычислительной модели к анализу напряжений в прямоугольных
областях с отверстиями // Вестник ТулГУ. Сер. Математика. Механика.
Информатика. 2010. Т.16. Вып.1. С.88-98.
Мазин Василий Александрович (vasilm@yandex.ru), старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Кубанский государственный университет.
Михайлова Виктория Львовна (tm@mami.ru), к.т.н., доцент, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».
Сухомлинов Лев Георгиевич (tm@mami.ru), д.т.н., профессор, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».
The stresses around a circular hole in a two-layered elastic semi-plane under transverse compression
V.A. Mazin, V.L. Mikhaylova, L.G. Sukhomlinov
Abstract. The results on the stress distribution around a circular hole in a two-layered elastic semi-plane under transverse compression received by using a variational finite-difference procedure for solving plane elastic problems for the holed rectangular domains are presented. The effects of the hole’s position and of the layers’ elastic constants on the level of stresses around the hole are examined.
Keywords: two-layered elastic semi-plane under transverse compression, stresses around circular hole.
Mazin Vasiliy (vasilm@yandex.ru), senior teacher, department of applied mathematics, Kuban State University.
Mikhaylova VKtoriya (tm@mami.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».
Sukhomlinov Lev (tm@mami.ru), doctor of technical sciences, professor, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».
Поступила 10.01.2011
