CC BY
19
УДК 539.3, 539.6, 532.612.3, 51-72
Влияние поверхностных напряжений на жесткостные свойства и устойчивость нанопластины в задаче Кирша
А.О. Бочкарев, М.А. Греков
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия
Путем введения эффективных тангенциальных и изгибных жесткостей и модулей упругости дано обобщение системы уравнений изгиба фон Кармана для нанопластины c учетом поверхностной упругости и остаточных поверхностных напряжений на лицевых поверхностях. Построено решение модифицированной задачи Кирша для случая плоского напряженного состояния бесконечной нанопластины с круговым отверстием в терминах эффективных модулей упругости. Численно-аналитическим методом найдены две формы локальной потери устойчивости в этой задаче и соответствующая критическая нагрузка для двух различных упругих характеристик всех поверхностей пластины. Выявлен характер зависимости эффективных жесткостей и модулей упругости от толщины пластины и критической нагрузки от радиуса отверстия (размерный эффект).
Ключевые слова: нанопластина, поверхностные напряжения, эффективные жесткости и модули упругости, плоское напряженное состояние, задача Кирша, устойчивость, размерный эффект
Influence of surface stresses on the nanoplate stiffness and stability
in the Kirsch problem
A.O. Bochkarev and M.A. Grekov
Saint Petersburg State University, Saint Petersburg, 199034, Russia
A system of von Karman equations for a nanoplate is generalized by introducing effective tangential and bending stiffnesses and elastic moduli, with regard to surface elasticity and residual surface stresses on the outer surfaces. A modified Kirsch problem is solved for the case of an infinite nanoplate with a circular hole under plane stress in terms of effective elastic moduli. Two forms of local stability loss in this problem and the corresponding critical load for two different elastic characteristics of all plate surfaces are determined numerically and analytically. The dependence of the effective stiffnesses and elastic moduli on the plate thickness, and of the critical load on the hole radius (size effect) is discussed.
Keywords: nanoplate, surface stress, effective rigidity and elastic moduli, plane stress state, Kirsch problem, stability, size effect
1. Введение
Поверхностный слой деформируемых тел при на-гружении обладает особыми физико-механическими свойствами, отличными от свойств объемных частей и всего тела в целом, в силу наличия различного рода приповерхностных и поверхностных дефектов от нано-до макромасштабного уровня. Описание поведения поверхностного слоя в нагруженных материалах как самостоятельного мезоскопического структурного уровня деформации является объектом исследований физической мезомеханики материалов [1]. Эти свойства поверхностного слоя могут в той или иной степени влиять на физико-механические характеристики всего тела (проч-
ность, пластичность, разрушение и др.), причем это влияние не зависит от размеров тела в масштабах макроуровня. Другая картина наблюдается, когда хотя бы один из размеров твердого тела имеет порядок нанометра или нескольких десятков нанометров. В этом случае физические свойства материала зависят от нано-метрового размера тела (размерный эффект). Эту зависимость подтвердили многочисленные экспериментальные работы (см. обзор [2]), а также теоретические исследования, основанные на использовании методов континуальной механики [3-6], моделирования кристаллической решетки [7-9] или полуэмпирического молекулярного моделирования [10, 11].
© Бочкарев А.О., Греков М.А., 2017
Считается, что решающую роль в проявлении размерного эффекта играет поверхностная энергия, когда количество атомов с неполными и частично ослабленными связями в тонком приповерхностном слое сравнимо с количеством атомов в объеме материала [2, 12]. Концепцию поверхностной энергии и поверхностного напряжения впервые сформулировал Гиббс [13] на основе термодинамики поверхностей твердого тела. Намного позже Гертин и Мердох [14, 15] создали математическую модель поверхностной упругости, позволяющую учитывать поверхностные напряжения в рамках механики континуума. Корректность континуальной модели Гертина-Мердоха подтверждена результатами компьютерного моделирования методом погруженного атома наностержней и нанопластин [10].
Одной из особенностей оригинальных уравнений состояния Гертина-Мердоха является то, что поверхностные напряжения определяются не только деформациями, но и градиентом перемещений, содержащим недеформационные члены. В числе первых наиболее общих двумерных теорий пластин, использующих оригинальные уравнения состояния Гертина-Мердоха, стоит отметить модель сложного изгиба нанопластин типа фон Кармана [16] и ее развитие с учетом условия ненулевого нормального напряжения в направлении, перпендикулярном плоскости пластины [17]. Однако учет недеформационных членов в уравнениях состояния приводит к тому, что тензор усилий (или осредненных по толщине напряжений) в этих двумерных моделях становится несимметричным, а сама краевая задача формулируется только в перемещениях. Это создает серьезные ограничения как в преемственности методов решения, так и при использовании известных результатов аналогичных задач макромеханики. Поэтому одновременно развивались двумерные упругие модели, учитывающие поверхностные напряжения на основе упрощенных соотношений Гертина-Мердоха, в которых отсутствуют недеформационные члены. Условия, при которых возможно применение упрощенных уравнений состояния, обсуждались в [18].
Деформационная форма соотношений Гертина-Мердоха позволила решить многие краевые задачи на-номеханики и проанализировать различные аспекты проявления размерного эффекта (см., в частности, [1922]). Она была принята также в моделях простого изгиба нанопластин и оболочек с учетом поперечного сдвига в [3, 23], существенным элементом которых является использование эффективных упругих модулей [5]. Та же форма этих соотношений позволила учесть остаточное поверхностное напряжение (поверхностное натяжение) в модели сложного изгиба нанопластин [24]. Заметим, что поведение и свойства нанообъекта можно исследовать без привлечения понятия поверхностной энергии. Примером может служить приближенная кон-
тинуальная модель нанопластины с графеновыми слоями, предложенная в [25] для вычисления прогиба и частот свободных колебаний шарнирно опертой многослойной пластины.
Данная работа направлена на изучение размерного эффекта, а именно на исследование зависимости жест-костных свойств нанопластины от ее геометрических параметров при учете всех поверхностных напряжений в условиях неоднородного поля напряжений. Используется деформационная форма соотношений поверхностной упругости Гертина-Мердоха. Кроме эффективной тангенциальной и изгибной жесткости пластины, введенных ранее в [3, 23], определены и исследованы эффективные тангенциальные и изгибные модули упругости. Заметим, что при аналогичном подходе в работе [26] учтена только изгибная жесткость пластины. Использование эффективных характеристик наноплас-тины позволяет сохранить классическую структуру уравнений сложного изгиба фон Кармана, построенных при учете поверхностных напряжений. Эти характеристики вошли также в выражения для энергии деформации и энергии изгиба срединной и лицевых поверхностей нанопластины. В работе дана общая формулировка задачи Штурма-Лиувилля для линеаризованной системы уравнений фон Кармана с целью нахождения критической нагрузки, отвечающей потере устойчивости плоской формы нанопластины с круговым отверстием. В качестве неоднородного поля напряжений рассмотрено напряженное состояние в задаче о растяжении бесконечной нанопластины с круговым отверстием при учете поверхностных напряжений на поверхности отверстия и на лицевых поверхностях (модифицированная задача Кирша [27]). Решение этой задачи является обобщением решения, полученного в [21]. Для вычисления критической нагрузки построен алгоритм нахождения собственных чисел задачи Штур-ма-Лиувилля, основанный на методе Ритца — минимизации функционала энергии. Дается полное теоретически обоснованное численно-аналитическое решение данной задачи и приводятся результаты численных расчетов и их анализ для двух вариантов упругих свойств поверхности.
Поверхностные эффекты, рассмотренные в данной работе, отражают характерные особенности нанораз-мерных материалов и тел с нанометровыми неодно-родностями.
2. Основные соотношения теории сложного изгиба нанопластин фон Кармана с учетом поверхностных напряжений
Рассмотрим линейно упругую пластину, занимающую в декартовой прямоугольной системе координат (х, у, z) область {(X, у, z) е йх[-к/2,+ к/2]}, а с R2.
Будем считать, что объемная фаза пластины (- V2 < < г < к/2) и ее лицевые поверхности (г = ±к/2) описываются различными уравнениями состояния, а именно: для объемной фазы тензоры напряжений о и деформаций £ трехмерные и связаны обычным законом Гука:
о = 2ц£ + А1^£, - к/2 < г < к/2 (1)
с упругими постоянными Ламе А, ц. Здесь I — трехмерный единичный тензор.
На лицевых поверхностях пластины тензоры напряжений т± и деформаций £± двумерные и связаны линеаризованным законом Гертина-Мердоха [3, 15, 24], в котором не учитывается недеформационное слагаемое: т± = Т0А + 2ц8£±+А8АИ£±, г = ±к2. (2)
Здесь А8, ц8 — поверхностные аналоги постоянных Ламе; т0 — остаточное поверхностное напряжение; А — двумерный единичный тензор-проектор на плоскость ху. Величины А8, ц8, Т0 предполагаются равными на обеих лицевых сторонах пластины.
В рамках обобщенного плоского напряженного состояния, реализуемого в пластине, полагаем стгг = 0. Тогда уравнение состояния (1) для двумерных напряжений и деформаций объемной фазы записывается в другой известной форме:
(А • о)=—^ ((1 ^)(А • £) + vAtr(A • £)) (3)
1 -V2
с использованием более удобных для плоской задачи упругих констант — модуля Юнга Е = 2ц(1 + V) и коэффициента Пуассона V = А/ (2(А + ц)).
Построение двумерной теории пластин с учетом поверхностных напряжений, как и в классическом случае, осуществляется путем принятия линейной по толщине аппроксимации поля перемещений относительно срединной поверхности:
и(х, у, г )= и (0)( х, у ) - zVw (х, у ). (4)
Здесь V — двумерный (в плоскости ху) оператор градиента; п — нормаль к ее поверхности; w = и-п = = и(0) • п — прогиб пластины; V = А • и — проекция вектора перемещений на плоскость ху; верхний индекс (0) указывает на принадлежность величин к характеристикам срединной поверхности. Аппроксимации поля перемещений (4) соответствуют деформации в плоскости ху
А • £ = £(0) - zVVw. (5)
В частности, на лицевых поверхностях в силу условия неразрывности имеем
£± = А
2=£(0) т 2
(6)
Таким образом, напряжения в объемной фазе (3) и на лицевых поверхностях пластины (2) посредством геометрических соотношений (5) и (6) выражаются через деформации срединной поверхности £(0) и тензор изгиба-кручения к = VVw. Переход от этих напряже-
ний к их главным (по толщине) векторам
й/ 2
Т* = т++ т- + | (А• о^ =
-к 2
= С1£(0) + А (с2^£(0) + 2т0), С1 = С(1 -V) + 4ц8, С2 = ^ + 2А8, и моментам
М* = п х (к/ 2( т+ - т-) +
к 2
+ | (А • о)гйг) = -Цк - D2Аtrк,
-к 2
2 й2 D1 = D(1 -V) + к 2ц8, D2 = Dv+yА8,
(7)
(8)
(9)
(10)
приводит к новым двумерным уравнениям состояния [24], связывающим эти величины с £(0) и к. Здесь С = = Ей/(1 -V2) и D = Екъ /(12(1 -V2)) — соответственно тангенциальная и изгибная жесткости пластины. В отличие от классических усилий и моментов введенные величины называют эффективными из-за учета в них поверхностных составляющих.
Уравнения состояния (7) и (9) можно переписать в более привычных для теории изгиба пластин обозначениях
Т* = А2т0 + С*(£(0) (1 -V*) + А v*tr£(0)), (11)
М* = -0*((1 - v*)к + V* А йк), (12)
если определить эффективные тангенциальную С и
*
изгибную D жесткости, введенные ранее в [24]: С* = С + С2= С + 4ц8 + 2 А8, (13)
D* = D1 + D2= D + й2ц8 + к2 А8/2, (14)
а также новые эффективные упругие модули — тангенциальный V, и изгибный V* коэффициенты Пуассона
= С
С*
=С
С*
* * D
V* = —1 -V* = —!г
(15)
(16)
D D
В этих обозначениях перерезывающие силы, также эффективные, не зависят от поверхностных напряжений, поскольку действуют в ортогональных с ними плоскостях и выражаются через прогиб w: к 2
Q* = | (о • п)ёг = -Д"У(ДУ) + т*. (17)
-й/ 2
При сложном изгибе по фон Карману деформации срединной поверхности выражаются суммой линейных деформаций и нелинейных членов, зависящих от прогиба:
£(0) = 12 (V?(0) + (Vv(0) )Т + V™ <8> (^)Т) =
= £(0) +12 V™ <8> (^)Т, (18)
а сам прогиб пластины w при действии в плоскости эффективных усилий удовлетворяет уравнению равновесия [28]
D AAw = qn +У-т + Т •• к, (19)
где qn = п • д — поперечная составляющая распределенной эффективной внешней нагрузки, т.е. учитывающей ее вклад на лицевых сторонах пластины; т — аналогичный эффективный внешний момент этой распределенной нагрузки.
В свою очередь, эффективные усилия Т в плоскости ху удовлетворяют уравнению равновесия плоской теории упругости
У-Т* + А д* =0 (20)
и в силу уравнений состояния (11) уравнению неразрывности
д2 * *Э2
-г(Тхх ^Туу) (Т -У(Тхх)-
ду
Эх
- 2-
дхду
-Т„, = 1
*2
С
( Л 2 д м
дхду
)2V д2V
Эх ду
(21)
Тем самым, если ввести в рассмотрение функцию эффективных напряжений Эри
. д V % . дV % . д V
ду
2 k, ТУУ
дх1'к, Тху дхду
то однородные уравнения равновесия (20) удовлетворяются тождественно, а уравнение неразрывности (21) сводится к бигармоническому относительно функции напряжений со стандартной для уравнений фон Кармана нелинейной неоднородностью относительно прогиба.
В итоге мы получаем окончательный классический вид системы уравнений сложного изгиба нанопластин с учетом поверхностных напряжений:
ААГ
*2
кС
( Л 2 д V
Л2
дхду
д V д м дх2 ду1
D ААм = qn + У • т +
(
+ к
д2Е* д2м
д2Е* д2м „ +-;--;— 2
дV* д2м
Л
(23)
ду2 дх2 дх2 ду2 дхду дхду
\ У
который отличается от исходного вида системы фон Кармана переопределением упругих изгибных и тангенциальных жесткостей В , С и модулей V*, соответственно.
Кроме того, для постановки и решения плоской задачи и задачи изгиба, а также для анализа их интегральных характеристик введем эффективные модули Юнга: изгибный
. = 12(1 ^2)В* = 12В! (В! + 2В2) %--71---
к3 В*
и тангенциальный
*2
^=.1-^ _ ОД + 2С2)
кС*
кС*
(24)
(25)
3. Потенциальная энергия деформации нанопластины
Минимизация функционала энергии — альтернативный путь решения краевой задачи для уравнений (23). С этой целью уточним выражение потенциальной энергии деформации нанопластины с учетом поверхностных напряжений. Оно будет складываться из энергии деформации объемной фазы
к 2
а-к 2
V = ||| - й-2г+цг - г I а7аа
(26)
и двух слагаемых — энергии деформации лицевых поверхностей (при 7 = к/ 2 и - к/ 2)
и± = I
а
(
т^г г ± + — ^2г ± + ц8г +•• г ±
d а.
(27)
Как известно [29], потенциальная энергия объемной фазы (26) сводится к сумме двух двойных интегралов: энергии деформации срединной поверхности
¥,= СI (V 1г2г(0) + (1 -V )г(0) •• г(0))аа 2а
(28)
к, (22) и энергии деформации изгиба пластины
V2 = В 1](Ам)2 + 2(1 -V )>
(д 2 м Л2 э 2
дхду
дм дм
"дхг з^
аа.
(29)
Аналогичное разбиение на два интеграла имеет место и для суммы энергий двух лицевых поверхностей
и++ и_ = и1 + и2:
и1=-1 (4т01гг(0) + 2-51т2г(0) + 2а
+ 4ц8 г(0)-г(0))аа,
(30)
IV
и2 = "
+ 2ц8
-8
Л
( Э2... Л2
дхду
(Ам) +
)2м д2м
дх2 ду2
аа.
(31)
Используя эффективные упругие модули, обе пары слагаемых для объемной фазы (28), (29) и для лицевых поверхностей (30), (31) можно объединить в новую пару:
энергию деформации срединной и лицевых поверхностей
щ=V+и1=1
(
4Т
С*
0*г(0) +
+ v*tr2г(0) + (1^*)г(0)-г(0)
аа
(32)
и энергию изгиба срединной и лицевых поверхностей
—
Ж2= У2 + и2 = — М(Д^)2 + 2(1 - V*) х
д2 ™ дхду
\2
д 2 ™ д 2 ™ ''дХт
аи =
—*
N(1+v;)(Дw)2 + (1 -V**) х
"д2 ™ дхду
Л2 Г Д2 -ч2 ^
д ™ д м> ~дхГ ~~дуТ
(33)
В линеаризованном случае энергию деформации срединной и лицевых поверхностей (32), как и в классическом случае, можно упростить, отбросив члены четвертой степени:
С-1
2 о
4т;
С
£(0) +V*tr2 £(0) +
+ (1 -^)Е(0) • • £(0)
1
- Г
2 и
д™ дх
+Т
уу
2
д™
7у
+ 2Т*
(34)
д™ д™ х дх ду
Первое слагаемое в (34) при известных эффективных усилиях есть константа. Тогда второе слагаемое вместе с энергией изгиба (33) можно трактовать как приращение потенциальной энергии нанопластины при выходе ее из плоскости (т.е. при ™ Ф 0).
4. Количественная оценка эффективных упругих модулей и жесткостей
Введенные эффективные изгибные V*, Е* и танген-
* л*
циальные V,, Е, упругие модули в отличие от своих оригиналов Е, V объемной фазы не являются постоянными материала. Из соотношений (15), (25) и (16), (24) следует, что, помимо упругих констант объемной фазы и поверхности, они зависят еще от толщины Н пластины. Соответственно, производные от них величины,
* *
тангенциальная и изгибная жесткости С , — , приобретают более сложных характер зависимости от Н. Поэтому представляет интерес количественная оценка эффективных упругих характеристик по сравнению со значениями соответствующих оригинальных величин D, С, V, Е в зависимости от толщины нанопластины. Ранее
подобная оценка была получена только для эффектив-
* *
ных жесткостей С , — и их слагаемых С1? С2 и —1, —2 [3].
С этой целью примем, что упругие свойства объемной фазы определяются упругими постоянными изотропного алюминия ц = 26.13 ГПа, А = 58.17 ГПа (V = = 0.345) [20], а соответствующие свойства поверхнос-
ти — упругими постоянными, полученными путем компьютерного моделирования тонкого алюминиевого слоя в двух случаях ориентации кристаллов [11, 12]:
1) А8 = 6.8511 Н/м, ц8 = -0.376 Н/м, т0 = 0.9108 Н/м;
2) А8 = 3.4939 Н/м, ц8 = -5.4251 Н/м, т0 = 0.5689 Н/м.
Характер поведения относительных эффективных
изгибных модулей — /—, V*/V и Е*/Е в зависимости от толщины Н показан на рис. 1 для двух наборов упругих констант (ниже их будем называть материал 1 и 2). Как видно из рисунков, все три относительные величины асимптотически стремятся к 1 при возрастании Н. В то же время с уменьшением Н отклонение их значений от 1 возрастает и при стремлении Н к 0 приобретает характер вертикальной асимптоты. В большей степени это проявляется для изгибного коэффициента Пуассона, причем для обоих материалов в большую сторону. Для материала 1 это отклонение превышает 10 % при Н < < 8 нм, а для материала 2 — при Н < 16 нм. В случае материала 2 эти отклонения более ярко выражены. Для изгибной жесткости и модуля Юнга наблюдаемое отклонение от оригинального значения проявляется в меньшей степени (10 % для материала 1 при Н < 5 нм и для материала 2 — при Н < 8 нм). Однако для двух рассматриваемых материалов это отклонение происходит в разных направлениях: для материала 1 — в
1 -
\ Л \ч ч^___ [а
—
---у^/у
---Е\!Е
10 15 20 25 Л,нм
Щ
25 /г, нм
Рис. 1. Относительные эффективные изгибные модули, жесткость —*/—, коэффициент Пуассона V*/V и модуль Юнга Е*/Е в зависимости от толщины Н: материал 1 (а) и2 (б)
сторону увеличения, для материала 2 — в сторону уменьшения. Необходимо отметить, что характер отклонения может по-разному проявляться при расчетах жесткост-ных характеристик нанопластины. Пример такого проявления будет приведен ниже.
Учитывая описанный характер поведения , важно оценить, при каких толщинах этот параметр достигает своей верхней границы применимости. В задаче изгиба критерием определения этой границы может служить нарушение условия положительной определенности энергии изгиба. Из второй формы записи выражения
(33) получаем два таких условия: 1 + у£ > 0, что, очевидно, выполняется, и 1 — >0, что и является неравенством для проверки. Для материала 1 оно выполняется при h > 0.08 нм, для материала 2 — при h > 1.25 нм. Кроме того, оказывается, что при h < 1 нм величина Е* становится отрицательной.
Аналогичный характер поведения наблюдается для относительных эффективных тангенциальных модулей С 7 С, v*/v и Е*/Е, показанных на рис. 2. Как и в случае изгибных модулей, наибольшее отклонение от 1, притом опять в большую сторону, проявляется для относительного тангенциального коэффициента Пуассона, но в меньшей мере, чем у изгибного. При оценке его верхней границы применимости используем условие положительной определенности энергии деформации срединной и лицевых поверхностей в форме (32) (или, что то же самое, в форме первого выражения в
(34)). Поскольку структура подынтегрального выражения энергии сохранена такая же, что и в классической теории, для положительной определенности справедливо аналогичное неравенство v* < 0.5. Для материала 1 получаем оценку h > 0.61 нм, а для материала 2 — h > 1.14 нм. Пересечение обеих пар неравенств при оценке изгибного и тангенциального коэффициентов Пуассона приводит для материала 1 к h > 0.61 нм, для материала 2 — h > 1.25 нм, что может служить ориентиром границы применимости данной модели.
Для тангенциальных жесткости С и модуля Юнга Е**, как и в случае изгибных величин, отклонение от соответствующих оригинальных значений проявляет-
ся в меньшей степени, чем для коэффициента Пуассона. При этом отклонение происходит в разных направлениях: для материала 1 — в большую сторону, для материала 2 — в меньшую.
Заметим, что зависимости величин С 7С, D от h на рис. 1, 2 качественно повторяют аналогичные зависимости, полученные в [24] для поверхности с другими упругими свойствами. Эффективные коэффициенты Пуассона v* и модули Юнга Е*, Е* и их зависимости от толщины пластины в работе [24] не рассматривались.
5. Линеаризованная задача на собственные значения и собственные функции для нанопластины с круговым отверстием
Считаем, что деформации срединной поверхности (18) выражаются только линейной частью, т.е. £(0) ~ €(0). Тогда уравнение неразрывности (21) и первое бигар-моническое уравнение в системе фон Кармана (23) будут однородными. Тем самым мы полагаем, что пластина находится в условиях обобщенного плоского напряженного состояния линейной теории упругости, т.е. усредненные по толщине напряжения в пластине равны о * = Т*/h, а деформации совпадают с деформациями в срединном слое € * = €(0). В этом случае, согласно (11), уравнение состояния принимает вид
* , 2тп Е* , **ч . * *ч ^-ч
о = А—0 + -Л^(€ (1 -v*) + Аv**г€ ). (35)
h 1 -v*2
Рассмотрим бесконечную нанопластину с круговым отверстием радиуса R. Примем, что усредненные напряжения пропорциональны величине внешней нагрузки, т.е. о * = ро0. Задача отыскания критической нагрузки р , при которой наряду с плоской формой равновесия (прогиб пластины w = 0) существуют и другие, вышедшие из плоскости формы равновесия (^ Ф 0), описывается обобщенной задачей Штурма-Лиувилля на собственные значения и собственные функции для линеаризованной системы дифференциальных уравнений (23) при д* =0 и т =0. Запишем ее в полярной системе координат г, Ф (х = гсоэФ, у = гэтФ) с центром в
1а
\
— с*/с
---
---Е\!Е
(Н-,-.-.-■-1-
0 5 10 15 20 25 И, нм
Рис. 2. Относительные эффективные тангенциальные модули, Е*/Е в зависимости от толщины h
\ \ ч \б
Г' -с*/с
---у^/у
---ЕрЕ
0 5 10 15 20 25 Л,нм
ость С */С, коэффициент Пуассона V*/V и модуль Юнга
середине отверстия: AAF * =0,
AAw(r, в) = Л
1 д2 w Эв2"
а
о д2w
+
+а
.о
вв 2
+ 2а
дг 2 .о 1 д2 w
гв'
дг дв
(36)
где компоненты тензора напряжений j = г, #) во втором уравнении системы найдены из решения плоской задачи теории упругости при уравнениях состояния (35), а Л — безразмерный параметр, выступающий в роли искомого собственного числа
Л
_ 2phR2 _ 24(1 —fp(R
(37)
— Е{
В качестве однородных краевых условий задачи на собственные значения примем условие свободного края на границе отверстия, т.е. равенство нулю эффективного изгибающего момента (12)
д 2 ™
Mr\r =r = —D
дг
2 +V f
( i^w + 1 д2w ]
r дг r дв2
= 0 (38)
и обобщенной перерезывающей силы
^(Aw)
п* дМгв Qr дв
= - D
дr
1 — vff д(A2w) r дв
= 0.
(39)
Обратим внимание на то, что теперь оба статических условия (38) и (39) зависят от эффективного изгибного коэффициента Пуассона.
Оба кинематических условия обеспечиваются одним условием затухания прогиба на бесконечности
lim w(r, в) = 0. (40)
r—
В соотношениях (38), (39) введены обозначения для дифференциальных операторов, используемых в дальнейшем:
л д2 1 д 1 д2
A = —- +--+
дr2 r дr r2 дв2 :
A1 =
3L
дr 2
1
r дr
1 д2
r2 дв2
(41)
A 1 д2
r2 дв r д^в
Критическая нагрузка р пропорциональна мини*
мальному положительному собственному числу Л =
= min Л, т.е.
Л>0
* D*
2 hR
-Л = -
Е*Л
24(1 — V**2) ^ R
(42)
Заметим, что, согласно (42), критическая нагрузка явно
зависит от изгибных эффективных модулей Е*, V*. Кроме того, р зависит от изгибного коэффициента Пуассона V* еще и неявно в силу статических краевых условий (38), (39), а также зависит от тангенциальных эффективных модулей Е*, V* через параметр Л , значение которого находится с использованием уравнения состояния (35), и от поля напряжений, определяемого в следующем разделе соотношениями (55), (56).
6. Обобщенное плоское напряженное состояние бесконечной пластины с круговым отверстием при учете поверхностных напряжений
Для исследования проблемы устойчивости нано-пластины с отверстием необходимо прежде всего знать соответствующее обобщенное плоское напряженное состояние. Решение этой задачи было получено и проанализировано в [21] при учете поверхностных напряжений только на границе отверстия. Однако в случае пластины нанометровой толщины поверхностная энергия на ее лицевых сторонах и соответствующие поверхностные напряжения могут существенно влиять на упругие свойства пластины в целом. Построим решение этой плоской задачи в более общей постановке.
В соответствии с обобщенным законом Юнга-Лапласа [13, 15, 30] на поверхности 5 свободного края отверстия выполняется условие
n • о
— V-тs = 0,
(43)
где в качестве напряжений объемной фазы выступают осредненные по толщине напряжения о*, удовлетворяющие уравнению состояния (35), а поверхностных напряжений — осредненные по толщине напряжения т8 на поверхности отверстия 5 с внешней нормалью п8. Последние удовлетворяют уравнению состояния поверхностной линейной упругости (2) при замене т^ на т8 и е± на е8. Применительно к рассматриваемому круговому отверстию радиуса R закон Юнга-Лапласа (43) в полярных координатах принимает вид [20, 21]
1вв = 0 R '
1 дт;
вв
^в
0.
(44)
\т = R R '"\т = R R
Уравнения (44) — частный случай краевых условий, достаточно простой вывод которых приведен в [22] для произвольной криволинейной границы.
Ввиду наличия неизвестного окружного поверхностного напряжения , следует добавить условие непрерывности перемещений при переходе от объемной фазы к поверхности отверстия, которое в деформационной форме имеет вид
* ' (45)
ьвв
ьвв-
В случае обобщенного плоского напряженного состояния уравнения состояния (2), ввиду того что т8гг, т^ = 0, сводятся к следующему [21]:
2[s
Г + 2[ 1 - 2vs s
-(То + 2(^s ) =
. Es s
s2 "ее'
(46)
1 -V8 1 -V8
где Е8=2ц8(1 + V8) и V8 = А8/(2(А8 + ц8)) — поверхностные аналоги модуля Юнга и коэффициента Пуассона.
Определяющее векторное соотношение (35) для осредненных величин сводится в полярных координатах к трем скалярным:
* =2т0 Е* ( * * * .
&гг , + . »2 (егг + ^еФФ)' h
2TQ * * *
= — +- ее +v t" rr
E*
1-Vt
(47)
_ E
Jre
1 + vt
"г0 •
Пусть на бесконечности в направлении оси у (Ф = = П2) действует напряжениер > 0 (задача Кирша), а в пластине, в соответствии с (47), действует всестороннее (в плоскости) напряжение 2x0/к, имеющее место при отсутствии деформаций. Тогда
lim (rr =
r—^ra
lim (ее =
r—ra
p+-
2т0
sin
2Ts
2 е+^
p+
2т0
cos
h 2Ts
2 е+^
cos
sin
(48)
lim ürö = p sin ösin ö.
r—ra
Чтобы воспользоваться полученным в [21] решением, приведем в соответствие упругие модули и уравнения состояния. С этой целью введем приведенные осредненные напряжения, не содержащие предварительное напряжение:
: (rr -
2Ts 2 т
2 Lq ^ * * 2 LQ ^ * * //|П\
_ (ее = (ее Г"' (re = ar». (49)
Jöö
}rö
i re.
7 С/С/ С/С/ 7
к к
Для этих приведенных величин уравнения состояния (47) принимают стандартный вид закона Гука для обобщенного плоского напряженного состояния:
ст* - Е*
*2
1 -V
-"ее
}rö
1 -Vt
" E**
1 + v*
*2
(err + Vt "ее
(eöö + Vt"rr
(50)
а условия (48) на бесконечности преобразуются в классические условия задачи Кирша [27] об одноосном растяжении пластины с круговым отверстием:
lim örr = psin2 ö, lim стее = pcos2
r—ra r—ra
(51)
lim (Trö = p sin e sin e.
r—ra
Подставив приведенные напряжения (49) в (44), приходим к следующим граничным условиям:
Ts 2Ts Тее _ 2 То
1 дт:
'ее _
0.
1г=* Л к' ^дФ (52)
Учитывая поверхностное натяжение Т0 на лицевых поверхностях вместе с соответствующим слагаемым в уравнении состояния (46) на поверхности отверстия, обозначим
( о,.8 ОгЛ
ТФ
ее
Í
2[s -As + 2[s
1 -2vs 2R
2R ~h
4[s(As +[s) cs =
To + rs П "ее
As + 2[s
А
1 -vs
h
т0 +-
1 -V
s2 "ее •
(53)
Окончательно граничные условия (52) для приведенных напряжений принимают вид:
'■ее = R
0, (
1 дТ:
Г0
ее
0.
(54)
1г=Л Я '"\г=Я Я дФ
Формулировка исходной плоской задачи в терминах Сту (г, j = г, Ф) и ТФФ (50), (53), (54) с точностью до обозначений совпадает с формулировкой этой задачи (1.4), (1.6), (1.8) в [21] при одноосной нагрузке на бесконечности. Используя решение задачи [21] и переходя от приведенных величин Сту (г, j = г, Ф) к осредненным напряжениям ст.. в соответствии с (49), получим:
0
(
2 +
hH0
+ p U - ^
1 - 41-H2 + 3
2
1 - 2H,
Р
cos (2е) i,
ее
h
1 + 3
( 2 hHo
V Р2
1 - 2H2
А
p Ji^ 1 -2H
p
г0
¿41 + 2
+2 u+
cos(2öh ,
1 - H2 „1 - 2H2
--3
sin(2e),
(55)
где p = r/R
Ho =
H2 =
M q =
M0
R + M1(1 + vt)
H1 =
M1
R + M1(1 + vt)
2M1
R + M1(3 + v t) 2[s
(56)
2R 4[s(As +[s) M1 - v y
А8 + 2ц8 к ' 1 (А8 + 2ц8)Е*
Из (55), (56) следует, что, в отличие от решения [21], размерный эффект проявляется не только в зависимости напряжений от радиуса отверстия R, но также и от
толщины пластины Н. Параметр Н содержится в первых слагаемых первых двух уравнений (55). Кроме того,
согласно формулам (8), (15) и (25), от него зависят
* *
эффективные тангенциальные модули Vг и Е{.
Присутствие слагаемых с коэффициентами Hj (у = = 0, 1,2) в формулах (55) указывает на влияние торцевых поверхностных напряжений на напряженно-деформированное состояние пластины. При изменении R в пределах нескольких нанометров все Hj сравнимы с 1. С увеличением размера отверстия это влияние ослабевает. При одновременном увеличении R и Н решение (55) приближается к решению Кирша, которое справедливо как при обобщенном плоском напряженном состоянии, так и при плоской деформации.
7. Качественный анализ плоского напряженного состояния
Для качественного анализа плоского напряженного состояния пластины с круговым отверстием (55) на предмет локального выпучивания рассмотрим зоны сжимающих окружных напряжений в окрестности этого отверстия. В качестве упругих констант будем использовать константы материалов 1 и 2, которые рассмотрены ранее при количественном анализе эффективных упругих модулей. На рис. 3 (верхняя половина) показаны зоны сжимающих напряжений а^ вблизи отверстия при различных значениях его радиуса R и фиксированном отношении к толщине = 5. Для обоих материалов учет эффекта поверхностной упругости на лицевых поверхностях оказался наблюдаемым. С возрастанием R границы зоны сжатия расширяются и при R > 100 нм приближаются к аналогичной границе классической задачи Кирша (внешний контур). При
1 Л 0 I. л8, ц8, т8 \ о ^ Л8, Ц8, Т8
/? = 100——^ /?= 100
Я = 50 Я = 50
Я=10 ¥ Д Л = 10
/?= 1 V У .^=10
Д= 10—--^ —Я = 1
1-1-1-^-1-1-г
-2 -1 0 1 2
Рис. 3. Зоны сжимающих напряжений а^ вблизи отверстия для двух материалов: верхняя часть — рассматриваемая модель, нижняя часть — модель без учета лицевых поверхностей [31-33]
значениях R < 100 нм зоны сжатия сужаются, оставаясь примыкающими к краю отверстия — проявляется влияние всестороннего растяжения, наведенного натяжением лицевых поверхностей и определяемое величиной т0 /h (чем тоньше нанопластина, тем выше эта интенсивность). Как видно из рисунка, размерный эффект проявляется в сужении зон сжатия и, как следствие, в ожидаемой более высокой величине эйлеровой нагрузки.
Для сравнения в нижней половине рис. 3 показаны аналогичные зоны с учетом поверхностых напряжений только на поверхности отверстия [31-33]. Здесь размерный эффект становится заметным только при R < 5 нм (или Н < 1 нм, что не противоречит введенным ранее ограничениям на толщину Н, т.к. решение, по которым линии уровня построены, не зависит от эффективных модулей). При этом для материала 1 (левая полуплоскость) зоны сжатия также сужаются, а для материала 2 (правая полуплоскость) — наоборот, расширяются относительно классического решения. Это связано с тем, что соответствующая часть поверхности отверстия для одного материала растягивается, а для другого — стягивается. Но в обоих случаях это влияние несопоставимо с влиянием лицевых поверхностей.
8. Метод Ритца — минимизация функционала энергии
Для решении задачи на собственные значения (36)-(40) воспользуемся принципом виртуальных перемещений. Допустим, что упругая механическая система под действием внешней нагрузки р получила ненулевой прогиб м = Ям0. Тогда функционал энергии деформации пластины W, изначально зависящий только от ее напряженного состояния (первая часть энергии деформации срединной и лицевых поверхностей Щ (34)), получит приращение, выражаемое второй частью Щ (именно ее и будем в дальнейшем иметь в виду под этим обозначением) и энергией изгиба Щ2 (33)
Ш(м?, а.у) = Щ(м?, ау) + Щ2(м). (57)
Структура усредненных напряжений (55) задачи Кирша, решенной в новой постановке, не позволяет выделить общим множителем интенсивность внешней нагрузки р, как это изначально предполагалось в (36):
* т0 -0 , 0 о =— о + р о ,
h
где диагональный тензор о0 отвечает за всестороннее растяжение и сжатие поверхности отверстия, а о0 — за одноосное растяжение. Поэтому энергетическая постановка задачи на собственные функции и собственные значения требует перегруппировки слагаемых.
С этой целью введем безразмерные функционалы Щ и Щ2, соответствующие энергии деформации сре-
динной и лицевых поверхностей Щ и энергии изгиба Щ2, выраженные через безразмерные напряжения и прогиб в безразмерных полярных координатах р, Ф:
■о2П I
ш0, а® )=л
1 о
(Эш0 Л2
рр
Эр
.о (д...о Л
ФФ
дт
"эФ"
■2 я,
+ 2-
ти з о з о стрФ дш дш
р Эр ЭФ
^р dр dФ,
(58)
Щ2( ш0) = И{(1 + v;)(Aw0)2 + 10
+ (1^*)[(Ащ0)2 + 4(А2 ш0)2]}р dр dФ. (59)
Здесь дифференциальные операторы, введенные в (41), выражаются через частные производные по р и Ф.
Тогда приращение энергии (57) можно представить следующим образом:
АЩ(т, Сту)_ ЛЩ|(т0, ст0) + + Атй%1(ш0, СТО) + Щ,(ш°)), (60)
где Л — искомое собственное число (37), пропорциональное интенсивности внешней растягивающей нагрузки р, и по аналогии с ним ЛТ — известная константа, вычисляемая по эффективным упругим модулям:
Лт =
2т0я2 _ 24(1^2)т0
(61)
& кЕ{
Для сведения задачи на собственные функции и собственные значения к стандартному виду введем новые обозначения:
Щ( ш0, ст0) = -Щ%1( ш0, ст0),
Щ, (ш0, ст0) = ЛЩ (ш0, ст0) + Щг (Ш0).
(62)
Отметим здесь, что в первом равенстве (62) знак минус отражает тот факт, что, несмотря на растягивающую внешнюю нагрузку (р > 0), доминирующий характер поля напряжений, приводящий к выпучиванию, является сжимающим. Во втором равенстве положительную определенность функционала Щ2, что гарантирует разрешимость задачи, несет в себе второе слагаемое — энергия изгиба. В то же время первое слагаемое знакопостоянным не является, но не разрушает положительную определенность всего выражения при достаточно малых значениях параметра ЛТ, который обратно пропорционален и абсолютной толщине пластины h, и величине к2/Я2.
В итоге приходим к стандартной энергетической формулировке задачи на собственные функции и собственные значения: найти такие ненулевые значения Л и соответствующие им тождественно не равные нулю функции ш0(р, Ф), что для приращения энергии выполняется равенство
АЩ (ш, Сту) _ ^(Щ, (, СТ0) - Л Щ (, ст0)) = 0. (63)
Нас интересует минимальное положительное значение Л, обозначенное Л . Тогда критическая Эйлерова нагрузка р находится по формуле (42). Будем искать безразмерный прогиб пластины ш0 (р, Ф) в виде двойного ряда:
ш°(р, Ф) = II А С08(1Ф) + Вк1яп(/Ф)), (64)
к=11=0 р
удовлетворяющего условию затухания прогиба на бесконечности (40). При этом условия свободного края отверстия (38), (39) являются естественными для функционала энергии (59) [34].
С учетом геометрической и физической симметрии рассматриваемой плоской задачи относительно координатных осей интерес представляет раздельное представление прогиба (64) только по косинусам четного числа аргумента (I = 2]):
ш0(р, Ф) = IIII ЛЦ/-со8(2/Ф), (65)
к=1 /_0 р
что соответствует выпучиванию противоположных краев отверстия, лежащих на оси растяжения, в одном направлении (симметричное выпучивание) или только по синусам нечетного числа аргумента (I = 2] -1):
(66)
Ш (р, Ф) = I IJkЩ± 81п((2/ - 1)Ф ),
к_1/_1 р
что соответствует выпучиванию этих краев в противоположных направлениях (антисимметричное выпучивание).
Согласно методу Ритца, коэффициенты Лк 2/ или Вк 2/-1, которые обозначим Лн, трактуются как обобщенные координаты в смысле Лагранжа. После подстановки выражения (65) или (66) в равенство (63) приращение функционала энергии представим разностью двух квадратичных форм относительно этих обобщенных координат:
АЩ = & II ЛЛк1ЛЛтп (ЩЦп-ШЩ ).
4 к,1т,п
(67)
Коэффициенты Щктп и Щ^п. этих форм и для косинусов, и для синусов вычисляются аналитически в конечном виде путем интегрирования.
Из принципа виртуальных перемещений следует, что в состоянии равновесия механической системы потенциальная энергия деформации достигает минимума. В этом состоянии обобщенные силы, т.е. частные производные по обобщенным координатам от потенциальной энергии (а равно и от ее приращения (63)), равны нулю, т.е.
ЭЩ дАЩ _ & IЛ (Щ (2) (1) )-0 (68)
----!Лк1 (Щк1тп ЛЩк1тп) _ 0 (68)
дЛтп дЛтп 2 к,1
Соотношение (68) — основное уравнение для отыскания собственных чисел Л. Ограничим количество членов ряда по р числом K, а по ö — L. Тогда вычисляемые через интегралы коэффициенты W&L и W^hin. могут быть сведены в квадратные матрицы W(1) и W(2) размерности K • L х K • L каждая, а коэффициенты разложения прогиба Akl — соответственно в вектор A размерности K • L. В результате мы приходим к обобщенной задаче на собственные числа и собственные вектора симметричной матрицы W(1) (в алгебраической постановке искомое собственное число ставится перед положительно определенной матрицей — у нас это W(2)):
W(1) A = — W(2) A. (69)
Л
Таким образом, стандартными алгебраическими алгоритмами (например методом вращений Якоби) остается найти максимальное положительное собственное число 1 Л* и его собственный вектор матрицы W(1) по весу W(2). Они соответствует минимальному положительному числу Л , а частичная сумма разложения прогиба в виде ряда (65) или (66) с коэффициентами разложения Ak2j или Bk2j-1 (обозначенными Akl) — собственной функции рассматриваемой задачи механики.
9. Результаты расчетов собственных чисел и эйлеровой нагрузки и их анализ
Численные расчеты задачи на собственные значения и собственные функции методом Ритца проводились по тем же упругим параметрам, что и при анализе эффективных упругих модулей и зон сжимающих напряжений.
*
В порядке тестирования сходимость в поисках Л = = min Лг- (Лг- > 0) сначала исследовалась для классической задачи Кирша без учета поверхностных напряжений (этот предельный случай будем отмечать нижним индексом 0). Лучшие результаты достигались при удержании равного количества K и L членов разложения прогиба по полярному радиусу и углу. В табл. 1 приведены значения Л0 при различном количестве KxL членов разложения прогиба w0 и относительные погрешности
Таблица 1
KxL 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8
43.34 39.60 38.90 38.60 38.46
e0,cos'% 12.9 3.1 1.3 0.5 0.2
^0,sin 48.21 45.83 45.01 44.83 44.77
e0,sin'% 7.7 2.4 0.6 0.2 0.0
вычислений е0 при сравнении с известными предельными значениями Л0 cos = 38.4 и Л0 sin = 44.75 [35]. Индекс cos соответствует симметричной форме выпучивания (65), sin — антисимметричной (66).
Из таблицы видно, что первые удовлетворительные данные (погрешность порядка 3 %) получаются при удержании достаточно большого количества членов разложения (65) — порядка 5x5. Однако при дальнейшем увеличении значений K и L на единицу относительная погрешность в наблюдаемом диапазоне убывает уже как геометрическая прогрессия со знаменателем 0.4 и демонстрирует хорошую численную устойчивость самого алгоритма, несмотря на возрастающие в квадрате размерности расчетных матриц W(1) и W(2). При антисимметричном выпучивании погрешность вычислений почти в 2 раза лучше, чем при симметричном. В частности, при KxL = 5x 5 результаты совпали с результатам!* [42]: = л0>ам/(24(1 -V2)) = 1.86 и К*^ = = Л0 sin /(24(1 -V2)) = 2.16, рассчитанными для стали Ст3 с коэффициентом Пуассона V = 0.3 (в нашем случае расчетный материал — алюминий с V = 0.345).
Как видно из предварительного анализа зон сжимающих напряжений, влияние поверхностных напряжений на локальное выпучивание пластины с отверстием при одноосном растяжении может проявиться уже при при R = 100 нм. Рассмотрим рабочий диапазон изменения R от 10 до 500 нм при фиксированном отношении R/h = 5 (т.е. при h от 2 до 100 нм, что попадает в допустимый диапазон значений эффективных модулей). В табл. 2 представлены искомые минимальные положительные собственные числа Л при симметричном и антисимметричном выпучивании для материалов 1 и 2 в зависимости от различных значений радиуса отверстия R.
Таблица 2
R, нм 10 20 30 40 50 100 200 500
Л1,сш 72.20 61.56 56.26 53.05 50.87 45.70 42.48 40.21
72.44 62.44 57.75 55.03 53.26 49.33 47.14 45.74
65.05 56.15 51.45 48.77 47.04 43.20 40.99 39.52
^2,sin 65.15 57.26 53.40 51.35 50.08 47.47 46.13 45.32
400 Я, нм
Рис. 4. Зависимость Л от радиуса К: материал 1 (а) и2 (б)
На рис. 4 показаны зависимости минимальных положительных собственных чисел Л от радиуса К при симметричном и антисимметричном выпучивании для тех же материалов по отдельности. Как и ожидалось, согласно анализу размеров зон сжатия значение минимального положительного собственного числа увеличилось из-за присутствия всестороннего растяжения. Чем
*
меньше радиус отверстия, тем больше отклонение Л
от горизонтальной асимптоты, соответствующей значе-
* *
нию л0 _ 38.4 при симметричном выпучивании и л0 _ = 44.75 при антисимметричном без учета поверхностных напряжений и поверхностного натяжения [35]. Это отклонение становится заметным при радиусах К < <100 нм. Оба рассматриваемых материала ведут себя однотипно с небольшой разницей.
Из графиков видно, что, как и без учета поверхностных напряжений, симметричная форма выпучивания наступает раньше антисимметричной. Отношение собственных чисел, отвечающих различным формам выпучивания, приведены в табл. 3 для обоих рассматриваемых материалов. Графики и таблица показывают, что учет поверхностных напряжений нивелирует данное различие при уменьшении радиуса К, а с увеличением К это отношение стремится к значению 0.16.
Другой важный аспект, возникший в данной задаче
из-за учета поверхностных напряжений — это зависи-
*
мость критической нагрузки р не только от отношения к2/Я (согласно формуле (42)), но и при фиксированном значении этого отношения от значения самого радиуса отверстия К, поскольку эффективные изгибные
Таблица 3
К, нм 10 20 30 40 50 100 200 500
Л1,8т/ Л1,С08 1.00 1.01 1.03 1.04 1.05 1.08 1.11 1.14
Л 2,8т/ Л 2,С08 1.00 1.02 1.04 1.05 1.06 1.10 1.13 1.15
Таблица 4
К, нм 10 20 30 40 50 100 200 500
Л1,С0^ Л 0,С08 1.88 1.60 1.47 1.38 1.32 1.19 1.11 1.05
* / * Р1,С08/ Р0,С08 2.31 1.78 1.57 1.46 1.38 1.21 1.12
Л 2,^/ Л 0,С08 1.69 1.46 1.34 1.27 1.23 1.13 1.07 1.03
* / * р2,С08 / р0,С08 1.22 1.26 1.21 1.18 1.16 1.09 1.05 1.02
Таблица 5
К, нм 10 20 30 40 50 100 200 500
Л1,8т/ Л 0,8Ш 1.62 1.40 1.29 1.23 1.19 1.10 1.05 1.02
* / * р1,8т/ р0,8т 1.95 1.52 1.36 1.27 1.22 1.04 1.00
Л 2,8Ш / Л 0,8Ш 1.46 1.30 1.19 1.15 1.12 1.06 1.03 1.01
* / * р2,8т / р0,8т 1.03 1.08 1.06 1.04 1.03 1.01 0.99 0.99
2.0-
1.5-
2.0-
1.5-
1.0
0 100 200 300 400 Я, нм
Рис. 5. Отношение собственных чисел Л* С08/Л0 С08 и критических нагрузок Р°С08 /Р0,СО8 при симметричном выпучивании в зависимости от радиуса материал 1 (а) и2 (б)
модули V* и Е*, а также собственное число Л* (через эффективные тангенциальные модули Vt и Е*) зависят от толщины пластины Н. Как следствие, отношение критической нагрузки р* (I = 1, 2 для материалов 1, 2 соответственно) при учете поверхностных напряжений к критической нагрузке р0 при классической постановке задачи не равно отношению собственных чисел Л* к Л 0. Эти отношения для двух материалов приведены в табл. 4, 5 при симметричном и антисимметричном выпучивании соответственно, а также показаны на рис. 5, 6.
Из приведенных данных видно влияние всех факторов на относительную критическую нагрузку при учете поверхностных напряжений. Это и есть одно из проявлений размерного эффекта. Для материала 1 при значениях радиуса отверстия ниже 200-500 нм рост относительной критической нагрузки с уменьшением радиуса обеспечивается двумя факторами, действующими в одном направлении: ростом эффективной изгибной жесткости В и ростом собственного числа Л с уменьшением радиуса. Для материала 2 эти два фактора действуют в противоположных направлениях: эффективная изгибная жесткость В с уменьшением радиуса убывает (см. рис. 1), а собственное число Л по-прежнему возрастает. Для симметричной формы выпучи-
Рис. 6. Отношение собственных чисел Л*,§1п/Л
0 вш и критических нагрузок р*^п /Ро^т при антисимметричном выпучивании в зависимости от радиуса материал 1 (а) и 2 (б)
вания изменение собственного числа является преобладающим фактором, которое проявляется в итоговом росте критической нагрузки с убыванием радиуса. Для антисимметричной формы оба фактора фактически гасят друг друга, и лишь небольшой итоговый рост критической нагрузки наблюдается при совсем малых радиусах, порядка 20 нм и ниже.
10. Заключение
На основе деформационной формы закона поверхностной упругости Гертина-Мердоха в работе сформулирована система уравнений фон Кармана, учитывающая поверхностные напряжения в нанопластине путем усреднения по толщине. За счет переопределения упругих модулей объемной фазы на эффективные тангенциальные и изгибные модули, которые включают в себя упругие характеристики как объемной фазы, так и поверхности, сохранена структура классической системы разрешающих уравнений. Это позволило обеспечить преемственность методов решения плоской задачи и задачи изгиба пластин, используемых в макромеханике.
С использованием введенных эффективных тангенциальных и изгибных модулей выведено выражение для потенциальной энергии деформации нанопластины в усредненных по толщине напряжениях, которое сохранило ту же структуру, что и аналогичное выражение для макропластины.
Условие положительной определенности потенциальной энергии позволило оценить область применимости теории в зависимости от толщины нанопластины для двух наборов упругих свойств поверхности. Показа-
-Л1,СО8/Л0,СО8
ТО]
100 200 300 400 Я, нм
-А- -Л2,СО8/Л0,СО8 п Р2,соб^Р0,СОБ б
А \ \
2.0
1.5-
1.0
-Л1,81п/Л0,8т
300
-Л1,8т/Л0,8т
н
100
200
300
ТШ
—Г—
400 Я, нм
-щ
400 Я, нм
но, что для эффективных упругих модулей при толщине пластины порядка нескольких десятков нанометров проявляется размерный эффект, который состоит в отклонении значений этих величин от значений аналогичных величин объемной фазы. При этом наибольшее отклонение происходит для изгибных эффективных упругих модулей, и в зависимости от материала отклонение может происходить как в большую, так и в меньшую сторону.
Сформулирована линеаризованная задача на собственные значения и собственные функции для отыскания критической эйлеровой нагрузки, приводящей к выпучиванию нанопластины. В отличие от классической постановки особенностью этой задачи является наличие эффективных упругих модулей и предварительного всестороннего растяжения, вызванного поверхностным натяжением лицевых поверхностей.
Поставлена и решена плоская модернизированная задача Кирша об одноосном растяжении бесконечной пластины с круговым отверстием с неклассическими граничными условиями сопряжения на его границе, моделирующими поверхностное напряжение. Дана оценка зон окружных сжимающих напряжений, примыкающих к свободной поверхности отверстия, которые могут служить причиной выхода пластины из плоского положения равновесия.
Вариационным методом Ритца решена задача на собственные значения и собственные функции для отыскания критической эйлеровой нагрузки при симметричном и антисимметричном выпучивании в модернизированной задаче Кирша при учете поверхностных напряжений как на лицевых поверхностях наноплас-тины, так и на поверхности отверстия.
Обнаружен размерный эффект, который проявляется в зависимости критической эйлеровой нагрузки p от радиуса отверстия R. Показано, что, в отличие от задачи устойчивости в макромеханике, на значение критической нагрузки p существенно влияют два фактора: значение собственного числа Л (растущего с уменьшением R) и значение эффективной изгибной жесткости, отнесенной к толщине пластины h (либо также растущей с уменьшением R, либо убывающей). Таким образом, оба фактора могут либо складываться и приводить к существенному росту критической нагрузки p*, либо компенсировать друг друга и практически не изменять значение p*.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00260).
Литература
1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин A.B. Физическая мезомеханика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. I. Физические основы многоуровневого подхода // Физ. мезомех. -2006. - Т. 9. - № 3. - С. 9-22.
2. Wang J., Huang Z., Duan H., Yu S., Feng X., Wang G., Zhang W., Wang T. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials // Acta Mech. Solid. Sinica. - 2011. - V. 24. - P. 52-82.
3. Алътенбах X., Еремеев B.A., Морозов Н.Ф. О влиянии поверхностного натяжения на эффективную жесткость наноразмерных пластин // Докл. РАН. - 2009. - Т. 424. - № 5. - С. 618-620.
4. Еремеев B.A., Морозов Н.Ф. Об эффективной жесткости нано-пористого стержня // Докл. РАН. - 2010. - Т. 432. - № 4. - С. 473476.
5. Eremeyev V.A. On effective properties of materials at the nano- and microscales considering surface effects // Acta Mech. - 2016. -V. 227.- No. 1. - P. 29-42.
6. Голъдштейн P.B., Городцов B.A., Устинов К.Б. Влияние поверх-ностныж остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразныж включений нанометровых размеров в упругой матрице // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 5. -С. 127-138.
7. Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // Докл. РАН. - 2001. - Т. 381. -№ 3. - С. 345-347.
8. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов // Докл. РАН. - 2002. - Т. 385. -№ 4. - С. 1-3.
9. Беринский И.Е., Кривцов А.М., Кударова А.М. Определение изгиб-
ной жесткости графенова листа // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. -№ 1. - С. 57-65.
10. Miller R.E., Shenoy VB. Size-dependent elastic properties of nano-sizedstructural elements // Nanotechnology. - 2000. - V. 11. - P. 139147.
11. Shenoy V.B. Atomic calculations of elastic properties of metallic fcc crystal surfaces // Phys. Rev. B. - 2005. - V. 71. - No. 9. - P. 94104.
12. Duan H.L., Wang J., Karihaloo B.L. Theory of elasticity at the nanoscale // Adv. Appl. Mech. - 2009. - No. 42. - P. 1-68.
13. Gibbs J.W. The Scientific Papers of J. Willard Gibbs. V. 1. - London: Longmans-Green, 1906.
14. Gurtin M.E., Murdoch A.I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1975. - V. 57. - No. 4. -P. 291-323.
15. Gurtin M.E., Murdoch A.I. Surface stress in solids // Int. J. Solids Struct. - 1978. - V. 14. - P. 431-440.
16. Lim C.W., He L.H. Size-dependent nonlinear response of thin elastic films with nano-scale thickness // Int. J. Mech. Sci. - 2005. - V. 46. -No. 11. - P. 1715-1726.
17. HuangD.W. Size-dependent response of ultra-thin films with surface effects // Int. J. Solids Struct. - 2008. - V. 45. - No. 2. - P. 568-579.
18. Mogilevskaya S.G., Crouch S.L., Stolarsk H.K. Multiple interacting circular nano-inhomogeneities with surface/interface effects // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - V. 56. - P. 2298-2327.
19. Tian L., Rajapakse R.K.N.D. Analytical solution for size-dependent elastic field of a nanoscale circular inhomogeneity // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 2007. - V. 74. - No. 5. - P. 568-574.
20. Tian L., Rajapakse R.K.N.D. Elastic field of an isotropic matrix with nanoscale elliptical inhomogeneity // Int. J. Solids Struct. - 2007. -V. 44. - P. 7988-8005.
21. Греков М.А., Язовская А.А. Эффект поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения в упругом теле с эллиптическим наноотверстием // ПММ. - 2014. - Т. 78. - № 2. - С. 249261.
22. Vakaeva A.B., Grekov M.A. Effect of Surface Stresses in an Elastic Body with a Curvilinear Nanohole // Proc. Int. Conf. Stabil. Control Proc. in Memory of V.I. Zubov, SCP 2015. - 2015. - P. 440-443.
23. Алътенбах X., Еремеев В.А., Морозов Н.Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений // МТТ. - 2010. - № 3. - С. 30-44.
24. Ru C.Q. A strain-consistent elastic plate model with surface elasticity // Continuum Mech. Thermodyn. - 2016. - V. 28. - P. 263-273.
25. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Континуальная модель изгиба и колебаний многослойной нанопластины // Физ. мезо-мех. - 2016 - Т. 19. - № 6. - С. 27-33.
26. Бауэр С.М., Каштанова С.В., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. Об устойчивости пластины нанометровой толщины, ослабленной круговым отверстием // Докл. РАН. - 2014. - Т. 458. - № 2. -С. 158-160.
27. Kirsch E.G. Die Theorie der Elastizität und die Bedurfnisse der Festigkeitslehre // Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. -1898. - V. 42. - P. 797-807.
28. CiarletP.G., RabierP. Les Equations de von Karman: Lecture Notes in Mathematics. V. 826. - Berlin: Springer-Verlag, 1980.
29. ПапковичП.Ф. Строительная механика корабля. Ч. II. - Л.: 1941. -960 с.
30. Povstenko Yu.Z. Theoretical investigation of phenomena caused by heterogeneous surface tension in solids // J. Mech. Phys. Solids. -1993. - V. 41. - P. 1499-1514.
31. Бочкарев А.О., Греков М. А. Локальная потеря устойчивости пластины с круговым наноотверстием при одноосном растяжении // Докл. РАН. - 2014. - Т. 457. - № 3. - С. 282-285.
32. Bochkarev A.O., Grekov M.A. On symmetrical and antisymmetrical buckling of a plate with circular nanohole under uniaxial tension // Appl. Math. Sci. - 2015. - V. 9. - No. 125. - P. 6241-6247.
33. Bochkarev A.O., Grekov M.A. The Influence ofthe Surface Stress on the Local Buckling of a Plate with a Circular Nanohole // Proc. Int. Conf. Stabil. Control Proc. in Memory of V.I. Zubov, SCP 2015. -2015. - P. 367-370.
34. Mihlin S.G. Variational Methods in Mathematical Physics: Int. Series of Monographs in Pure and Appl. Physics. Vol. 50. - Pergamon Press, 1964.
35. Бочкарев А.О., Далъ Ю.М. Локальная устойчивость упругих пластин с вы1резами // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 308. - № 2. -С. 312-315.
Поступила в редакцию 26.01.2017 г.
Сведения об авторах
Бочкарев Анатолий Олегович, к.ф.-м.н., доц., доц. СПбГУ, [email protected] Греков Михаил Александрович, д.ф.-м.н., проф., проф. СПбГУ, [email protected]
