Континуальная модель изгиба и колебаний многослойной нанопластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.622 : 534.01 : 639.6

Континуальная модель изгиба и колебаний многослойной

нанопластины

Н.Ф. Морозов1, П.Е. Товстик1, Т.П. Товстик2

1 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия 2 Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия

Предложена приближенная модель для вычисления прогиба и частот свободных колебаний шарнирно опертой многослойной прямоугольной нанопластины с графеновыми слоями. Межслойные промежутки моделируются фиктивными пластинами малой жесткости. Полученная многослойная пластина заменяется эквивалентной пластиной Тимошенко-Рейсснера. Для прогибов и частот колебаний получены явные формулы.

Ключевые слова: многослойная нанопластина, континуальная модель, шарнирная опора, частоты колебаний, прогиб

Continuum model of multilayer nanoplate bending and oscillation

N.F. Morozov1, P.E. Tovstik1, and T.P. Tovstik2

1 Saint Petersburg University, St. Petersburg, 199034, Russia 2 Institute ofProblems ofMechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia

An approximate model has been proposed to calculate the deflection and eigenfrequencies of a hinged rectangular multilayer nanoplate with graphene layers. The interlayer spacings are modeled by fictitious low-stiffness plates. The obtained multilayer plate is replaced by an equivalent Timoshenko-Reissner plate. Explicit formulas are derived for deflections and eigenfrequencies.

Keywords: multilayer nanoplate, continuum model, hinged support, oscillation frequency, deflection

1. Введение

Рассматриваются поперечный изгиб и свободные колебания тонкой пластины кристаллического графита. С одной стороны, графит можно считать однородным трансверсально изотропным материалом, для которого с той или иной степенью точности определены пять модулей упругости [1-7]. С другой стороны, пластину графита можно рассматривать как систему слоев гра-фена. Графен состоит из взаимодействующих между собой атомов углерода, которые в положении равновесия расположены в вершинах правильных шестиугольников. Для моделирования деформации вводятся потенциалы взаимодействия между атомами. Парный потенциал (например потенциал Леннарда-Джонса), зависящий от расстояния между атомами, пригоден для алмаза, однако недостаточен для графена. Для описания деформации в плоскости графена необходимо дополнительно ввести потенциал, учитывающий изменение угла между тремя соседними атомами. Для описания изгиб-

ной деформации вводятся еще два потенциала, зависящие от положения четырех соседних атомов и учитывающие выход одного из них из плоскости трех остальных. Наиболее часто используется потенциал DREIDING [8, 9]. Одним из способов исследования деформаций и колебаний графена (как и других объектов на нано-уровне) является моделирование движения многих частиц— метод молекулярной динамики [8-11]. Другой возможностью является замена графена эквивалентной сплошной средой [12-15]. Из этих работ следует, что в некоторых пределах графен можно моделировать двухмерным изотропным однородным объектом, имеющим конечные жесткость К 0 на растяжение и жесткость D0 на изгиб. Также графен можно моделировать трехмерной изотропной однородной пластиной толщины Ь* = (12 Ко^о)Х11 [14].

Взаимодействие слоев графена осуществляется относительно малыми силами Ван-дер-Ваальса. Имея в виду рассмотрение графита, в данной работе промежу-

© Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П., 2016

ток между слоями графена, через который осуществляется их взаимодействие Ван-дер-Ваальса, моделируем фиктивным изотропным слоем с относительно малой жесткостью. В результате приходим к многослойной пластине с чередующимися жесткими и мягкими слоями.

Изгиб и свободные колебания неоднородной пластины с сильно различающимися по толщине модулями упругости рассмотрены в [16, 17]. С использованием результатов асимптотического интегрирования задача для неоднородной пластины приводится к уравнению Тимошенко-Рейсснера для однородной пластины, приближенно эквивалентной рассматриваемой. Для прямоугольной пластины с шарнирно опертыми краями в случае гармонической нагрузки прогиб получен в явном виде. Также в явном виде получена формула для частот поперечных колебаний. Полученные формулы используются для шарнирно опертой пластины графита, состоящей из слоев графена, в предположении, что изгиб-ная жесткость определяется деформацией графена, а жесткость на поперечный сдвиг — фиктивным слоем. На основании опубликованных данных проводится идентификация физических параметров графита и гра-фена с целью получения параметров, входящих в формулы, приведенные в разделе 3. Приводятся некоторые численные результаты для частот колебаний прямоугольной пластины с шарнирно опертыми краями.

2. Изгибная деформация и колебания многослойной пластины

Уравнения равновесия трансверсально изотропной пластины имеют вид:

дxj +/i = 0, i, j = 1,2,3,

<11 = = E11e11 + E12e22 + E13e33, <12 = G12e12,

<22 : = E12еп + E11е22 + E13e33, 513 = G13e13,

533 = = E13еп + E13е22 + E33e33, <23 = G13e23,

eii = дui е дui + дUj i _ дхi ' j дxj дх1

Здесь х1, x2 — декартовы координаты в тангенциальных направлениях, x3 = z — в направлении нормали; u1, u2, u3 = w — соответствующие проекции перемещения; е j — деформации; 5ij — напряжения; / — плотности внешних сил. При рассмотрении свободных колебаний с частотой ю / = peo ui, где р — плотность материала. Считаем, что модули упругости Eij, Gij и плотность р не зависят от х1 и x2 и являются кусочно-постоянными функциями z, причем E11 = E12 + 2G12. Введем новые неизвестные функции

дщ + дщ duj дщ дх1 дх2 ' дх2 дх1 '

(2)

5 = -

д<1з д<

23

т = -

д<1з д<

23

дх1 дх2 дх2 дх1

Тогда система (1) распадается на систему уравнений второго порядка

дт „. „ dv т

—+G12Av+m = а — =—,

dz dz G, -

(3)

л д2 д2

A =-+-

дх1 дх2

m1 =

дх2

13

дх1

которая описывает пограничный слой и здесь не рассматривается, и на систему четвертого порядка

дw

m

д5

■ = -cv,u +■

33

E33 дz

дu

— = -Aw+-

= -E0Au - cvA<33 - m,

д<

(4)

33

= -5-/3,

-Ч —и--- V--33 ' -ч

дz дz

коэффициенты которой являются кусочно-постоянными функциями г, причем

13

- Ео = E11 - E1" E

-и'

Е ¿Л Л ...

1-2'т =Т1 + Т2 • (5)

^33 е33 1 -V2 дх1 дх2

В [16] построено приближенное решение системы (4) второго порядка точности по отношению к малому параметру тонкостенности. Анализ этого решения показал [17], что в случае сильно неоднородной в поперечном направлении пластины следует учитывать поперечный сдвиг и можно пренебречь остальными членами второго порядка малости. В результате для описания изгибной деформации многослойной пластины предлагается использовать уравнение

(6)

основанное на модели Тимошенко-Рейсснера для трансверсально изотропной однородной пластины, которая по прогибу эквивалентна рассматриваемой многослойной пластине.

В уравнение (6) входят интегральные характеристики многослойной пластины: w( х1, х2) — поперечный прогиб (одинаковый для всех слоев), F3 (х1, х2) — плотность поперечной нагрузки и D — изгибная жесткость, Г — жесткость на поперечный сдвиг, вычисляемые по формулам [17]

DA2w = F3 -—AF3,

3 Г 3

D = j(z - a)2E0(z)dz,

1=_Lr

1

(7)

г D 2¿ G13( z)

j (z - a)E0(z )dz

dz.

Здесь и < z < И (И = ЪНк — полная толщина пластины); а — координата нейтрального слоя (для рассматриваемой здесь симметричной по толщине пластины

а = И 2).

В задачах поперечных колебаний к нагрузке F3 следует добавить силы инерции -qид 2 w/дt2, где ди — масса единицы площади пластины.

Рис. 1. Схема обычной пятислойной пластины (а), трехслойного графена (б) и его модели

Рассмотрим прямоугольную пластину 0 < x1 < Ц, 0 < x2 < L2 с шарнирно опертыми краями под действием поперечной гармонической нагрузки:

F3 (xx, Х2) = F30 sin (r x) sin (Г2 X2), (8)

П П

Г =—, r2 =— • 1 L 2 L L1 l2

Тогда прогиб пластины также будет гармоническим: w (x1, x2) = w0 sin (r1x1) sin (r2x2), (9)

T70 770

0 F3 F3 2 2 2

w = wb + ws' wb ^7-4' ws = 7^ r = r1 + r2' Dr ir

где wb и ws—изгибная и сдвиговая составляющие прогиба [18]. Введем безразмерный сдвиговой параметр

ws

w

Dr2 |М2Е

(10)

% 1 ^3

ц 2 = (гЬ)2 = (пк)2(1/ ¿2+1/ ¿2), где ц — параметр тонкостенности.

Формула (9) принимает вид = wb (1 + g). Если

жесткости слоев имеют один порядок, то величина g «

2

«ц2 << 1 и может быть отброшена. В результате приходим к изгибной модели Кирхгофа-Лява. Если, наоборот, часть слоев имеет малую жесткость G13 на поперечный сдвиг, то в силу формулы (7) величина 1/ Г становится большой и параметр g (а вместе с ним и слагаемое ws) становится существенным.

При рассмотрении свободных колебаний с частотой ш считаем = q0 ш w. Подставляя силу инерции в формулу (9), после сокращения на ^ получаем формулу для наименьшей частоты поперечных колебаний:

2 Dr4 о2 = -

■ (11)

00 (1 + g)

Заметим, частоты колебаний по формам вида w = = w0 sin (pr1x1)sin(qr2x2) (p, q = 1, 2,...) вычисляются по

тем же формулам (10), (11), в которых следует считать 2 2 2 2.2 2 r = rpq = Р r1 + q r2 .

Расчеты [17], заключающиеся в сравнении результатов, найденных по приближенным формулам (9), (11) и при численном интегрировании системы (4), показали, что область применимости этих формул ограничена неравенством

g < 1. (12) При g >> 1 ошибка возрастает (см. также п. 5, где установлено, что для частот многослойной нанопласти-ны область применимости этих формул существенно шире).

3. Модель изгиба многослойной нанопластины

Рассмотрим симметричную по толщине наноплас-тину, состоящую из (п + 1) слоя графена (рис. 1, б). Моделируем пластину трансверсально изотропной однородной пластиной Тимошенко-Рейсснера и найдем входящие в уравнение (2) эквивалентные жесткости В и Г на изгиб и поперечный сдвиг. Будем пренебрегать толщиной графеновых слоев по сравнению с расстоянием Ь0 между ними. Тогда толщина пластины Ь = пЬ0.

При вычислении жесткости В пластины на изгиб учитываем жесткость на изгиб В0 отдельных слоев и их жесткость К0 на растяжение и пренебрегаем влиянием жесткости промежутков между слоями. При вычислении интегралов по формулам (7) используем представление

E0(z) = ^0 X S(z-

k=0

(13)

где 5^) — дельта-функция Дирака. Тогда получим В = (п +1) В0 + а^ К0 = апЬ1 К)(1 + ^), (14)

а п = п(п + 1)(п + 2)/12.

Формула (14) аналогична формуле В = (3п -1) А1 + + (п - 1)п(п +1)А2, полученной в [15] при изгибе многослойной треугольной решетки. Расчеты показывают (см. п. 4), что = (п +1)В0/(аЬК0) << 1. Поэтому пренебрегая изгибной жесткостью отдельных слоев, положим приближенно В = апЬ0 К 0.

При вычислении эквивалентной жесткости нанопластины на сдвиг, наоборот, пренебрегаем податливостью на сдвиг графеновых слоев и учитываем только податливость G103 фиктивных слоев. По формулам (7) с учетом (13) получаем

а п (п2 + 2п + 2)

1 РА3 К2 " ( 2

Г D G 9 Уп

в п =

13

10

(15)

Перепишем формулы (14) и (15) в виде

В = аА2К0,1 = , Уп = п2+2п+2 .

п 00 Г 5й0с103 п п(п + 1)(п + 2)

Сдвиговой параметр (10) записывается в виде

(16)

Dr2

К

(17)

п п 0/ М 7 п2 + 2п + 2 G = М0 = rh0' gn =-10-,

где K и G — жесткость нанопластины на растяжение и поперечный сдвиг.

Таблица 1

Модули упругости графита, ГПа

[2] [5] [3] Настоящая работа

Ец Сц 1060 1109 1050 1085

Е12 С12 180.0 139.0 168.5 -

Е13 С13 15.0 0.0 7.9 10.0

Е33 С33 36.5 38.7 36.5 37.6

^3 С44 4.00 4.95 5.00 4.50

Теперь амплитуда прогиба шарнирно опертой пластины графита под действием гармонической нагрузки и первая частота свободных колебаний определяются соответственно по формулам (9) и (11).

4. Идентификация параметров графита (многослойного графена) и однослойного графена

Обзор многочисленных исследований по теоретическому и экспериментальному определению параметров графита и графена содержится в [4, 7, 14]. В табл. 1 приведены взятые из [7] значения модулей упругости Еу, Gij графита, рассматриваемого как трансверсально изотропный однородный материал.

В последнем столбце табл. 1 приведены значения, используемые при последующих расчетах. Расстояние между слоями графена ^ = 0.334 нм. С учетом формулы (5) находим продольную жесткость слоя графена

К0 = Е0^ = 362 Н/м.

Изгибная жесткость D0 слоя графена по разным источникам [14] лежит в пределах (0.13^ 0.58) • 10-18 Дж. Вопрос о величине D0 обсуждается в п. 5. Возьмем D0 = 0.2 • 1018 Дж и оценим величину £п, равную отношению слагаемых в формуле (14). Тогда относительная погрешность, возникающая при пренебрежении изгибной жесткостью, убывает с ростом числа слоев (п + 1) и равна: £ = 0.02, £2 = 0.007, £3 = 0.004. Считаем, что жесткость G103 на поперечный сдвиг фиктивного слоя между слоями графена равна жесткости G13 графита.

5. Свободные колебания многослойной

нанопластины

Первая частота поперечных колебаний шарнирно

опертой прямоугольной пластины со сторонами Ь1, L2

определяется по приближенной формуле (11). Выразим частоту в герцах и преобразуем ее к виду, в котором

выделена зависимость от числа слоев и от размеров

пластины (при этом учитываем, что массовая плотность на единицу площади многослойной пластины равна q0 = (п + 1)р0, где р0 = 7.608 • 107 кг/м2 — плотность

одного слоя [13]):

=

1

Dr*

2 qo(1 + gn )

= ц 0^

п( п + 2)

1 + gn 9

где

ц 0 = ^0 = п h0

1 1

Т + 72

1

V* =-

1

К

(19)

= 3-1012 (Гц)

2 ^ 12Й02Р0 Сдвиговой параметр gn запишем в виде

2 , о , пч.,2 К

gn = (П + 2П + 2)^0g*, g*

^0_-

24.1. (20)

10hoGlз

Здесь величины V* и g* зависят от принятых значений параметров графита. Старшие частоты с учетом замечания после формулы (11) могут быть найдены по формуле (18).

На рис. 2 приведены зависимости V п (ц 0) при п = = 1,..., 5, построенные по формуле (18) (для сравнения приведена также частота V0 (ц0) для однослойного графена, обсуждаемая в п. 6). Заметим, что с ростом п частоты Vп растут незначительно. Это объясняется тем, что при ц0 ~ 1 параметр g >> 1 имеет порядок нескольких сотен (табл. 2). Поэтому при вычислении Vп по формуле (18) можно приближенно считать 1 + gn - gn. Несмотря на большое влияние поперечного сдвига, погрешность е = (Vп - VnX)/vпХ приближенных значений V п, приведенных на рис. 2, не превосходит 2 % по сравнению с точными решениями V Пх системы (4).

Рассмотрим формулу (18) для квадратной пластины со стороной L. Тогда

ц 0 =Ял/2х *, = L/h0 >> 1. (21)

0.00

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 |и0 Рис. 2. Зависимости Vп(ц0) (в разных масштабах)

Таблица 2

Частоты колебаний Vп(ц0) и их погрешности

Ц0 ¿* п = 1 п = 3 п = 5

gn vn,ТГц е, % gn vn 5ТГц е, % gn vn 5ТГц е, %

0.05 88.9 0.3 0.072 -0.1 1.2 0.128 -0.2 2.2 0.155 -0.6

0.1 44.4 1.2 0.220 -0.1 4.1 0.323 -0.4 8.9 0.354 -1.4

0.2 22.2 4.8 0.541 -0.0 16.4 0.700 -0.7 35.7 0.737 -2.2

0.4 11.2 19.3 1.16 +0.2 65.6 1.44 -0.6 142.7 1.52 -2.2

1.0 4.4 120.5 2.96 +1.5 409.7 3.60 +1.4 891.7 3.73 +0.0

О погрешности формулы (18) можно судить по табл. 2, в которой для ряда значений ц0 приведены частоты при п = 1, 3, 5, вычисленные по формуле (18), и их погрешности.

В обозначениях (21) формулы (18)-(20) для квадратной пластины запишутся в виде

У„ = -

2п2У»

п(п + 2)

1+ gn '

„2 п + 2п + 2

gn = 2п g»-"2-.

Из формул (22) следует, что при gn << 1 2п^»Л/ п(п + 2)

V п = -

¿*

(22)

(23)

т.е. частота обратно пропорциональна площади пластины. Если gn >> 1, полагая приближенно 1 + gn = gn, получим

Лл/^»

V п =-

п2 + 2п

V»» =-

- = 2.7 1012, (24)

V п2 + 2п + 2

откуда следуют линейность функций V п (ц0) при ц0 ~ 1 (рис. 2) и слабая их зависимость от п.

Общие принципы исследования колебаний многослойной пластины графена, основанные на нелокальной теории упругости, обсуждаются в [19]. Задача приводится к системе ортотропных пластин, силы взаимодействия между которыми пропорциональны изменению расстояния между ними. Межслойный сдвиг не учитывается, численные примеры не приводятся.

В [6] описывается способ экспериментального определения жесткости графита путем рассмотрения колебаний пластины по балочной модели. При этом отмечается, что определяющей может быть жесткость на изгиб или на сдвиг. Для частот колебаний Vb и V,, (в наших обозначениях) получаются соответственно формулы

. ь Е . 1 г&

VЬ = АЬ 72Л/ ' Vs = —

где безразмерные коэффициенты Аь и А,, зависят от условий закрепления. Отметим в связи с этим, что формула (18) учитывает жесткость и на изгиб, и на сдвиг.

6. Поперечные колебания пластины однослойного графена

Спектр изгибных частот свободных колебаний v0Pq) прямоугольной пластины однослойного графена с шар-

нирно опертыми краями имеет вид

2

V pq) = ^

0

2п

(25)

рп + qп

¿1 \ 1 ¿2 2

р, q = 1, 2,

Примем В0 = 0.2 •

= Л,(11)=,

10-

Дж, тогда наименьшая частота v0 = = 0.73 ц^ ТГц, ц0 = г(11) Ь. Кривая v0(ц0) показана на рис. 2.

Формула (25) получена в предположении, что для однослойного листа графена можно использовать континуальную модель изотропной пластины с изгибной жесткостью В0. В [14] отмечается, что по различным источникам величина В0 лежит в пределах (0.13^0.26)х х 10-18 Дж и в то же время указывается, что эта величина в зависимости от значения коэффициента Пуассона лежит в пределах (0.35^0.58) • 10-18 Дж. Для многослойной нанопластины разброс в этих значениях не имеет существенного значения, поскольку влияние из-гибной жесткости мало. Для однослойного графена в силу формулы (14) В = В0 и величина В0 имеет определяющее значение.

С другой стороны, если частоты VоPq) известны, величину В0 можно определить по формуле (25). В работах [11, 20] для прямоугольного листа графена, содержащего 464 атома углерода, методом молекулярной динамики по модели DREIDING были найдены несколько первых частот колебаний. Ниже по первой частоте v011) по формуле (25) найдена величина В0, а затем при этой величине В0 найдены старшие частоты, которые сравниваются с частотами из [10, 11] (табл. 3). В [10, 11] приняты следующие размеры пластины, по которым найдена В0: Ьх = 3.433 нм, ¿2 = 3.266 нм, В0 = 0.4764 •Ю-18 Дж [11] и 3.233 нм, ¿2 = = 3.183 нм, В0 = 0.5474 • 10-18 Дж [20].

Согласие формулы (25) с результатами [11] удовлетворительное, с результатами [20] — несколько хуже.

Таблица 3

Сравнение частот колебаний v0pq) (ТГц) прямоугольного листа графена

(pq) [11] (25) err, % [20] (25) err, %

(11) 0.222 0.222 0.0 0.259 0.259 0.0

(21) 0.533 0.538 0.9 0.623 0.641 2.8

(12) 0.566 0.572 1.0 0.656 0.654 0.3

(22) 0.878 0.888 1.1 1.006 1.036 2.9

(13) 1.132 1.154 1.9 1.222 1.311 6.8

Таблица 4

Слагаемые в ряду (28) при n = 1, 2, ..., 5

n К aii a13 a33 a15 a35 a55 2

1 0.03242 2.205 0.094 0.016 0.020 0.005 0.002 2.035

2 0.00811 3.410 0.174 0.031 0.038 0.10 0.004 3.115

3 0.00324 5.097 0.286 0.052 0.064 0.016 0.007 4.616

4 0.00162 7.266 0.431 0.079 0.098 0.025 0.010 6.541

5 0.00093 9.917 0.608 0.111 0.138 0.035 0.014 8.894

Из проведенных расчетов следует, что замена листа графена изотропной пластиной не приводит к большим ошибкам.

Здесь сравнивались две теоретические модели — предлагаемая нами и модель DREIDING. Более интересно было бы определить изгибную жесткость графена D0 из экспериментальных результатов. Однако при этом, оставляя в стороне сложности самих экспериментов, возникает трудность, связанная с тем, что в эксперименте определяется резонансная частота. При резонанс е в связи с ростом амплитуды прогиба задача становится нелинейной и на резонансную частоту влияют уже три основных фактора — изгибная жесткость, жесткость на растяжение и силы сопротивления. Подробнее вопрос о вынужденных колебаниях обсуждается в [6].

7. Прогиб многослойной нанопластины

Амплитуда wn прогиба (n + 1)-слойной шарнирно опертой пластины под действием нагрузки F3 (Xj, x2) = = F30 sin (rjXj) sin (r2x2) определяется по приближенной формуле (9):

Wl = f!±&L = f =F

J3 4 J3 л _4 ' f3 ^

E,

■0

(26)

h "J J 4п4ай J Eo

где an, ц0 и gn имеют прежние значения (14), (19) и (20), причем формула с L* записана для квадратной пластины. При gn < 1 прогиб пропорционален L* и обратно пропорционален an ~ п. При gn >> 1 прогиб пропорционален L* и отношению gn/an ~1/ n.

Найдем прогиб wn в центре квадратной пластины под действием постоянного давления F3 (x1, x2) = F30 = = const. Разложим нагрузку в ряд Фурье:

F3 = F0

16 . I рпх ] . I аШ2 -r-sinl ——1 I sin1 -—2

(27)

где суммирование ведется только по нечетным р и q, поскольку остальные слагаемые дают нулевой прогиб в центре пластины. Слагаемые, составляющие прогиб , находим по формуле (26), меняя в ней параметр ц0 в соответствии с замечанием после формулы (11):

= ц у (_1)*д а = 1 + ^(ц pq)

, "п V V р^ pq 4 '

«0 РЛ=1Д... PqЦpq

(28)

Ц =_т_ ц =ц

К = п4 апц0 ' цpq = 4 2 '

где к = ^ - р)/2. В частности, ц11 =ц0, ц13 = л/5ц0,

ц33 = 3ц0, ••• •

В табл. 4 приведены результаты расчетов по формуле (28) при ц0 = 0.1, 73 = 10-6. Использованы первые 6 слагаемых, причем У = ап - 2ав + «33 + а^ - 2«35 + а55. Видим, что ряд (28) быстро сходится и первое слагаемое определяет основную часть прогиба.

Вычисление прогиба под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в центре пластины, вызывает трудности. Положим F3(х1, х2) = Р8(х1 -1/2)х х8(х2 -12). Разложение дельта-функции в ряд Фурье приводит к формуле, аналогичной (28):

Wn

ho

= К 2 a p

(29)

p,q=1,3,...

^K1 + gn (M> pq ))

apq

M-pq

К =

4/3

4 4 '

п aйЦо

в которой ряд расходится. Впрочем, несколько первых членов этого ряда дают представление о прогибе под действием силы, распределенной по площадке в центре пластины.

8. Заключение

Предложена приближенная модель для вычисления прогиба и свободных колебаний многослойной нано-пластины с графеновыми слоями. Межслойные промежутки моделируются фиктивными пластинами малой жесткости. Полученная многослойная пластина заменяется эквивалентной пластиной Тимошенко-Рейсснера. Для прогибов и частот колебаний получены явные формулы, причем для частот колебаний проведена оценка погрешности, совершаемой при выводе этих формул. Вопрос же об оценке погрешности, связанной с использованием модели пластины с фиктивными слоями, остается открытым.

Для вычисления изгибной деформации обычных многослойных пластин с сильно различающейся жесткостью слоев можно использовать эквивалентную однородную трансверсально изотропную пластину, деформации и колебания которой описываются моделью Ти-

мошенко-Рейсснера. Введение между слоями графена фиктивных слоев с малой жесткостью позволяет использовать эту модель и для многослойного графена. При этом изгибная жесткость пластины определяется жесткостью графена в его плоскости, а сдвиговая податливость пластины зависит от податливости фиктивных слоев.

Работа выполнялась при поддержке грантов РФФИ №№ 16.01.00580-а, 16.51.52025 МНТ-а и гранта СПбГУ № 6.38.337.2015.

Литература

1. Kelly B.T. Physics of Graphite. - London: Applied Science Publ., 1981.- 477 p.

2. Blakslee O.L., Proctor D.G., Seldin E.J., Spence G.B., Wang T. Elastic constants of compression-annealed pyrolytic graphite // J. Appl. Phys. - 1970. - V. 41. - P. 3373-3389.

3. Cousins C.S.G. Elasticity of carbon allotropes // Phys. Rev. B. - 2003. -V. 67. - P. 024107.

4. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые

материалы XXI века. - М.: Техносфера, 2003. - 336 c.

5. Bosak A., Krisch M, Mohr M, Maultzsch J., Thomsen C. Elasticity of

single-cristalline graphite: X-ray scattering study // Phys. Rev. B. -2007. - V. 75. - P. 153408.

6. Bunch J.S. Mechanical and Electrical Properties of Graphene Sheets / Dissertation. - Cornel Univ., 2008.

7. Гольдштейн P.B., Городцов B.A., Лисовенко Д.С. К описанию мно-

гослойных нанотрубок в рамках моделей цилиндрически анизотропной упругости // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 5. -С. 5-14.

8. Mayo S.L., Olafson B.D., Goddard W.A. A generic force field for mole-

cular simulations // Proc. Chem. - 1990. - V. 94. - P. 8897-8909.

9. Wackerfuss J. Molecular mechanics in the context of the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 2009. - V. 77. - P. 969997.

10. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. - М.: Физматлит, 2007. - 304 c.

11. Алехин B.B., Аннин Б.А., Бабичев A.B., Коробейников С.Н. Собственные колебания и выпучивание графеновых листов // Изв. РАН. МТТ. - 2013. - № 5. - С. 34-38.

12. Товстик П.Е., Товстик Т.П. Статический и динамический анализ двухмерных решеток графита // Изв. РАН. МТТ. - 2012. - № 5. -C. 35-43.

13. МорозовН.Ф., ТовстикП.Е., Товстик Т.П. Континуальная модель деформации графена // Вестник СПбГУ Сер. 1. - 2014. - Т. 1. -№ 1. - С. 134-143.

14. Беринский И.Е., Кривцов A.M., Кударова A.M. Определение из-гибной жесткости графенового листа // Физ. мезомех. - 2014. -Т. 17. - № 1. - С. 57-65.

15. Иванова Е.A., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова A.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // ДАН. - 2003. - Т. 391. - С. 455-458.

16. Товстик П.Е., Товстик Т.П. Уравнения изгиба пластины второго порядка точности // Докл. РАН. - 2014. - Т. 457. - № 6. - С. 660663.

17. Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Обобщенная модель Тимошенко-Рейсснера сильно неоднородной по толщине пластины // Докл. РАН. - 2016. - Т. 469. - С. 562-566.

18. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. - М.: Наука, 1982. -568 с.

19. Adali S. Variational principles and natural boundary conditions for multilayered orthotropic graphene sheets undergoing vibrations and based on nonlocal elastic theory // J. Theor. Appl. Mech. - 2013. -V. 49. - P. 621-639.

20. Gupta S.S., Batra R.C. Elastic properties and frequencies of free vibrations of single-layer graphene sheet // J. Comput. Theor. Nano-science. - 2010. - V. 7. - No. 10. - P. 2151-2164.

Поступила в редакцию 28.06.2016 г.

Сведения об авторах

Морозов Никита Федорович, д.ф.-м.н., акад. РАН, зав. каф. СПбГУ, morozov@nm1016.spb.edu Товстик Петр Евгеньевич, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. СПбГУ, peter.tovstik@mail.ru Товстик Татьяна Петровна, к.ф.-м.н., снс ИПМаш РАН, tovstik_t@mail.ru