CC BY
78
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 291-301 Науки о земле
УДК 624.19:539.3
Математическое моделирование взаимодействия обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения с массивом грунта
П.В. Деев
Аннотация. Предложен метод определения напряженного состояния обделок параллельных некруговых тоннелей мелкого заложения. Метод основан на строгом аналитическом решении плоской задачи теории упругости о напряженном состоянии двухслойных колец, подкрепляющих отверстия произвольной формы в весомой линейно-деформируемой полуплоскости. Приводятся примеры расчета.
Ключевые слова: параллельные тоннели, мелкое заложение, обделка, напряженное состояние, моделирование, теория упругости.
Параллельные тоннели, форма поперечного сечения которых отличается от круговой, достаточно широко распространены в практике подземного строительства. Сооружение параллельных тоннелей, как правило, ведется последовательно, и проходка каждого нового тоннеля вызывает перераспределение напряжений в обделках существующих тоннелей, что в некоторых случаях может привести к разрушению обделок.
В нашей стране для определения напряженного состояния обделок параллельных тоннелей некругового очертания используются инженерные методы расчета, численное моделирование с помощью метода конечных элементов и современные аналитические методы расчета.
Инженерные методы расчета, рекомендуемые нормативными документами, основаны на устаревших представлениях о работе подземного сооружения как обычной строительной конструкции под действием заданной нагрузки и не дают возможности учесть взаимное влияние параллельных тоннелей. Результаты, полученные при использовании метода конечных элементов (МКЭ) для расчета полубесконечных областей, нагруженных несамоуравновешенной системой сил (именно такие задачи рассматриваются при моделировании напряженного состояния обделок тоннелей мелкого заложения), в значительной степени зависят размеров
рассматриваемой области, способа закрепления ее границ, размера и формы используемых элементов. Результаты, получаемые с помощью МКЭ, нуждаются в проверке, поскольку, в отличие от аналитических методов расчета, где достоверность получаемых результатов контролируется точностью удовлетворения граничных условий, в численном моделировании отсутствует строгий критерий истинности результатов.
Специалист по численному моделированию подземных конструкций А. Томас в работе [1] утверждает, что, несмотря на широкое распространение МКЭ в практике проектирования подземных сооружений, основная задача численного моделирования — это поиск слабых мест рассматриваемых проектных решений, при этом результаты, получаемые с помощью МКЭ, должны быть подтверждены натурными исследованиями, или с помощью инженерных методов расчета.
В основе современных аналитических методов расчета подземных сооружений лежит предположение о том, что обделка тоннеля обладает достаточной жесткостью, чтобы препятствовать значительным перемещениям контура выработки, поэтому зависимость между напряжениями и деформациями в массиве и обделке тоннеля можно считать линейной, и использовать для определения напряженного состояния обделок тоннелей решения задач теории упругости.
Метод расчета многослойных обделок круговых тоннелей мелкого заложения, позволяющий учесть влияние инъекционного укрепления грунта на напряженное состояние подземных сооружений, описан в работе [2]. В основу указанного метода положено аналитическое решение задачи о напряженном состоянии многослойных колец, подкрепляющих круговые отверстия в весомой полуплоскости. В статье [3] коллективом авторов предложен метод определения напряженного состояния некруговых обделок параллельных тоннелей глубокого заложения, основанный на решениях задач теории упругости о напряженном состоянии колец, подкрепляющих отверстия произвольной формы в бесконечной линейно-деформируемой среде.
В настоящей работе представлен аналитический метод расчета обделок параллельных тоннелей мелкого заложения, в том числе — двухслойных обделок и монолитных обделок тоннелей, сооружаемых с применением инъекционного укрепления грунта. Метод основан на аналитическом решении плоской задачи теории упругости о напряженном состоянии весомой полуплоскости, ослабленной отверстиями произвольной формы, подкрепленными двухслойными кольцами (рис. 1).
Здесь весомая полубесконечная среда £о с деформационными характеристиками Ео, щ, ослабленная конечным числом подкрепленных отверстий произвольной формы, моделирует массив грунта. Наружные слои колец Б1т (т = 1,..., N) с характеристиками Е1т, и1,т могут моделировать временную обделку тоннелей или зону грунта вокруг выработки, деформационные свойства которой изменились вследствие инъекционного
укрепления. Внутренние слои колец Б2,т с деформационными свойствами Е2,т, ^2,т моделируют постоянную обделку тоннеля. В случае, если тоннель имеет однослойную обделку и сооружается без применения инъекционного укрепления грунта, толщина наружного слоя Б\т полагается равной нулю. На линиях контакта Ь\,т и ¿2 ,т выполняются условия непрерывности векторов смещений и полных напряжений. Внутренние контуры колец свободны от внешних сил.
Напряжения в среде 50 и наружных слоях колец Б\т, моделирующих зоны укрепленного грунта вокруг выработок, представляются в виде сумм начальных напряжений, соответствующих напряженному состоянию ненарушенного массива, и дополнительных напряжений, обусловленных наличием подкрепленных отверстий:
„(0)* = _(0)(0) + _(0) _(0)* = _(0)(0) + _(0) (0)* = (0)(0) + (0)
их их I их , и у и у I и у , I Ху I Ху I / ху • Vх/
Начальные напряжения в формулах (1) определяются следующим образом:
„Х0)(0) = -^7(н1 - У), „у0)(0) = -7(Н1 - У), тХ0у)(0) = 0, (2)
где И — расстояние от границы полуплоскости Ь0 до центра прямоугольной системы координат, выбираемого обычно в центре окружности, описанной вокруг одного из отверстий; 7 — объемный вес грунта; Л — коэффициент бокового давления грунта в ненарушенном массиве.
Напряжения в наружных слоях колец, моделирующих обделки тоннелей, сооружаемые с применением инъекционного укрепления грунта, также представляются в виде сумм начальных и дополнительных напряжений. Граничные условия рассматриваемой задачи можно записать в следующем виде:
на Ьо
а,
(°) =о
у
Т(о) = о' ху
(3)
на Ьк,т (к = 0,1; т = 1,... ,М)
а(к+1)(т)* = а(к)(т)* и р и р 1
Т
и
(к+1)(т)$
= и
(к)(т)*
и
(к+1)(т)*
рв
(к+1)(т)*
Т
=и
(к)(т)* рв , (к)(т)*;
— на ¿2,
(2)(т) р
аК~,К"~' = 0,
Т(2)(т)
Трв
0.
(4)
(5)
Здесь а{рк)(т)*,
Т
(к)(т)* рв
полные напряжения в средах ^1,
$2,т в системе криволинейных координат, связанных с конформными отображениями внешности единичной окружности на внешности контуров
Т (к)(т) (к)(т)
Ь2,т; их , и( — горизонтальные и вертикальные смещения в средах
50, Б1>т и Б2,т в декартовых координатах.
Рассматриваемая задача теории упругости решена с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [4]. Граничные условия (3) - (4), записанные с использованием указанных потенциалов, имеют вид (т = 1,... N)
— на ¿0
Ро(^) + ¿р'о(г) + фо(ь) = о-
(6)
на Ь
1,т
р1,т(^ — Хт) + ^ — Хт)^1т{Ь — Хт) + ф1,т(^ — Хт) =
= ро(¿) + ^0(Ь) + фо(^ + I ! [хП0,т) + гУП°'т)) йв-
¿0,1
^1,тр1,т(Ъ — Хт) — ^ — Хт)р1 т^ — Хт) — ф1,т(Ъ — Хт)
^1,
№
[жоЫ*) - *Ро(*) - Ш -
— на ¿2,
Р2,т{Ъ — Хт) + ^ — Хт)р2 т(^ — Хт) + ф2,т{Ъ — Хт) =
и
Р1,т(Ь - Хт) + & - гт)р'1,т(Ь - Хт) + ф1,т& - Хт) + ^ (Х^'™ + гУП1'т'))йв-
¿1 ,т
Ж2,тр2,т(£ — Хт) — ^ — Хт)р2,т(£ — Хт) — ф2,т(£ — Хт) = №2,т
^1'П
на ¿2,
[ж1,тР1,т(Ь - Хт) - ^ - Хт)р[т(Ь - Хт) - ф1,т(Ь - Хт)] - (8)
р2,т^ — Хт) + (£ — Хт)р2,т(£ — Хт) + ф2,т^ — Хт) = 0, (9)
где £ — комплексная координата точки контура; р1,т(х — Хт), ф1 ,т(Х — Хт),
р2, т(х Хт ), ф2 ,т(х Хт) функции, регулярные в слоях колец Sl'm, $2,т;
Жк,т = 3 — 4^к,т (к = 1, 2) — коэффициент вида напряженного состояния; №к' т — коэффициенты Ламе.
Комплексные потенциалы Ро(х), фо(х), характеризующие напряженно-деформированное состояние среды Sо, могут быть представлены в виде сумм комплексных функций Ро(х - Хз), фо (х — Хз), регулярных в нижней полуплоскости вне контуров Ьо 2:
N N
Ро(х) = ^ ро,з(х - Хз), фо(х) =^ [фо,з(х - Хз) - Хзр'о,з(х - Хз) . (10)
3=1 3=1
Осуществляя аналитическое продолжение комплексных потенциалов Ро,з(х - хз), фо,з(х — хз), через границу Ь'о в верхнюю полуплоскость, аналогично тому, как это было сделано в работах [5, 6], приходим к выражению указанных потенциалов через некоторые функции ро,з (х — Х3), фо,з (х — Х3), регулярные в полной плоскости вне контуров Ь1'з:
ро,з (х - Хз) = ро,з (х - Хз) - (х - Хз)р'о,з (х - Хз - 2гИз) - фо,з (х - Хз - 2гИз) +
2К* X (з,з) + гУ (з,з)
+Т-Т—ш, -^ыХТЖъГ [1п(х - Х] + 1п(х - Х —2гИз)] • (11)
фро,з (х — Хз) = фо,з (х — Хз) — Ро,з (х — Хз — 2гИз) + (х — Хз — 2гИз
х \-Р'о,з(х - Хз - 2гИз) + (х - Хз)р0,з(х - Хз - 2гИз) + фо,з(х - Хз - 2гИз^ +
(12)
2К* х(з'з) - гУ(з'з)
+ Х - Хз - 21И1 + 2Ж(1 + -Жо) [Жо 1п(Х - Хз 1 + 1п(Х - - 2гИз)] •
где
х(з,з) — гу(з,з)
к* = гИз----------7----, (13)
з з 2п(1 + Жо) ’ 1 ;
X (з'з) + гУ (з'з) — главный вектор действующих усилий, приложенный к контуру Ьз,з.
Функции (г — гз), ф0,з(г — гз) будем отыскивать в виде рядов
(14)
где К3 — средний радиус контура £0,3.
Далее осуществляем конформные отображения внешности единичной окружности в области ( на внешности контуров £2,3 с помощью отображающих функций
к=1
Затем определяем интегралы, входящие в граничные условия (8), и главные вектора усилий, приложенные к контурам Ь3, 3, входящие в выражения (11), (12).
Используя разложения
а также представления логарифмов в выражениях (11), (12) в виде комплексных рядов, можно записать граничные условия на контурах т-го кольца через переменные г — гт.
Далее, используя конформные отображения (15), можно записать граничные условия (7) - (9) на контурах каждого т-го кольца через комплексную переменную (, связанную с конформным отображением внешности единичной окружности на внешность внутреннего контура т-го кольца. Граничные условия, составленные таким образом для каждого т-го кольца, будут соответствовать граничным условиям задачи об одном двухслойном кольце в полной плоскости при наличии в граничных условиях дополнительных слагаемых, отражающих влияние остальных отверстий и границы полуплоскости. Правые и левые части полученных соотношений будут представлять собой комплексные ряды по степеням переменного (, что даст возможность, после приравнивания действительных и мнимых
п+1
г — г3 = ^3 (() = К3^ ¿З1 к (э = 1>---> М)■ (15)
(16)
£ — гз — 2гИз
п
(17)
где
(18)
(19)
частей коэффициентов, стоящих при одинаковых степенях комплексного переменного, представить граничные условия задачи в виде N бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов (14). При этом в правых частях рассматриваемых уравнений будут содержаться неизвестные коэффициенты, для определения которых будет использоваться итерационный процесс, впервые предложенный Н.Н. Фотиевой в работе [7].
После удержания в рядах (14) N * коэффициентов составленные N систем, каждая из которых имеет размерность 4N*, решаются при нулевых значениях неизвестных коэффициентов, стоящих в правых частях уравнений (первое приближение). Коэффициенты разложения в ряды комплексных потенциалов ^0(z — Zj), ф0j(z — Zj) (j = 1,..., N), найденные в первом приближении, позволяют определить значение неизвестных коэффициентов, стоящих в правых частях уравнений, и получить во втором приближении более точное решение. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разница между соответствующими коэффициентами рядов (14), полученными в двух последующих приближениях, не станет меньше некоторой заданной величины. После определения комплексных потенциалов напряжения в слоях колец определяются по известным формулам [4].
При возведении обделки тоннеля на некотором расстоянии lm от забоя выработки крепь воспринимает только часть деформаций породного массива, и реальные напряжения в обделке будут существенно ниже величин, получаемых из решения плоской задачи. Для учета расстояния между обделкой и забоем выработки результаты расчета умножаются на корректирующий множитель а*т, определяемый по формулам [8]:
а*т = 0,6exp(—1,38 lm/R0,m), а"т ^ 0,15 (m = 1,...,N). (20)
При расчете двухслойных обделок тоннелей корректирующий множитель определяется для каждого слоя.
На основе полученного решения плоской задачи теории упругости разработан новый аналитический метод расчета обделок параллельных тоннелей мелкого заложения, в том числе — двухслойных обделок и обделок тоннелей, сооружаемых с применением инъекционного укрепления грунта.
Ниже рассмотрен пример определения напряжений в обделках двух параллельных железнодорожных тоннелей. Поперечное сечение тоннелей и исходные данные приведены на рис. 2. Расчетное сопротивление бетона наружного слоя сжатию и растяжению составляет Rbt = 8, 5 МПа, Rbt = = 0, 75у МПа, бетона внутреннего слоя Rb = 17, 0 МПа и Rbt = 1,15 МПа. Наружные слои обделок сооружаются с отставанием 1 м, внутренние — на значительном расстоянии от забоя. Левый тоннель проходится первым. Влияние последовательности проходки тоннелей учитывается по методике, приведенной в работе [9].
Рис. 2. Поперечное сечение рассматриваемых тоннелей и исходные
данные для расчета
Распределение нормальных тангенциальных напряжений а^ на внутренних контурах наружных слоев обделок тоннелей после окончания строительства приведено на рис. 3.
стП МПа ст0°п) МПа
-0,20
Рис. 3. Нормальные тангенциальные напряжения на внутренних контурах наружных слоев обделок тоннелей: а — левый тоннель; б —
правый тоннель
Поскольку при расчете учитывалось влияние последовательности проходки тоннелей, а также различный характер работы слоев обделок, представленные на рис. 3а и рис. 3б эпюры не симметричны друг другу. Максимальные сжимающие напряжения в наружных слоях обделок тоннелей отличаются незначительно, а максимальные растягивающие
напряжения, имеющие место в лотке левого тоннеля, на 13 % выше аналогичных напряжений в обделке правого тоннеля. Следует также отметить, что растягивающие напряжения в своде обделки правого тоннеля и лотках обоих обделок превышают расчетное сопротивление применяемого бетона растяжению (Еы = 0, 75 МПа).
Нормальные тангенциальные напряжения на внутренних контурах постоянных обделок тоннелей после завершения строительства показаны на рис. 4.
ст0( 1 n) МПа а0( 1 n) МПа
-1,35
Рис. 4. Напряжения на внутренних контурах постоянных обделок тоннелей: а — левый тоннель; б — правый тоннель
Из сравнения эпюр напряжений, представленных на рис. 4а и рис. 4б, видно, что растягивающие напряжения в обделке левого тоннеля значительно выше аналогичных напряжений в обделке правого тоннеля. Растягивающие напряжения в своде обделки левого тоннеля в 2 раза, а в лотке — в 3,5 раза превышают расчетное сопротивление растяжению бетона внутреннего слоя (Rt = 1,15 МПа), что подтверждает необходимость армирования внутреннего слоя обделки.
В настоящее время разработаны модификации представленного в работе метода расчета, позволяющие определять напряженное состояние обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения при действии веса сооружений на поверхности, нагрузок от движущихся по поверхности транспортных средств, а также тоннелей, расположенных в обводненном массиве, и подводных тоннелей. Работа поддержана грантом Президента РФ МК-164.2009.5.
Список литературы
1. Thomas A.H. New challenges in numerical modelling // Proc. of the 11th Int. Conf. «Transport and City Tunnels», Prague 14-16 June 2010. Prague: Chzeh Tunnel Association ITA-AITES, 2010. P.721-725.
2. Анциферов С.В. Исследование напряженного состояния обделок тоннелей мелкого заложения, сооружаемых с применением инъекционного укрепления
грунта // Горный информационно-аналитический бюллетень. М.: Горная книга,
2008. № 10.
3. Оценка несущей способности параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения / Н.Н. Фотиева [и др.] // Горный информационно-аналитический бюллетень. М.: Горная книга, 2009. № 3.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
5. Араманович И.Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // Докл. АН СССР. 1955. Т.104, №3. С.372-375.
6. Расчет монолитных обделок взаимовлияющих параллельных круговых тоннелей на действие собственного веса грунта / Н.Н. Фотиева [и др.] // Геомеханика. Механика подземных сооружений. Сб. научн. трудов. Тула: ТулГУ, 2001. С.20-35.
7. Fotieva N.N., Bulychev N.S., Sammal A.S. Design of shallow tunnel linings // Proc. of the ISRM International Symposium, Torino, Italy. Balkema, 1996. P.654-661.
8. Булычев Н.С. О расчете обделок тоннелей в очень слабых грунтах // Проблемы подземного строительства в XXI веке: тр. междун. конф. Тула, Россия 25-26 апреля 2002. Тула: ТулГУ, 2002. С.35-37.
9. Деев П.В. Расчет обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, расположенных на небольшой глубине, с учетом последовательности их сооружения // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып.2. С.246-252.
Деев Петр Вячеславович (deev@mm.tsu.tula.ru), к.т.н., доцент, кафедра механики материалов, Тульский государственный университет.
Mathematical modelling of the interaction between parallel tunnel linings of arbitrary cross-section shapes and ground mass
P.V. Deev
Abstract. A stress state determination method for parallel shallow noncircular tunnel linings is proposed. The method is based on an analytical solution of the elasticity theory plane problem about stress-state of double-layer rings supporting arbitrary shape openings in the linearly deformable weighty semi-plane. Examples of the design are given.
Keywords: parallel tunnels, shallow location, lining, stress state, modelling, elasticity theory.
Deev Petr (deev@mm.tsu.tula.ru), candidate of technical sciences, associate professor, material mechanics department, Tula State University.
Поступила 26.11.2010
