Расчет обделок параллельных некруговых подводных тоннелей, сооружаемых в водонасыщенном массиве пород Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.191.034.5

И.Ю. Воронина, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-22-98, deev@mm.tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

РАСЧЕТ ОБДЕЛОК ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ НЕКРУГОВЫХ ПОДВОДНЫХ ТОННЕЛЕЙ, СООРУЖАЕМЫХ В ВОДОНАСЫЩЕННОМ МАССИВЕ ПОРОД

Предложен метод расчета обделок параллельных подводных тоннелей произвольного поперечного сечения на действие собственного веса пород и давления воды на дно пересекаемого водоема, как в предположении водонепроницаемости пород, так и в случае фильтрации воды вглубь массива. Приводится пример расчета.

Ключевые слова: параллельные подводные тоннели, произвольная форма поперечного сечения, напряженное состояние обделки.

В Тульском государственном университете разработан новый аналитический метод расчета, позволяющий определять напряженное состояние обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, сооружаемых под дном водоема. Метод базируется на современных представлениях механики подземных сооружений о взаимодействии подземных конструкций с окружающим массивом горных пород как элементов единой деформируемой системы и развивает основные положения аналитического метода расчета обделок параллельных круговых подводных тоннелей [1] и метода расчета обделок параллельных некруговых тоннелей [2], учитывающего влияние земной поверхности.

Для построения математической модели взаимодействия произвольно расположенных некруговых подводных тоннелей с окружающим массивом пород при действии гравитационных сил, обусловленных весом пород, и давления воды на дно пересекаемого водоема, получены решения соответствующих плоских контактных задач теории упругости для полу-бесконечной весомой среды, ослабленной произвольным числом любым образом расположенных отверстий произвольной формы, подкрепленных кольцами различной толщины и выполненными из разных материалов. Расчетная схема представлена на рис. 1.

Здесь полу бесконечная весомая среда £ о с деформационными характеристиками - модулем деформации Ео и коэффициентом Пуассона Vо, ослабленная произвольным числом N любым образом расположенных отверстий произвольной формы с центрами в точках 2т = хт + іут (т = 1,...,N), моделирует массив пород.

Рис.1. Расчетная схема

Кольца 5т (т = 1,... , Ы) выполнены из материалов с деформацион-нымихарактеристиками Ет, Vт (т = 1,...,N) и моделируютобделкитонне-лей.

Среда ¿о и кольца ¿т (т = 1,... , N деформируются совместно, т. е. на линиях контакта Ь0,т (т = 1,... , Ы) выполняются условия непрерывности векторов смещений и полных напряжений. Внутренние контуры Ь1,т (т = 1,... , Ы) колец свободны от действия внешних сил.

Действие собственного веса пород моделируется наличием в среде начального поля напряжений, определяемого формулами

с

(0X0) _

= -адН - у), О<0)(0) = -у(Н - у), т(0Л"' = 0,

(0)(0) _

У

ху

(1)

где у - удельный вес пород, Н - глубина заложения первого из тоннелей, в центр которого помещено начало координат, X - коэффициент бокового давления пород в ненарушенном массиве.

Действие давления воды на дно водоема моделируется равномерно

распределенной по всей границе полуплоскости ¿!0 нормальной нагрузкой интенсивности Р, определяемой по формуле

Р = , (2)

где у у, - удельный вес воды, Нм, - глубина водоема.

Действие нагрузки, равномерно распределенной по бесконечной границе полуплоскости, приводит к появлению в среде 50 начальных напряжений

<з

(0)(0) _„(0Х0) _

а

у

І ^]Нм:.

(3)

Как показано в работе [1], случаи, когда массив пород считается водонепроницаемым и когда имеет место фильтрация воды через породы, сводятся к одной задаче. При этом поле начальных напряжений в среде 50, определяется по формулам

(0)(0) __

ст(0)(0)

аУ

а//(Н - у) + у„Нн,

у/(Н - у) + УуНу

(4)

т(0)(0) _ 0

1ху и-

/ ч /

где величины у , X в предположении водонепроницаемости пород полагаются равными у/ = у, Х/ = X, а в случае обводненных пород определяются по формулам у/ = у + уу, X/ = X + (1 -X)уу/ (у- удельный вес водонасыщенных пород с учетом взвешивающего действия воды).

С целью приближенного учета влияния расстояния ¡0 т (т = 1,...,N)

от сооружаемой обделки т-того тоннеля до забоя выработки полученные в результате решения задачи напряжения умножаются на корректирующие коэффициенты, которые в предположении водонепроницаемости пород определяются по формулам [3]

-1,38-^

а*т = 0,6е *0,т ,(т = 1,...,N), (5)

где ^т - средние радиусы контуров ^ т.

В случае фильтрации воды вглубь массива полагается, что обделки сооружаются непосредственно у забоев, то есть принимаются ат = 0,6 (т = 1,...,N). Обделки тоннелей считаются водонепроницаемыми.

Область применения разработанного метода расчета ограничивается случаем, когда окружности, описанные вокруг наружных контуров колец, моделирующих обделки тоннелей, не пересекаются и не касаются границы полуплоскости.

(0)* (0)* (0)*

Полные напряжения ах ' , ау' , тХу в среде 50 представляются в виде сумм

40>*=аХохо>+стХ0); 40)* Ч0)<0) Ч0); Ф(6)

где аХ°, Оу0^, тХ0У? - дополнительные напряжения в области 50, обусловленные наличием отверстий.

Смещения рассматриваются только дополнительные. Начальные напряжения в кольцах 51 т (т = 1,...,N) полагаются равными нулю.

Граничные условия задачи для определения дополнительных напряжений и смещений имеют вид

формным отображением внешности единичной окружности на внешность

дополнительные смещения точек контуров Ь§т ( т = 1,...,N).

Решение задачи теории упругости получено с использованием теории аналитических функций комплексного переменного [4], предложенного И.Г. Арамановичем аналитического продолжения комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, регулярных в нижней полуплоскости вне отверстий через границу полуплоскости [5], метода Д.И. Шермана [6] для определения напряженного состояния многосвязных областей, аппарата конформных отображений и комплексных рядов.

После введения комплексных потенциалов Колосова-

Мусхелишвили граничные условия (7)-(9) записываются в виде

- на границе ¿0

(7)

- наконтурах Ь т (т = 1,. .,N)

(8)

- на контурах Ь т (т = 1,...,N)

(9)

где ау0), тХ° - нормальные и касательные напряжения на прямолинейной

границе ¿0, ар,т)(1), Тр0т)(1) (I = 0,1; т = 1,...,N) - напряжения в кольцах 5т ( т = 1,...,N) в криволинейной системе координат, связанной с кон-

ф о (*) + * ф 0 (* ) + у о (* ) = 0;

- наконтурахЬ^т (т = 1,...,N)

(10)

Ф1, т ( * ) + * Ф1, т ( * ) + ^1, т ( * ) = Ф0 ( * ) + * ФЬ ( * ) + У 0 ( * ) +

0,т

33т Ф1, т (*) * Ф1, т (*) ^1, т (*) ае0^Р0 (*) * Ф0 (*) 0 (*)

^0

- на контурах Ь^т (т = 1,..., N)

Ф1, т ( * ) + * Ф1, т ( * ) + ^1, т ( * ) = 0

(12)

(13)

г/

где * - комплексная координата точки, принадлежащей границе Ь или

N ( \ N г / ч

контурам Ь0,т, Ь1,т, Ф0(2) = X Ф0,] ( 2 “ 2] ); ^0(2) = Х М/0,] ( 2 “ 2] )~

■і] <р 0, ] (2 )

1=1 1=1

функции, регулярные В среде 50, Ф0 1 (2 _ 21) ;

\у01 (2 - 2^ | - функции, регулярные в нижней полуплоскости вне 1 - го отверстия; ф11 ^ 2 - 211, ^11 ^ 2 - 211 - функции, регулярные в кольцах Бт;

/ тл(0,т)(0) .Т/(0,т)(0)\

IХП ’ + 1*п ) - вектор внешнего усилия, приложенного к элемен-

ту ds контура ¿0 т.

Осуществив аналитическое продолжение комплексных потенциалов ф0 1 (2 - 211, у 01 (2 - 211 через границу ¿0 т в верхнюю полуплоскость, удается перейти к следующему представлению указанных потенциалов:

+

+

£ с(3)(],т)

к=0

т

V Я0,т у

Я

(14)

0,т

+

+

£ с(4)(],т)

к=0

2-2;

т

V Я0,т у

,тае0 00,т^т 1п

* - г

т

Я).

(15)

т

где коэффициенты ,т), ,т) (т = 1,...,N), отражающие влияние

границы полуплоскости и соседних подкрепленных отверстий, и коэффициенты Qо)m, Рт (т = 1,...,N) определяются по формулам, предложенным

в работе [2].

Произведем конформное отображение внешности единичной окружности на внешность каждого их контуров Ь 1 (1 = 1,..., N) с помощью

рациональных функций вида

п+1

г - = ю) К) = «о,) £ 9$С1“*

к=1

(16)

где qk у - коэффициенты отображающей функции, найденные одним из

известных способов.

Комплексные потенциалы ф0да (^ - 2т), ^ - 2т), в окрестно-

сти т-го отверстия отыскиваются в виде

Ґ \

-к

к=1

(1)(0,т)

к

г - г

]

V «0,т у

к=1

(2)(0,т)

к

А Л

г - г,

V «0,т у

-к

(17)

Комплексные потенциалы, регулярные в кольцах Бт, представляются в виде рядов Лорана:

Ф1, т ( г - г) )=£ +£ ^ ^ *,

к=1

го

к=0

го

(18)

У1,т (г - г) )= Е т)С к + Е а

к=0 к=1

С учетом выражений

/ ч-к

г - г

т

V «0,т у

ГО

Е

у=0 (-к) в(к)

(-к)г-к-V

г - г

V «0,т у

ГО

Е вГС

у=0

(к)*к-V

(19)

где коэффициенты q^ ', q^ ' определяются по рекуррентным формулам

в 0

01)=ь ві1)=-еві-Пв(П)8.

п,п+2

п=0

V

V

в(-к) _ у в(-1)в(1-к)^ _ 0 в(к) _ у в(к-1)в(1)8 „

Уу ^ Уу-пЧп ип,п+2 ’ Чу Чу-п Чп ип,п+2

п=0 п=0

(20)

(21)

и разложения выражений 1п------т в ряд по степеням переменного С,

«0,т

і — г ж 1п гт

Е 43)°"к + 1п С,

0,т к=0

п+1

где

43) =ЕЕ ^ кп)

(22)

(23)

у=1п=0 у (у-п)\п\ А

после несложных преобразований выражения (14), (15) можно представить в виде

Фо,у(* - )=х7 т I 4Шт\~к + £ 410)О>V* +1 «Г)(у^* -

к=1 к=1 к=0

у,т00,трт 1п С, (24)

Ф0,у(' - .) =ху,т I а?МтVк + I 42'0)<(т)С-к +

к=0 к=0

ГО

+ X 44,0)< 1 ,т)Ск -Ху,т «0 00,т^т 1п С, (25)

к=1

«Г*т) = £ #0Хт)qk"-vv), 42’0)(т) = £ ck2’0)(m)qk:vv), (26)

У=1 У=1

«(1,0)(7,т) _ у с(3)(7,т)q(у) _л п И(3) (27)

«к ^ Ск qk+\ ^7,mQ0,mdk , ( )

у=1

где

(2,0)С/,т) _ -у с (4)(у,т )q(v) -А ггп Оп И(3) (28)

к ^ ск qk+\ ,таЕ0 (^0,так , ( )

у=1

ГО . . ч X ч ^,.^4^. ч ГО

ак3,0)(./,т) = X ск3)( ',т^£)к, ак4-0)(у,т) = I ск4)( ',т^. (29)

у=1 У У=1 У

После подстановки выражений (24), (25) в граничные условия (10)-(13) решение рассматриваемой задачи сводится к итерационному процессу, предложенному в работе [7], в каждом приближении которого используется решение задачи для одного кольца, подкрепляющего отверстие в полной плоскости, при граничных условиях, содержащих дополнительные слагаемые, отражающие влияние других подкрепленных отверстий и границы полуплоскости. Указанные слагаемые представляются в виде рядов Лорана, коэффициенты которых уточняются из предыдущих приближений.

На основе полученного решения разработана компьютерная программа, позволяющая определять напряженное состояние обделок параллельных некруговых подводных тоннелей, как в предположении водонепроницаемости пород, так и с учетом фильтрации воды вглубь массива.

Ниже в качестве примера выполнен расчет бетонных обделок комплекса трех параллельных некруговых подводных тоннелей, сооружаемых в обводненном массиве пород. Взаимное расположение и размеры тоннелей показаны на рис. 2.

При расчете принимались следующие исходные данные: у =0,02МН/м3, у =0,017 МН/м3, X =0,37, =30 м, у„ =0,01М Н/м3,

£0=3500 МПа, У0=0,35, Ет =27000 МПа, \т =0,2 (т = 1,2,3). Рассматри-

валось одновременное проведение тоннелей с возведением обделок непосредственно в забоях выработок (/0 т = 0 при т = 1,2,3).

Результаты расчета - нормальные тангенциальные напряжения, возникающие на внутренних и внешних контурах поперечных сечений обделок рассматриваемых тоннелей, даны на рис. 3 и рис. 4. Для сравнения пунктирными линиями показаны эпюры тех же напряжений, полученные при рассмотрении каждого из тоннелей как одиночного, то есть без взаимного влияния (соответствующие величины напряжений даны в скобках).

Рис. 2. Взаимноерасположение и размеры тоннелей

На рис. 3 показаны эпюры нормальных тангенциальных напряжений ст^ (МПа) на внутренних контурах поперечных сечений обделок тоннелей.

Из рис. 3 видно, что взаимное влияние сооружений приводит к значительному увеличению сжимающих напряжений в обделках второго и третьего тоннелей. Например, максимальные сжимающие напряжения

адИ) в обделке второго тоннеля на 65 % больше аналогичных напряжений

обделке одиночного тоннеля.

Растягивающие нормальные тангенциальные напряжения, возникающие в лотке обделки третьего тоннеля, возрастают на 14 % соответственно. При этом не наблюдается существенного перераспределения нормальных тангенциальных напряжений ^0И) в обделке первого тоннеля.

На рис. 4 показаны эпюры нормальных тангенциальных напряжений ^0£х) (МПа) на внешних контурах поперечных сечений обделок тоннелей.

о!!п,мпа

(-0,917)

(-1,20) -Q’169'_ (-1,20)

(-U57)

-1,32

(-1,49)

-1,36

(-2J6) -2,79 '

(-1,94)

-2,00

-б,4і

(-6,30)

(-2,60)

-2,56

(in)

(-2,12)

-6,25

(-5І94)

Рис. 3. Напряжения ; в обделкахрассматриваемых тоннелей

а'“’мпа

Рис. 4. Напряжения в обделкахрассматриваемых тоннелей

Из рис. 4 видно, что сжимающие напряжения , возникающие в

обделках второго и третьего тоннелей, больше аналогичных напряжений в обделках одиночных тоннелей. Так в обделке второго тоннеля напряжения увеличиваются на 12...27 %, а в обделке третьего тоннеля - на 10...17 %. При этом наличие соседних тоннелей не приводит к существенному изменению значений сжимающих напряжений на внешнем контуре поперечного сечения обделки первого тоннеля.

Работа выполнена при поддержке гранта МК-164.2009.5.

Список литературы

1. Фотиева H.H., Воронина И.Ю. Расчет обделок параллельных взаимовлияющих подводных тоннелей // Геомеханика. Механика подземных сооружений: сборник научных трудов/ ТулГУ. Тула, 2001. С.165-176.

2. Деев П.В. Расчет обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, расположенных на небольшой глубине, на действие собственного веса пород // Вестник ТулГУ. Сер. Геомеханика. Механика подземных сооружений. Тула, 2007. Вып.1. С.21-28.

3. Булычев Н.С. О расчете обделок тоннелей в очень слабых грунтах // Проблемы подземного строительства в XXI веке: труды международной конференции. Тула, 2002. С. 35-37.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математиче-скойтеории упругости. М.: Наука, 1966.

5. Араманович И.Г. Распределение напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием / Доклады АН СССР. Вып. 104. № 3. 1955. С. 372-375.

6. Шерман Д.И. О напряжениях в плоской весомой среде с двумя одинаковыми симметрично расположенными круговыми отверстиями/ ПММ. Т. XV. Вып. 6. 1951. С. 751-761.

7. Fotieva N.N., Bulychev N.S., Sammal A.S. Design of shallow tunnel linings. / Proc. of the ISRM International Symposium EUROCK'96. Rotterdam: Balkema, 1996. P. 654-661.

I. Voronina

Design of parallel non-circular underwater tunnel linings constructed in the watered rock massif

A design method for shallow parallel underwater tunnel linings of arbitrary crosssection shapes subjected to the action of rock own weight and water pressure applied to the bottom of water body crossed is proposed. The method allows taking into account cases of waterproof rocks and possibility of water filtration into the rock mass. An example of the design is given.

Key words: parallel subaqueous tunnels, arbitrary shape of cross-section, stress condition of lining.

Получено 22.09.10