CC BY
49
УДК 624.191.814
П.В. Деев, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-22-98, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
РАСЧЕТ ОБДЕЛОК ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТОННЕЛЕЙ МЕЛКОГО ЗАЛОЖЕНИЯ, СООРУЖАЕМЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНЪЕКЦИОННОГО УКРЕПЛЕНИЯ ГРУНТА
Предложен метод расчета обделок параллельных некруговых тоннелей мелкого заложения, сооружаемых с применением инъекционного укрепления грунта. Метод основан на аналитическом решении плоской задачи теории упругости о напряженном состоянии двухслойных колец, подкрепляющих отверстия произвольной формы в весомой линейно-деформируемой полуплоскости. Приводятся примеры расчета.
Ключевые слова: инъекционное укрепление грунта, параллельные тоннели, обделка, расчет.
Предварительное инъекционное укрепление грунта используется для уменьшения притока воды в выработку и повышения устойчивости окружающего массива. В результате нагнетании скрепляющих составов вглубь массива вокруг выработки образуется зона грунта с деформационными характеристиками, отличными от свойств остального массива, что оказывает влияние на напряженное состояние обделок тоннелей и должно учитываться при расчете.
В настоящее время существуют аналитические методы расчета, позволяющие учитывать влияние инъекционного укрепления грунта на напряженное состояние обделок одиночных тоннелей произвольного поперечного сечения [1, 2] и параллельных круговых тоннелей [3]. В настоящей статье предлагается новый аналитический метод расчета обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, сооружаемых с применением инъекционного укрепления грунта.
В основу предлагаемого метода расчета положено решение плоской задачи теории упругости о напряженном состоянии двухслойных колец произвольной формы, подкрепляющих отверстия в весомой полуплоскости (рис. 1).
Здесь линейно деформируемая среда 50 ослаблена N отверстиями произвольной формы, подкрепленными двухслойными кольцами. Центры отверстий расположены в точках с комплексными координатами іт = хт + ут (т = 1, ..., Щ. Наружные слои колец 5'1т моделируют зоны укрепленного грунта вокруг выработок, внутренние слои 52,т - обделки тоннелей.
На линиях контакта Ь1т и £2,т выполняются условия непрерывности векторов смещений и полных напряжений. Внутренние слои колец свободны от внешних сил.
Рис. 1. Расчетная схема
Полные напряжения в среде 50 и наружных слоях колец Б1,т (т = 1, N представляются в виде сумм начальных и дополнительных
напряжений
а(0)* =а(0)(0) ,_(0). _(1)(т)* _ _(1)(т)(0) ,_(1Хт).
х х х ’ х х х ’
ауо)‘ =оУ0Х0) +аУ0).
С=С0)+С;
^(1)(т)* _ _(1)(т)(0) ,_(1)(т).
°у °у гиу
Т(1)(т)* _т(1)(т)(0) (1)(т)
ху ху ху
(1)
Здесь а*(0)(0), ау(0)(0), х
(0)(0)
ху
и а
(1)(т) _ (1)(т)
у
(1)(т)
:ху - начальные напряжения
соответственно в среде 50 и наружных слоях колец 51т, определяемые ПО формулам
.(0X0)
= -Ху(Н - у); ау0)(0) = -у(Н - у);
41)(т)(0) = -А.у(Н - у); о™т)(0) =-у(Н - у);
(2)
т(0)(0) _ _(т)(0) _
ху 1ху
0,
где Н - расстояние от начала координат, выбираемого в центре первого отверстия, до поверхности; у - удельный вес грунта; X - коэффициент бокового давления грунта в ненарушенном массиве.
Дополнительные напряжения ах°}, ауо), и т)(0),
.(!)(т )(0)
у
.(1)( т )(0)
ху
обусловлены наличием в среде S0 подкрепленных отверстий. На-
х
чальные напряжения во внутренних слоях колец 52,т (т = 1, Щ) равны
нулю, т.е.
_(2)(т)* __(2)(т) _(2)(т)* = ^(2)(т) _(2)(т)* _ _(2)(т) (з)
х х 5 у У ’ ху ху V/
Смещения рассматриваются только дополнительные.
Граничные условия задачи имеют следующий вид:
- на £(/
аУ0) = 0, хХ(} = 0; (4)
- на Ьк,т (к = 0, 1; т = 1, ..., Щ
_(к+1)(т)* (к)(т)* _(к+1)(т)* (к)(т)*
°р _ °р ’ _ рб п (к+1)( т) _ п (к)(т) п (к+1)( т) _ п (к)(т). их ~их >иу ~иу ■>
(5)
На ^2,т
% _0, >
а(2)(т) = 0, х(2е)(т) = 0. (6)
Здесь а(,к)(т)*, Тр^)(т)* - полные напряжения в средах 50, 51,т и 52,т в системе
криволинейных координат, связанных с конформным отображением внешности единичной окружности на внешность контура £2 т, их('к)(т), иу('к)(т) - горизонтальные и вертикальные смещения в средах 50, 51т и 52 т в декартовых координатах.
Решение рассматриваемой задачи теории упругости было получено с использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [4]. Граничные условия после введения указанных потенциалов имеют вид
- на 1!0
%(*)+( Ф0(()0(() =0; (7)
- На \т
Ф1, т (( - 2т ) + (( - 2т )Ф1, т (( ~ 2т ) + ^1, т (( ~ 2т ) = Ф0(() + ( Ф° (() + %((); (8)
а£1,тФ1,т (( - ^т ) “ (( “ ^т )Ф1,т (( “ 2т ) “ ^1,т (( “ ^т ) =
К
^0
- На А, т
330Ф0(() -(Ф0(() -^0(() ; (9)
Ф2,т (( - ^т ) + (( - ^т )Ф2,т (( " ^т ) + V2,т (( " ^т ) = Ф1,т (( " 2т ) +
+ (‘~?т )ф/,т (( ^ т ) + ¥,,т ( “ ^ + 'Г-’ ) Ж; (10)
*2^2« (І - 2ш ) - (і - 2т )ф2,и (І - 2т ) - V2,т (І - 2т )
М- 2,,
К«
®1,ИФ1,И (і - ^) -(і - гт К«(і - г«) -^1,и (і - 2т); (11)
- на Ь2т
Ъ,т (( - 2т ) + (( - 2т )ф2,и (( - 2т ) + V2,т (( " ^ ) = 0 (12)
где ( - комплексная координата точки, принадлежащей одному из контуров соответствующего кольца; ф^ (( - X (( - ), ф^ (( - ^),
у2т(1 - гт) - функции, регулярные в слоях колец Б1т, 52,т. Комплексные потенциалы ф0( г), у0( г), характеризующие напряженно-
деформированное состояние среды 50, могут быть представлены в виде сумм комплексных функций ф0) (г - г)) и у0) (г - г)), регулярных вне контуров Ь0/.
N N
Ф0( 2) = Еф0,) (2 “ X ^ 0( 2) = Е V 0,) (2 - 2) ) - 2) ф0, ) (2 - ^ ) . (13)
М )=1
Решение задачи о напряженном состоянии однослойных колец, подкрепляющих отверстие в весомой полуплоскости, приведено в работе [5]. Решение получено с использованием аналитического продолжения комплексных потенциалов, регулярных в нижней полуплоскости вне отверстий, в верхнюю полуплоскость, впервые предложенного в работе [6], а также конформных отображений внешности единичной окружности в некоторой области С, на внешность внутренних контуров внутренних слоев колец области г.
Аналогично тому, как это было сделано в работе [5], комплексные потенциалы ф0)(( - 2), у0)(( - 2), регулярные вне контуров Ь0), можно представить в виде рядов по степеням комплексного переменного С,
X X X
Фс.)(' - 2) ) = Ч.тХ а"'0>< т ^ + Х гГ)ат ^ +Х а«1»><'-т>С‘ + 1п С, (14)
к=1 к=1 к=0
X X X
^„,)( ( ---)) = ^,т X а?-пт Кк +Х >с +£ ак4>0Х)т )Ск + 1п С, (15)
к=0 к=0 к=1
где а^0)(т), ак10)(),т), а?**т), ^/^0)(),т), ак3,0)(),т), а^0)(),т) - неизвестные коэффициенты. При этом коэффициенты ак1,0Х),т), ак3,0)(),т), <ак20)(),т),
ак4,о)(),т) МОГуТ 5ЫТЬ найдены через коэффициенты ак10)(т), ак20)(т) с помощью рекуррентных соотношений.
Комплексные потенциалы ф^ (( - 2т X ^1,т (( - 2т X Ф2,т ((- 2т X у2т ((- 2т), регулярные в слоях колец 51,т и 52,т, будем отыскивать в виде комплексных рядов
к=1
к=0
V,." (-- -=т )=Е а™’1" X-1+14п1т Xі.
к=0
к=1
ф2„ (г - -т ) = Е“‘¡к*-2'"'Ск + Еа™'”’«‘ ,
(16)
к=1
к=0
V2.т (-- - -т ) = Е“к2*2'’’"?-к + Е“к"12-’’^ ■
к=0
к=1
Граничные условия (8) - (11) можно представить в виде
Ф1,т (Кт°) = {0,т%( ^
0 ,т
Ф0( Къ) + Ф 0( К®)
(17)
Ъ,т (К®) = ^0,тФ0 (К®) - 1
0,т
ІгЦ ¡¡¡0<зд+
со (
+ Ф 0(
Ф 1,т (К®); (18)
Ф2,т (Кт°) = ^1,тФ1,т (Кт^) + ^
®(Кт^) „/ ( К _) .
, ч Ф1,т (Кта) +
со /(ад
+ Ф1, т ( Кт^)
+
1 + ае
— Г (Х<1т> + /7„<1■m')ds; (19)
2,т
Ф2,т (Кт^) = ^тФът (Кт^ " А
®(Кт^) „/ ( К _) .
, ч Ф1,т (Кта) +
со /(ад
+ Ф1,т ( Кт°)
<5 ( Кт^) ®/(
Ф2.т(+ 7^^і(-Ст>+^'■’т})ж. (20)
1 + ае
2,т
где оо, (С) " отображающая функции отнесенная к среднему радиусу
соответствующего контура
й, (о=Ё с с-к.
^0,, к=1
(21)
ікт, іїкт , Sk,m , 1кт (к = 0, 1; т =1, .... N - коэффициенты, определяемые по формулам
1 + ^ к ,т Ц к+1,т/ М- к „
і к =
т,к
1 + ае
s = 1 — і
’ к,т к,т ■>
к+1,т
1 М" к+1,т/ Н" к ,т і
. 1 и
, =—гк+1,^гк,т , / = 1 _ , . (23)
к ,т л ’ к ,т к ,т V /
1 + ® к+1,т
Представление граничных условий в виде (17) - (20) дает возможность выразить коэффициенты разложения функций ф2,т(( - 2т), у2,т(( -гт), входящих в условие (12), через коэффициенты разложения комплексных потенциалов ф0)(( - 2), у0)(( - 2) с использованием рекуррентных формул. Далее приравнивая в выражении (12) коэффициенты при одинаковых степенях комплексного переменного С, и представляя комплексные числа в виде сумм действительной и мнимой частей, приходим к 4К бесконечным системам линейных алгебраических уравнений относительно действительных и мнимых частей коэффициентов ак1,0)(т), <ак10)(),т), ак2,0)(т),
~(2,0)(у,т) п(3,0)(],т) Г4,0)(у,т)
*к ■> ик ■> ик
После ограничения бесконечных рядов разложения комплексных потенциалов, имеющиеся системы уравнений решаются с использованием итерационного процесса, предложенного в работе [7], на каждом шаге которого каждая группа уравнений, соответствующая граничным условиям на контурах т-го кольца, решается относительно коэффициентов ак1,0)(т), а((2’0)(т), а значения коэффициентов ак1,0)(),т), а(^’0)и,т), а(^’0)и,т), а^’°)и,гп) определяются на основе предыдущих приближений.
Для приближенного учета влияния расстояния от обделки до забоя выработки на напряженное состояния обделок тоннелей результаты расчета умножаются на корректирующий множитель ат*, определяемый по формуле [8]
ат = 0,6ехр(-1,38/т/Д0,т) (т = 1,...,К), (24)
где Я0т (т = 1,...,N) - средний радиус поперечного сечения т-й выработки; /т - расстояние от обделки до забоя выработки.
Влияние последовательности проведения тоннелей на напряженное состояние их обделок может быть учтено с помощью методики, предложенной в работе [9].
На основе полученного решения плоской задачи теории упругости разработан аналитический метод расчета обделок параллельных тоннелей мелкого заложения, сооружаемых с применением предварительного инъекционного укрепления грунта.
Ниже рассмотрен пример определения напряжений в обделках двух параллельных тоннелей мелкого заложения. Поперечное сечение рассматриваемых тоннелей и зон упрочненного грунта показано на рис. 2.
Рис. 2. Поперечное сечениерассматриваемых тоннелей
Расчет был выполнен при следующих исходных данных: деформационные характеристики грунта Е0 = 200 МПа, = 0,3, деформационные
характеристики грунта укрепленной зоны Еід = Еі,2 = 500 МПа, Уїд = Уі,2 = =0,3, деформационные характеристики бетона обделок Е21 = Е2 2 = 30000 МПа, у2д = V2,2 = 0,2, коэффициент бокового давления грунта в ненарушенном массиве X = 0,6, удельный вес грунта у = 0,022 МН/м . Расстояния от обделок до забоев выработок принимались для равными 11 = 12 = 2 м, корректирующие множители, найденные по формуле (25) а1* = а2* = 0,35. Влияние последовательности проходки тоннелей на напряженное состояние обделок не учитывалось.
На рис. 3, а показаны эпюры нормальных тангенциальных напря-жений ае(ш) на внутреннем контуре поперечного сечения обделки левого тоннеля. Для сравнения на рис. 3, б даны напряжения в обделке левого тоннеля, соответствующие случаю, когда инъекционное укрепление грунта не применялось.
О-'"’, МПа
аГ, МПа
Рис. 3. Нормальные тангенциальные напряжения на внутреннем контуре поперечного сечения левого тоннеля: а - тоннели сооружаются с применением инъекционногоукрепления грунта; б - инъекционноеукрепление грунта не применяется
Как видно из рис. 3, в рассмотренных случаях максимальные сжимающие напряжения возникают в угловых точках внутреннего контура поперечного сечения обделки, растягивающие напряжения - в лотке и своде обделки.
Из сравнения эпюр напряжений, представленных на рис. 3, а и рис. 3, б видно, что применение инъекционного укрепления грунта в рассматриваемом случае приводит к значительному снижению максимальных сжимающих (21 %) и растягивающих напряжений (32 %).
Для оценки взаимного влияния тоннелей был выполнен расчет обделки одиночного тоннеля, сооружаемого с применением предварительного инъекционного укрепления грунта. Результаты расчета представлены на рис. 4.
Сравнивая эпюры напряжений, приведенные на рис. 3, а и рис. 4, можно прийти к выводу, что наличие второго тоннеля приводит к незначи-тельному снижению максимальных сжимающих (3 %) и растягивающих (9 %) напряжений в обделке тоннеля.
о;"", МПа
Рис. 4. Напряжения на внутреннем контуре поперечного сечения обделки одиночного тоннеля, пройденного с применениемукрепления
грунта
Компьютерная программа, реализующая представленный в статье метод расчета, входит в состав разрабатываемого в Тульском государст-венном университете программного комплекса расчета обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения на статические нагрузки, действие тектонических сил и сейсмические воздействия землетрясений.
Работа поддержана грантом Президента РФ № МК-164.2009.5.
Список литературы
1. Саммаль A.C. Взаимодействие крепи подземных сооружений с упрочненным массивом пород // Механика подземных сооружений. Тула: ТулПИ, 1986. С. 12-19.
2. Деев П.В. Расчет некруговых обделок тоннелей мелкого заложения, сооружаемых с применением инъекционного укрепления пород // Горный информационно-аналитический бюллетень. № 9. 2004. М.: Изд-во МГГУ, 2004. С. 293-297.
3. Анциферов С.В. Расчет обделок параллельных круговых тоннелей мелкого заложения, сооружаемых с применением укрепительной цементации // Горный информационно-аналитический бюллетень. М.: Изд-во МГГГУ, 2003. №5. С. 183-186.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
5. Деев П.В. Расчет обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, расположенных на небольшой глубине, на действие собственного веса пород // Вестник ТулГУ. Сер. Геомеханика. Механика подземных сооружений. Вып. 1. Тула, 2007. С. 64 - 76.
6. Араманович И.Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // Докл. АН СССР. М., 1955. Т. 104. № 3. С. 372-375.
7. Fotieva N.N., Bulychev N.S., Sammal A.S. Design of shallow tunnel linings // Proc. of the ISRM International Symposium, Torino, Italy. Balkema, 1996. P. 654-661.
8. Булычев H.C. О расчете обделок тоннелей в очень слабых грунтах // Проблемы подземного строительства в XXI веке: труды международной конференции. Тула, Россия 25-26 апреля 2002 г. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. С. 35 - 37.
9. Деев П.В. Расчет обделок параллельных тоннелей произвольного поперечного сечения, расположенных на небольшой глубине, с учетом последовательности их сооружения // Известия ТулГУ. Сер. Естественные науки. Вып. 2. 2008. С. 246-252.
P. Deev
Design of shallow parallel tunnel linings constructed with application of grouting
A design method for shallow parallel non-circular tunnel linings constructed with application of grouting is proposed in the paper. The method is based on the analytical solution of elasticity theory plane problem about stress-state of double-layer rings supported arbitrary shape openings in the linearly deformable weighty semi-plane. Examples of the design are given.
Key words: injection consolidation soil, parallel tunnels, lining, calculation.
Получено 22.09.10
