CC BY
38
Что касается точек рассматриваемой трехслойной области, достаточно удаленных от отверстий (на расстоянии более 8R), то получаемые численным моделированием значения напряжений и деформаций в этих точках оказываются в хорошем согласовании со значениями, получаемыми по формулам (2)-(7). Это подтверждает приемлемость принятой при моделировании расчетной схемы, в соответствии с которой исходная бесконечно протяженная область заменяется конечной прямоугольной областью с размерами а = d = 10R.
В качестве общего вывода по выполненному исследованию отметим, что проведенный анализ позволил дать оценку влияния слоистой структуры поперечно сжимаемой плоскости на характер распределения напряжений вокруг имеющихся в ней двух одинаковых отверстий. Более того, установлена возможность снижения уровня указанных напряжений при надлежащем выборе характеристик слоев.
Литература
1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888
2. Ефимов В.В., Кривой А.Ф., Попов Г.Я. Задачи о концентрации напряжений возле кругового дефекта в составной упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. с. 42-58.
3. Члингарян Г.С. Напряженное состояние составной упругой плоскости с включениями на границе раздела материалов // Изв. HAH Армении. Механика. 2009. Т.62. № 3. с. 52-58.
4. Мазин В. А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Напряжения вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при продольном растяжении // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2011. № 1. с. 62-68.
5. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Напряжения вокруг кругового отверстия в двухслойной упругой полуплоскости при поперечном сжатии // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Выпуск 1. с. 119-128.
6. Мазин В.А., Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г. Вариационно-разностная процедура численного решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной области с включениями и отверстиями// Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). 2010. № 2. с. 53 - 62.
7. Михайлова В.Л., Сухомлинов Л.Г., Мазин В.А. Численное решение задачи о концентрации напряжений для случая трехслойной упругой плоскости с двумя одинаковыми вертикально расположенными круговыми отверстиями при продольном растяжении // Известия МГТУ «МАМИ». №2(12). 2011. с. 189-195.
Анализ и синтез робастного управления для линейных систем двойного
демпфирования
Триндюк В. А., к.ф-м.н. доц. Кийко Г.И.
Университет машиностроения 8 (967) 008-23-55, ¡rindiiikvladimiramail.ni. 8 (495) 527-34-75
Аннотация. В статье изложен способ построения робастного управления подвеской автомобиля при наличие интервальной неопределенности массы груза автомобиля и массы водителя, а также невозможности измерения отклонения кузова автомобиля и кресла водителя от своих состояний покоя. Приведено наглядное обоснование актуальности применения синтезированного робастного управления по сравнению с другими по качеству переходных процессов.
Ключевые слова: робастное управление, интервальная неопределенность параметров, подвеска автомобиля.
Робастные системы и робастные устройства значительно увеличивают надежность и устойчивость технических комплексов. Одним из подходов к созданию живучих функциональных узлов может стать поиск решений, обладающих нулевой чувствительностью выход-
ных характеристик к изменению величин мешающих факторов, в качестве которых может выступать температура, давление, радиоактивность, рассогласование импедансов, влажность, вибрация и т.д. [4].
Сформировав функцию чувствительности некоторых выходных характеристик а к изменению некоторых величин:
„а _ да! <5у _ да ^ у 1 а у ду а'
можно попытаться найти набор характеристик, при которых возможно достижение нулевой чувствительности:
при определенном у или минимальной чувствительности в некоторой 8-окрестности параметра у.
Тогда даже большое изменение параметра у под воздействием мешающих факторов, в том числе катастрофический отказ, не повлияют значительно на работу системы. Рассмотрим применение этой идеи к системе двойного демпфирования.
Рассмотрим двухдемпферную модель объекта, а именно: колеса и водительского сиденья (рисунок 1), которая описывает особенности реальной системы.
Рисунок 1 - Двухдепферная модель ХА автомобиля
Здесь большим прямоугольником с подписью Мс обозначен автомобиль со своей массой, а меньший прямоугольник ш8 - водитель, сидящий на кресле. Вертикальные колебания от колеса поглощаются гасителем ударов, который состоит из пружины к1 и демпфера Ьь Для более качественного снижения нежелательной вибрации под креслом водителя вмонтирована еще одна пружина кг и демпфер Ьг. Компенсация колебаний как автомобиля, так и сиденья ускоряется с помощью входных управляющих воздействий и^) и 112(1:).
(1)
Применяя знания из курса физики (механики), по второму закону Ньютона можно описать нашу модель системой дифференциальных физических уравнений:
- для автомобиля
К-4*) = <к ■х2^)-ф1 +Ъ2ууф)+Ь2-х2(0+103-[гф)+гф)],
- для кресла
Щ ■ \ (0 = к2-х1 (0 - к2 ■ х2 (0 + Ъ2 ■ хДО -Ь2-х2 (0 +103 • и2 (0. Зададим переменные пространства состояний:
'^(0 = ^(0, х2(0 = х2(0, х3(0 = х1(0, [*4(0 = *2(0>
где: - вертикальное смещение кузова автомобиля от своего положения равновесия, м; х2{1) - вертикальное смещение кресла водителя от своего положения равновесия, м; Л', (!) - вертикальная скорость кузова автомобиля, м/с; *4(0 - вертикальная скорость кресла водителя, м/с.
Тогда можно переписать физические дифференциальные уравнения, описывающие объект, в виде динамической системы в пространстве координат (2):
' 0 0 о 1000
( о 0 1 0 ^
4(0' 0 0 0 1
5ф) _ кх +к2 к2 ьх+ь2 А
х3(0 Мс Мс Мс Мс
Л(0У А _к2_ К
V пк ПК ПК ПК у
х2(0 х3(0 4*4 (Оу
+
о 1000
Мс
о
Мс 1000
ПК У
Ч(0Л
щ(1)
(2)
Значения параметров модели указаны в таблице 1.
Значения параметров модели
Таблица 1.
№ Обсшачгн иг Диада зон изменении Сргангг значение ЕдГШГ! [£Ь[ им ерении
1 Мс от 1 ООО до 2000 1 500 Кг
2 1115 от 100 до 150 125 Кг
3 к, Постоянн ал беяичин 1 40000 Нм
4 к; Постоянная величина 5 000 Нм
5 ъ, Постоянная величина 4 000 Нс.'м
6 Ь1 Постоянная б ели члн 1 500 Н с.'м
1 11] Переменная величина Подлежит определению Н
3 и; Пгремгнная величина Подлгжит определгнинз Н
Введем обозначения: х(0 = (х1(0 х2(0 х3(0 х4(0)\ х(!0) = (х^) х2(/0) *3(*0) хА(1,))\
х(0 = ( ХДО х2(0 *3(0 -*4(0)г, и{1) = («1(0 «2(0)\
Г о 0 1 0 ^ ( 0 0 ^
0 0 0 1 0 0
А(0 = кх + к2 к2 \+ь2 ъ2 т ? 1000 1000
Мс Мс Мс Мс Мс Мс
к2 к2 Ъ2 Ъ2 о 1000
V /77. V /77. V /77Л /77.V ) V тн )
Тогда система (2) перепишется в виде (3):
—х{г) = А{г) х(0 + В(ф(0,
(3)
■ хп
Наша задача состоит в конструировании оптимального управления при отсутствии информации о массе груза автомобиля и массе водителя в конкретный момент времени, причем к управлению предъявляется требование, чтобы оно качественно отрабатывало любую ситуацию из заданных диапазонов изменения параметров, т.е. на управление накладывается требование робастности [1, 2]. Диапазоны изменения масс выбраны эмпирически так, чтобы они адекватно отражали реальное положение дел. Возмущениями назовем отклонения масс автомобиля и сиденья с водителем от своих средних значений. Оптимальность синтезированного управления будем оценивать по качеству переходных процессов (амплитуда и скорость затухания колебаний) и квадратичному функционалу качества:
1 1 Л
Дх, и) = -хт (Г)£*(Г) + - [ {*г (О0*(О + и-Т (0Ди(0} Ж,
(4)
где: Б - решение стационарного уравнения Риккати-Лурье для случая наихудших значений параметров возмущения:
8А*+А*Г £ + 0 = 0, (5)
где: матрицы А* и В * - наихудшие с точки зрения качества переходных процессов при заданных диапазонах изменения масс, т.е. робастная модель объекта имеет вид:
—х(Л) = А* хЦ) + В*иЮ,
Ж (6)
=
Матрицы 0 и Я возьмем для простоты единичными.
В данной статье для упрощения изложения мы опускаем изложение способа нахождения матриц А* и В*, а сразу воспользуемся его результатами:
А*:
По этим матрицам строим оптимальное робастное управление (рисунок 2). Можно сравнить его по качеству с другими следующим образом: подставить робастное управление в любую другую систему, а управление этой системы подставить в робастную систему и сравнить качество переходных процессов (рисунок 3).
( ° 0 1 0 ^ Го 0 ^
0 0 0 1 0 0
в* =
-22.5 5 -2.25 0.5 5 -1
V 50 -33.333 5 -3.333у ? 6.661;
Arobast
ROBAST SYSTEM
Matrix Arobast
Matrix
jluipl) W
dx/dt ^ 1 s
_ïffl
Arobast'x
Brobast
Integrator!
Matrix Brobast
Matrix ilultipli
BrabasPKrobast
Krobast
Matrix Krobast
Matrix dultipty
BKrobast'x
x(t)
x1(t) О
r
> x2(t)
Scope ROBAS
Рисунок 2 - Схема построения оптимального робастного управления
хаЮ, м при робастномуправлении в системе с наилучшими параметрами 0-3 гс-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
0.2 0.1 о 0.1
0.3 0.2 0.1 о ■0.1 0.3 0.2 0.1 о ■0.1
г<1(1)Р м при робастномуправлении в системе без возмущений
\ 1 1 \ 1 1
\ 4 :
\ ........\..........■
i i i i
м при "легком" управлении в робастной системе
lili.:
0.5
1.5
2.5 3 Время, с
3.5
4.5
Рисунок 3 - Сравнение различных управлений
Однако следует заметить, что в жизни мы не можем реализовать полученное управление, т.к. не все координаты состояния объекта доступны для измерения. Введем специальный измеритель:
у{1) = С-х{1), (7)
г\ О О ол
где:
• С =
vo 1 о оу
В этом случае нам сначала нужно построить наблюдатель. Тогда оптимальное управление будет искаться в той же форме, только через оценку для неизвестных координат состоя-
u{t) = -R~l-В~ -S-x{t\
*т
(8)
Построим наблюдатель сокращенной размерности, т.е. наблюдатель Луинбергера. В этом случае:
и назначим:
Т =
2(0 = Г-х(0, г0 0 1 0Л
ч0 0 0 1у.
Тогда
т
■у1 ; \f\4j
Х(0
Так как в нашем случае
2(0
(К Р)
у
У-у{1) + Р-1{ 0.
(9)
(10)
(П)
Т
У =
- единичная матрица, то найти ¥иР не составляет труда:
1 0
0 1
о о
чО О/,
Р =
0 0
0 0
1 0
0 1
Будем строить оценку состояния так:
х{1) = Р-1{1) + У-у{1)
при
¿/£( О Л
: Т В ¿(0 + ТАУ у{ 0 + 7М Р м(0,
(12) (13)
причем если х(1о) - известно, то г^ = и тогда е(0 = 0 V/ > 1{].
Рисунок 4 - Схема синтеза оптимального робастного управления с помощью
наблюдателя Луинбергера
Изложенный подход к решению задачи о нахождении оптимального робастного управления при недоступности измерения некоторых координат реализует схема в среде МайаЬ, приведенная на рисунке 4.
Как отмечалось ранее, если известно , то наша оценка координаты равна в точности исходной координате. Если же мы выбирали начальные условия наугад, то погрешности не избежать, но она будет со временем стремиться к нулю (рисунок 5).
Хз(1:) — ХзЦ)-оценка, м
О ' - -■
-2
-Б
-В
-10 10
5
0
-5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Время, с
Рисунок 5 - Графики погрешностей оценки третьей и четвертой координат объекта
Проиллюстрируем отличие графиков колебаний двух первых координат состояния объекта при известных начальных условиях и при выбранных случайным образом (рисунки 6 и
7).
Х1(±)г м
1.05 0
1.05 0.3 0.2 0.1 0 ■0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Время, с
Рисунок 6 - График колебания двух первых координат состояния объекта при наличии
известного начального состояния
Тем самым мы решили поставленную задачу о нахождении оптимального робастного управления в случае интервальной неопределенности параметров при невозможности измерения нескольких координат состояния объекта.
1. > 1 1 1
\ \ V \ \ \ г—
Xl.(t)r IYI
1.15 0.1 1.05 0 1.05 ■0.1 1.15 ■0.2 0.6 0.4 0.2 О -0.2 ■0.4 ■0.6 ■0.6
О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Время, с
Рисунок 7 - График колебания двух первых координат состояния объекта при отсутствии информации о двух начальных координатах
Литература
1. Афанасьев В.Н. Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией. Учебное пособие - Московский государственный институт электроники и математики. М., 2004. - 148 с.
2. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов./В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк, 2003.-614 с.
3. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Издательство научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006. - 720 с.
4. Кийко Г.И. Цепи с нулевой чувствительностью. Труды МГГУ, ГИАБ №5 2006, с. 296-304.
5. Чарльз Генри Эдварде, Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB . — 3-е изд. — М.: «Вильяме», 2007.
6. Черных И.В. Simulink: среда создания инженерных приложений / Под общ. ред. к.т.н. В. Г. Потемкина - М.: Диалог-МИФИ, 2003. - 496 с.
7. Федотов И.В. Синтез управления подвеской как элемент активной безопасности -Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана. Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2005.
8. Akbari A., Lohmann В.. Multi-objective preview control of active vehicle suspensions. - In Proceeding of the 17th World Congress The International Federation of Automatic Control (IFAC 2008). Seoul, Korea, July 6-11, 2008.
9. Chen H., Guo K. An LMI approach to multiobjective RMS gain control for active suspensions. - In Proceeding American Control Conference 2001.
Динамическая робастная задача стабилизации для линейных
нестационарных систем
Триндюк В. А., к.ф-м.н. доц. Кийко Г.И.
Университет машиностроения 8 (967) 008-23-55, ¡rindiiikvladimiramail.ni. 8 (495) 527-34-75 Аннотация. В статье приведены постановки задач робастной стабилизации объекта и d-робастной задачи; дано определение робастного управления и указан способ синтеза оптимального гарантированного управления, при этом были выве-
.....V .......\ \ — _ _ _ ---- ------ -----
\ У
\ У
