Бидемпферная модель робастного управления экономическими процессами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 330.46

БИДЕМПФЕРНАЯ МОДЕЛЬ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

Г.И. Кийко,

канд. физ.-мат. наук, доцент,

Московский государственный технический университет "МАМИ" E-mail: gkijko@mail.ru

В.А. Триндюк, аспирант,

Московский финансово-юридический университет МФЮА E-mail: trindjukvladimir@mail.ru

Аннотация. В статье приведена бидемпферная модель робастного взаимосвязанного управления отраслью и фирмой, осуществляющей свою деятельность в данной отрасли, при наличии интервальной неопределенности параметров и невозможности измерения ряда координат.

Ключевые слова: робастное управление в экономике, интервальная неопределенность параметров, наблюдатель Люенбергера.

Abstract. An article presents a design of a model of robust bi-damper interconnected control of industry and firm which is operating in the industry with interval uncertainty for several parameters and impossibility to measure some coordinates.

Keywords: robust control in economy, interval uncertainty for several parameters, Luenberger observer.

Робастное управление, т.е. управление, гарантирующие живучесть системы даже в самых неблагоприятных ситуациях, особенно актуально для экономических систем, т.к. фирмы существуют в постоянно агрессивной среде рынка и вынуждены каждый день искать способы увеличения доходов и сокращения расходов в условиях сильной неопределенности. В период кризиса эта неопределенность еще более увеличивается. Любой самый незначительный фактор, даже слух о нем, может привести в конечном итоге к банкротству фирмы [3-4]. В таких условиях наиболее эффективным становится способ управления, гарантирующий выживание фирмы, пусть даже и ценой упущенных выгод.

С учетом того, что кризисы в современной рыночной экономике закономерное явление, предлагаемый в статье метод весьма актуален.

Рассмотрим двухдемпферную модель предприятия или фирмы, которая описывает особенности реального производства (рис. 1) в условиях олигополии.

Здесь большим прямоугольником I обозначена конкурентная среда рассматриваемой фирмы с нормированным объемом инвестиций, а меньшим прямоугольником ^ - конкретная фирма. Колебания состояния экономики компенсируются гасителями (демпферами и мультипликаторами) отрасли и отдельной фирмы, входящей в отрасль. Компенсация колебаний потока производства ускоряется посредством входных управляющих воздействий п^,) и п2().

Акселерометр ( фирма

Стабилизатор фирмы А]^селерометр ((I))

Отрасль

к!

uj.it)

Стабилизатор отрасли

Экономика Производство и рынок

Рис. 1. Бидемпферная модель управления экономическим процессами

МФЮА московский финансово-юридическии университет

Запишем систему дифференциальных уравнений для рассматриваемой модели:

(I) =

= -(к1 + к2 )Х1 (*) + к2х2Ф - (Ъ1 + Ь2 )Х' 1 Ф + Ь2х'2 (*) + с[и1(1) + и2(Ш(1) 4 Х''2 (*) = к2Х1({) - к2Х2 (*) + Ь2Х' 1 (*) - Ъ2Х2 (V + Си2 (*)>

Здесь

I - нормированный объем инвестиций конкурентной среды; ¡!' - нормированный объем инвестиций для рассматриваемой фирмы; к1 и к2 - коэффициенты спроса; Ь1 и Ь2 - коэффициенты издержек; с - коэффициент усиления управляющих воздействий; х- поток изделий в отрасли, шт.; хх(1) - поток изделий в фирме (мощность конвейера), шт.; Лх^)

х 1 (у =-- скорость изменения потока изделий в отрасли, шт./с;

Л

^ , , 2

х 2 (у =-- скорость изменения потока изделий в фирме, шт./с;

&

х 1 (у =-- ускорение изменения потока изделий в отрасли, шт./с;

Ш

х''2 ') = 2- ускорение изменения потока изделий в фирме, шт./с;

Ж

пх(1) - управляющие воздействия на отрасль; п2(1) - управляющие воздействия на предприятии. Зададим переменные пространства состояний:

х,(1) = х,(1),

Х2 (1) = Х2 (*)> х3 (г) = х', (г), х^(г) = х'2 (г),

Тогда можно переписать дифференциальные уравнения, описывающие процесс производства, в виде динамической системы в пространстве координат (2):

' (t) ^ x'2 (t) x'3 (t)

V x '4 (t),

0 0

kj + к2

i 0

bj + b2

0 Л

1 h Ic _ b

's У

Xj(t) X2(t) X3(t)

v X4 (t),

0 0 Л

0 0

с с

Ic Ic

0 с

's У

Uj(t) )

V U2 (t) y

(2)

c

c

c

Ч

V

s

Таблица 1

Значения параметров модели__

№ Обозначение Диапазон изменений Среднее значение Единицы измерения

1 I c От 1 000 до 2 000 1500 $

2 i s От 100 до 150 125 $

3 К Постоянная величина 40 000 $ / с2

4 k2 Постоянная величина 5000 $ / с2

5 b1 Постоянная величина 4000 $ / с

6 h Постоянная величина 500 $ / с

7 c Постоянная величина 1000 -

8 u1 Переменная величина Подлежит определению $ шт. / с2

9 U2 Переменная величина Подлежит определению $ шт. / с2

Систему (2) можно переписать в матричной форме в виде (3):

<^x(t ) = A(t ) x (t ) + B(t )u(t ), ' dt (3)

, x(to) = xo,

Наша задача состоит в синтезе оптимального управления при отсутствии информации об инвестициях в конкретный момент времени, причем к управлению предъявляется требование, чтобы оно качественно отрабатывало любую ситуацию из заданных диапазонов изменения параметров, т.е. на управление накладывается требование робастности. Такое управление для исходного объекта мы будем синтезировать на робастной модели (6). Диапазоны изменения инвестиционных вливаний выбраны эмпирически. Возмущениями назовем отклонения инвестиций от своих средних значений. Оптимальность синтезированного управления будем оценивать по качеству переходных процессов (ам-

плитуда и скорость затухания колебаний) и квадратичному функционалу качества [1]:

3(х,и) = -хт(Т)Бх(Т) + - {(1)((х(1) + и (Щи^}, (4) 2 2 •

где Б - решение стационарного уравнения Риккати-Лурье:

БЛ* + Л*ТБ - БВ*Я-1В*ТБ + Q = 0,

(5)

где матрицы А* и В*- наихудшие с точки зрения качества переходных процессов [2] при заданных диапазонах изменения инвестиций, т.е. ро-бастная модель объекта имеет вид:

—х() = А* х(0 + Б*ы({), —

х(^0 ) = хо,

(6)

Матрицы Q и Я возьмем для простоты единичными. В данной статье для упрощения изложения мы опускаем изложение способа нахождения матриц А* и В*, а сразу воспользуемся его результатами:

( 0 0 1 0 > Г 0 0 1

0 0 0 1 _* 0 0

в =

- 22.5 5 - 2.25 0.5 5 -1

V 50 - 33.333 5 - 3.333у V 0 6.667у

А =

По этим матрицам строим оптимальное робастное управление.

Однако будем исходить из условия, что нам недоступны для измерения скорости изменения потоков производства фирмы и отрасли в конкретный момент времени. Поэтому для координат хъ(1) и х(1) объекта дополнительно построим наблюдатель Люенбергера, чтобы иметь возможность оперировать в дальнейшем полученными для них оценками.

Изложенный подход к решению поставленной задачи реализует схема в среде Matlab/

Тем самым решена поставленная задача о нахождении оптимального робастного управления фирмой в условиях олигополии в случае, когда известны лишь допустимые диапазоны инвестиций, но не их точные значения в конкретные моменты времени и когда невозможно своевременно и точно отслеживать скорости изменения потоков изделий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев В.Н. Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией. Учебное пособие - М., 2004.

2. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. для вузов / В.Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. - 3-е изд., испр. и доп. - М., 2003.

3. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. - М., 1988.

4. Маркин Ю.П. Математические методы и модели в экономике. -М., 2007.

5. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. - 3-е изд. - М., 2007.

6. Черных И.В. Simulink: среда создания инженерных приложений / Под общ. ред. к.т.н. В. Г. Потемкина - М., 2003.

7. Экономико-математические методы и модели / Под ред. Макарова С.И. - М., 2008.