К теории ползучести композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.3, 539.376

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-869-872

К ТЕОРИИ ПОЛЗУЧЕСТИ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

© Н.А. Архипова1*, В.С. Глущенков2)

^ Самарский государственный университет путей сообщения, г. Самара, Российская Федерация,

e-mail: arkipova_n_a@mail.ru 2) Самарский филиал Московского городского педагогического университета, г. Самара, Российская Федерация, e-mail: glushenkov_vs@mail.ru

В работе рассматривается эффективный (макроскопический) закон ползучести многокомпонентных матричных композиционных материалов, стохастически армированных шаровыми включениями различных материалов. Предполагается, что материал матрицы композиционных материалов обладает наследственными свойствами, а включения не проявляют наследственных свойств. В работе приводятся макроскопические соотношения ползучести для пористых композиционных материалов с абсолютно жесткими шаровыми включениями и порами, насыщенными несжимаемой жидкостью.

Ключевые слова: макроскопический (эффективный) закон ползучести; функция ползучести; композиционные материалы.

Рассмотрим многокомпонентный стохастически армированный композиционный материал типа «матрица - шаровые включения». Индексом т будем обозначать реологические характеристики материала матрицы, индексом 5 - материала включений, 5 = 0,1,2,...,п , (индекс 0 соответствует порам).

Будем считать, что сдвиговые локальные реологические соотношения материала матрицы описываются соотношением:

-1 Ъу skk (r, t) - девиаторные составляющие тензоров

напряжений и деформаций а j (r, t), s- (r, t); Ъу - символ Кронекера; t - время; r = (Xj , X2 , X3 ) .

Функция ползучести Jm (t) определяется по кривым ползучести, полученным из опытов на чистый сдвиг (s12(r,t) = s12(r,0) = sj02 = const) :

i

2^°meij (r, t) = S- (r, t) + JLm (t - T)sij (r, x)dx , (1) Jm (0 =

ej2 (t)

m V/ о s n

(4)

t

e j (r, t) =J Jm (t -z)dSj (r, X) .

(2)

После применения к (2), (3) преобразования Лапла-са-Карсона, получим в пространстве изображений определяющие соотношения упругого деформирования:

Будем также считать, что для материалов включений выполняются соотношения:

s j (r, p) = 2|lm (p)e j (r, p) : Sj (r) = 2ise j (r) .

(5)

(6)

e j (r, t) =

aj (r 1 )

2ls

(3)

Здесь Ьт (/), Jm (/) - ядро ползучести и функция ползучести (податливость) при чистом сдвиге материала

0

матрицы; ц т - мгновенный модуль упругости сдвига материала матрицы; цт, - сдвиговые модули упругости материала матрицы и включений соответственно;

5у (Г0 = (Го -15уакк (г,/), ву (г0 = Еу (r,^ -

Здесь чертой сверху обозначены трансформанты

Лапласа-Карсона, 2ц т = =-, ц = , р - пара-

Jm (р)

метр преобразования.

Воспользуемся соотношениями для определения эффективных модулей упругости матричного композиционного материала [1]:

7 (ls -lm (p))cs-s

l (P) = lm (P) + '

(7)

0

0

_*

n

cm + 7 . csa s

s=0

1+6 Km + 2Цт (p) (Ц ~ Цт (p))

5 3Km + (p) (p)

(8)

Тогда в пространстве изображений получим макроскопический закон деформирования композиционного материала:

(sj (r, p)) = 2ц (p)(^eij (r, p)j .

(9)

Отсюда получим:

Цm (p) =■

1

2

(\f

1+ X-

Г(2 - а) (1 -а) Г(1 -а) p1

ЛЛ

(14)

В предположении, что включения матричного композиционного материала являются абсолютно жесткими, т. е. с0 = 0, ^да, 5 = 1, 2, ...,и из (7), (8), (9) следует [2]:

Здесь Кт = Кт - объемный модуль упругости материала матрицы; ст, с5 - объемные концентрации компонентов композиционного материала, звездочкой обозначены макроскопические (эффективные) величины, угловыми скобками - средние по объему композиционного материала значения.

После применения операции обращения, запишем макроскопический закон ползучести:

e о)=j j -т)^ ^ Sj (т^).

(10)

Здесь для эффективной функции ползучести J (/) при чистом сдвиге выполняется соотношение:

J (t) = —

1

(11)

2ц (p)

В качестве ядра ползучести рассмотрим ядро Абеля:

Ц (p) = Цт (p)l 1 +

5с

2(1 - с)

(15)

Для пористого композиционного материала с порами, насыщенными несжимаемой жидкостью, т. е. в предположении, что объемная концентрация пор с не изменяется в процессе деформирования, т. е. ц0 = 0, с5 = 0,5 = 1, 2, ..., п из (7), (8), (9) следует [3]:

Ц (p) = Цт (p)l 1 -

5сп

3 + 2сп

(16)

Для пористого композиционного материала с абсолютно жесткими включениями других материалов, т. е. в предположении, что Кт >> Цт, ^ да , 5 = 1,2,...,п и порами, насыщенными несжимаемой жидкостью, т. е. в предположении, что ц0 = 0 и объемная концентрация пор с не изменяется в процессе деформирования из (7), (8), (9) следует:

Lm (t) = Х

Г(1 -а)

Здесь Г(...) - гамма-функция, 0 < а < 1. После интегрирования (1), получим

s0 ( ню=2(0

1+ Х-

t

1-а Л

(1 -а) Г(1 -а)

Параметры в этом выражении определяются методом наименьших квадратов при сравнении с экспериментальными кривыми ползучести.

Отсюда и из (4) можно записать выражение для функции ползучести материала матрицы:

Jm (t) =

e12(t)

(

2ц0

1+ Х-

t1

1-а Л

(1 -а) Г(1 -а)

(12)

В пространстве изображений функция ползучести

Jm (p) имеет вид:

Jm (p) = V

1+ Х-

Г(2 - а)

(1 -а) Г(1 -а) p

1-а

(13)

ч / м 1 15с - 10с0 Ц (p) = Цт (p)!1 + , , ^ .

6 - 6с + 4сп

с = Z с

s=1

(17)

После обращения выражений (15), (16), (17) и ин-

t

тегрирования выражения^е12(^ = | J*(t - ((512(т)) ,

0

получим макроскопические законы ползучести для рассматриваемых композиционных материалов

м»=22

1 + х-

t

1-а Л

i i 5 с

х| 1 + --

(1 -а) Г(1 -а)

2 1 - с

„о (

Ыо)=

2ц

Л-а N

1 + А,-

1 --

5 с,

V

Л-1

(1 -а) Г(1 -а)

о

3 + 2с0

(18)

1

а S =

S

S=1

0

_*

*

а

t

х

1

о

S

2

х

х

Рис. 1. Кривые ползучести материала матрицы (с = 0) и композиционного материала при различных объемных концентрациях абсолютно жестких включений; ♦ - экспериментальные данные; 1 - (с = 0); 2 - (с = 0,1); 3 - (с = 0,4). Время t измеряется в условных единицах

Рис. 2. Кривые ползучести материала матрицы (с = 0) и по-

ристого композиционного материала; данные; 1 секундах

экспериментальные (с0 = 0) ; 2 - (с0 = 0,1) . Время t измеряется в

Ыо>=f^

2ц

1 + А,-

(1 -а) Г(1 -а)

(20)

1+

15с - 10с,

о

6 - 6с + 4с,

Далее на рис. 1-3 приведены экспериментальные и расчетные кривые ползучести, построенные по соотношениям (18), (19), (20) для модельного композиционного материала с абсолютно жесткими включениями,

Рис. 3. Кривые ползучести материала матрицы (с0 = 0, с = 0) и композиционного материала при различных объемных концентрациях абсолютно жестких включений и пор; + - экспериментальные данные; 1 - (с0 = 0, с = 0) ; 2 - (с0 = 0,08, с = 0,2) ; 3 - (с0 = 0, с = 0,2) . Время t измеряется в условных единицах

пористого политетрафторэтилена [4] с порами, насыщенными несжимаемой жидкостью и модельного композиционного материала с абсолютно жесткими включениями и порами, насыщенными несжимаемой жидкостью соответственно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глущенков В. С. Макроскопические свойства деформирования нелинейных матричных многокомпонентных композиционных материалов, хаотически армированных эллипсоидальными включениями // Неоднородные материалы и конструкции: избранные труды Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий. М.: РАН, 2013. С. 71-94.

2. Глущенков В.С., Архипова Н.А. Ползучесть структурно-неоднородных стохастически армированных абсолютно жесткими включениями матричных композиционных материалов // Наука и образование транспорту: материалы 8 Междунар. науч.-практ. конф. 21-23 октября 2015 г. Самара: СамГУПС, 2015. С. 244-246.

3. Архипова Н.А., Глущенков В.С. Ползучесть пористых композиционных материалов // Вестник СамГУПС. Самара: СамГУПС, 2015. № 4. С. 52-55.

4. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. 576 с.

Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.

1-а

t

X

-1

X

UDC 539.3, 539.376

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-869-872

TO A THEORY OF CREEPAGE OF COMPOSITE MATERIALS

© N. A. Arkhipova1), V. S. Glushchenkov2)

^ Samara State Transport University, Samara, Russian Federation, e-mail: arkipova_n_a@mail.ru 2) Samara Branch of the Moscow City Teachers' Training University, Samara, Russian Federation,

e-mail: glushenkov_vs@mail.ru

This paper considers the effective (macroscopic) law of creepage of multicomponent matrix composite materials reinforced stochastically by spherical inclusions of different materials. It is assumed that the material of the matrix of composite materials has hereditary characteristics, but inclusions do not display hereditary properties. The paper presents the macroscopic correlations of creepage for porous composite materials with absolutely rigid spherical inclusions and pores saturated with incompressible fluid. Key words: macroscopic (effective) creepage law; function of creepage; composite materials.

REFERENCES

1. Glushchenkov V.S. Makroskopicheskie svoystva deformirovaniya nelineynykh matrichnykh mnogokomponentnykh kompozitsionnykh materialov, khaoticheski armirovannykh ellipsoidal'nymi vklyucheniyami. Izbrannye trudy Vserossiyskoy konferentsii po problemam nauki i tekhnologiy "Neodnorodnye materialy i konstruktsii". Moscow, RAS Publ., 2013, pp. 71-94.

2. Glushchenkov V.S., Arkhipova N.A. Polzuchest' strukturno-neodnorodnykh stokhasticheski armirovannykh absolyutno zhestkimi vklyucheniyami matrichnykh kompozitsionnykh materialov. Materialy 8Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii "Nauka i obrazovanie transportu ". Samara, Samara State Transport University Publ., 2015, pp. 244-246.

3. Arkhipova N.A., Glushchenkov V.S. Polzuchest' poristykh kompozitsionnykh materialov. Vestnik SamGUPS, Samara, 2015, no. 4, pp. 52-55.

4. Gorshkov A.G., Starovoytov E.I., Yarovaya A.V. Mekhanika sloistykh vyazkouprugoplasticheskikh elementov konstruktsiy. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005. 576 p.

Received 10 April 2016

Архипова Наталья Александровна, Самарский государственный университет путей сообщения, г. Самара, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры высшей математики, е-mail: arkipova_n_a@mail.ru

Arkhipova Natalya Aleksandrovna, Samara State Transport University, Samara, Russian Federation, Senior Lecturer of Higher Mathematics Department. e-mail: arkipova_n_a@mail.ru

Глущенков Вячеслав Сергеевич, Самарский филиал Московского городского педагогического университета, г. Самара, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и информатики, e-mail: glushenkov_vs@mail.ru

Glushchenkov Vyacheslav Sergeevich, Samara Branch of Moscow City Teachers' Training University, Samara, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Higher Mathematics and Computer Science Department, e-mail: glushenkov_vs@mail.ru