Малые поперечные колебания композиционной струны в приближении Хилла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 3 (61). 2016. Вып. 1

А. С. Кравчук, А. И. Кравчук, И. А. Тарасюк

МАЛЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОМПОЗИЦИОННОЙ СТРУНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ХИЛЛА

Белорусский государственный университет, Белоруссия, 220030, Минск, пр. Независимости, 4

Впервые при выводе уравнения колебания струны рассматриваются не действующие растягивающие силы, а растягивающие средние по поперечному сечению напряжения. Получены решения для однородной струны из реологически активного материала в соответствии с наследственной теорией ползучести, а также эффективные значения коэффициентов уравнения колебания композиционной струны в приближении Хилла для композиционного материала струны с учётом деформационных и реологических параметров. Представлены формулы, определяющие собственные частоты колебаний композиционной струны в приближении Хилла для свойств композиционного материала струны, в соответствии с моделью наследственной ползучести либо моделью Максвелла для отдельных компонент материала и уравнения колебания композиционной струны на композиционном линейно-или нелинейно-упругом безынерционном обобщённом основании Винклера, построенном в приближении Хилла для композиционного материала основания. Получены уравнения колебания композиционной струны, на однородном вязко линейно- или нелинейно-упругом (в смысле наследственной теории) безынерционном обобщённом основании Винклера. Биб-лиогр. 11 назв. Ил. 4.

Ключевые слова: композиционный материал струны, приближение Хилла, малые поперечные колебания струны, концентрации компонент, линейно упругая струна, нелинейно деформируемый материал струны, вязкоупругий однородно стареющий материал струны.

A. S. Kravchuk, A. I. Kravchuk, I. A. Tarasyuk

SMALL TRANSVERSE OSCILLATIONS OF COMPOSITE STRINGS IN HILL APPROXIMATION

Belarussian State University, 4, pr. Nezavisimosti, Minsk, 220030, Belorussia

For the first time in the derivation of string oscillation equation is considered a tensile average over the cross section stress instead of forces. The solutions for a uniform rheologically active material of string in accordance with hereditary creep theory were obtained. The effective values of the coefficients of oscillation equations of composite string in the sense of the Hill approximation for the properties of composite material of the string taking into account deformation and rheological parameters of compounds were obtained. The formulas that determine the natural frequencies of the composite string in the Hill approximation for parameters of composite material of the string, in accordance with the model of hereditary creep and Maxwell model for the components of the material were obtained, as well as the equations of oscillations of the composite string on the composite linear or nonlinear elastic inertia-free generalized Winkler foundation built in the Hill approximation for parameters of composite material of the foundation. The equations of oscillations of compositional strings placed on a homogeneous viscous linear or nonlinear elastic (in the sense of hereditary theory) the inertia-free generalized Winkler foundation were obtained. Refs 11. Fig 4.

Keywords: composite material, Hill approximation of effective parameters, the concentrations of components, small transverse oscillations of a string, linearly elastic string, nonlinear deformable material of string, a viscoelastic homogeneously aging material of strings.

Введение. Работа посвящена рассмотрению одной из основных модельных задач уравнений математической физики — малым свободным и вынужденным колебаниям струны и обобщению данного решения на случай неоднородных свойств материала

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

струны. При ближайшем рассмотрении выяснилось, что при стандартном выводе указанного уравнения не соблюдаются размерности [1, 2]. Для того чтобы устранить это упущение, достаточно при выводе уравнения рассматривать не действующие растягивающие силы, а растягивающие средние по поперечному сечению напряжения.

С методической точки зрения непосредственное использование дифференциальных соотношений при выводе уравнения для композиционной струны не подходит, так как полученные соотношения понимаются в смысле среднего интегрального для значительного объёма композиционного тела [3, 4]. Поэтому наилучшим вариантом вывода уравнения является использование интегральных соотношений для значительного участка струны [2].

Усреднение композиционных свойств материала струны при выводе уравнения вводится через усреднение плотностей составляющих материалов струны и на заключительном этапе при расчёте действующих растягивающих напряжений — по заданным упругим линейным или нелинейным, а также реологическим характеристикам материалов струны и её заданному постоянному натяжению (относительной деформации) [5, 6].

Вывод откорректированного уравнения колебания композиционной струны. Будем придерживаться наиболее простого плана вывода уравнения, изложенного в [2]. Пусть в положении равновесия натянутая струна расположена вдоль оси 0x и колебания происходят в плоскости x0y, причём каждая точка струны смещается лишь параллельно оси 0y и это перемещение в момент времени t обозначается u(x,t). При выводе уравнения рассмотрим внутренний участок струны, соответствующий интервалу (xi,Х2) на оси 0x. Зафиксируем произвольное время t. Будем считать, что сечение струны имеет постоянную поперечную площадь S. При этом объём (xi, x2) х S композиционного материала струны содержит компоненты композиционного материала в объёмных долях Yfc (к = 1, п), совпадающих с объёмными долями компонент для струны в целом. Вычислим длину участка струны, соответствующего интервалу (xi,x2) [7]:

2

dx. (1)

Из (1) очевидно, что участок струны, соответствующий интервалу (xi,x2), имеет длину x2 — xi только тогда, когда выполнено приблизительное неравенство (du/dx)2 ^ ^ 1, свидетельствующее, что рассматриваются малые колебания струны [1, 2].

Отметим, что если а — угол между касательной к струне и осью 0x, то

ди 1 . §f

tg а = ——, eos а = — =, sm а =

dx /1 , í ди \2 /1 i / ди ^

и при принятых предположениях cos а « 1, a sin а « (ди/дх).

Пусть T(t) — слабо меняющаяся во времени (квазистатическая) сила натяжения струны, действующая на концах участка (xi, Х2) и не приводящая к появлению дополнительных инерционных эффектов. Тогда в соответствии с предположениями задачи движение осуществляется только в направлении оси 0y, так как проекции сил натяжения, действующих на концах отрезка (х1 ,х2), уравновешивают друг друга (рис. 1). Вертикальная сила, действующая на участок струны,

Х2 2

Ш -тт Ш

V / х=х0 V / х=хл J

2 1 xi

Рис. 1. Вертикальное движение участка струны, соответствующего интервалу (х1, х2), с действующими на концах силами, заменяющими отброшенные части струны

х

2

Отрицательный знак появляется в сумме сил (2) из-за того, что сила в точке х\ направлена противоположно направлению касательной ди/дх. Пусть

п

(р) = Щ УкРк к=1

— средняя плотность материала струны на интервале (х1,х2), где рк — плотность к-й компоненты композиционного материала, а ук — её объёмная доля. Тогда вертикальная инерционная составляющая рассматриваемого отрезка струны определяется формулой [2]

Х2 о

I' д и

j{p)—dx.S, (3)

Х1

где Б — площадь поперечного сечения струны.

И пусть на каждую компоненту материала композиционной струны действуют внешние силы с плотностью дк(х,Ь) (действующей на единицу массы к-й компоненты композиционного материала), тогда к интегралу сил, действующих на интервале (х1: х2), следует добавить силу

I (д(х,1У)д,х ■ Б, (д(х,г)) Укркдк(х,^. (4)

Х1 к=1

Исходя из баланса действующих на отрезок (х1 ,х2) сил, получаем из (2)-(4):

Х2 Х2 Х2 г д2и ¡' д2и ¡'

/ ' 5 = / + / (з(х> ' (5)

Х1 Х1

Уравнение (5) можно переписать в виде

Х2

/(/ V д2 и . ^ д2 и . . ^ \ ,

(^(р)^Т - 2 - скс = 0, (6)

Х1

где (оХ(Ь)) = Т^)/Б — среднее по поперечному сечению напряжение натяжения струны.

Если считать, что участок струны (х1,х2) настолько мал по сравнению с длиной волны, что выполнена формула Лагранжа [7]

Х2

д2 д2и

д2

д2

(Р) Ы2 ~ М^дх* ~ ^ "

где хо € (х1 ,Х2) — некоторая точка, то из (7) с очевидностью будет следовать общеизвестное локальное уравнение колебания струны

(8)

где а2(г) = К(1))/{р).

Отметим, что при решении конкретных физических задач с помощью (8) остаётся неопределённым способ вычисления напряжения натяжения композиционной струны {°х(^)). В случае отсутствия реологических процессов в струне, очевидно, что {ах(1)) = = {ах) — вещественная константа и соответственно, а(Ь) = а — вещественная константа.

Методика вычисления напряжения натяжения струны без учёта реологических процессов. Самым простым способом решения поставленной задачи является установление связи средней начальной деформации струны {ех) = Д/// со средним напряжением натяжения {ах(1)) с использованием простейшего уравнения состояния

Обратим внимание на то, что малые колебания струны не предполагают вообще никаких дополнительных продольных деформаций струны при движении, кроме наличия априорно заданного постоянного растяжения. Поэтому при его определении для композиционной струны мы можем не ограничивать себя в выборе модели деформации струны и использовать в полной мере все имеющиеся возможности анализа одноос-но деформируемого композиционного стержня [5], соответствующего отрезку (х1 ,х2), с тем отличием, что рассмотрено его сжатие.

В соответствии с общей методикой для определения эффективных параметров струны рассматривается элемент композиционного материала (макроточка), на границе которого задаются имитирующие воздействия, возникающие в струне, т. е. в данном случае рассматривается растяжение призматического стержня, имитирующего струну на участке (х1 ,х2) [5, 6]. В связи с отсутствием зависимости параметров уравнения малых колебаний струны от формы поперечного сечения для простоты предполагается, что сечение S струны — квадратное площадью Д х Д.

Принцип реализации метода гомогенизации для призматического стержня квадратного сечения заключается в следующем: если армированный материал состоит из N компонент (фаз) и в среднем изотропен (например, имеет место хаотическое армирование), то в соответствии с гипотезой Фойгта для призматического стержня в простейших опытах на чистое растяжение/сжатие предполагается, что деформации по всему объёму композиционного материала постоянны. Второй предельный случай (гипотеза Рейсса) в тех же простейших экспериментах на растяжение предполагает, что напряжения по всему объёму композиционного материала призматического стержня (струны) в среднем постоянны.

Полученные на основании этих гипотез формулы имеют практическую ценность, так как являются соответственно верхней и нижней оценкой истинных модулей композиционного материала [5].

Рассмотрим линейно-деформируемый композиционный материал струны из п линейно-деформируемых компонент с модулями упругости Е¡. и объёмными долями у^, тогда напряжение натяжения {ах(£)) в (8) определяется по заданной средней деформации струны {ех) = Д/// [5]:

{ах(^) = 3(ех).

{ах(г)) = {Е)х{гх),

(9)

где

1 +

(Е)х =

п п

к=1

п

ПЕ„)

к=1

2уП К,

к=1

Ек

Можно рассмотреть однородный нелинейно-деформируемый материал струны, например, резину, в уравнении состояния которого используется степенная функция. В этом случае [5]

ы

(а ) = аРаст'

(аХ) — аХ, эт.

раст. ЕХ, эт.

(10)

где араСТ., еХаСТ., аХаст' — характерные для материала константы, определяемые исходя из эксперимента по растяжению струны вдоль направления 0х (аРаст' < 1).

При рассмотрении композиционного нелинейно-деформируемого материала струны из п компонент с объёмными долями у к, диаграмма деформации каждой компоненты которого имеет выраженный начальный линейный участок, следует воспользоваться эффективной билинейной диаграммой Прандтля, построенной в приближении Хил-ла [5]:

раст.

(Е)х(ех), 0 > (ех) >

х, Т

(аХ) =

(ерас")х (ех) + ( 1 -

(Е )х

(ДГТ')х (Е)х

раст. >х,Т

(11)

(Е)х

> (Ех),

где (Е) х,

(Ераст)х =

1+ Е^тГ Е^ \к=1 ) к=1Ет,к

Ук

к=1

Етакт-

ЕМ 1 -

к=1

Ек

Ук

Ераст. Ераст.

Т,к к^1 Т,к

•,Т,к

Е

Ук

раст. к=1 ЕТ,к

1

+ Е тк ЕТаг Е

Ук

\к=1

раст. ) \к=1 ЕТ,к ,

Е

к=1

Гк_ \ \

Ек

\

У к Ек

Е

Чк=1

У к

ЕРтТ

/

1+ Е^п Е-

\к=1 ) \к=1

— эффективные упругопластические характеристики композиционного материала струны.

В (11) предполагается, что деформационная кривая каждого материала, входящего в состав струны, при его сжатии или растяжении определяется билинейной диаграммой Прандтля [5]. Это означает, что механические свойства Ек (модуль упругости), ЕТ^' (второй модуль упругости при растяжении), аХТ. (условные напряжения изменения модуля упругости на второе значение и обратно) известны для каждой компоненты струны с номером к (к = 1, п).

п

х

х

а

х

п

п

1

а

а

п

х

п

п

Пример решения задачи свободного колебания композиционной линейно-деформируемой струны с закреплёнными концами без учёта реологии с помощью метода Фурье. Будем рассматривать струну длиной I, занимающую отрезок [0,1]. Из (8) и (9) следует необходимость использовать уравнения свободного колебания струны [1]:

д2п 2д2

(12)

ддх2

При условиях и\1=0 = ](х) и (ди/дЬ)\=о = 0, свидетельствующих, что в начале процесса струна оттянута в положение ](х) и находится при этом в покое, так как начальная скорость равна нулю, краевыми являются условия, вытекающие из закрепления струны по концам, т. е. и\х=0 = и\х=1 = 0.

Метод Фурье заключается в предположении, что решение (12) с принятыми начальными и краевыми условиями имеет вид

и(х, ¿) = щ(х,Ь), (13)

где щ(х,1) = X.¿(x)€>i(t) — функции для каждого i = 0, оо. Подставляя щ(х,1) в (12) получаем

1 i d2ei(t) _ i cPXijx)

02 ©¿(i) dt2 Xi(x) dx2 ' 1 j

В (14) отнесение коэффициента a2 к левой части гарантирует влияние натяжения струны только на частотный спектр, при этом длина волны при любом натяжении остаётся постоянной, что, вероятно, физически оправданно только при закреплении струны по обоим концам.

Очевидно, что (14) возможно только тогда, когда У i обе части уравнения равны некоторой константе —X2 [1]. Таким образом, из (14) получаем два независимых уравнения для определения X¿(x) и ©i(t):

d2Xj(x) 2

л,.2 +XiAi(a;)=0,

(15)

d2©i(t) ,2 N d* ; +Х2а2в^) = 0.

Решениями уравнений (15) являются функции [1]:

X¿(x) = Cf ¡¿ cos(Xix) + Cf ¡¿ sin(Xix), (16)

©¿(t) = C¡¿¿ cos(X¿at) + C2, ¿ sin(Xiat), (17)

где Cf ¿, Cf¿, C\ ¿, C2 ¿ — произвольные константы.

Будем требовать, чтобы У i X¿ (0) = Xi(l) = 0 для удовлетворения краевого условия задачи. Тогда из (16) следует, что Cf i =0 и Cf i sin(lil) = 0. Последнее равенство возможно для произвольной, отличной от нуля, константы только в случае, когда yi = = 1, оо sin(/¿/) = 0, т. е. Z¿ = ¿Jt/Z.

Тогда из (13), (16), (17) получаем

то , in \

и(х, t) = ^^ sin xj [Ai eos (cují) + В i sin(a)jí)], (18)

где Лг = С1 СХ¿, Вг = С2 СХ¿, юг = гпа/1. Выражение 1/г является полудлиной волны, а ю® — соответствующей ей собственной частотой колебания струны [1].

При указанных выше начальных условиях получаем, что В,, = 0 (г = 1, оо), а коэффициенты Лг определяются из уравнения [1]:

ТО , .4

/(.г-) = ^Аг8т (19)

Несмотря на то что решение (18) и выражение (19) содержат бесконечное число слагаемых, на практике можно пользоваться только конечным отрезком ряда (18) из N слагаемых.

Из приведённого решения очевидно, что длина волн не связана с наличием или отсутствием неоднородностей в струне и характером её деформирования при натяжении, т. е. значением (аХ). Однако собственная частота колебаний ю® полностью определяется как характером деформации, так и наличием включений:

гп 3((Ех))

щ = (г = 1,ЛГ)' (20)

где 3((ех)) определяется по (9), в частности можно положить, что в случае упругого композиционного материала струны 3((ех)) = (Е)х (ех) (рис. 2).

Из условия наличия неоднородностей в материале струны в соответствии с характером вывода уравнений (1)-(8) можно утверждать, что количеством N достоверно вычисленных частот (20) и соответственно слагаемых в (18) для композиционной струны является значение, удовлетворяющее неравенству

I

— > х2 - ХЬ

т. е. длина волны l/N должна быть больше размера неоднородности минимум в 10 раз. Таким образом, в самом худшем для исследователя случае уравнение (20) позволяет определить низшую частоту колебания неподвижно закреплённой по концам композиционной струны (при г = 1).

Влияние реологии материала струны по наследственной теории. В [6] продемонстрировано применение уравнения ползучести в случае деформации композиционного стержня. Однако в данном случае необходимо применять уравнение релаксации. В рамках этой теории используем два уравнения релаксации с ядром релаксации В.(Ь, т):

Юр Гц

450 400 350 300

Рис. 2. Зависимость низшей собственной частоты ю1 струны длиной I = 1 м от концентрации у первого материала в двух-компонентной смеси: Е1 = 2 • 1011 Па, Е2 = 0,7 • 1011 Па, р1 =

~02 0*4 0*6 0*8 1*0 = 7850 кг/м3, р2 = 8330 кг/м3, при сред-

у ней деформации натяжения ех = 0,001

1. Вязкоупругий однородно стареющий материал [8, 9]:

ах(1) = Е(1) - I ех(х)Я{Ь, т)^ , (21)

где Е(Ь) — мгновенный модуль упругости (Е(£) = Е, если материал не стареет).

2. Материал, обладающий свойствами нелинейной ползучести [8, 10]:

Ох()= 3 (£хС0) - У 3 (ех(т)) Е(г, т)скт. (22)

о

В случае однородной струны, учитывая то, что деформация однородной струны ех постоянна и изменяется лишь напряжение её натяжения, непосредственно из (20)—(22), опустив повторение предыдущих рассуждений, можно получить формулы, определяющие изменение собственных частот колебания струны в зависимости от её реологических характеристик для вязкоупругой однородно стареющей струны (струна из полимера или биологической ткани):

гп

ехЕ(г)

р

о

1 - / Щ1,х)ск (г = 1, ЛГ), (23а)

и струны с нелинейной ползучестью (металлическая струна в условиях высокой температуры) (рис. 3):

гп

3 (еж) Р

1-J R{t,x)dx\ {¡=1,М). (236)

Реология композиционной структурно неоднородной струны по наследственной теории. Продемонстрируем методику учёта реологических композиционных свойств струны, которую можно применять, например, при анализе металлополимер-ных струн. Будем рассматривать самый простой вариант, т. е. линейное уравнение (21) (вязкоупругий однородно стареющий материал).

Гипотеза Фойгта для вычисления эффективных реологических параметров материала из N компонент. В данном случае следует решить задачу усреднения параметров материалов, исходя из простого растяжения элемента струны, соответствующего отрезку (х1, х2). Пусть этот элемент моделируется продольно-слоистым призматическим стержнем с квадратным поперечным сечением Б площадью Д х Д [6], так как при нагружении вдоль 0х гипотеза об однородной деформации всех компонент струны удовлетворяется по определению. Рассматривается N слоёв (по количеству компонент композиционного материала). При этом А;-й продольный слой {к = 1, Ж) имеет ширину, например, вдоль 0у-направления Д^ = у^Д, а вдоль 0^-направления — Д. Очевидно, что направления 0у и 0^ равнозначны, поэтому полученные далее результаты не зависят от их перестановки.

Усредним вязкоупругие характеристики продольно-слоистого однородно стареющего стержня. Деформации (ех) каждого из слоёв при фиксированном времени £ одинаковы для всего стержня. Следуя методике, изложенной в [5, 6], из (21) можем получить

I

Юр Гц 500

400

300

200

100

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 г, с

Рис. 3. Зависимость низшей собственной частоты Ш1 струны длиной I = 1 м от времени £ (Е = 0,7 • 1011 Па, р = 8330 кг/м3 и ядром Ржаницы-на Як(г, т) = 0,3е-10_11(4-т)/(£ - т)°'Б [10] при средней деформации натяжения гх = 0,001)

выражение

ох,к (г) = Ек(г){ъх) 1 - J як (г, т)^\ .

0

Домножая результат на у к и затем суммируя полученное выражение по к, получаем уравнение

г

{ох(г))ф = {Е(г))ф{£х) 1 -1{Я(г, т))ф¿т

(24)

где

N

{ох(г))Ф = ^2 ук Ох,к(г), к=1 N

{Е(г))ф = £ Ук Ек (г),

к=1

N

{Щ(г, т))ф

{Ех (г))ф

Етк Ек (г) Як (г, т).

к=1

Гипотеза Рейсса для вычисления реологических параметров материала из N компонент. В данном случае следует воспользоваться решением задачи усреднения параметров поперечно-слоистого горизонтального стержня с квадратным сечением Б, так как при таком нагружении гипотеза об однородном напряжённом состоянии всех компонент многокомпонентной струны удовлетворяется по определению. Следуя методике, изложенной в [5, 6], из (21) можем получить выражение

Ы*)) щ*)

£х,к (1 - ! Як(г,т)^т I ,

(25)

где £х,к = {Ох(0))/Ек(0).

1

Домножая результат на jk и затем суммируя полученное выражение по к (к = 1, N), получаем уравнение

{ox(t)) = (ex)P(E(t))P 1 -J(R(t,x))Pdx\ , (26)

0

где

(г ) Ы°])

E (0))р'

/и \ -1

Yk \

N

<д(М))р = да)>Р ]г ^ flœ,fc(i,T). k=1

Вычисление эффективных реологических параметров структурно неоднородной композиционной струны, следуя Хиллу. Окончательно можно записать уравнение состояния и эффективные параметры структурно неоднородной в среднем изотропной вязкоупругой однородно стареющей струны на основании (24), (26):

(Ox(t)) = (zx)(E(t))x (l - j(R(t, x))xdx\ , (27)

где

(Ш]) _ №))ф + (т)Р (ш _ (Д(*))ф(Д(*,т))ф + (^))р(Д(^т))р \ и/х 2 ' \ 2(Е(г))х

Влияние реологических параметров композиционной струны на собственные частоты колебаний. Исходя из (20) и (27), аналогично (23) получаем:

. . гп

Ы(Я(*)>х [l-jR(t,x)dx

-У-Аг = 1,Ю, (28)

где N определяется, как и ранее, из соотнесения длины волны с номером N с длиной вдоль оси 0x макроточки композиционного тела — xi.

Наличие металлов в композиции с полимером учитывается согласно методике, предложенной в [6]: при соответствующих номерах металлов Rk (t, т) = 0, а Ek (t) = E — константы в (24), (26) и соответственно в (27).

Замечания об использовании технической теории старения для моделирования реологии однородной и композиционной струны. Предположим, что уравнение релаксации имеет вид [11]:

ox(t)= J(ex)^(t), (29)

где ^(t) — функция релаксации. Однако из-за особенностей поставленной задачи (постоянства деформации струны ex) её решение с помощью соотношения (29) ничем не отличается от результатов, полученных с помощью (21) и (22).

Отметим, что в общем случае методика усреднения параметров деформационных характеристик Зк компонентов неоднородной струны полностью совпадает с методикой усреднения одноосно нагруженного стержня, изложенной в [5]. Усреднение же функций релаксации Фк (£) сведётся к простейшим арифметическим операциям.

Дополнительно можно сделать замечание, что усреднение в линейном случае Зк даст результаты, совершенно аналогичные (24), (26), (27).

Применение модели Максвелла при определении влияния реологических параметров струны на собственные частоты её колебания. Наиболее распространённым в научной литературе способом решения задач реологии является использование нелинейного уравнения ползучести Максвелла [8], физического аналога последовательно закреплённых двух нелинейных упругого элемента с характеристикой о = 3(е) и вязкого элемента с характеристикой о = н(е), где 3 — как и раньше, монотонно возрастающая функция, описывающая растяжение/сжатие первого упругого элемента (в линейном случае, как всегда, 3' = кЗ/ке = Е — модуль упругости), 2 — монотонно возрастающая функция вязкости второго вязкого элемента (в линейном случае н' = ЗкЕ/кг = п — вязкость материала), е = де/дЬ.

Поскольку при последовательном закреплении упругого и вязкого элементов напряжения, действующие на каждый из них, одинаковы, то суммарная деформация при последовательном соединении определяется уравнением

г

ех = Ы + Ун-1 (Ох)кЬ. (30)

о

В случае со струной напомним, что ех является константой, поэтому уравнение (30) можно привести к дифференциальному уравнению первого порядка относительно ох:

3-1'(ох)^ + Е-1(ох)= 0. (31)

Особенностью уравнения Максвелла (31) является то, что оно явно зависит от деформации упругого элемента только в смысле начального условия ох\1=о = 3(ех).

Рассмотрим метод усреднения параметров модели Максвелла для структурно неоднородного композиционного тела [5], состоящего из п компонент, для каждой из которых с номером к (к = 1, п) заданы модули упругости Ек и вязкости г^.

Применим гипотезу Фойгта, в соответствии с которой деформации любой компоненты композиционного материала с номером к одинаковы, т. е. ех,к = (ех), тогда из (30) можно получить

Ек Г

Ей (ех) = ох к Н--/ о,./ <//. (32)

Пк ]

Предположим, что

J Ох,ккЬ = ук у (Ох)к1.

оо

Подставляя в (32), домножая на у к и суммируя по к (к = 1, п), получаем уравнение релаксации композиционной струны с использованием гипотезы Фойгта

^ + = (33,

I

где

Vl/Ф 1{Е)ф щ

(Е)ф = £УкЕк, (т)ф =

к=1

Применим гипотезу Рейсса, в соответствии с которой напряжения любой компоненты композиционного материала с номером к одинаковы, т. е. ох,к = (°х):

г

£х,к = ~ег~ + / -34

' Ек } Пк

о

Домножая (34) на ук, суммируя по к, проведя замену ^^=1 укех,к = (ех) и предполагая, что ¿(ех)/кЬ = 0, получаем дифференциальное уравнение Максвелла релаксации композиционной струны в соответствии с гипотезой Рейсса

(35)

Jx

dT ' (л)

где

р

/и \-1 / n N

Для общего случая неоднородности при использовании гипотезы Хилла, исходя из (33) и (35) получаем уравнение

(36)

где

(Е)х = (л)х = М±±Мр.

С начальными условиями ох\г=о = (Е)х(^) для композиционной струны решение (36) имеет вид

_<Е>Х ,

{ох{1)) = (Е)х(гх)е "^ЗГ .

Таким образом, собственные частоты неоднородной композиционной струны, реологическое поведение отдельных материалов которой определяется из уравнения Максвелла, можно рассчитать из выражения

o>i(t) = -JX W , (г=1 ,п).

Усреднение параметров уравнения (30) в случае их нелинейности с использованием методик [5, 6] требует дополнительного исследования.

Колебания струны на композиционном упругом безынерционном основании и безынерционном основании с реологическими характеристиками. В качестве модели основания используем обобщённую модель Винклера высотой h [5] без учёта временных эффектов и массы стержней (рис. 4). Напряжение оу, возникающее в стержнях обобщённой модели Винклера при взаимодействии со струной, определяется выражением Jy(u(x,t)/h), где Jy — некоторая функция,

1

У 0

-к

определяющая уравнение состояния стержней обобщённой модели Винклера [5]. Без ограничения общности будем считать, что проекция струны на плоскость х0г по направлению 0г имеет средний Рис. 4- Движение струны на безынерционном максимальный размер Ах. Кроме того,

обобщённом основании Винклера

величина Б/Ах ^ к.

Сила сопротивления движению струны определяется уравнением

Х2

'и(х, г)"

Я

у, сопр.

= Аг 3

к

Зх.

На основании вывода уравнения (8) в баланс сил (5), действующих на отрезок струны, соответствующий интервалу (х1, х2), необходимо добавить Яу,сопр. с отрицательным знаком, так как эта сила направлена в противоположную сторону от направления движения:

/(4)4-8 = /(г"|В1)4-

Аг 3у

и(х, г)

Х2

Зх + J(д(х,г))Зх ■ Б.

Проведя известные преобразования (6), (7), получаем уравнение, учитывающее влияние безынерционной обобщённой среды Винклера на колебание струны:

д 2и д 2и ( и(х,г)

+ Ь = Да/«р>5).

При использовании усреднённых деформационных характеристик обобщённого основания Винклера [5], например

3У

и(х, г) к

Еу)

у/х~

и(х, г)

необходимо помнить, что размер элемента усреднения для стержней основания (т. е. размер макроточки усреднения композиционного материала основания) не должен превышать размеров (х2 — х{) х к х Ах по направлениям 0х, 0у и 0г соответственно.

В случае вязкогоупругого линейного или нелинейного однородного материала обобщённого основания (т. е. отсутствия особенностей поведения при разгрузке) при использовании наследственной теории ползучести [6] можно получить, что сила сопротивления движению струны определяется уравнениями, аналогичными (21) и (22):

Я

у,сопр.

= ^ Еу (г)

ь(х, т)

/,(х, т)

ну(г, т)Зт Зх

(37)

или

Я

у,сопр.

и(х, т)

- I 'Зу [ -^г—^ ) Иу^,т)3х | Зх,

Х

Х

Х

2

к

Х

2

к

к

3

у

к

где Ey (t) — мгновенный модуль упругости основания Винклера; Ry (t, т) — ядро релаксации основания Винклера.

С помощью (37) несложно получить соответствующие уравнения для вязкого поведения основания Винклера:

д2и д2и Az (ujx, т) [ ujx, т) \ {g(x,t)) _

W = a{t)M - W R^X)dXJ + -(рГ'

д2и д2и Дг ( (ujx, х)\ Г (ujx, х)\ \ (g(x,t))

w = а{4* - W у* {-¡Г)-J/y {—¡Г) Ry^dxJ +

Очевидно также, что можно перейти в некоторых случаях и к реологическим характеристикам композиционных оснований [6] при рассмотрении малых колебаний струны.

Выводы. Впервые при выводе уравнения колебания струны рассматриваются не действующие растягивающие силы, а растягивающие средние по поперечному сечению напряжения. Получены:

— решения для однородной струны из реологически активного материала в соответствии с наследственной теорией ползучести;

— эффективные значения коэффициентов уравнения колебания композиционной струны в приближении Хилла для материала струны с учётом деформационных и реологических параметров;

— формулы, определяющие собственные частоты колебаний композиционной струны в приближении Хилла для материала струны, в соответствии с моделью наследственной ползучести для компонент материла и моделью Максвелла для компонент материала;

— уравнения колебания композиционной струны на композиционном линейно- или нелинейно-упругом безынерционном обобщённом основании Винклера, построенном в приближении Хилла для материала основания;

— уравнения колебания композиционной струны, на однородном вязко линейно- или нелинейно-упругом (в смысле наследственной теории) безынерционном обобщённом основании Винклера.

Литература

1. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с.

2. Лекции об уравнениях математической физики. URL: http://edu.sernam.ru/lect_mph.php?id=9 (дата обращения: 17.11.2014).

3. Eringen A. C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves //J. Appl. Phys. 1983. Vol. 54, N 9. P. 4703-4710.

4. Кравчук А. С., Кравчук А. И. Нелокальное распределение напряжений и деформаций в призматическом стержне при его осевом сжатии // APRIORI. Серия: Естественные и технические науки. 2014. № 3. URL: http://apriori-journal.ru/seria2/3-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (дата обращения: 17.11.2014).

5. Кравчук А. С., Кравчук А. И. Применение простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины в механике твердого тела // APRIORI. Серия: Естественные и технические науки. 2014. № 1. URL: http://apriori-journal.ru/seria2/1-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (дата обращения: 17.11.2014).

6. Кравчук А. С., Кравчук А. И. Моделирование ползучести по наследственной теории в простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины // APRIORI. Серия: Естественные и технические науки. 2014. № 2. URL: http://apriori-journal.ru/seria2/2-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (дата обращения: 17.11.2014).

7. БронштейнИ. Н., СемендяевК. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

8. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. 418 с.

9. АрутюнянН. Х., Манжиров А. В. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Ин-т механики НАН Армении, 1999. 320 с.

10. Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Яровая А. В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 576 с.

11. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

References

1. Aramanovich I. G., Levin V. I. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Partial differential equations]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 288 p. (In Russian)

2. Lektsii ob uravneniiakh matematicheskoi fiziki [Lectures on equations of mathematical physics]. Available at: http://edu.sernam.ru/lect_mph.php?id=9 (accessed: 17.11.2014). (In Russian)

3. Eringen A. C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves. J. Appl. Phys., 1983, vol. 54, no 9, pp. 4703-4710.

4. Kravchuk A. S., Kravchuk A. I. Nelokal'noe raspredelenie napriazhenii i deformatsii v prizmatich-eskom sterzhne pri ego osevom szhatii [Not local distribution of tension and deformations in a prismatic core at his axial compression]. APRIORI. Seriia: Estestvennye i tekhnicheskie nauki [APRIORI. Series: Natural and technical sciences], 2014, no 3. Available at: http://apriori-journal.ru/seria2/3-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (accessed: 17.11.2014). (In Russian)

5. Kravchuk A. S., Kravchuk A. I. Primenenie prosteishei modeli deformiruemogo pokrytiia postoiannoi tolshchiny v mekhanike tverdogo tela [Application of the elementary model of a deformable covering of constant thickness in mechanics of a solid body]. APRIORI. Seriia: Estestvennye i tekhnicheskie nauki [APRIORI. Series: Natural and technical sciences], 2014, no 1. Available at: http://apriori-journal.ru/seria2/1-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (accessed: 17.11.2014). (In Russian)

6. Kravchuk A. S., Kravchuk A. I. Modelirovanie polzuchesti po nasledstvennoi teorii v prosteishei mod-eli deformiruemogo pokrytiia postoiannoi tolshchiny [Modeling of creep according to the hereditary theory in the simplest model of a deformable covering of constant thickness]. APRIORI. Seriia: Estestven-nye i tekhnicheskie nauki [APRIORI. Series: Natural and technical sciences], 2014, no 2. Available at: http://apriori-journal.ru/seria2/2-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (accessed: 17.11.2014). (In Russian)

7. Bronshtein I. N., Semendiaev K.A. Spravochnik po m,atem,atike dlia inzhenerov i uchashchikhsia vtu-zov [The reference book on mathematics for engineers and students of technical colleges]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 544 p. (In Russian)

8. Rzhanitsyn A. R. Teoriia polzuchesti [Theory of creep]. Moscow, Stroiizdat Publ., 1968. 418 p. (In Russian)

9. Arutiunian N. Kh., Manzhirov A. V. Kontaktnye zadachi teorii polzuchesti [Contact tasks of the theory of creep]. Erevan: In-t mekhaniki NAN Armenii Publ., 1999. 320 p. (In Russian)

10. Gorshkov A. G., Starovoitov E. I., Iarovaia A. V. Mekhanika sloistykh viazkouprugoplasticheskikh elementov konstruktsii [Mechanics of layered it is viscously elastic plastic elements of designs]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005. 576 p. (In Russian)

11. Malinin N. N. Prikladnaia teoriia plastichnosti i polzuchesti [Applied theory of plasticity and creep]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1975. 400 p. (In Russian)

Статья поступила в редакцию 19 ноября 2014 г.

Контактная информация

Кравчук Александр Степанович — доктор физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]

Кравчук Анжелика Ивановна — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]

Тарасюк Иван Александрович — аспирант; e-mail: [email protected]

Kravchuk Alexander Stepanovich — Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor; e-mail: [email protected]

Kravchuk Anzhelika Ivanovna — PhD, Associate Professor; e-mail: [email protected]

Tarasyuk Ivan Alexandrovich — post-graduate student; e-mail: [email protected]