CC BY
22
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ КЕРАМИЧЕСКИХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ДЕФЕКТАМИ В ВИДЕ ПОР
Т.Д. КАРИМБАЕВ *, д-р техн. наук, проф., Б. МЫКТЫБЕКОВ , канд. техн. наук, М.Ж. ЖУМАБАЕВ**, д-р физ.-мат. наук ФГУП «ЦИАМ» им. П.И. Баранова, Москва, Россия; Южно-Казахстанский государственный педагогический институт (Казахстан)
Москва., Черноморский бульвар 7,кор.1. кв.13. E-mail: karimbaevt@ciam.ru Московская обл., г. Люберцы, Октябрьский просп. 123,кор.3. кв.57. E-mail: bahit@ciam. ru
Жамбылская область, г. Тараз, ул. Майкот акын, 18, jumabaev_m.j@mail. ru
В настоящей работе модель деформирования нелинейно-деформируемых трансвер-сально-изотропных керамических композиционных материалов с хрупкой матрицей построена в предположении существования в материале матрицы начальной пористости, которая может развиваться при дальнейшем нагружении керамического материала. Начальная пористость обусловлена не выявляемыми существующими методами неразрушающего контроля технологическими дефектами.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: керамика, напряжение, слой, композиционный материал, пористость, растяжение, сдвиг, волокна.
Одной из основных задач при создании композиционных материалов на керамической матрице с непрерывными керамическими волокнами, решение которой обеспечивает работоспособность деталей из них, является повышение вязкости разрушения хрупкого керамического материала с низким уровнем предельных деформаций. Несмотря на то, что исследованиями керамических композиционных материалов конструкционного назначения интенсивно занимаются последние 40-45 лет, основная их масса посвящена изучению и обсуждению, безусловно, важных, но отдельных частных проблем и достижений. В опубликованных материалах имеются отдельные предложения по аналитическому описанию их поведения в этих условиях. Так, в работе [1] приведена качественная картина деформирования композиционных материалов с хрупкой матрицей при монотонном на-гружении (рис.1).
При малых нагрузках и напряжениях (этап I) деформирования керамических композиционных материалов наблюдается совместная деформация упругих материалов волокна и матрицы. Второй этап (этап II) деформирования композиционных материалов продолжается до полного насыщения материала матрицы порами (повреждениями). Если осуществить разгрузку с некоторого уровня напряжения, действующего на втором этапе деформирования, то экспериментально установлено появление остаточных деформаций в композиционном материале, остаточных деформаций и напряжений в его компонентах, а при повторном нагружении после разгрузки можно наблюдать гистерезисную петлю. Заключительная фаза второго этапа деформирования характеризуется тем, что материал матрицы «насыщается» порами и на волокнах остаются отдельные частички материала матрицы. При этом типичная длина этих частиц экспериментально не определена. Можно только предполагать, что их длина превышает критическую длину волокна. В этом случае III этап деформирования композиционных материалов характеризуется [1] скольжением волокна по поврежденной границе раздела волокна и матрицы, а также его вытягиванием из оставшейся массы материала матрицы. Разработанная и использующаяся в некоторых работах модель «запаздывания сдвига» (lag-shear) является инте-
гральной характеристикой сдвиговых эффектов и требует проведения специальных исследований. Наконец, IV этап деформирования характеризуется разрушением материала волокна (см. рис. 1) с учетом естественного разброса его прочности. Закономерности разгрузки на участках III и IV этапов деформирования экспериментально не исследовались и в общедоступной литературе не описаны.
Рис. 1. Качественная картина деформирования композиционных материалов с хрупкой матрицей при монотонном нагружении
В настоящей работе модель деформирования нелинейно-деформируемых трансверсально-изотропных керамических композиционных материалов с хрупкой матрицей построена в предположении существования в материале матрицы начальной пористости, которая может развиваться при дальнейшем нагружении керамического материала. Начальная пористость обусловлена не выявляемыми существующими методами неразрушающего контроля технологическими дефектами.
Рассматриваются однонаправлено-армированные композиционные материалы на хрупкой матрице. Предполагается, что, несмотря на возможности нелинейного деформирования материала матрицы из-за развития его поврежден-ности, рассматриваемые поля напряжений и деформаций таковы, что они связаны между собой обобщенными зависимостями трансверсально-изотропной среды в виде:
£11 = ( - У12СТ22 -У12СТ33)/ Е1 + «1^ £12 = СТ12/
£22 = ( СТ22 - У21СТ11 -У23СТ33)/ Е2 + «2^ £13 = СТ13/ (1)
£33 = ( СТ33 - У21СТ11 -У23СТ22)/ Е3 + «3 ^ £23 = СТ23/ ^3.
По форме они не отличаются от линейно-деформируемых трансверсально-изотропных сред. Однако в отличие от них реальные значения модулей упругости композиционных материалов вдоль Е1 и поперек Е2 направления армирования, модуля сдвига G12 в плоскости армирования, коэффициентов Пуассона у21, у23, характеризующих сжатие в направление первого индекса при растяжении в направлении второго индекса, являются функциями поврежденности материала матрицы и межфазового пространства. Характеристики трансверсально-изотропного тела (1) в этом случае являются переменными параметрами «упругости». Далее получены их выражения для различных случаев напряженно-деформированного состояния.
Растяжение в направлении армирования
Если в физические соотношения для композиционных материалов и их компонентов, с учетом квазиоднородности материала матрицы с микроповреждениями и инородными включениями, которая характеризуется пористостью р, подставить параметры изотермического напряженно-деформированного состояния рассматриваемого образца, то получим совокупность равенств:
- компоненты напряжений в композиционном материале и шаровые и девиа-торные их составляющие
ст = К -о101)/3, Sjj = 2(on-а101)/3, s22 = S33 = -«-<)/3,
Sj = 0 при i * j, < = (<n -стЦ); (2)
- компоненты напряжений в компонентах композиционного материала и шаровые и девиаторные их составляющие:
<3 = К -<«0)/3, s?1 = 2(<« -<«0)/3, sÎ2 = sÎ2 =-(oî1 -aÎ10)/3,
s* = 0 при i * j, <33 = к -О; (3)
- компоненты деформаций в композиционном материале и шаровые и девиа-торные их составляющие:
— 0 = ( _ 0 ) / е - 0 = _ О =- ( - 0)
s 11 - s11 = (<11 - <11 V Е1, s 22 - s 22 = s 33 - s 33 _ -v12(s 11 - s 11 ),
Эу- = 0 при i * j s = (1 -2V12)(sn -е 101)/3, £1 = s 11 - sЦ,
Эи = 2(1 + V12) s п/3, Э22 = Э33 =-(1 + vu)s п/3, (4)
Э = 0 при i * j;
- компоненты деформаций в компонентах композиционного материала и шаровые и девиаторные их составляющие:
а а 0 _ / a ^r-i0w 77a са c«0 _ a _ a 0 _ a / a a^
S 11 - S 11 = (<11 - <11 )/ Е1 , S 22 - S 22 = S 33 - S 33 _ -v12(s 11 - S 11 ),
s a = 0 при i * j, s a=(1 -2va)(sa -s«°)/3,
Э« = 2(1 + <2 )(s« - s a0 ) / 3, Э«2 = ЭЦ = -(1 + v«« )(s«1 - sa0 ) / 3, (5) Э j = 0 при i * j
При этом, приведенные параметры Е*2 и v*2 материала матрицы, будут вычислены для текущего значения пористости р, т.е. из равенств
Е2 = Е *2( р), v2 = v*2( р). (6)
Текущая пористость материала определяется из соотношения [2] : р = р0 + (1 - Р0)[1 - ехр{-(¥ / V0)(< > - а0)/<и ] ■* }]1/е , где <о1 > - осредненное главное напряжение материала матрицы, а0 - пороговое значение прочности материала матрицы с начальной пористостью р0, <и -
параметр масштаба и % - параметр (модуль Вейбулла) рассеяния, 9 - параметр, характеризующий степень влияния изменения пористости р на скорость роста повреждений. Кроме того, в выписанных соотношениях (2)-(5) учтено существование начальных технологических остаточных напряжений и равенств
r Т-.1 1 1 3 3
Е1= Е, v 12 = v , Е 1= Е, v 12 = v . Если соответствующие выражения из (2)-(5) с учетом (6) подставить в равенства (1)
<11 - <11 =V (<11 - <11 ) =V (<11 - <11 ) +V (<11 - <11 ) +V (<11 - <11 Л
-
11 11
0 a a a0
= <« (s 2« - s 2«0) =V1(s 12 - s 10) + V2(s 2 - s £) +<3(s 3 - s £), (7)
s 33 - s 303 = va (s 33 - s 3a30) = v1 ( s 33 - s 10) + v 2(s 323 - s 3230 ) + v3 (s 333 - s 3330 ), то после несложных преобразований можно получить
Е* =vaE« =v1 Е1 +v2 Е12 +v3 Ef,
* a a 1 1 2 2 3 3
v = v v = v v + v v + v v.
(8)
Таким образом, два (Е*, у*2) из пяти параметров упругости трансверсаль-но-изотропного тела (1) могут быть аналитически определены соотношениями (8). В качестве примера на рис. 2 представлены три расчетные кривые деформирования композиционного материала при различных значениях объёмного содержания волокон V1 (у:=0.2, у:=0.4 и у:=0.6).
Деформация, с1еГ
Рис. 2. Кривые нелинейного деформирования (е11 ~ ст1Ь е22 ~ ст11) композиционных материалов с хрупкой матрицей при растяжении в направлении армирования в зависимости от объемного содержания волокна v1.
Растяжение в плоскости изотропии
Пусть растягивающее напряжение приложено к длинному призматическому образцу в плоскости изотропии (для определенности в направлении оси х2). Для композиционных материалов с микронеодноростью в хрупкой матрице, выполняется комплекс предположений
а а0 . 0 \ 0 а/ а а0 \ г.
а22 ~а22 = ' 22 = а22 _ °22 ), СТ11 _СТ11 = У (СТ11 _ & 11 ) = 0,
а _ „а0 = е = _ „0 а _ „ 0а = а („а _ а0) (9)
£11 £11 _ е11 _ £11 е11, £33 £33 _ 23 ( 22 22 ), УУ'
_ „ 0 = е = а („ а1 _ „ а0 ) _ „ 0 = е = а („а _ „ а0 )
22 22 е22 ~У (е22 е22 ), £33 £33 _ е33 ~У (е33 £33 ).
Следует отметить, что локальные несовершенства в виде пор в материале матрицы и на границе раздела компонентов оказывают заметное влияние на распределение местных напряжений. Если в физические соотношения (1) для композиционных материалов и их компонентов подставить параметры изотермического напряженно-деформированного состояния растягиваемого в плоскости изотропии образца, определенные соотношениями (9), то легко получить совокупность равенств - компоненты напряжений и деформаций в компонентах композиционного материала:
_а _а0 / а т-*а / т? \/ а/_ _0 \
аи _ аи = (у 12 ^12Е1 /Е^ (СТ22 _ ^22),
„а _ „а0 = „ _ _ 0 = а _ _0 ) / е
Би £ц — ^12^22 22 ) ' Е1, (10)
„22 _ „2°20 = [1 У 221 (У 12 _У12 Еа / Е1 а (^22 _ Е? ,
„а _ „а0=_У2°з +У2>а _У12 Еа / е^ а ^ _ е?
- компоненты напряжений в композиционном материале, шаровые и девиатор-ные их составляющие:
_ = _ __ 0 _а = _а __?0 °1 _ ° 22 22 ' °1 _ СГ22 22 '
„ = „ „а = „а _„а0 _ = (_ )/3 (11)
„1 _ „22 22 , „1 _ „22 22 , _ (°22 СГ22)/3, (11)
„11 = „33 = _(СТ22 _ СТ202 ) / 3, „22 = 2(СТ22 _ ) / 3, „гу = 0 при г * Л
- компоненты деформаций в композиционном материале, шаровые и девиатор-ные их составляющие:
_ = _ Ста = _а __а0
-1 - .-Ч.-Ч ^ч^ч - -1 — <")0 ОО ^
22
11
„ = („11 „11 + „22 + „22)/3, Э11 = [2(„11 „11 ) („22 „22)]/3, (12) Э22 = [_(„ _„п) + 2(„22 _„202 )]/3,
Э33 = _[„11 _„П + „22 _„202 ]/3, Эг} = 0 при г * Л
- шаровые и девиаторные составляющие напряжений и деформаций в компонентах композиционного материала:
а / а _а0 а _а0ч/о а / а _а0 _а\
„а = (_а __а0 __а ) „а = __а
99 — 99 С 99 и I, >3 оо — и .
22 22 22 33 (13)
а а а0 а а0 а а0 а а а0 а
„ = („11 _„11 + „22 + „22 + „33 + „33 )/3, Э11 = „11 _„11 _„ ,
а а а0 а а а
Э22 = „22 „22 _„ , Э33 = „ , Эг] = 0 ПРи г * Л
Здесь с1, 81, е™, с™ - главные напряжения и деформации в композиционном материале и его компонентах. Соотношения (10)-(13), а также зависимости (9) и (1), после несложных преобразований приводят к равенствам:
1/ Е2* = у а [1 _ у? (Уа _ У 1*2 Е? / Е*)] / Е?,
(14)
У2*3 =УаУа + У 221 Уа _У*2 Е? / Е*)]Е2 / Е?. В (14) по одинаковым верхним индексам ™ предполагается суммирование. Переменные параметры «упругости» у1*2, Е* определяются из равенств (8). По полученным данным (8) и (14) построены зависимости главных напряжений с22 от главных деформаций в22 и с22 от е33 для различных уровней объёмного содержания волокон V1 ^=0.2, v1=0.4 и v1=0.6).
^22 = Е*2 (Р)„22 , „33 = _(У *2 (Р) / Е*2 (РУ)СТ22 . (15)
Результаты вычислений приведены на рис. 3. Обращает внимание то, что при начальном неизменном уровне пористости р0 модуль упругости хрупкой матрицы Е*2 оказывает определяющее влияние на поведение композиционного материала при его растяжении в плоскости изотропии (сравнение рис. 2 и 3). Объёмное содержание волокна V1 начинает сказываться только при больших уровнях деформаций.
Сдвиговые деформации в плоскости армирования
Пусть напряжение сдвига т приложено к призматическому образцу, одно-направлено-армированному в плоскости армирования х1х2. В этом случае можно допустить, что предположения
, а _а0
, (16)
„ _„0 = У а („а + „ а0 )
12 с12 ~у Vе 12 тс12 /
СТ12 СТ12 = СТ12 СТ12
имеют место и для композиционных материалов с хрупкой неоднородной матрицей-матрицей, содержащей поры.
72,00
-0,0004 0,0016 0,0032 0,0048 0.0065 0,0081
Деформация, с1еГ
Рис. 3. Кривые нелинейного деформирования (822 ~ а 22, £33 ~ ^22) композиционных материалов с хрупкой матрицей при растяжении в плоскости изотропии в зависимости от
объемного содержания волокна V1.
Из соотношений (16), (1) для композиционных материалов можно получить: - компоненты напряжений в компонентах композиционного материала и шаровые и девиаторные их составляющие:
« А
а = 0,
« А
= т,
312
/ а а0 а \ а «а
(а22 "а22 "а ), ¿13 = 523 = 0,
а а0 _ / ла 12
а _а /
8 1 = а1 / &
(17)
8 а = 0,
^2 _ Т / &12 ,
Э«3 = Э«3 = 0, Эа = < / 0«2, Эа = 0 при г * у
а! = т
0.0016 0.0031 0.0047 0.0062 0.0078
Деформация, с^
Рис. 4. Нелинейная зависимость сдвиговых напряжений а^ от сдвиговых деформаций 812 при различных значениях объемного содержания волокна V1
- компоненты напряжений в композиционном материале и шаровые и девиаторные их составляющие:
<12 " <12 = т, < = 0 sy = 0, si2 = T, s13 = s23 = 0, si = T,
(18)
<1 = т, s = 0, = 0, э13 = э23 = 0, э1 = т / G12, э1 = </ G12. На основе соотношений (17,18), (18,19) и предположений (16,17) можно
получить равенство:
1
g12 g12
(19)
в котором под G212 следует понимать переменное его значение G*212(p), зависящее от уровня достигнутой величины главной деформации.
На рис. 4 представлены кривые с12 = G12 s12 при различных значениях объёмного содержания волокна v1 (v1=0.2, v1=0.4 и v1=0.6). Для сдвиговых деформаций можно сделать те же заключения, что и для поперечных деформаций.
Относительно простыми соотношениями (8), (14) и (19) полностью определяются пять независимых переменных параметров «упругости» трансверсаль-но-изотропного композиционного материала с матрицей, которая может иметь начальную и развивающуюся поврежденность в виде сферических пор.
Таким образом, разработана модель нелинейного деформирования и разрушения однонаправлено-армированных керамических композиционных материалов, учитывающая начальное распределение пор в хрупкой матрице с ее дальнейшим вероятностным развитием по мере нагружения.
Л и т е р ат у р а
1. Sorensen B.F., Holmes W. Fatigue of continuous fiber reinforced ceramic matrix composites: review of mechanism and models. Fatigue under thermal and mechanical loading: mechanism, mechanics and modelling: Proceeding of the Symposium held at Petten, the Netherland, 22-24 May 1995, p. 487-499.
2. Каримбаев Т.Д., Мыктыбеков Б., Панова И.М. Математические модели нелинейного деформирования однонаправлено-армированных композиционных материалов // Труды ЦИАМ, №1334, изд. ЦИАМ, 2006. - 160 стр.
R e f e r e n c e s
1. Sorensen, BF, Holmes, W (1995). Fatigue of continuous fiber reinforced ceramic matrix composites: review of mechanism and models. Fatigue under Thermal and Mechanical Loading: Mechanism, Mechanics, and Modelling: Proceeding of the Symposium held at Petten, the Netherland, 22-24 May 1995, p. 487-499.
2. Karimbayev, TD, Myktybekov, B, Panova IM (2006). Matematicheskie modeli nelineinogo de-formirovaniya odnonapravleno-armirovannih komposicionnih materialov. Trudy TZIAM, №1334, izd. TZIAM, 160 p.
MATHEMATICAL MODEL OF DEFORMING TRANSVERSAL ISOTROPIC CERAMIC COMPOSITE MATERIALS WITH TECHNOLOGICAL DEFECTS IN
THE FORM OF PORES
T. Каrymbaev *, B. Myktybekov *, M.Z. Zhumabaev *
ФГУП «&АМ» of P.I. Baranova (Moscow, Russia) the South Kazakhstan State Pedagogical Institute (Kazakhstan)
In the present work, the deformation model nonlinear-deformed transversal isotropic ceramic composite materials with a fragile matrix is constructed in the existence assumption in a material of a matrix of initial porosity which can develop at further to load a ceramic material. Initial porosity is caused by not revealed existing methods of not destroying control technological defects.
KEYWORDS: ceramics, pressure, a layer, a composite material, porosity, a stretching, shift, fibres.
