К расчету эффективных упругопластических свойств многокомпонентных хаотически армированных композитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.892

Ю.В. Хохрякова

К РАСЧЕТУ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ

Найдены эффективные определяющие соотношения упругопластического деформирования многокомпонентных хаотически армированных композиционных материалов.

Целью настоящей работы является обобщения результатов работ [1,2]. Пусть рассматриваемый композиционный материал образован п различными компонентами, соединенными между собой с идеальной адгезией, первый из которых играет роль матрицы - Ут ; остальные -

п

Уу - роль отдельных хаотически разориентированных включений, причем Уу = ХУ , где У* -

*=1

хаотически распределенные в матрице эллипсоидальные включения с главными полуосями }.

Исходные локальные уравнения упругопластического деформирования запишем в виде

Яу = 2Л ту (л/ еЫеЫ К' ’ 0 рр = 3Кт;У е рр , (1)

пп

где /Iу = Х I* , К у = Х К*. Здесь т т; у (л/ еыеы ) - нелинейные модули пластичности сдвига;

*

*=1

Кт у - объемные модули; ^ = о^ -1 окк, е^ = е^ - 3 екк - девиаторные части тензоров напряжений и деформаций; о^ ,е^ - тензоры напряжений и малых упругопластических деформаций.

Структуру композита будем описывать индикаторными функциями Ст(г), Су(г), С* (г) (* = 1,п), равными единице в объемах Ут , Уу, У*, и нулю - вне этих объемов соответственно. Здесь г = (х1,х2,х3) - радиус-вектор координат.

Положение разориентированных в пространстве эллипсоидальных включений будем описывать характеристическими функциями С.ча (г),а = 1,*а , равными единице в объемах У*а эллипсоидальных включений направления а конфигурации * .

Тогда

п *а *а

С у(г) = X С*(г), С*(г) = X С*,а(г), V* = ХУ^ .

*=1 а=1 а=1

Линеаризуем исходные уравнения (1), пренебрегая флуктуациями деформаций в пределах объемов матрицы и объемов эллипсоидальных включений конфигураций * , положив

Лт у * = ^(еы)т.у;,,(еа)т.у.* . Здесь угловыми скобками обозначены средние значения по соответствующим объемам.

Тогда

( п Л ( п Л

(г )= 2 Лт + Х1 ]С * (г) еу (г). 0рр (г )=3 Кт + ХК 1с * (г) ерр (г ). (2)

V * = 0 V *=2 0

Здесь [и * ] = 1 * - Лт , [К* ] = К* - Кт .

Преобразуем систему уравнений, состоящую из уравнений (2), уравнений равновесия

о у (г) = 0 и формул Коши 2е у (г) = ы.(г) + (г), связывающих компоненты тензора дефор-

маций с компонентами вектора скоростей перемещений, в систему уравнений в скоростях перемещений

( 1 ^

I тУ +

*=1

т](г) = -2Х [и* ]С*(г)е](г)- X[я ]С*(г)ерр(г), я* = К* -^. (3)

¿=1 *=1 3

С помощью тензора Грина эта система уравнений заменяется системой интегральных

уравнений

(г - г, )ти (г, )<*, . (4)

£, (Г ) = |Сгк,, (г - Г1 Кі (Г )^Г1 •

V

Осредним соотношение (2) по полному объему:

{<?,) = 21 Д£,)+а , яД £ „)+2Х [», ]с^ £,}, + ^ X Iа. ]с. (£

V..

рр

(5)

.=1

.=1

Здесь с* = У. Из (5) видно, что для нахождения эффективных соотношений необходимо вычислить средние деформации (е^ . Для этого определим моменты

(С*,ае ]) = | С 1кЛ] (г1 ^С*,а (г) тй (г + Г\ )) йгх . (6)

У

Воспользуемся тем, что функции С $ а (г) описывают только эллипсоидальные включения одного направления и будем считать, что корреляционные функции имеют вид

(.,а) кі

к 7+\ 7+[ ]2

Это допущение является обобщением гипотезы сильной изотропии на случай эллипсоидальной анизотропии в одном направлении. Тогда интегралы (6) вычисляются точно и их значения выражаются формулами

X Єіі)

2Я

(Ткі). а СУ(Т кі).

(7)

Здесь Х.к?) = ) - ^]—т—Б; Бф?)- компоненты тензора Эшелби, записанные в лабора-

1 + У т

торной системе координат эллипсоидальных включений направления а .

Подставляя выражение (7) в известное соотношение [3], получим

=е (.,«) р (.,а)

^¿і ]шг тгкі

Ч=1

ІСЧ\ £ кі

(.а)

7'кі \° кі

(8)

>() = 1 [о! 1 7() + а [я ]7() ] Г)() = \г + Р() Г"1

і'кі ~ 0 I. 1/^ ^ ^ ,кІ кі і. . 1 ,рр і уІ і,кі І. і]кі ,кі і •

21 т

Умножим (8) на с*а и, суммируя по всем направлениям а , запишем уравнения для деформаций, осредненных по Уу:

укі\ кі / •

(9)

Здесь

а ,кі = С"1

-1

п1,к1+Х к

(.) Цтг

V к(.) к) = V С )

тгкі ’ і'кі і,кі

а=1

Подставляя (9) в (5), получим макроскопический закон упругопластического деформирования рассматриваемого композиционного материала:

(с і^і = Еі,кі (Л т,Л 1,...,Л и ^£ н), (10)

где Е*кі = 2тт1 і'кі + Ята,акі + С, \2\т/ \1ук1 + [Я/ ]8у8к1 \а,к1 - эффективный тензор модулей пластичности. Поскольку в соотношение (10) входят величины Лту., то для расчета деформационных характеристик композита при конкретных способах нагружения его необходимо решать совместно с уравнениями (9). При этом следует задавать вид функций ¡1 (Лт.у.), который оп-

2

2

Ч

С

ределяется на основе экспериментальных данных в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов.

Важным частным случаем общих соотношений (10) является модель композита, в котором эллипсоидальные включения ориентированы равновероятно. В этом случае

cs,i = cs,2 =... = C . При этом тензоры четвертого ранга К(J = Уcs,aQijki ) будут изо-

а=1

тропными и их общее представление будет иметь вид:

Кj C (aJm + bsSyôu ), ^ = 15 [з^ - Qp)qq ]ps = 15 [Qppq - 2Qp)qq ].

Подставляя эти соотношения в тензорное уравнение (9) и выделяя объемную и девиаторную части, находим деформации, осредненные по объемам включений:

П

У csas

j. =—Ü-(ji ie;p), = —Ü— ^p^li j = —!=^~n----------------------------------------(j ;

Cm + У Csas Cm + У Csïs CfCm + Cf У C.as

s = 1 s=1 s=1

П

У cgs

£pp)f П {£pp) i gs = as 3Ps . (11)

f П \ FF /iis '"'s

CfCm + Cf У Csïs s=1

Тогда соотношения (10) принимают вид

(*у) = 21 1 (л т ,л 1,...,Л и ^ еу.) , (орр) = ЗК * (л т ,Л 1 ,...,Л п )( £рр) ;

Г 1 У ^1 г 1 У ^

т * = т т+г / .1^4---------------------, к * = Кт+[кг 1-^----------------------. (12)

Ст + У са* Ст + £ С^

1=1 1=1

Из (11) и правила смесей следует, что

п

У СМ. л

к а1 4? 1 1 к 1

Л1 =--------------------------------------------------------------------------------П-е , Л/ =-п-е , Л т =-п-е . (13)

Ст + У С1М1 С/Ст + С/ £ С#, Ст +У СМ1

1 = 1 1 = 1 1 =1

Для решения этой системы необходимо задать вид функций ¡1 (Лт / ), выбираемый на основе экспериментальных данных в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов. Решать систему (13) следует численными методами, вычисляя на каждом этапе итераций инварианты а 1, Ь1, полученные при обращении тензора I .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сараев Л. А., Хохрякова Ю. В. Упругопластические свойства трехкомпонентного хаотически армированного композиционного материала // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. одиннадцатой межвуз. конф. Ч.1. Самара: СамГТУ, 2001. С. 166-171.

2. Глущенков В. С., Сараев Л. А., Хохрякова Ю. В. Малые упругопластические деформации композиционнго материала, хаотически армированного эллипсоидальными включениями // Вестн. СамГУ. 2001. №2(20). С. 121125.

3. Сараев Л. А. Моделирование макроскопических свойств многокомпонентных композиционных материалов. Самара: СамГУ, 2000. 182с.