Малые упругопластические деформации композиционного материала, хаотически армированного эллипсоидальными включениями

Глущенков В.С.; Сараев Л.А.; Хохрякова Ю.В.

Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. 2001. № 2(20).

121

МЕХАНИКА

УДК 539.4

МАЛЫЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА, ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННОГО ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Методами механики случайно-неоднородных сред исследуются упругоплас-тические свойства композиционного материала, содержащего разориентирован-ные эллипсоидальные включения различных конфигураций. Установлены эффективные определяющие уравнения композита и вычислены его макроскопические параметры.

В публикуемой работе обобщаются результаты, полученные в [1], для композитов с эллипсоидальными включениями одной формы на случай композиционных материалов, содержащих эллипсоидальные включения различных конфигураций. Пусть рассматриваемый композиционный материал образован двумя компонентами, соединенными между собой с идеальной адгезией, первый из которых играет роль матрицы — Ут; второй — Vf — роль отдельных включений, причем

п

Г1--

8=1

где У8 — хаотически распределенные в матрице эллипсоидальные включения с глав-

(8) (8) (8) ными полуосями а{ , а2 , и3 .

Исходные локальные уравнения упругопластического деформирования запишем в виде:

«у = 2рта;/ (у/еыеы) еу, ^

Здесь рта;/(у/ёыёы") — нелинейные модули пластичности сдвига; — объ-

емные модули; «у = <ту — еу = £у — — девиаторные части тензоров

напряжений и деформаций; <ту, еу — тензоры напряжений и малых упругопласти-ческих деформаций; индексы тп и / соответствуют матрице и включениям.

1 Глугценков Вячеслав Сергеевич, кафедра высшей математики и информатики Самарского государственного университета, 443011, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1; gluschenkovessu.samara.ru

2 Сараев Леонид Александрович, кафедра высшей математики и информатики Самарского государственного университета, 443011, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1; sarayevessu.samara.ru

3Хохрякова Юлия Владимировна, кафедра высшей математики и информатики Самарского государственного университета, 443011, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1

Структуру композита будем описывать индикаторными функциями %то(г), Х/(г), Х8(г), (« = 1,... ,п), равными единице в объемах Ут, Vf, У8, и нулю вне этих объемов соответственно. Здесь г = (х!,х2,хз) — радиус-вектор.

Положение разориентированных в пространстве эллипсоидальных включений будем описывать характеристическими функциями Хв,а(г)> (а = 1, - - -, «а), равными единице в объемах У8 а эллипсоидальных включений направления а конфигурации Тогда очевидно выполняются соотношения

П 8а

8—1 а=1 а=1

Линеаризуем исходные уравнения (1), пренебрегая флуктуациями деформаций в пределах объемов матрицы и объемов эллипсоидальных включений конфигураций положив

Лта;/;8 = у/

Здесь и далее угловыми скобками обозначены средние значения по соответствующим объемам.

После линеаризации уравнения (1) запишутся в виде

«У (г) = 2цт (Лто) + 2(г)еу (г), арр (г) Кт + х8 (г)ерр (г), (2)

8 = 1 8=2

где

Ы = М/(л/) [Kf] = Kf^Km.

Преобразуем систему уравнений, состоящую из уравнений (2), уравнений равновесия <туу(г) = 0 и формул Коши 2еу(г) = г) + г), связывающих компоненты тензора деформаций с компонентами вектора скоростей перемещений, в систему уравнений в скоростях перемещений

№>т (Л1) [-К-т зМт) ^Р:Р — 0;

' п ' ' п

ту (г) = ^2 \jifj ]Г хАФа (г) - [Л/] X) (г)£рр (г), (з)

Я=1 Я = 1

С помощью тензора Грина эта система уравнений заменяется системой интегральных уравнений

<4 (г) = / (Г - Г1) ТЫ (Г1)^Г!. (4)

V

Усредним соотношение (2) по полному объему

п п

(сту) = 2Цт(ец) + т(£рр) + С,(еу>, + 'Ь/Аг^ с«(еи>>«- (5)

8=1 8=1

Здесь Сд = Уд/У. Из соотношения (5) видно, что для нахождения эффективных соотношений необходимо вычислить средние деформации (е^) . Для этого определим моменты

(Хд,а£'ц) = ! (Г1)^х'8,а(г)4 (г + Г!))*!. (6)

V

8

Воспользуемся тем, что функции х»,а(г) описывают только эллипсоидальные включения одного направления, и будем считать, что корреляционные функции имеют вид

(х',,а(т)ты (Г + Г1)) = /ы'

X

3?9

Это допущение является обобщением гипотезы сильной изотропии на случай эллипсоидальной анизотропии в одном направлении.

Тогда интегралы (6) вычисляются точно, и их значения выражаются формулами

г 71-5

(з,а) 1]Ы

2цп

[(rkl)s,a^Cf(тkl)f^,

(7)

где

7(в,а) _ п(в,а) _ с

-5.

(в,а)

13 1 + Рт РРЫ

— компоненты тензора Эшелби, записанные в лабораторной системе координат эллипсоидальных включений направления а.

Подставляя выражение (7) в известное соотношение [1], получим

/р Л —

V г1'8,а Чцтг1 тгЫ

.9=1

ЦЫ \£Ш-

(8)

Здесь

р(»,а) _ _}_

0(8,а) _ Г . р(а,а)

¿¿Л/

Умножим уравнение (8) на и, суммируя по всем направлениям о;, запишем уравнения для деформаций, усредненных по Vf

(£ц)/ — аг]ы{£ы)

(9)

в которых тензор а^ы задается соотношениями

0>1]Ы — cf

(8)

8=1

тгЫ'

Г.. /Г-

1}Ы

а=1

Подставляя (9) в (5), получим макроскопический закон упругопластического деформирования рассматриваемого композиционного материала

Ы = Е*аы (Аш, А/, Аь ... Л„) (еы),

(10)

где

— эффективный тензор модулей пластичности.

Поскольку в соотношение (10) входят величины Лто;/;8, то для расчета деформационных характеристик композита при конкретных способах нагружения его необходимо решать совместно с уравнениями (9). При этом следует задавать вид функций

х

8

а

т

р(Лто;/;д), который определяется на основе экспериментальных данных в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Важным частным случаем общих соотношений (10) является модель композита, в котором эллипсоидальные включения ориентированы равновероятно. В этом случае с«д = 2 = ... = Сд;да. При этом тензоры четвертого ранга

а=1

будут изотропными, и их общее представление будет иметь вид:

кт = + ,

Подставляя эти соотношения в тензорное уравнение (9) и выделяя объемную и девиаторную части, находим деформации, усредненные по объемам включений

(еу)д = п (еу)! (£рр)8 = П (£рр)>

Е ^8^8 Е

8 = 1 8 = 1 П П

Е с8«8 Е с8 78 (11)

(еу)/ = п (еч)-> (ерр)/ = п (£Рр}->

С/Сго + С/ Е С8«8 С/Сго + С/ Е С878

78 = «8 ^ зд.

Тогда соотношения (10) принимают вид:

п

Е С8«8

=2р*(Лго,Л/,Л1,...,Л„)(еу), р* = рго + [м/] —8=1

га '

Е ^8^8 8=1

Е С878

(арр) =ЗАГ*(Лго,Л/,Л1,...,Лп)(еи,>, АГ* = + 8=1 „

(12)

т

5 = 1

Из (11) и правила смесей следует

п

д _ ___д _ _в = 1_

— П е> _ П е->

CfCm + Cf

Л - 1

8=1

(13)

Решать систему (13) необходимо после задания вида функций р(Лто;/;д) на основе экспериментальных данных, вычисляя инварианты а8, /38, полученные после обращения тензоров /у^ + Р-щ-

Литература

[1] Макарова И.С., Сараев Л.А. К теории малых упругопластических деформаций хаотически армированных композиционных материалов// ПМТФ. 1991. № 5. С. 120-124.

[2] Сараев Л.А. Моделирование макроскопических свойств многокомпонентных композиционных материалов. Самара: Изд-во "Самарский ун-т", 2000. 182 с.

SMALL ELASTIC-PLASTIC DEFORMATIONS OF COMPOSITE MATERIAL CHAOTICALLY REINFORCED BY ELLIPSOIDAL INCLUSIONS

Elastic-plastic properties of composite material, containing chaotically oriented ellipsoidal inclusions, are investigated by methods of the mechanics of randomly inhomogeneous media. The effective constitutive equations of composite material are obtained and its macroscopic parameters are determined.

Поступила в редакцию 14/7F/2001; в окончательном варианте — 19/ VT/2001.

4 Gluschenkov Vyacheslav Sergeyevich, Dept. of Higher Mathematics and Information Science, Samara State University, Samara, 443011, Russia; glushenkov6ssu.samara.ru

'Sarayev Leonid Alexandrovich, Dept. of Higher Mathematics and Information Science, Samara State University, Samara, 443011, Russia; saraev®ssu.samara.ru

6Khokhryakova Julia Vladimirovna, Dept. of Higher Mathematics and Information Science, Samara State University, Samara, 443011, Russia

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Глущенков В.С., Сараев Л.А., Хохрякова Ю.В.

Текст научной работы на тему «Малые упругопластические деформации композиционного материала, хаотически армированного эллипсоидальными включениями»