CC BY
29
УДК 539.3 + 622.03
УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ДИСЛОКАЦИЕЙ ТИПА СОМИЛИАНЫ
В.Я. МОЛОТНИКОВ
(Донской государственный технический университет), А.А. МОЛОТНИКОВА
(Ростовский филиал Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса)
Приведено замкнутое решение задачи теории упругости о равновесии полуплоскости, в которой образована прямолинейная дислокация сдвига. Предполагается, что ядро дислокации лежит внутри области, а линия сдвига пересекает границу полуплоскости. Рассматривается применимость полученного решения к оценке напряженного состояния земной коры в окрестности дизъюнктивных дислокаций.
Ключевые слова: упругое равновесие, плоская задача, полуплоскость, дислокация Сомилианы, тектонические напряжения.
Введение. Пусть вдоль кривой L в упругой плоскости произведен разрыв. Края разрыва могут быть раздвинуты, и в полученную щель внедрен материал или, наоборот, с краев щели можно срезать часть материала и берега такой щели склеить, предварительно стиснув и сдвинув их друг относительно друга. Полученные на L скачки перемещений можно задать в виде:
g (l) = gi(l)+ig 2 (l), ( i = V-l ), (1)
где l - длина дуги кривой L, отсчитываемая от начальной точки до рассматриваемой,
gj (l) = U + (l) - U- (l), g2 (l) = V+ (l) - V- (l),
(2)
причем м^ и VI - пределы компонент смещении и1 и v1 вдоль произвольных ортогональных осей 01 х1 и 01 у1 слева (+) и справа (-) при движении вдоль линии L от ее начала.
Разрывная деформация, определяемая формулами (1), (2), называется плоской дислокацией Сомилианы [1,2].
Постановка задачи. Положим, что L - луч 01 у1, исходящий из точки 01 (рис.1,а), расположенной на расстоянии Н от границы полуплоскости, и составляющий угол а с положительным направлением оси Оу . Кроме того, выполнены условия:
% %
--< а < —;
2 2
u+ = V+ = u- = 0, V- = ß, (ß - const).
(3)
Ставится задача: найти упругое равновесие полуплоскости у < 0 (см. рис. 1,а) при условиях (3).
а) б)
Рис.1. Дислокация Сомилианы в полуплоскости (а) и в кольцевой области (б)
Функции Мусхелишвили для бесконечной плоскости с внедренной дислокацией. Воспользуемся решением задачи для кругового кольца с внутренним радиусом R1 и наружным радиусом R2 (см. рис.1,б), в котором произведен разрез по оси О1 у1, и правый край разреза сдвинут относительно левого закрепленного края на величину р в направлении, указанном на рис.1,б стрелкой. После выполнения сдвига края разреза спаяны, и левый край освобожден от закрепления.
Функции Мусхелишвили для указанного кольца приведены в [3]:1
221 1
ф(г1 )=_рц(х+ц)
2л(Х + 2ц) ^ )= рц(х+ц)
Rl2 + R22
2л(Х + 2ц)
1 2R12 R22 1
Rl2 + R2
(4)
(2 = *1 + 7>1 ) ,
Ev Е
где2 X = 7-^-г ; ц = -г, здесь Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.
(1 + v)(1 _ 2v) 2(1 + V)
Выполнив в формулах (4) предельные переходы при R1 ^ 0, R2 ^ да, получим функции Мусхелишвили для бесконечной плоскости с внедренной по оси 01 у1 (см. рис.1,б) дислокацией:
Ф1 (21 )=^1 (21 ) = - , (5)
21
где для краткости введено обозначение
к = РЦ(Х + Ц) . (6) 2л(Х + 2ц)
Используя известные [3] формулы преобразования функций Мусхелишвили при замене прямоугольных координатных осей, записываем функции (5) в осях хОу (см. рис.1,з). Для этого
совершим вначале поворот осей х1О1 у1 на угол а так, чтобы новая ось ординат приняла вертикальное положение и была направлена снизу вверх. Затем осуществим параллельный перенос осей на величину Н (рис.1,а) вертикально вверх. В результате для бесконечной плоскости с дислокацией получим:
ф (2) =_к_ ^(2) = к^ + 2Н)с05а + *251Па] (2 = х + У (7)
Ф2 (2) (2 + Нуа , (2) (2 + Н)2 ' 12 Х +гУ) . (7)
Функции Мусхелишвили для полуплоскости с дислокацией. Компоненты напряжений, соответствующие функциям (7), условимся обозначать Хх,Уу и Ху. Они связаны с функциями (7) зависимостями [3]:
¥у + Xх = 2|ф2 (2) + Ф^]; Гу _ Xх + 21Ху = 2|2Ф2 (2) + (2)], (8)
где чертой сверху отмечаются комплексно сопряженные величины, а штрих означает операцию дифференцирования по аргументу 2. Из формул (7), (8) получим поле напряжений в бесконечной плоскости с прямолинейной дислокацией типа Сомилианы с ядром в точке О1 и линией L, совпадающей с лучом О1 у1:
1 В пятом издании монографии [3] формула для функции т(21) содержит досадные опечатки.
2 Рассматривается плоская деформация.
X. =
= —--г^-- + k ^---/—1-Г- х2 + (у + Н )2 [х2 + ^3хcosа-(у + Н^та] 1 [3(у + Н)2 -х2]хcosа + (у + Н )2 3х2 -(у 2 + Н )2 ](у + Н )sin а
х2 +(у + Н)2 "" k[х sin а - (у + Н)cos а] ^ [х2 +(у + Н )212 3х2 - (у + Н)2 ](у + Н)гоз а + [х2 - 3(у + Н)2 ? х sin а
(9)
х +
X + (у +
(у + Н )212
где параметр k по-прежнему определяется формулой (6).
Приложим теперь по оси х нормальные (^(х)) и касательные (т(х)) нагрузки, равные по
величине соответственно нормальным Уу и касательным Ху напряжениям на оси х, взятым с
противоположными знаками. Полагая во второй и третьей из формул (9) у = 0 и изменяя знаки,
получаем:
\ . Н sin а - 3х cos а ,
N (х ) = k-------k
3Н2 - х2 )х cos а + (зх2 - Н2 )н sin а
х2 + Н2
(х2 + Н2
)2
Т( ) , Н cos а - х sin а (зх2 - Н2 )н cos а + (х2 - 3Н2 )х si (х)= ^ ' (х2 + Н2 )2
(10)
sin а
х2 + Н2
Следуя Л.А. Галину [4], обозначаем:
(г )=¿71
Ю = ^ Ш. (г е ^
2га л С-г
(11)
С - г 2тс/ ^ С - г
где 51 означает область, расположенную ниже оси х, для всех точек которой у < 0 .
Функции Мусхелишвили (ф 3 (г), (г)) для полуплоскости, нагруженной на границе у = 0 усилиями (10) выражаются [3] через функции Галина (11) по формулам:
ф 3 (г) = -ю1 (г) + 7'ю2 (г) ; (г)=-2/ю2 (г)+ ^[(»1 (г)-т'2 (г)]. (12)
Вычисление интегралов, представляющих функции Галина. Анализируя формулы (10), легко убедиться в том, что в интегралах типа Коши (11) функции N(2) и Т (г) голоморфны всюду
в 51 за исключением точки г = -7Н, в которой они имеют как простой, так и двукратный полюс.
Рассмотрим, например, вычисление интеграла в первой из формул (11). Проведем в нижней полуплоскости у < 0 дугу полуокружности с центром в начале координат и радиусом Я > Н (рис.2). Вычислим интеграл:
= , (13)
2га £ С - г
где Г - замкнутый контур, состоящий из отрезка оси абсцисс [- Я;+Я] и дуги полуокружности С (рис.2). Контур Г будем обходить в положительном направлении так, чтобы ограниченная им часть области 51 при обходе Г была расположена все время слева. На рис.2 направление обхода Г показано стрелками.
В силу аддитивности интеграла представим формулу (13) в виде
Рис. 2. Контур интегрирования
' <г )=- ^ 1
*гМсК . _!_ г N(СУС
•П7 ^
2га ^ С - г я ъ
- +
2га ^ С - г с ъ
(14)
С другой стороны, по теореме вычетов [5]
F(z) = £ res N(at), (15)
где в правой части равенства символически записана сумма вычетов функции N(z) во всех особых точках ai области, ограниченной контуром Г.
Приравнивая правые части равенств (14) и (15), получаем:
^^ WN^ N(a). (16)
2га J С - z 2ra J С - z
-R ъ с ъ
Используя первую из формул (10), легко убедиться в том, что при R ^ да интеграл в правой части формулы (16) стремится к нулю. Тогда, совершая указанный предельный переход в формуле (16) с учетом обозначений (11), получаем:
<»! (z) = -£ res Na ). (17)
Из формулы (17) после подсчета и суммирования вычетов получим:
/ \ , (z - 2iH)cos а + H sin а
«,W=*---. (18)
Аналогично найдем:
H cos а + z sin а
lz
/ \ , n U, -I- Z S1I1 U,
2<Z) = 4 ' (z -iH)2 ■ <19)
Подстановка найденных функций (18), (19) и соответствующих производных в формулы (12) дает следующие функции Мусхелишвили для полуплоскости, на границе которой приложены распределенные нагрузки (10):
^ r\ , <3iH - z )cos а + i(z + iH )sin а Ф 3 (Z ) = 4 •1- <Z-+H 2 ;
I 2 i 2 \ (20)
< ) \3iHz - 2H - z jcos а - \iz + 5Hzjsin а
^3(Z) = 4 ^ (z-iH)3 •
Компоненты напряжений, соответствующих этим функциям, условимся снабжать верхним индексом «0»- Используя формулы типа (8) и зависимости (20), находим:
X и 2 4 2 x <y - H )[(4 H - y )cos а + 2 x Sil а j- [X 2 - (y u ^
' = [x2 + (y - H )2 j2
24y 3(y - H )2 - x2 j(5H - y)cos а + x sin а j
2k{2x(y - H )[(4H - y)cos а + 2x sin а]- [x2 - (y - H )2 ]x cos а + (Н + 2y) sin а]}
-x
[x2 +(y - H )2 ] " +
+ (y + H ) (y - H )2 - 3 x2 ]x cos а + (y + H )sin а ]}
[x2 +(y - H )2 ]3
0 2 k {(x cos а + H sin а )[x2 - (y - H )2 ]+ 2 x (y - H )(y - 2 H ) cos а }
Y ^ = - ----г---- +
2
[x2 +_(y - H )2 ]2
os а + x sm а I
+ (21)
2 ky {x 3 (y - H )2 - x 2 ](5 H - y ) cos а + x sin а]
[x2 +(y - H )2 I3
+ (y + H ) (y - H )2 - 3 x2 ](y + H )sin а + x cos а ]}
[x2 +(y - H )2 I3
X0 = -
2k {h cos а + х sin а)|х2 - (y - H )2 | + 2 xy (y - H )sin а}
[x2 +(У - H )2 ]2
2ky {(y - H ) (y - H )2 - 3 x2 ][x sin а + (5 H - y )cos а ]
[x2 + (y - H )213 +
x x2 - 3(y - H )2 ][x cos а + (3H + y)sin а]}
[х2 +(у - Н )213
Суммированием соответствующих компонент напряжений в формулах (9) и (21) получаем решение поставленной задачи:
Хх - Хх + ХХ ; Уу - Уу + ^У ; Ху - Ху + ХУ . (22)
На рис.3 изображены эпюры максимальных (стах) и минимальных (стт) (в плоскости хОу (см. рис.1,а)) нормальных напряжений, рассчитанных по формуле
с
Xx + Fy . 1
тах тт
2 2
а также эпюры нормального напряжения (с г), перпендикулярного плоскости хОу
с г = ч(Хх + Уу ),
причем компоненты Хх,Уу,Ху определены формулами (22), (9) и (21).
На рис.3 построены также эпюры эквивалентных напряжений (с экв) по пятой теории прочности (Мора):
где т - отношение пределов прочности при растяжении и сжатии; с1 и с3 - соответственно алгебраически большее и меньшее главное напряжение.
МО'
МПа
-МО
-1-103
1,5-W
ч. ч. [У \ ** j
1 1 ч, \ / / 1 1 1 1
-2000
■4000
а)
■шо
1,?1<Г МПа
1-Ю3
1
5-КГ
-5НГ
lili
/У • \
Ух ■ *•
^ Г.....%
/ у
i i i i i i
-1005 -4000 -tíOÚO
б)
у,м
Рис.3. Эпюры напряжений на вертикали слева (а) и справа (б) от ядра дислокации
СТэкв =а1 " 3
При этом фиксированные значения абсциссы x выбирались так, чтобы вертикаль x = const целиком располагалась слева (см. рис.3,з) или справа (см. рис.3,б) от линии разрыва перемещений. При построении эпюр принято: E = 2,1 -104 МПа; v = 0,24; H = 5800 м; р = 700 м; m = 0,25 , а = л/15.
Отметим следующие особенности распределения напряжений в окрестности ядра дислокации. Слева от линии разрыва (см. рис.3,а) всюду с =сmax, за исключением некоторой окрестности ядра дислокации, в которой с = сz. Аналогично справа от линии разрыва (см. рис.3,б) с3 = сmin всюду, за исключением некоторой окрестности ядра, где с3 = сг.
О применимости полученных результатов к оценке тектонических напряжений. Известно [6], что одним из проявлений геодинамических процессов в земной коре является образование разрывных нарушений, называемых дизъюнктивными дислокациями. Схематически такая
дислокация показана на рис. 4, где цифрами 1 и 2 обозначены соответственно неподвижный и переместившийся блоки земной коры. Такого рода разлом в геологии называется [6] взбросом. Стрелка на рис. 4 указывает направление смещения блока 2. Напряжения, обусловленные движением земной коры, принято называть [6] тектоническими.
Если массив горных пород в окрестности дислокации принять однородным, изотропным и идеально упругим, то, очевидно, поставленная задача служит почти адекватной математической моделью горного массива с дислокацией взброса. При иных условиях ответ на вопрос о применимости найденного решения (22) к оценке тектонических напряжений в окрестности взброса может быть получен только путем сопоставления результатов натурных и численных экспериментов.
шахта "Новая"
шахта "Западная"
Условные
обозначения:
I
¿Kg гП рудное тело; ¿ж
известняш;
сланцы;
региональные разломы;
—— скиповые разломы;
стзнцкк измерений.
Рис.5. Геологическая схема района рудника «Кадамжай» с изображением мест расположения станций измерения напряжений на различных высотных отметках над уровнем моря
Для того чтобы выполнить указанное сопоставление, воспользуемся сведениями, изложенными в коллективном труде [7]. На рис.5 схематически изображен заимствованный из [7] разрез верхней части земной коры в зоне сурьмяного рудника «Кадамжай». На станциях измере-
ний, отмеченных на схеме, сотрудниками ВНИМИ (СПб.) и ИФМГП (Бишкек) были проведены опытные работы по исследованию напряженного состояния горных пород, вмещающих разлом, «залечивание» которого привело к образованию рудной залежи. В цитируемой работе оказались практически все сведения, необходимые для выполнения расчетов, основанных на формулах (22). Эти сведения частично уже даны выше (модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V сланцев, высота взброса р и др.) и использованы при построении эпюр напряжений (см. рис.3). Другая их
часть, а также опытные и расчетные значения максимальных тектонических напряжений приведены в таблице.
Максимальные тектонические напряжения в окрестности рудника «Кадамжай» (Центрально-Азиатский регион)
Участок, Глубина Расстояние Максимальное нормальное тектони-
горизонт от дневной до разлома ческое напряжение, МПа
поверхности, м по горизонтали, м измеренное расчетное
1 2 3 4 5
Горизонт 960 м 240 200 11,3 7,9
Северный штрек, горизонт 930
м 330 25 17,1 14,2
Южный штрек, горизонт 930 м
380 10 22,0 20,0
Ствол шахты «Новая» 425 700 7,8 11,1
Как видно из столбцов 4 и 5 таблицы, совпадение расчетных и опытных значений максимальных тектонических напряжений вполне приемлемое. Кроме численных значений, имеет место также приемлемое совпадение направлений этих напряжений. Так, произведя несложные вычисления, можно найти, что, например, на горизонте 930 м в южном штреке напряжение с тах имеет азимут 163°, тогда как опытное значение этого азимута составляет 156° [7, с.265].
Итак, в результате проведенной работы было получено замкнутое решение задачи упругого равновесия полуплоскости с внедренной в нее прямолинейной дислокацией типа Сомилианы, выходящей на границу области. Решение представлено трансцендентными функциями приемлемой компактности. Указана одна из возможных областей приложения полученного решения. Выводы. На основании сопоставления значений максимальных тектонических напряжений, найденных расчетным путем (см. таблицу, ст. 5), с результатами натурных экспериментов [7] можно сделать следующие выводы:
1) поставленная в статье задача может быть использована в качестве математической модели при оценке (в первом приближении) напряжений в окрестности определенных разновидностей тектонических разломов земной коры;
2) при использовании аналитического решения рассмотренной задачи во многих случаях может отпасть необходимость в дорогостоящих и трудоемких исследованиях напряженно-деформированного состояния горных пород методом разгрузки [7] или иными инструментальными методами.
Библиографический список
1. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций / Дж. Эшелби. - М.: ИЛ, 1963. - 221 с.
2. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел / Т. Екобори. -М.: Металлургия, 1971. - 264 с.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 708 с.
4. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л.А. Галин. - М.: Наука, 1980. - 304 с.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики: учеб. для вузов / В.И. Смирнов. - Т.3, ч.2. -М.: Наука, 1974. - 672 с.
6. Хаин В.Е. Геотектоника с основами геодинамики: учеб. для вузов / В.Е. Хаин, М.Г. Ло-мизе. - 3-е изд. - М.: Книжный дом «Университет», 2010. - 560 с.
7. Современная геодинамика областей внутриконтинентального коллизионного горообразовании (Центральная Азия); ред. Н.П. Лавёров - М.: Научный мир, 2005. - 400 с.
Материал поступил в редакцию 22.11.10. References
1. Eshelbi Dj. Kontinual'naya teoriya dislokacii / Dj. Eshelbi. - M.: IL, 1963. - 221 s. - In
Russian.
2. Ekobori T. Fizika i mehanika razrusheniya i prochnosti tverdyh tel / T. Ekobori. - M.: Metallurgiya, 1971. - 264 s. - In Russian.
3. Mushelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematicheskoi teorii uprugosti / N.I. Mushelishvili. - M.: Nauka, 1966. - 708 s. - In Russian.
4. Galin L.A. Kontaktnye zadachi teorii uprugosti i vyazkouprugosti / L.A. Galin. - M.: Nauka, 1980. - 304 s. - In Russian.
5. Smirnov V.I. Kurs vysshei matematiki: ucheb. dlya vuzov / V.I. Smirnov. - T.3, ch.2. - M.: Nauka, 1974. - 672 s. - In Russian.
6. Hain V.E. Geotektonika s osnovami geodinamiki: ucheb. dlya vuzov / V.E. Hain, M.G. Lomize. - 3-e izd. - M.: Knijnyi dom «Universitet», 2010. - 560 s. - In Russian.
7. Sovremennaya geodinamika oblastei vnutrikontinental'nogo kollizionnogo goroobrazovanii (Central'naya Aziya); red. N.P. Laverov - M.: Nauchnyi mir, 2005. - 400 s. - In Russian.
V.Y. MOLOTNIKOV, A.A. MOLOTNIKOVA
ELASTIC BALANCE OF HALF-PLANE WITH RECTILINEAR SOMILIAN DISLOCATION
Closed solution of the elasticity problem on the half-plane balance with rectilinear shift dislocation is presented. The dislocation core is assumed to He inside the area, and the slip line - to cross the half-plane boundary. The solution applicability to the estimation of the crust stress state near disjoint dislocations is considered. Key words: elastic balance, plane problem, half-plane, Somilian dislocation, tectonic stress.
