К РАСЧёТУ УСИЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ОСНОВАНИЙ ФУНДАМЕНТОВ НА СЛАБЫХ ГРУНТАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, предложенный алгоритм (6)-(11) численного решения систем дифференциальных уравнений с применением сплайнов позволяет находить численное решение в виде гладкой функции с непрерывной первой производной в любой точке заданного отрезка и обладает по сравнению с конечно-разностной схемой такого же порядка более низкой погрешностью расчетов.

Литература

1. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., 1972.

2. Иванова Н.Е., Лошакова Л.Н. // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35. № 2. С. 306-313.

3. Гостев В.И., Ильницкий А.И., Морозов А.Н. // Радиоэлектроника. 1990. Т 33. № 3. С. 87-89.

4. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М., 1977.

5. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М., 1986.

6. Стечкин С.Б., СубботинЮ.Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976.

7. АлбергДж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М., 1972.

8. ЗавьяловЮ.С., КвасовБ.И., МирошниченкоВ.Д. Методы сплайн-функций. М., 1980.

Ростовский институт сервиса

Южно-Российского университета экономики и сервиса 21 декабря 2005 г.

УДК 539.30:624.15.04

К РАСЧЁТУ УСИЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ОСНОВАНИЙ ФУНДАМЕНТОВ НА СЛАБЫХ ГРУНТАХ

© 2006 г. В.Я. Молотников, А.А. Молотникова

The soil is presented by an elastic half-plane area with absolutely hard rectangular stripes // piles in it. The strain functions for this area are defined. The increase of the pile carrying capacity equals to the resultant force of the side pressure multiplicity by the friction coefficient.

В инженерной практике широко применяются [1] усиления оснований сооружений, возводимых на слабых грунтах, путём внедрения железобе-

тонных или грунтовых свай. В работе предлагается метод расчёта напряжённо-деформированного состояния таких оснований для ленточных фундаментов.

В качестве математической модели сваи в грунте примем абсолютно твёрдую полосу, внедрённую в упругую полуплоскость у < 0.

Рассмотрим вначале неограниченную плоскость, в которую вдоль отрицательной полуоси Оу внедрена абсолютно твёрдая бесконечная полоса толщиной 5. Функции Мусхелишвили [2] для такой задачи можно получить следующим образом. Представим себе кольцо с внутренним радиусом Я1 и наружным Я2. Разрежем кольцо вдоль положительной оси Оу и вставим абсолютно жёсткую полоску ширины 5. Спаяем кольцо, приведя в соприкосновение с полоской прямолинейные края разреза кольца путём их жёсткого поступательного перемещения параллельно оси Ох. Функции Мусхелишвили для рассматриваемого кольца имеют вид [2]

^J \ Eid

8п(1 -v2)

2z 1 - + —

R + R2 z.

T(z)= Eid

8n(1 -v2)

1 - 2Я?Я2 _1_ z R2 + R z3

где

Е и V - соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала кольца; г = х + у1 - комплексная переменная; / - мнимая единица. Совершая предельный переход при Я1 ^ 0 и Я2 ^ да, из приведённых формул получим функции Мусхелишвили Ф^г) и ^(г) для бесконечной плоскости с внедрённой вдоль положительной оси Оу абсолютно жесткой полоской ширины 5:

Ф (г) = -т (г)==^, к=—. (1)

г 8п(1 -V 2)

Выполним параллельный перенос координатных осей в точку (0,-/). Вдоль отрицательной полуоси ординат новой системы внедрим полосу шириной (-5). Суперпозицией решений найдём функции Мусхелишвили для неограниченной плоскости, в которую на участке (-/ < у < /) внедрена абсолютно твёрдая полоса ширины 5 и длины 2/. Функции Мусхелишвили для такой задачи будут:

Л , ч 2К5 , ч \K8tz2

Ф2(г) = -377, Т2(гЬ — (2)

г + / (г2 + )

Воспользуемся известными формулами, связывающими комоненты напряжения стх, сту, тху, с функциями Мусхелишвили [2]

+СТу = 2 [Ф(г) + Ф(Г) ],

Г- п (3)

а.-СТ, + 2iTxy = 2 [ zФ'(z ) + Y(z )]

где черта сверху означает комплексно сопряжённую величину, а символом «штрих» обозначена операция дифференцирования по переменной г. Под-

ставляя в зависимости (3) вместо Ф и Т функции (2), найдём после разделения действительных и мнимых частей напряжения в точках оси Ох:

ау (х,0) = К(х ~2 ) , тху(х, 0) = 0. (4)

(х2 + г2)

Рассмотрим далее полуплоскость у > 0, по границе которой (у = 0) приложено нормальное давление N равное по величине нормальному напряжению ау согласно формуле (4), но противоположного знака. Для такой полуплоскости функции Мусхелишвили представляются [2] в виде

Фз (*)= П I ^ Т3 (г) = -zФ'з (г). (5)

2т -я,д- г

4К5г (#2 - г2)

Подставляя в (5) вместо N функцию N (£) =--, получим

( + г2)

после вычисления интеграла и дифференцирования

_ ( ) 2К5г (Т, () 4Шг

ф3(г)=-7-^ , Тз(г) = -7-^. (6)

( +1г )2 ( +1г )3

Функции Мусхелишвили для полуплоскости у>0 с внедрённой полосой ширины 5 на отрезке 0 < у < г положительной полуоси у получим суперпозицией соответствующих функций, определяемых формулами (2) и (6), т.е.

^ < \ ^ < \ ^ < \ 4К5гг Ф4 (г) = Ф2 (г) + Фз (г) = ----

Y4 (z) = Y2 (z) + Yз (z) =

(z + ti) (z - ti) 4KSzt2 (3iz +1)

2,- л (7)

(г + гг) (г -гг)

Пусть теперь в исходную полуплоскость вставлено бесконечно много параллельных жёстких полос одинаковой длины г и ширины 5, отстоящих друг от друга на одинаковых расстояниях а. Используя выражения (7), принцип суперпозиции и формулы преобразования функций Мусхелишвили при параллельном переносе осей координат, получим функции Ф(г) и Т(7) для указанной полуплоскости в виде:

ф( ) = -4К5г*£ г - ак

к=-<» (z - ак + it) (z - ак - it)

V 7 (8) 1Т / \ „ ,.„ к=if (3it - 2ак)z - ак)2 + (t2 + akti)(z - ак) + akt2

T(z)= 4K5t ^ ---f—^-;-72-•

к=-x (z - ак + it)(z - ак - it)

Введём обозначения:

zi

= - (z + it) z2 = 1 (z - it).

Тогда формулы (8) можно представить следующим образом:

Í л л \

/ Ч KS к=°° o(z)=--Z

a к=-œ

/ ч KS к=œ

^(z) = — Z

a к=-œ

1

1

Z1 - к Z2 - к

+

2t

a(z1 - к )2

4t(ti - az1) + t - z1ai + t + z2ai + 2i a2 (z1 - к )3 a(z1 - к ) a(z2 - к )

z1 - к z2 - к

(9)

Преобразуем выражения (9). Имеют место [3] разложения:

1

Z

к=1 zz - к2

J_

2z

1

п

nctgnz —I, У

Z J к=-œ(z - к) sin nz

Из последних формул легко получить следующие:

œ 1 œ 1

Z —к = пctgпz, Z ---3-

к=-œ z к к=-œ(z - к )

п cos nz

(1О)

sin nz

С учётом разложений (1О) функции (9) представимы в виде:

2tn2

KS

ф(z ) =--

a

ni(ctgnz1 - ctgnZ2 )

+

(11)

^ )= ^ a

asin nz1

4n3t (it - az1 )cosnz1 п2 (( - z1ai ) п2 (( + z2ai ) „ / ч

-4—3^-1 + — 2 1 + — 2 2 + 2ni(ctgnz1 - ctgnz2 )

a sin nz1 asin nz1 asin nz2

Таким образом, функции Мусхелишвили для упругой полуплоскости, расклиненной бесконечно большим числом параллельных прямоугольных жёстких полос одинаковой ширины, расположенных с равномерным шагом а, построены. С использованием соотношений (3) легко определяются напряжения.

При известном нормальном давлении на боковые грани сваи S ^

±—, y J и коэффициенте трения f между сваей и грунтом дополнительная нагрузка, которую способна воспринимать единичная свая, пропорциональна величине

а У

p(a ) = 2 f j H О

y

y2

f H(x) =

1 при x > О,

О при x < О.

На рисунке приведены эпюры распределения напряжений и функция р(а).

-10 -5 0 5

-■-Vf у)/К

P(a)/2JK

v

ч

1

1

Литература

1. Руководство по проектированию оснований зданий и сооружений. М., 1977.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966.

3. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971.

Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения,

Ростовский институт сервиса ЮРГУЭС 3 февраля 2006 г.

УДК 519.254

ВЫБОР ВРЕМЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ ПРИ СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ПОТОКА ПАКЕТОВ В СЕТИ

© 2006 г. В.А. Нестеренко

In this article we consider some aspects of statistical methods of detection of abnormal events in a network. We offer a method of definition of local statistical characteristics of a stream in a network during some time interval and definition of size of this interval depending on statistical characteristics of a stream of packages in a network on the big time interval.

Статистические методы обнаружения аномальных событий в сети основаны на сравнении текущих, локальных характеристик потока пакетов в сети с усреднёнными, глобальными характеристиками [1, 2]. Так, например, если количество пакетов некоторого типа в единицу времени сильно отличается от соответствующего среднего значения за большой промежуток времени, то вполне вероятна попытка сканирования сети или сетевой атаки. Таким образом, возникают задачи определения локальных статистических характеристик потока в течение некоторого ограниченного интервала времени и определения величины этого интервала в зависимости от статистических характеристик потока пакетов в сети на большом промежутке времени. В англоязычной литературе эти глобальные и локальные статистические характеристики обычно называют long-term и short-term [3] соответственно.

Пусть величина xi характеризует некоторое событие из потока событий, произошедшее в момент времени ti. Весь набор событий характеризу-

— 2

ется средним значением x и дисперсией yx. Среднее значение для N собы-

N

тий определяется выражением: |(N) = 1/N^£ xi.

i=1

Введём функцию F(z) и определим величину

N

5(N) = VNorm(N) ■ £ F^ - tt)x, (1)

i=1

N

где Norm(N) = £ F(tN - tt).

i=1