CC BY
18
УДК 539.374
Моделирование веерообразоваиия в вершине глубинной трещины сдвига на основе уравнений плоской теории упругости
Б.Г. Тарасов1, В.М. Садовский2, О.В. Садовская2
1 Centre for Offshore Foundation Systems, University of Western Australia, Perth, WA 6009, Australia 2 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 660036, Россия
В приближении плоской деформации строится математическая модель равновесного веера в прослойке между двумя упругими полуплоскостями, имитирующей головную зону растущей трещины сдвига в прочной горной породе в условиях сильного гидростатического сжатия. Напряженно-деформированное состояние вдали от веера анализируется с помощью решения задачи о краевой дислокации. В полной постановке задача решается на основе оригинального метода суперпозиции дислокаций, приводящего к двум нелинейным интегральным уравнениям в зоне веера, для численного исследования которых применяется метод последовательных приближений.
Ключевые слова: трещина сдвига, веерный механизм, упругость, краевая дислокация, вектор Бюргерса, сингулярное интегральное уравнение
Modeling of fan formation in the shear rupture head on the basis of equations of plane elasticity
B.G. Tarasov1, V.M. Sadovskii2, and O.V. Sadovskaya2
1 University of Western Australia, Perth, WA 6009, Australia 2 Institute of Computational Modeling SB RAS, Krasnoyarsk, 660036, Russia
The mathematical model of an equilibrium fan formation in the interlayer between two elastic half-planes which simulates the shear rupture head in a hard rock under high hydrostatic pressure has been constructed in the plane strain approximation. The stress-strain state far from the fan is analyzed by solving the problem of edge dislocation. This problem in a complete formulation is solved on the basis of an original method of superposition of dislocations that yields two nonlinear integral equations in the fan zone. The integral equations are solved numerically using the method of successive approximations.
Keywords: shear rupture, fan-shaped mechanism, elasticity, edge dislocation, Burgers vector, singular integral equation
1. Введение
До недавнего времени свойства прочных горных пород (с прочностью на одноосное сжатие свыше 250 МПа) при разрушении за пределом прочности, которое вызвано осевым сжатием в условиях высокого уровня боковых сжимающих напряжений, соответствующих глубинам сейсмической активности, экспериментально практически не были исследованы. Причиной этого является аномально высокая динамика разрушения, которая не позволяет достоверно идентифицировать механизм разрушения. Поведение таких пород за пределом прочности трактовалось по аналогии с хорошо изученными менее прочными породами. Согласно общепри-
нятым представлениям, при сжатии под высоким боковым давлением макроскопические трещины сдвига продвигаются за счет формирования системы наклонных микротрещин отрыва, образуя фундаментальную структуру, включающую эшелон тонких пластин [1] впереди сдвиговой трещины. Рисунок 1 иллюстрирует структуру, типичную как для сдвиговых трещин лабораторного масштаба [1,3], так и для масштаба массива горных пород [2, 4]. Такая структура получила название «домино-структура». На рис. 2, а схематично представлен процесс формирования микротрещин отрыва и домино-пластин впереди сдвиговой трещины, продвигающейся слева направо. Черными стрелками на рисунке показа-
© Тарасов Б.Г., Садовский В.М., Садовская О.В., 2016
ны направления наибольшего аг и наименьшего а3 напряжений, белые стрелки соответствуют индуцированным нормальному ап и касательному тп напряжениям.
Физическая модель формирования домино-структуры в головной зоне трещины разработана в[1]. Было установлено экспериментально, что домино-пластины подвергаются вращению при сдвижении берегов трещины. Это приводит к их разрушению и созданию трения [1-3, 5] (рис. 2, б, вверху). Трение позволяет проводить устойчивый контроль процесса разрушения в лабораторных условиях. Считается, что сопротивление сдвигу, вызванное трением, характеризует минимальную прочность горной породы, которая определяет прочность земной коры [6].
Недавние исследования с использованием принципов эксперимента, описанных в [7, 8], позволили выявить «неуловимый» механизм динамического разрушения, который активизируется при высоких давлениях в прочных горных породах. Особенность данного механизма состоит в том, что прочные домино-пластины сохраняют целостность при вращении (рис. 2, б, внизу), что значительно снижает трение между сдвигающимися берегами трещины. Более того, вследствие неравномерности относительного сдвига берегов (сдвиг увеличивается от вершины трещины к периферии) вращающиеся пластины образуют веер в головной зоне трещи-
ны [9, 10]. Веер перемещается как волна с высокой скоростью, которая может превосходить скорость распространения упругих волн сдвига [9], и очень малым сопротивлением сдвигу (на порядок ниже сопротивления трению [10]), что делает породы суперхрупкими [11, 12], а процесс разрушения аномально бурным.
На основе новых наблюдений были разработаны новый принцип оценки хрупкости горных пород и универсальная шкала хрупкости [11, 13]. Были проанализированы особенности формирования веерного механизма в глубинах земной коры [14] и предложены новая модель прочности земной коры в области сейсмической активности и новый механизм землетрясений [15, 16]. Была разработана физическая лабораторная модель веерного механизма, которая позволяет изучать его уникальные свойства [10, 11]. Математическая модель веера в приближении статики предложена в [17]. Динамика веера в лабораторной модели исследовалась [18] на основе уравнений, описывающих процесс передачи вращательного движения в системе упруго связанных пластин на плоском основании, и на основе упрощенной непрерывной модели.
Альтернативный подход к описанию динамики сдвиговых трещин в массивах горных пород предложен в [19]. В [20, 21] процесс развития землетрясений рассмотрен как сверхбыстрый процесс, связанный с изменением гидростатического напряженно-деформирован-
а а
Трещина сдвига
Общепринятое представление \б\
т :=
Новое представление т„
Фо
Рис. 2. Иллюстрация домино-структуры в трещине сдвига
I \ I
Зона растяжения
Зона'сжатия ■
Рис. 3. Конфигурация равновесного веера в вершине глубинной трещины сдвига
ного состояния геосреды. В настоящей работе строятся поля напряжений и перемещений в упругих полуплоскостях, имитирующих два массивных блока горной породы, разделенных трещиной сдвига, в головной зоне которой в соответствии с веерным механизмом распространения сдвиговых трещин формируется равновесный веер. Построенные поля напряжений и перемещений в дальнейшем будут использоваться в качестве начальных данных при исследовании динамических процессов распространения веерных волн в хрупких горных породах под действием дополнительных внешних напряжений, на основе вычислительных моделей и алгоритмов, разработанных в [22-24].
2. Модель равновесного веера
Глубинная трещина сдвига рассматривается как узкая протяженная прямолинейная зона между двумя однородными упругими полуплоскостями в состоянии гидростатического сжатия, заполненная большим числом пластин, которые налегают друг на друга под некоторым начальным углом ф0. Под действием сдвиговых напряжений пластины отрываются друг от друга и поворачиваются. Образуется симметричная веерообразная конфигурация, изображенная на рис. 3.
Считая пластины недеформируемыми, удобно ввести две разные системы координат: одну из них в верхней полуплоскости над веером, другую в нижней полуплоскости под веером. В начальной конфигурации, до обра-
зования веера, эти системы сдвинуты относительно друг друга так, как это показано на рис. 4, а. Мысленно совмещая координатные системы, поставим задачу о напряженно-деформированном состоянии среды вокруг веера, как задачу для упругой плоскости с бесконечно тонким разрезом вдоль оси x2 . На берегах разреза выполняются кинематические граничные условия в перемещениях:
u± = и° ±a(sinф-sinф0),
u± = и20 + a (cos ф-cos ф0),
где Uj° (x2) и u° (x2) — перемещения центров масс пластин; a — линейный размер; ф( x2) — угол ориентации пластин относительно горизонтальной оси; индексы + и - относятся к границам полуплоскостей x1 > 0 и X < 0 соответственно. В зоне веера (x1 = 0, | x2|< l) из равновесия сил (рис. 4, б) следуют статические граничные условия для напряжений: = ст- = , ст+2 = = ст-2 = а12- Из равновесия моментов сил вытекает условие ст2 = (p - CTj 1 )ctg ф. Вне этой зоны на пластины веерной системы действуют дополнительные моменты m = (p-ст11)яcosф-ст12яsinф, обусловленныекон-тактным взаимодействием с соседними пластинами, причем m > 0 справа от веера и m < 0 слева от него. Полудлина веера l определяется из условия m(l) = 0 или из эквивалентного ему условия m(-l) = 0. Угол поворота пластин вне зоны веера задан: ф = ф0, если x2 > l, и ф = п-ф0, если x2 < -l.
После исключения угла ф граничные условия на оси разреза приводятся к следующему виду. При | x21 < l
СТ12 = (p-CTjj) Д c0sф0 -[U2] 2 ,
•Ja - (a cos ф0 - [U2]) (1)
V2 2
a - (a cosф0 -[u2]) - a sinф0,
где [uk ] = u+ - u- (k = 1, 2) — скачки перемещений. При x2 > l [u1] = 0 и [u2] = 0, при x2 < -l [u1] = 0 и [u2 ] = = 2a cosф0. Кроме того, поля напряжений ст11 и ст12 непрерывны вдоль горизонтальной оси.
В обеих полуплоскостях выполняется закон Гука (V — коэффициент Пуассона, ц — модуль сдвига): ~ дщ
(1 -V;» аи-vа22 = 2 ,
дх1
~ дщ
(1 -v)а22 -van = 2ц—,
дХп
(2)
а12 = Ц
Эи1 + ди2 дх2 дх1
и дифференциальные уравнения равновесия:
да11 д^
12
дх1 дх2
= 0,
да12 да
22
дх1 дх2
= 0.
(3)
Решение системы уравнений теории упругости (2), (3) для плоскости с разрезом представляет собой сложную задачу из-за нелинейности граничных условий (1) в зоне веера. Приведем сначала некоторые результаты исследования этой задачи с помощью приближенных подходов.
3. Краевая дислокация
На удалении от веера напряженно-деформированное состояние в плоскости можно приближенно описать, стягивая веер в точку при постоянном относительном сдвиге между контактными границами слева от этой точки. Стягивание веера эквивалентно переходу к более крупному масштабу. В пределе задача о равновесном веере становится задачей о краевой дислокации: вдоль отрицательной полуоси х2 < 0 берега разреза сдвигаются относительно друг друга на величину вектора Бюргерса b = 2a cos ф0, как это показано стрелками на рис. 5, а, и после этого склеиваются.
Точное решение задачи о краевой дислокации дается формулами [25]
к к
а11 = — cos(20)sin 0, а22 =— (2 + cos(20 ))sin 0,
r r
к
а12 = — cos(20)cos 0,
r
u = -—(2(1 -2v)ln r + cos(20)), 4ц
u2 = (4(1 -v)0 + sin(20)), к= ЦЬ : 4ц 2 п (1 -v)
(4)
где г и 0 — полярный радиус и полярный угол, отсчитываемый от оси х2 по часовой стрелке. Так выглядят напряжения и перемещения в упругих полуплоскостях на достаточном удалении от равновесного веера. Вблизи веера, строго говоря, данное решение неприменимо, однако с его помощью можно получить грубую оценку длины веера. Подставляя формулу (4) для касательного напряжения в условие ш(±1) = 0 в концевых точках веера,
Рис. 6. Линии уровня нормального и касательного напряжений (а, б) и поле перемещений вокруг дислокации (в)
получим уравнение к = pl ctg ф0, откуда
l = ца sin фо (5)
п(1 -v) p
На рис. 6 приведены линии уровня напряжений и векторное поле перемещений в окрестности краевой дислокации, определяемой решением (4), для горной породы, залегающей на глубине примерно 10 км: ц = = 80 ГПа, v = 0.25,p = 250 МПа. Линейный размер домино-пластин a = 0.1 м и начальный угол наклона ф0 = = 40° заданы в соответствии с натурными наблюдениями [2]. Диапазон изменения линий уровня нормального напряжения на рис. 6, а: от -250 МПа (1) до 250 МПа (2). Линии уровня касательного напряжения ст12 на рис. 6, б изменяются от -50 МПа (1) до 50 МПа (2). Прямолинейный отрезок в центре рис. 6, в изображает зону веера, длина которой найдена по оценочной формуле (5).
Известна другая интерпретация решения (4). В соответствии с ней вдоль положительной полуоси x1 > 0 вырезается полоса шириной b = 2a cos ф0, берега которой стягиваются друг к другу в горизонтальном направлении и склеиваются (рис. 5, б). Судя по уравнениям теории упругости, возникает точно такое же напряженно-деформированное состояние, как в случае относительного сдвига берегов разреза вдоль отрицательной полуоси x2. Эта интерпретация указывает на один из возможных механизмов образования равновесного вее-
ра в тектоническом разломе. При проходке глубинных горных выработок податливые крепи могут деформироваться вместе с окружающей горной породой таким образом, что характерный поперечный размер выработки уменьшится на величину вектора Бюргерса. Такая деформация может привести к зарождению краевой дислокации (веера) в области сейсмической активности. Следует заметить, что направление выработки не обязательно совпадает с осью х1, перпендикулярной линии тектонического разлома. Необходимое условие формирования дислокации в общем случае состоит в том, что сужение выработки в направлении вектора Бюргерса должно быть равным Ь (рис. 5, в).
В модели [11] одновременно формируются два разнонаправленных веера, движущихся в противоположные стороны. Схематическая картина зарождения вееров под действием локализованного касательного усилия изображена на рис. 7. В соответствии с этим рисунком в зоне глубинного разлома накладываются одна на другую две взаимно уничтожающие друг друга краевые дислокации противоположного знака. Со временем они расталкиваются за счет локализованного воздействия касательных напряжений, вызванного внешними физическими факторами.
Интенсивность такого воздействия можно оценить, используя точное решение задачи для двух краевых дислокаций с противоположными векторами Бюргерса,
Q
Зона растяжения Зона сдвига
Рис. 7. Последовательные этапы формирования двух вееров (двух дислокаций)
оси которых: х1 = 0, х2 = с и х1 = 0, х2 = -с находятся на расстоянии 2с друг от друга. В силу принципа суперпозиции решение задачи теории упругости в этом случае представляет собой разность двух решений, получаемых заменой в формулах (5) полярного радиуса и полярного угла величинами
= -y/xj2 + (x2 ± с)2, 6± = arctg——
х2 ± с
Такому решению можно придать следующую интерпретацию. В однородной упругой плоскости вдоль отрезка [-с, с] на оси х2 производится разрез. Берега разреза сдвигаются относительно друг друга на величину вектора Бюргерса Ь и склеиваются. После склейки
на берегах действует касательное напряжение а12 = _ + 1.2 2 , _ = а12 — а12
= -2кс/(с2-x22). Такое
напряжение удерживало бы сдвинутый разрез в равновесии при отсутствии склейки. Поэтому интегральное касательное усилие, под действием которого образуются две дислокации, равно
^ „ С dx2 u b
Q = 2 КС I-r-^T = 2пк = f-
-c С - Х2 1-V
Заметим, что величина усилия Q не зависит от расстояния между дислокациями. Таким образом, формирование двух разнонаправленных вееров по схеме на рис. 7 происходит под действием локализованной нагрузки постоянной интенсивности.
С помощью формулы ст12 =± p ctg ф0 для касательного напряжения в концевых точках можно получить грубую оценку длин вееров. Судя по этой формуле, полностью сформированный правый веер начинается и заканчивается в точках
2 2кс
с--^Фо,
Ро
x2 =
2 2кс с +-tgфо.
p0
Концы левого веера расположены симметрично относительно начала координат. Длина каждого веера 21 =
е Ь
= х2 — х2 растет с увеличением расстояния между ними и при достаточно большом значении с оценивается по формуле
( к ^ ( к ^
21--
1 + — tg фо
pc
- с
1--tg Фо
рс
2к ua sin ф0
—tg Фо =' ,
р п(1 -v) р
которая совпадает с формулой (5).
4. Метод суперпозиции дислокаций
Чтобы построить решение задачи (1)-(3), представим напряженно-деформированное состояние вблизи веера в виде суперпозиции элементарных дислокаций с векторами Бюргерса db(c) < 0, с осями, проходящими через текущую точку с в интервале (-/, /). Тогда для
напряжений и перемещений в упругих полуплоскостях получаются следующие интегральные представления:
i
jk (xi, x2) = - J (xi, x2 - с) db (с), -1
i
Щ (x^ x2) = -J wk1)(Xl, x2 -с )db (с ),
-i
(6)
.,(1)
где аjk и щ' — решение задачи о краевой дислокации с единичным вектором Бюргерса.
В соответствии с граничными условиями (1) функция распределения дислокаций Ь(х2) должна удовлетворять краевым условиям b(l) = 0 и b(-l) = 2a cos ф0. В силу симметрии веера относительно вертикальной осивыполняются условия db (-х2) = db (х2) и b(0) = = a cos ф0. По формулам (4) нормальное напряжение а^ и скачок поперечного перемещения щ в зоне веера равны нулю, а касательное напряжение и скачок продольного перемещения равны:
<(0, x2) = -
u
2п (1 -v)
db(c)
-1 x2
["2 (0, x2)] = b (x2).
(7)
Здесь интеграл является сингулярным, т.е. понимается в смысле главного значения по Коши. Известно, что такой интеграл определен, если производная Ъ'( х2) удовлетворяет на интервале (-/, I) условию Гельдера | Ъ(х2) — Ъ(с) | < L | х2 — с |а с положительными постоянными L и а. Отсюда с учетом симметрии веера
ст12(0, x2) = -
u
(о
2 п (1-v)
j dbia^ + Jdb^)
-1 x2 - с о x2 - с
Л
U x2
J
db (с)
(8)
п (1 — V) 0 х2 — с2' Так как функция Ъ (х2) принимает постоянные значения при х2 > I и при х2 < — I, то пределы интегрирования в формуле (7) можно заменить на -7 и -+». После такой замены сингулярный интеграл в правой части первого уравнения (7) с точностью до постоянного сомножителя совпадает с преобразованием Гильберта [26] для функции Ъ' (х2):
Н[Ъ'](х2) = 1 7 Ъ^dc.
п 7 х? — с
—7 2
Применяя обратное преобразование Гильберта Н—1 = = -Н, получим
b(x2) = ^ |ст12(0,с)
пи _«
x2 - с
йс,
откуда после интегрирования с учетом условия b(l) = 0
b(x2) = ^^ J CTb2 (о,с)1п
x2 - с
1 - с
de.
(9)
ПЦ —7
Уравнение (9) может быть использовано для контроля точности при численном решении задачи (1)-(3).
Формулы (6) не учитывают изменения нормального напряжения <оп, вызванного боковым распором при повороте пластин в зоне веера. Чтобы учесть такое изменение, используем решение плоской задачи теории упругости о линейной трещине (разрезе) конечной длины, на берегах которой действует равномерно распределенное нормальное давление, а на бесконечности напряжения стремятся к нулю. Напряжения и перемещения в окрестности трещины определяются по формулам Колосова-Мусхелишвили. В случае единичного давления для трещины с вершинами х2 = —с и х2 = с на горизонтальной оси соответствующие формулы принимают вид:
а(1> = Re
т(0) =
'22
= Re
а(2) = x1 c2 Im
(Vz 2 + С 2)3
(10)
2 цм{0) = 2(l-v )RWz2 + c2 -
- x1 Re
Vz2+c2
- (1 - 2 v) xj,
2 ц м20) = (1-2 v )ImV z2 + c2 +
+ x1 Im
- (1 - 2 v) X2.
Здесь 7 = х1 + ¡х2 — комплексная переменная; Re и 1т — обозначения для действительной и мнимой частей.
В силу (10) на берегах трещины (х1 = 0, | х21 < с)
°11 = 1,
а12) =
[«1(0)]=^^JTTxf, [uf]= ц
а вне зоны трещины (x1 = 0, | x2| > c)
^-1, ст(2) = 0,[м|0)] = [u20)] = 0.
ст(0) = °11 =
Í
x 2 - С 2
На основании принципа суперпозиции поправки к решению, учитывающие напряжения бокового распора в задаче (1)-(3), ищутся в интегральной форме:
i
jk (x1, x2 ) = -J j (x1, x2, c)ds (c),
(11)
ик (Х1, Х2) = ик0)(Х1, Х2, с) &(с), 0
где монотонно убывающая функция ,?(с), которая удовлетворяет условию s(¡) = 0, описывает распределение давления со стороны веера на упругие полуплоскости. В силу симметрии напряженно-деформированного состояния можно рассматривать только правую полуплос-
кость х2 > 0. Из формул (11) следует, что в зоне веера (х1 = 0, х2 < I) касательное напряжение ст[2 и скачок продольного перемещения и2 равны нулю, а нормальное напряжение и скачок поперечного перемещения равны
< /т х2 ^ (с)
<11 =-5(0) - х2 ]
„ Г1 2"'
0 V х2 - с [Щ ] = - 2(1 У) [\/ с2 — х2 ¿5(с).
^ х2
Точное решение задачи (1)-(3) принимает вид: о к = + , ик = иьк + щ. В зоне веера после перехода к безразмерным переменным х = х2/1 и £ = с/1 напряжения и скачки перемещений задаются формулами
тп =- s(0) - x J
[„1] = -
2i (1 -ц
ц x
dsg)
-x2ds (С),
[„2] = b (x ).
<12 п I (1 — V )0 х 2 — Это позволяет привести граничные условия (1) к двум нелинейным интегральным уравнениям для определения функций Ь(х) и s(x) на интервале х е (0, 1). Уравнения записываются в следующем виде:
J
db(C) _ ni(1 -v)
(
J 2 к 2
0 x -c,
Mx
p + s(0) + xJ
ds©
Л
I
0л/ x -c
a cos ф0 - b(x)
■\ja2 - (a cos ф0 - b(x))2
JVC2 - x2ds© =-
ц
(12)
2l (1-v)
x(a sin ф0 a2 - (a cos ф0 - b(x))2). Для решения интегральных уравнений (12) применяется метод последовательных приближений, вопрос о сходимости которого остается открытым, как и вопрос о существовании и единственности решения уравнений (12). В этом методе начальное приближение b(0)( x) и s(0)( x) задается, вообще говоря, произвольно. Новое приближение строится по рекуррентным формулам:
J
db( m+1)©_ ni(m+1)(1-v)
2 К2
x -С,
(
p + s(m )(0) + x J
ds(m)©
, a cos ф0 - b(m)(x)
■Ja2 - (a cos ф0 - b(m)(x))2
(13.1)
s, МПа 160
0.0 0.2 0.4 0.6 О.Ъ х
Рис. 8. Графики функций b(x) (а), s(x) (б)
(m+1)
(х ) - s( m)(х ) 1
J^2 - х2dS(m+1)(^):
a sin ф0
21(m+1) (1 -v) v a2 - (a cos ф0 - b(m+1)(х))2
(13.2)
с учетом краевых условий
b (m+1)(0) = a cosф0, b(m +1)(1) = 0, s(m+1)(1) = 0. Итерационный параметр т подбирается из соображений наискорейшей сходимости метода. Итерационный процесс заканчивается при выполнении неравенства 11(т+1) -1(т)| < i(т)где в — заданная погрешность решения.
В расчетах начальное приближение для функции Ь(х) задавалось в виде линейной функции. Начальное приближение для функции ^(х) было принято равным нулю. Интегралы в уравнениях (13) вычислялись на равномерной разностной сетке х = jh (/ = 0, 1, ..., п) с шагом h = 1/п по формуле прямоугольников с центральным узлом:
«§ Ък+1 — Ък ,
о х2 — h2 к=о j2 — (к +1/2)2
— х 2с1,( « h § (^к+1 — sk )у! (к +12 ) — ]2.
х k=j
Дискретные аналоги (13) представляют собой замкнутые системы линейных алгебраических уравнений, первая из которых записана относительно п неизвестных Ъ(т+1),Ъ2т+1),...,Ъ^ и /(т+1), а вторая — относитель-
т
ц
Рис. 9. Поверхности уровня нормального и касательного напряжений (а, б), поле перемещений вокруг веера (в)
(n+1) (n+1) (n+1)
но n неизвестных s0 ', sj ',..., s„-1 ' с учетом того, что s'nm+j) = 0. В первой системе содержатся n уравнений, т.к. уравнение, соответствующее j = 0, выполняется автоматически в силу краевого условия b0n+j) = a cos ф0. Во второй системе также n уравнений, т.к. уравнение для j = n выполняется автоматически в силу условия s'nn+j) = 0. Первая из систем на каждом шаге итерационного процесса решалась методом разложения Хо-лецкого, решение второй системы строилось в явной форме, поскольку входящая в нее матрица является верхней треугольной.
Расчеты по данному алгоритму на основе разработанной компьютерной программы в системе MATLAB показали, что на практике итерационный процесс является быстро сходящимся, причем значение итерационного параметра т = 4, которое обеспечивает наискорейшую сходимость последовательности приближений, и требуемое число итераций не зависят от размерности сетки. Использовались модули упругости среды и геометрические параметры разлома (размер домино-пластин и начальный угол наклона) для горной породы на глубине 10 км, приведенные в разделе 3. На сетках с n = 100, 250 и 500 узлами для выполнения условия окончания счета при е = 10-2 требуется по 7 итераций, при е = 10-4 — по 12, а при е = 10-6 — по 18 итераций. Типичные графики функций b(x) и s(x) приведены на рис. 8.
На рис. 9 представлены поверхности уровня нормального напряжения стп и касательного напряжения стj2, а также изображено векторное поле перемещений. Толстая линия на рис. 9, в показывает местоположение веера.
Полудлина веера, вычисленная по оценочной формуле (5), равна 8.73 м, расчетное значение l = 21.23 м. При повышении давления веер становится более коротким. Так, при давленииp =350 МПа на глубине примерно 14 км оценочное значение полудлины равно 6.24 м, а расчетное значение — 15.17м.
5. Заключение
В приближении плоского деформированного состояния поставлена задача об определении напряжений и перемещений вокруг равновесного веера в бесконечном массиве упругой среды, находящейся в условиях гидростатического сжатия. На основе решения плоской задачи теории упругости о краевой дислокации Вольтера получена оценка длины равновесного веера. В модели образования пары противоположно направленных вееров оценены длины вееров и касательное усилие, поддерживающее их в равновесии. Показано, что касательное усилие не зависит от расстояния между веерами. С помощью метода последовательных приближений для решения интегральных уравнений численно получены
распределение вектора Бюргерса в равновесном веере между двумя упругими полуплоскостями и распределение давлений со стороны пластин веера на полуплоскости. По методу суперпозиции построены поля напряжений и перемещений вокруг равновесного веера, имитирующего глубинную трещину сдвига в зоне сейсмической активности земной коры.
Работа выполнена при финансовой поддержке Centre for Offshore Foundation Systems (The University of Western Australia), комплексной программы фундаментальных исследований Сибирского отделения РАН № П.2П «Интеграция и развитие» (проект 0361-20150023) и гранта РФФИ (код проекта 14-01-00130).
Литература
1. Reches Z., Lockner D.A. Nucleation and growth of faults in brittle rocks // J. Geophys. Res.: Solid Earth. B. - 1994. - V. 99. - No. 9. -P. 18159-18173.
2. Ortlepp W.D. Rock Fracture and Rockbursts: An Illustrative Study: Monograph Ser. M9. - Johannesburg: South African Institute of Mining and Metallurgy, 1997. - 98 p.
3. Peng S., Johnson A.M. Crack growth and faulting in cylindrical specimens of Chelmsford granite // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. - 1972. - V.9. - No.1. - P. 37-86.
4. Ortlepp W.D., Armstrong R., Ryder J.A., O'Connor D. Fundamental Study of Micro-Fracturing on the Slip Surface of Mine-Induced Dynamic Brittle Shear Zones // Proc. 6th Int. Symp. on Rockburst and Seismicity in Mines. RaSiM6 - Controlling Seismic Risk, Perth, Australia, March 9-11, 2005 / Ed. by Y. Potvin, M. Hudyma. - Perth: Australian Centre for Geomechanics, 2005. - P. 229-237.
5. King G.C.P., Sammis C.G. The mechanisms of finite brittle strain // Pure Appl. Geophys. - 1992. - V. 138. - No. 4. - P. 611-640.
6. Scholz C.H. The Mechanics of Earthquakes and Faulting. - Cambridge:
Cambridge University Press, 2002. - 471p.
7. Stavrogin A.N., Tarasov B.G. Experimental Physics and Rock Mechanics: Results of Laboratory Studies. - Lisse: A.A. Balkema Publishers, 2001. - 356 p.
8. Tarasov B.G., Randolph M.F. Frictionless shear at great depth and other paradoxes of hard rocks // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2008. -V. 45. - No. 3. - P. 316-328.
9. Tarasov B.G. Intersonic shear rupture mechanism // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2008. - V. 45. - No. 6. - P. 914-928.
10. Tarasov B.G. Hitherto unknown shear rupture mechanism as a source of instability in intact hard rocks at highly confined compression // Tectonophysics. - 2014. - V. 621. - P. 69-84.
11. Tarasov B.G. Superbrittleness of Rocks at High Confining Pressure // Proc. 5th Int. Seminar on Deep and High Stress Mining, Keynote Address. Deep Mining 2010, Santiago, Chile, October 6-8, 2010 / Ed. by M. Van Sint Jan, Y. Potvin. - Perth: Australian Centre for Geomechanics, 2010. - P. 119-133.
12. Tarasov B.G., Randolph M.F. Superbrittleness of rocks and earthquake activity // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2011. - V. 48. - No.6.-P. 888-898.
13. Tarasov B., Potvin Y. Universal criteria for rock brittleness estimation under triaxial compression // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2013. -V. 59. - P. 57-69.
14. Tarasov B.G. Fan-structure shear rupture mechanism as a source of shear rupture rock bursts // J. S. Afr. Inst. Min. Metall. - 2014. -V. 114. - P. 773-784.
15. Tarasov B.G. Depth Distribution ofLithospheric Strength Determined by the Self-Unbalancing Shear Rupture Mechanism // Proc. Int. Symp. Rock Mechanics for Resources, Energy and Environment. EUROCK 2013, Wroclaw, Poland, September 21-26, 2013 / Ed. by M. Kwas-
niewski, D. Lydzba. - London: Taylor and Francis Group, 2013. -Chapt. 21. - P. 165-170.
16. Tarasov B.G., Randolph M.F. Improved concept of lithospheric strength and earthquake activity at shallow depths based upon the fan-head dynamic shear rupture mechanism // Tectonophysics. -2016. - V. 667. - P. 124-143.
17. Tarasov B.G., Guzev M.A. New Insight into the Nature of Size Dependence and the Lower Limit of Rock Strength // Proc. 8th Int. Symp. on Rockbursts and Seismicity in Mines. RaSiM8, St. Petersburg-Moscow, Russia, September 1-7, 2013 / Ed. by A. Malovichko, D. Ma-lovichko. - Obninsk-Perm: GS RAS & MI UB RAS, 2013. - P.31-40.
18. Тарасов Б.Г., Садовский В.М., Садовская О.В. Анализ веерных волн в лабораторной модели, имитирующей распространение сдвиговых трещин в горных породах // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2016. - Т. 9. - № 1. - С. 38-51.
19. Стефанов Ю.П., Бакеев Р.А., Ребецкий Ю.Л., Конторович В.А. Структура и стадии формирования разломной зоны в слое геосреды при разрывном горизонтальном сдвиге основания // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 5. - С. 41-52.
20. Гольдин С.В. Дилатансия, переупаковка и землетрясения // Физика Земли. - 2004. - № 10. - С. 37-54.
21. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Евтушенко Е.П., Перышкин А.Ю. Модель землетрясения как сверхбыстрый катастрофический этап эволюции нагружаемой геосреды // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. -Спец. выпуск. - С. 29-35.
22. Садовская О.В., Садовский В.М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. - М.: Физматлит, 2008. - 368 с.
23. Варыгина М.П., Похабова М.А., Садовская О.В., Садовский В.М. Вычислительные алгоритмы для анализа упругих волн в блочных средах с тонкими прослойками // Вычисл. методы и программ. -2011. - Т. 12. - № 2. - С. 190-197.
24. Sadovskii V.M., Sadovskaya O.V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum // Wave Motion. - 2015. - V. 52. - P. 138-150.
25. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.
26. Краснов М.Л. Интегральные уравнения (Введение в теорию). -М.: Наука, 1975. - 303 с.
Поступила в редакцию 21.01.2016 г. после переработки 12.04.2016 г.
Сведения об авторах
Тарасов Борис Григорьевич, д.т.н., проф. University of Western Australia, [email protected] Садовский Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., зам. дир. ИВМ СО РАН, [email protected] Садовская Оксана Викторовна, к.ф.-м.н., снс ИВМ СО РАН, [email protected]
