CC BY
57
2012 Механика № 3
УДК 539.3
Н.С. Кондратьев, П.В. Трусов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
ОПИСАНИЕ УПРОЧНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСЛОКАЦИОННОГО СКОЛЬЖЕНИЯ ЗА СЧЕТ ГРАНИЦ КРИСТАЛЛИТОВ В ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОМ АГРЕГАТЕ
Рассматривается задача описания упрочнения систем скольжения дислокаций за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате. Излагается один из физически возможных механизмов взаимодействия дислокации с границей кристаллита: прохождение краевой решеточной дислокации через общую границу соседних кристаллитов в наиболее благоприятно ориентированную систему соседнего кристаллита. Результатом такого акта в силу различной ориентации кристаллитов является появление в границе дислокации ориентационного несоответствия (ДОН). Поле упругих напряжений ДОН препятствует дальнейшему скольжению решеточных дислокаций. Предлагается соотношение для критических напряжений по системам сдвига решеточных дислокаций, обусловленных влиянием на них границы, которое может быть использовано в физических многоуровневых моделях неупругого деформирования.
Ключевые слова: скольжение, упрочнение, физические теории пластичности, неупругое деформирование, дислокации ориентационного несоответствия, решеточные дислокации.
N.S. Kondratev, P.V. Trusov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
DESCRIPTION OF HARDENING SLIP SYSTEMS DUE TO THE BOUNDARIES OF THE CRYSTALLINES IN A POLYCRYSTALLINE AGGREGATE
The paper considers the problem of describing hardening slip systems due to the boundaries of the crystallines in the multilevel models of crystal plasticity, based on the explicit introduction of internal variables. The boundary is a two-dimensional specific area that separates the different homogeneous parts of the crystal (grain phase, twins). Grain boundaries is an effective barrier to moving dislocations. Barrier effect of the border due to a sharp change in orientation of slip systems during the transition through it. If the dislocation of the crystalline has moved to a neighboring crystalline with its Burgers vector, this vector would be randomly oriented with respect to the lattice of neighboring crystalline and the movement of such disposition would significantly complicated. As a consequence, we assume the following mechanism of dislocation motion through the boundary: lattice dislocation becomes energetically more favorable slip system of the neighboring crystalline and mismatch dislocation appears in the boundary. Next lattice dislocation moving on the same slip system of the crystalline feels pushes away from the elastic stress fields previously formed mismatch dislocation. To describe the hardening it is
necessary - to determine the slip systems in neighboring crystals, which will continue to slip. It have to propose a criterion according to which this system will be determined and to evaluate the stress exerted by the mismatch dislocation at the boundary. The rate of increase of these stresses, and will characterize the rate of change of the critical shear stress. The aim is to construct and analyze the law hardening due to the boundaries of the crystallites (grain phase, twins) with the use of internal variables of the model. The proposed ratio should be acceptable for the multi-phase materials, and in his final form must enter the parameters of meso- and macroscale, which have clear physical and/or geometrical meaning, which will simplify the identification procedure.
Keywords: inelastic deformation, slip, hardening, crystal plasticity, mismatch dislocations, lattice dislocations.
Введение
Описание упрочнения материала за счет границ кристаллитов в физических многоуровневых моделях неупругого деформирования, основанных на явном введении внутренних переменных [4, 17, 18], является основной задачей данной работы. В кристаллах неупругое деформирование в основном осуществляется скольжением краевых дислокаций [3, 15], что подтверждено многочисленными экспериментальными данными. Под законами упрочнения понимаются эволюционные уравнения для критических сдвиговых напряжений на системах скольжения (СС), определяющих их изменение в зависимости от некоторого набора параметров (в этом качестве могут выступать сдвиги, скорости сдвигов, температура, энергия дефекта упаковки и т.д.) [1, 6, 10, 5]. Следует отметить многообразие физических механизмов, обусловливающих упрочнение [11-14]. В данной работе будут учтены только механизмы, связанные с взаимодействием дислокаций друг с другом и с границей кристаллита. Описание упрочнения, связанного с взаимодействием дислокаций с лесом дислокаций и образованием барьеров дислокационного происхождения, целью данной работы не является, ознакомиться с описанием упрочнения по указанным механизмам можно в работах [6-9].
Граница представляет собой двумерную специфическую область, отделяющую различные однородные части кристалла (зерна, фазы, двойники). Отметим, что межкристаллитная граница является эффективным препятствием для скользящих дислокаций. Барьерное действие границы обусловлено резким изменением ориентаций СС при переходе через нее [3]. В общем случае если дислокация текущего кристаллита перешла в соседний кристаллит со своим вектором Бюргерса, то этот вектор был бы произвольно ориентирован относительно решетки соседнего кристаллита и движение такой дислокации вызывало бы силь-
ное нарушение упаковки атомов. Вследствие этого примем следующий механизм движения дислокации через границу: решеточная дислокация (РД) рассматриваемого кристаллита переходит в энергетически более выгодную СС соседнего [2], оставляя в границе дислокацию ориентационного несоответствия (ДОН). Следующая решеточная дислокация, скользящая по той же СС кристаллита, будет испытывать дополнительное сопротивление за счет поля упругих напряжений ранее образовавшейся ДОН.
Поставим задачу построения соотношения для описания упрочнения за счет границ кристаллитов, выделив несколько вспомогательных этапов: первый - определение СС в соседнем кристаллите, по которой продолжится скольжение; при этом необходимо предложить некоторый критерий, согласно которому будет определяться указанная СС в соседнем кристаллите; решение указанной подзадачи представлено в работе [2]. Второй этап носит физический характер и заключается в определении ДОН, остающейся в границе при акте прохождения дислокации через границу, и оценке напряжений, действующих на РД со стороны ДОН. Скорость возрастания этих напряжений и будет характеризовать скорость изменения критического напряжения сдвига за счет границ кристаллитов.
Таким образом, целью настоящей работы является построение и анализ закона упрочнения за счет границ кристаллитов (фаз, двойников) с использованием внутренних переменных модели (второй этап поставленной задачи). Предлагаемое соотношение должно быть приемлемо для многофазных материалов, а в его окончательное соотношение должны войти параметры мезо- и макромасштаба, имеющие ясный физический и/или геометрический смысл (для упрощения последующей процедуры идентификации модели).
1. Взаимодействие решеточных дислокаций с дислокациями ориентационного несоответствия
На основании физических соображений получим оценки барьерных напряжений, создаваемых ДОН, и сравним их с напряжениями страгивания решеточных дислокаций (напряжениями Пайерлса-Набарро), затем на основе этих оценок запишем соотношения, описывающие вклад в упрочнение, вносимый границами кристаллитов (фаз, двойников).
Отметим, что на данном этапе построения модели наибольший интерес представляют качественные зависимости скорости изменения критических напряжений по СС, обусловленных упрочнением за счет границ кристаллитов. Согласно принятому механизму прохождения решеточной дислокации (РД) на границе кристаллита появляется скопление ДОН, которое своими упругими полями препятствует движению РД рассматриваемого кристаллита. Для начала рассмотрим одну ДОН, образовавшуюся на фасетке границы кристаллитов площадью Бк. Отнесем ДОН к рассматриваемому кристаллиту и положим, что среда является однородной, изотропной и упругой. Далее определим поле напряжений, действующих на РД со стороны ДОН рассматриваемой СС, затем осредним полученные напряжения по текущей плоскости скольжения. При операции осреднения необходимо задаться геометрией кристаллита (плоскости скольжения).
Заметим, что искомые барьерные напряжения хь - это касательные напряжения, действующие на краевую решеточную дислокацию в плоскости скольжения. Для их определения необходимо найти поле напряжения от ДОН оа. Будем рассматривать ДОН подобно решеточным дислокациям и относить ее к рассматриваемому (текущему) кристаллиту. Заметим, что сопротивление движению, возникающее в результате образования ДОН, вызывает лишняя экстраплоскость. Для ДОН последнюю в общем случае ввести трудно, она будет «составной». Вектор Бюргерса ДОН вполне определен разностью векторов Бюргерса решеточных дислокаций, однако вклад в сопротивление вносит составляющая, лежащая в плоскости границы, вектор Бюргерса которой коллинеарен нормали к границе. Введем ортогональный базис, связанный с ДОН. Первый базисный вектор определяется внешней нормалью фасетки границы, Ъа =^, второй 1а направим вдоль линии пересечения плоскости фасетки границы N и рассматриваемой плоскости скольжения дислокации текущего кристаллита п(,): 1 а = N к х п(7).
Третий вектор па расположен вдоль линии пересечения плоскости границы и плоскости, построенной на векторах N и п7:
па = 1 а хЪ а = Nк хп7 х Nк . (1)
Для оценки барьерных напряжений по отношению к движению решеточной дислокации хь, которые возникают вследствие образования ДОН на границе двух кристаллитов, будем использовать две орто-
тональные декартовы системы координат (СК). Первую СК свяжем с
12 3 3
решеточной дислокацией Ох х х (ось Ох направлена вдоль оси дисло-
12 кации решеточной дислокации, ось Ох - вдоль вектора Бюргерса, Ох -
вдоль нормали к плоскости скольжения) (с базисом к). Введем вто-
12 3 3
рую, связанную с ДОН, СК Ох' х' х' с базисом к 'і (ось Ох' направлена вдоль оси дислокации ДОН 1в , ось Ох' - вдоль вектора Бюргерса ДОН Ьв, Ох' - вдоль нормали к плоскости скольжения пв ДОН). Зная вектор Бюргерса ДОН АЬ = Ь(/)-Ь(?), определим его краевую составляющую, направленную по нормали к фасетке границы:
Ь^ = (Я*-АЬ)^ .
(2)
Отметим, что каждая дислокация обладает собственным полем напряжений, которое в силу быстрого затухания искажений кристаллической решетки при удалении от ядра дислокации можно определить, используя линейную теорию упругости. Следует учитывать, что вблизи ядра дислокации предпосылки линейной теории упругости малоприемлемы, поэтому полученными решениями можно пользоваться на определенном удалении от ядра дислокации (порядка нескольких межатомных расстояний).
Задача теории упругости о нахождении поля напряжений а^ прямолинейной краевой дислокации в неограниченной среде является плоской и сводится к решению уравнения равновесия V • а а = 0 , откуда можно определить выражения для смещений и дислокации. Для
12 3
краевой составляющей ДОН в декартовой системе координат Ох' х' х' перемещения определяются соотношениями [15]
-Ъ
ев
8л (1 - V) Ъ
(1 - V ) 1п (х\2 + х'22)
22 2\ + х1 - х2
х^2 + х'22
ев
2л
х-
х1 х2
х'3 2 (1 - V) х12 + х'2
и 3 = 0,
(3)
где V - коэффициент Пуассона. Смещение, параллельное оси дислокации, равно нулю, деформация является плоской; ненулевые компоненты тензора напряжения в рассматриваемой СК будут иметь вид [15]
и1 =
1
и2 =
[а 1' = Gbed X2 (3x1 +X2 )
L dJ (1 -V) (x;2 + x22)2 ’
[а 1' = Gbed X2 (xl -X2 )
[ d 1 22~2л(1 -V) (x;2 + x22) ^
(4)
Gbed Xl (Xl - X2 )
[аd 1l2 2л(1 -v) (x-_2 + x'22)2'
[• d 1' 33 = v f[o d 1' її +[a d 1' 22 ].
Заметим, что для определения искомых барьерных касательных (в плоскости скольжения РД) напряжений xb необходимо перейти от компонент тензора напряжений краевой составляющей ДОН ad в базисе k' к компонентам в базисе ki. Запишем тензор ad в базисе ki:
а d =[а d 1' / k ik/, (5)
затем найдем компоненты этого тензора в базисе ki. Для этого скалярно умножим (5) слева и справа на векторы ki и k/:
[аd1 / = kі-[аd1'm klkm •k j . (б)
Компонента [а d (xl,x'2,x'3)] 21 в этом базисе будет характеризовать
торможение краевых решеточных дислокаций рассматриваемой CC. Разложим векторы базиса ki по направляющим косинусам базиса ki:
k 1 = cos a 1k'1 + cos P 1k'2 + cos у 1k'3, k 2 = cos a 2k1 + cos P 2k '2 + cos у 2k '3, (7)
k 3 = cos a 3k1 + cos P 3k'2 + cos у 3k'3,
где на направляющие косинусы в силу единичности базисных векторов накладывается связь
cos2 a 1 + cos2 P1 + cos2 у 1 = 1,
cos2 a 2 + cos2 P 2 + cos2 у 2 = 1, (В)
cos2 a 3 + cos2 P 3 + cos2 у 3 = 1.
ВЗ
Здесь через аг-, обозначены углы между векторами k't и кг-; рг- - углы между векторами k'2 и кг-; уг- - углы между векторами k'3 и кг-.
Используя соотношение (6), разложение (7) и связь компонент напряжения (4), запишем искомую компоненту [о d ] .
[° d ] 21 = k 2 -[® d ]' lm k'/k'm • k 1 =(C0s а 2C0S а! + v COS у 2COS Y ! )x
x[° d ]' 11 +(C0S P 2 C0S а 1 + C0S а 2 C0S p 1 )[° d ]' 21 + (9)
+ (C0S p 2 C0S p 1 + v C0S Y 2 C0S Y1)[° d ]' 22.
где использовано соотношение (4)4.
Подчеркнем, что компонента поля напряжений ДОН [о d (x\,x\,x'3)] 21 зависит от координат, определенных в базисе ДОН
k' и является неоднородной: при приближении к ядру дислокации напряжения возрастают, при удалении - падают. Оценим усредненные касательные напряжения [о d ] , действующие на рассматриваемую плоскость скольжения решеточной дислокации. Для этого проинтегрируем напряжения [о d ] по плоскости скольжения и отнесем их к рассматриваемой площадке. Заметим, что интегрирование удобно проводить в СК, связанной с решеточной дислокацией. Найдем связь коор-
12 3 12 3
динат радиус-вектора в СК Ox x x и Ox' x' x' :
Г — x 1k 1 + x 2k 2 + x 3k 3 — x 1k 1 + x2k2 + x3k3 . (10)
Отсюда, используя разложение (7), можно показать справедливость
соотношения
x\ — C0S а 1x 1 + C0S а 2 x 2 + C0S а 3 x 3,
x'2 — C0SP 1x 1 + C0SP 2x2 + C0SP 3x3, (11)
x'3 — C0S у 1x1 + C0S у 2 x 2 + C0S у 3 x 3.
Примем, что кристаллит имеет форму, примерно одинаково развитую во всех направлениях (куб, шар), с характерным размером R. Положим, что плоскость скольжения решеточных дислокаций имеет форму квадрата, сторона которого пропорциональна характерному
размеру кристаллита Я^ = аЯ. Далее будем полагать, что а порядка единицы Ях1 » Я .
Подставим полученные координаты (11) в соотношение для поля касательных напряжений ДОН (9) и усредним их по площади скольжения рассматриваемой СС (х2 = 0):
Л° а (х1’х3)] 21^
_ 5___________________
' |<и “
5
Я Я Я Я (12)
I а (х1.х3)] 21dxldx3 | а (х 1.х3)] 21^А3
_ 2а 0____________________ _ 2а 0____________________
_ Я Я ~ я 2 '
11 ёх1ёх 3
2а 0
При записи (12) учтено, что соотношения для поля напряжений от ДОН (4) приемлемо использовать на некотором удалении от ядра дислокации - порядка нескольких межатомных расстояний, параметр решетки а много меньше размера кристаллита Я.
Осредненную касательную компоненту тензора напряжений ДОН (12) можно получить в аналитическом виде (например, используя пакет МаШешайса). Отметим, что рассматриваемая ДОН действует своими упругими полями не только на ту СС, в результате скольжения по которой РД образовалась ДОН, но и на остальные СС решеточных дислокаций рассматриваемого кристаллита. В соотношениях при этом будут меняться направляющие косинусы базисов.
Далее оценим отношение напряжений сопротивлению сдвига решеточной дислокации, вызванной упругими полями ДОН ть, к напряжениям Пайерлса-Набарро тП-Н [15]. Напомним, что Пайерлс и Набар-ро первыми предложили расчет напряжения сдвига, необходимого для движения дислокации. Они определили изменение энергетического профиля поверхности скольжения при возникновении возмущений от движения дислокации из одного равновесного положения до другого, предполагая, что напряжение сдвига, действующее по плоскости скольжения, является периодической функцией относительно смещения соседних плоскостей. Используя синусоидальное приближение, оказалось возможным показать, что напряжение страгивания краевой дислокации определяется выражением
(13)
где G - модуль упругости, v - коэффициент Пуассона; Ь - модуль вектора Бюргерса; г - расстояние между атомными плоскостями в нормальном по отношению к плоскости скольжения направлении, которое может быть определено через параметр решетки a и компоненты нормали плоскости скольжения п=(и1, п2, п3}:
Для численной оценки отношения k='Гb/тП-H используем следующие параметры кристаллита (все компоненты векторов в базисе к ):
Для примера рассмотрим кристаллиты с ГЦК-решеткой, для ко-
скольжения определяется нормалью п= {111}.
Используя (12) и (13), определим отношение барьерных напряжений ДОН, полученной в результате взаимодействия дислокации текущей СС с границей соседних кристаллитов, к напряжению Пайерлса-Набарро данной системы скольжения. Также оценим напряжения от образовавшейся ДОН на других СС текущего кристаллита, результаты сведем в таблицу.
Анализируя таблицу, можно сделать следующие выводы:
а) необходимо учитывать влияние барьерных напряжений ДОН не только на текущую (рассматриваемую) СС, но и на остальные СС данного кристаллита;
б) барьерные напряжения ДОН значительно меньше напряжений, необходимых для страгивания краевой дислокации, но увеличение числа ДОН на границе способно сделать эти напряжения сопоставимыми;
a
(14)
г =
параметр решетки a = 10-10 м; характерный размер кристаллита R = 10-5 м; коэффициент Пуассона V = 0,3;
компоненты вектора ДОН ДЬ = 111 I;
нормаль фасетки границы N і: = [123].
торых вектор Бюргерса Ь
— < 110 >, его модуль Ь = — a; плоскость
в) значения напряжений ДОН на плоскости скольжения могут быть как отрицательными, т.е. способствующими сдвигу дислокаций, так и положительными - препятствующими сдвигу. При построении соотношения для упрочнения за счет границ соседних кристаллитов будем учитывать только положительные напряжения ДОН на данной плоскости скольжения дислокаций.
Отношение барьерных напряжений ДОН к напряжениям Пайерлса-Набарро
Номер СС СС ^Ті/Тп-Н’105 Номер СС СС к Ть/Тп-н' 105
1 [І10](111) 15,7 13 [110](111) -30,0
2 [<ш](1П) -3,14 14 [011 ](111) 25,0
3 [і01 ](1П) -63,7 15 [101](111) 26,0
4 [оп]( ш) 21,5 16 [оп ](ш) -7,0
5 [ 1о1 ](111) -23,2 17 [101](111) 30,4
6 [Ш]( ш) -6,20 18 [ 110](111) 11,9
7 [ 1о1 ](111) -13,9 19 [101](111) 25,4
8 [11о]( 111) 3,9 20 [110](111) 27,6
9 [<Ш](111) 71,0 21 [011 ](111) -15,9
10 [011](ш) 71,1 22 мм 10,4
11 [101 ](111) -9,54 23 [101 ](111) 23,2
12 [П0](ш) -9,96 24 [110](111) 3,63
Отметим, что в дальнейшем понадобятся коэффициенты величин упрочнения, обусловленных ДОН за счет скольжения РД по разным СС при различной взаимоориентации СС и границ. Это соотношение для модельных представлений супердислокаций, о которых речь идет ниже, получено в аналитическом виде.
На рисунке изображена характерная зависимость барьерных напряжений ДОН, действующих на СС, в результате скольжения по ко-
торой РД образовалась ДОН, от размера кристаллита Я, которая, как видно из рисунка, является обратно пропорциональной размеру кристаллита.
Ч, па
50 40 30 20 10
—,—.—.—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—і—.—і—.—.—.—'-Я, м
0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010
Рис. Зависимость барьерных напряжений ДОН, действующих на текущую СС, от размера кристаллита
Напомним, что согласно принятой модели прохождения краевой дислокации ]-го кристаллита в 1-й кристаллит образуется ДОН с разностным вектором Бюргерса АЬ=Ь(')-Ь(/). При прохождении по той же плоскости скольжения второй дислокации образуется вторая ДОН. Другими словами, АЬ увеличивается до 2АЬ. Поэтому силы отталкивания постепенно увеличиваются, запирая данную плоскость скольжения. Заметим, что при количестве дислокаций около 104-105 напряжения тП-Н и ть будут одного порядка.
Рассмотрим ситуацию, когда на границе данного кристаллита образуется Ыс1 ДОН с вектором Бюргерса АЬ в результате скольжения краевых дислокаций по текущей СС. Тогда ДОН АЬ представим как объединенную (супер) ДОН с вектором Бюргерса АБ=^АЬ и, проделав аналогичные выкладки, получим барьерные напряжения
Т Ь = (2 Л 21 = (« Л 21- (15)
Заметим, что при увеличении числа ДОН на границе кристаллитов напряжения нарастают линейно.
Следует отметить, что вычисление осредненных барьерных напряжений (12) значительно усложняет дальнейшую реализацию и использование соотношения упрочнения за счет границ кристаллитов. В связи с этим будем использовать модельные представления дислока-
ции, основанные на понятии супердислокации, т.е. дислокации с вектором Бюргерса, равным сумме векторов Бюргерса всех дислокации, расположенных на каждоИ из рассматриваемых СС. Примем, что на границе двух кристаллитов образуется супердислокация ориентационного несоответствия (СДОН), которая своими упругими полями препятствует движению решеточных дислокациИ, расположенных на рассматриваемых СС. В свою очередь, для решеточных дислокациИ будем использовать представление супердислокации. В предположении, что РД распределены равномерно по плоскости скольжения, условимся, что линия решеточноИ супердислокации (РСД) расположена в центре плоскости скольжения. В общем случае линии РСД и СДОН не являются параллельными, а вычисление сил взаимодеИствия между ними также весьма трудоемко [15]. В связи с этим рассмотрим барьерные касательные напряжения г^, вызванные СДОН и деИствующие на середину РСД г = — к 1 + — к 3:
т ^ ^ т а, (16)
[о 4 х 1,х 2, х3)] - напряжения СДОН, деИствующие на сере-
дину РСД х1=Я/2, х2=0, х3=Я/2.
Закономерно возникает вопрос о сопоставлении касательных барьерных напряжениИ ть, полученных интегрированием (12) с напряжениями т^, определяемых с помощью представления супердислокациИ (16). Отметим, что отношение напряжениИ ть/т^ для большинства СС - порядка единицы, однако для ряда СС достигает нескольких десятков. Такое несоответствие в первую очередь объясняется достаточно сложным характером интегрируемоИ функции касательных напряжениИ [о а (х 1, х 3)] , для котороИ по теореме о среднем значении
функции строится аппроксимация в центре плоскости скольжения. Вероятно, аппроксимацию надо сделать по косинусам углов, получающихся при двоИном скалярном произведении направляющих диад дислокациИ (нормаль и вектор Бюргерса), и размеру кристаллита.
Подчеркнем физическую прозрачность представления, основанного на использовании понятия супердислокациИ, поэтому далее для упрощения процедуры нахождения барьерных напряжениИ, вызванных ДОН, будем использовать напряжения т^. Напомним, что речь идет о
поиске качественной зависимости барьерных напряжениИ. В даль-неИшем (для количественных расчетов) в соотношениях для критических напряжениИ вводятся параметры, определяемые в ходе процедуры идентификации.
ПереИдем к завершающему этапу поставленноИ задачи - формулировке соотношения для составляющеИ скорости изменения критического напряжения скольжения за счет зернограничного упрочнения, используя внутренние переменные модели.
Условимся, что каждая решеточная краевая дислокация, достигающая границы кристаллита, образует ДОН, если только кристаллиты идеально не сопряжены. Поэтому примем следующую гипотезу: количество ДОН пропорционально количеству мобильных дислокациИ, прореагировавших с границей. Последнее, в свою очередь, согласно соотношению Орована пропорционально величине сдвига у(/) по рас-сматриваемоИ СС с учетом геометрии фасеток кристаллита. В первом приближении примем, что данная геометрическая зависимость характеризуется отношением площади части границы Бк (фасетки границы), пересекаемоИ рассматриваемоИ СС, ко всеИ площади границы £ текущего кристаллита и мероИ разориентации СС текущего и соседнего кристаллита £ /). Напомним, что мера разориентации £ (/т) определяется из условия минимизации скорости приращения внутреннеИ энергии соседних кристаллитов в текущиИ момент деформирования [2]. Тогда скорость добавочного критического напряжения сдвига т (/т),
обусловленная ДОН, для данноИ /-И СС рассматриваемого г-го кристаллита, взаимодеИствующеИ с т-м кристаллитом через к-ю фасетку границы, запишется в виде
у(/к) = л £(/к) у(/) т (/,/) (17)
(г,т) 'I £ £ (1,т)\ Т Ъэ , (17)
где т (Ъ1 ) - положительная компонента касательных барьерных напряжениИ, деИствующих на РД /-И СС со стороны ДОН, образованных в результате скольжения дислокациИ по /-И СС (определяется соотношением (16)); у(/) - скорость сдвига по /-И СС; | - безразмерныИ пара-
метр, определяемыИ в ходе процедуры идентификации модели.
Напряжения, препятствующие движению решеточных краевых дислокаций, вызваны касательными напряжениями от ДОН. Отметим, что напряжения ДОН, образовавшейся в результате скольжения по текущей CC, могут оказывать достаточно сильное сопротивление сдвигу по другим CC (см. таблицу). В связи с этим будем учитывать касательные барьерные напряжения от всех ДОН, образовавшихся к данному моменту и препятствующих сдвигу по рассматриваемой CC. C учетом последнего замечания скорость барьерных напряжений ДОН т (jm) для
данной j-й CC рассматриваемого i-го кристаллита, взаимодействующей с m-м кристаллитом через k-ю фасетку границы, запишется в виде
где т (Ъ1) - положительная компонента касательных барьерных напряжениИ, деИствующих на РД /-И СС со стороны ДОН, образованных в результате скольжения дислокациИ по э-И СС.
Соотношение (18) описывает скорость изменения критического напряжения за счет взаимодеИствия решёточных дислокациИ с к-И фа-сеткоИ границы. Суммируя скорость барьерных напряжениИ ДОН по всем фасеткам границы к = 1, К1 (одновременно по соседним кристаллитам т) и опуская в левоИ части индекс текущего кристаллита г, из (18) получим
Размер кристаллитов (зерен) оказывает заметное влияние на неупругое поведение поликристаллических материалов. Количество дислокациИ в скоплении у границ кристаллитов непосредственно зависит от длины свободного пробега дислокации, которая определяется размером зерна. В связи с этим при уменьшении зерна кривая диаграммы нагружения заметно смещается в область более высоких напряжениИ [16]. Из экспериментальных результатов известно, что плотность дислокациИ растет с ростом деформации; тогда, если предположить, что для обычных поликристаллов (с размером зерна от 10 до сотен мкм) плотность дислокациИ растет примерно одинаково в процессе деформирования, ясно, что образование зернограничных барьеров будет ид-
(18)
(19)
ти быстрее в материалах с меньшим размером зерна. Проанализировав получившуюся формулу (19), увидим, что скорость напряжений т зру обратно пропорциональна характерному размеру кристаллита, поскольку такую зависимость имеет множитель т hi ,s). Аналитическая зависимость барьерных напряжений т bs ,s), получаемая при рассмотрении СДОН и РСД, имеет вид
h(s G
т (j S) = __________________________hed G________________________________x
bs (лЯ(-1 + v)((cos a(j,s) + cos y(j,s))2 + (cos a (2j,s) + cos у (2j,s))2)2
x{- cos a(j )4cosp 2js) + cos a(j ,s)4cosp 2js) + cos a 2j,s)3(2v cos a 3j’s) x xcosp 3j ) + cosp(j ) cos у(j,s) + 3cosp 2j,s) cos у 2j,s)) + 2v cos a 3j ) x xcosp 3j,s) cos у 2j,s) (cos у(j,s) 2 + cos у 2j,s) 2) + cos a(j,s) 3 (-3cosp (2J>s) x xcos у( j,s) + cosp|j,s)(2cos a 2js) + 3cos у 2js))) + cos a 2js )2(2(3v cos a (3J’s) x xcosp3js + cosp(jscosУ((j’s))cosу2j,s) -cosp2j,s)(cosу^2 -3cosу2j,s)2)) + +cos a|j,s) 2 (2(v cos a (3J’s) cosp 3j ) + 3cosp (j ) cos у |j,s))cos у 2js) +
+cos a 2j,s) (2 v cos a 3j,s) cosp 3j ) + 3cosp (j,s) cos у(j ) + cosp 2js) cos у 2j,s)) +
+cosp 2j ) (-3 cos у(j,s) 2 + cos у 2j,s) 2)) + cos a (2J’s) (-(cos p(j ) cos у(j,s) +
+cosp 2j,s) cos у 2j,s) )(cos у(j ) 2 - cos у 2j,s) 2) + 2 v cos a 3j,s) cosp 3j ) x x(cos у(j,s) 2 + 3cos у 2j,s) 2)) + cos a|j,s) (2cos a 2js) 3 cosp(j,s) + cos у |j,s) x x(4v cos a 3j ,s) cosp 3j,s) + 3cosp(j,s) x cos у((j ,s))cos у 2j,s) + cosp(j,s) x xcos у 2j,s) 3 + cos a 2j,s) 2 (- cosp 2j,s) cos у(j ) + 5cosp(j,s) cos у 2js)) +
+cosp 2j,s) cos у(С/Л)(-cos у(С/ ,s)2 + cos у 2j,s)2) + 4cos a 2j,s) x x(v cos a 3j ) cosp 3j,s) cos у(j ) + cosp(j,s) cos у 2js) 2))))}.
Заключение
Рассмотрена задача описания упрочнения систем скольжения дислокаций за счет границ кристаллитов, определена составляющая скорости критических напряжений, обусловленных влиянием границ соседних кристаллитов. В результате несовместности СС соседних кристаллитов на границе появляются ДОН, которые своими упругими полями напряжений препятствуют движению решеточных дислокаций в зерне. Путем отнесения ДОН к рассматриваемому кристаллиту были
получены качественные оценки этих напряжениИ, деИствующих на РД в упругоИ изотропноИ среде, основываясь на котороИ, были записаны соотношения для определения указанноИ составляющеИ скорости изменения критических напряжениИ с использованием внутренних переменных модели.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 10-08-00156-а, №10-08-96010-р_урал_а, №12-08-01052-а, 12-01-31094 мол_а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационноИ России на 2009-2013 годы» (мероприятие 1.2.2, Соглашение 14.B37.21.0382).
Библиографический список
1. Волегов П.С., Никитюк А.С., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // Вестник ПГТУ. Математическое моделирование систем и процессов. -Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. - Т. 17. - С. 25-33.
2. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. О мере разориентации систем скольжения соседних кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. поли-техн. ун-та, 2012. - № 2. - С. 112-127.
3. Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов. -М.: Металлургия, 1975. - 208 с.
4. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры / П.В. Трусов, В.Н. Ашихмин, П.С. Волегов, А.И. ШвеИкин // Физическая мезомеханика. - 2009. - Т. 12, № 3. -С. 61-71.
5. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., ШвеИкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкциИ. -
2009. -Т. 15, № 3. - С. 327-344.
6. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физическая мезомеханика. - 2009. - Т. 12, № 5. -С. 65-72.
7. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели //
Вестник ПНИПУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. поли-техн. ун-та, 2011. - № 1. - С. 5-45.
8. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник ПНИПУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. поли-техн. ун-та, 2011. - № 2. - С. 101-131.
9. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПНИПУ. Механика. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. унта, 2011. - №3. - С. 146-197.
10. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризерен-ного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научнотехнические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2010. -№ 98. - С. 110-119.
11. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезоме-ханика / Ин-т физики прочности и материаловедения СО РАН. -Томск, 2011. - Т. 14, №5. - С. 5-30.
12. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика / Ин-т физики прочности и материаловедения СО РАН. -Томск, 2011. - Т. 14, № 4. - С. 17-28.
13. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2011. - 419 с.
14. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. - 2012. - Т. 15, № 1. - С. 33-56.
15. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.
16. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. - М.: Мир, 1972. - 408 с.
17. Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution / P.V. Trusov, V.N. Ashikhmin, P.S. Volegov,
A.I. Shveykin // Physical Mesomechanics. - January-April 2010. - Vol. 13, Iss. 1-2. - P. 38-46.
18. Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. - May-August 2010. - Vol. 13, Iss. 3-4. - P. 152-158.
References
1. Volegov P.S., Nikitjuk A.S., Janc A.Ju. Geometrija poverhnosti te-kuchesti i zakony uprochnenija v fizicheskih teorijah plastichnosti [Geometry of the surface of yield and laws hardening in crystal plasticity]. Vestnik Permskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Matematicheskoe modelirovanie sistem iprocessov, 2009, vol. 17, pp. 25-33.
2. Kondratev N.S., Trusov P.V. O mere razorientacii sistem skol’z-henija sosednih kristallitov v polikristallicheskom aggregate [Measure of orientation slip systems of neighboring crystallines in a polycrystalline aggregate]. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politehni-cheskogo universiteta. Mehanika, 2012, vol. 2, pp.112-127.
3. Novikov I.I. Defekty kristallicheskogo stroenija metallov [Defects of the crystalline metal structure]. Moscow: Metallurgija, 1975, 208 p.
4. Trusov P.V., Ashihmin V.N., Volegov P.S., Shvejkin A.I. Oprede-ljajuwie sootnoshenija i ih primenenie dlja opisanija jevoljucii mikrostruktury [Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution]. Physical Mesomechanics, 2009, vol.12, no 3, pp. 61-71.
5. Trusov P.V., Ashihmin V.N., Shvejkin A.I. Dvuhurovnevaja model’ uprugoplasticheskogo deformirovanija polikristallicheskih materialov [Two-level model of elastic-plastic deformation of polycrystalline materials]. Mehanika kompozicionnyh materialov i konstrukcij, 2009, vol. 15, no. 3, pp. 327-344.
6. Trusov P.V., Volegov P.S. Opredeljajuwie sootnoshenija s vnutren-nimi peremennymi i ih primenenie dlja opisanija uprochnenija v monok-ristallah [Internal variable constitutive models and their application to description of hardening in single crystals]. Physical Mesomechanics, 2009, vol.12, no. 5, pp. 65-72.
7. Trusov P.V., Volegov P.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: teorija i prilozhenija k opisaniju neuprugogo deformirovanija materialov [Crystal plasticity: theory and applications to the description of inelastic deformation of materials. Part 1: Rigid and elastic models]. Vestnik Permskogo nacion-
al'nogo issledovatel'skogo politehnicheskogo universiteta. Mehanika, 2011, vol. 1, pp. 5-45.
8. Trusov P.V., Volegov P.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: teorija i prilozhenija k opisaniju neuprugogo deformirovanija materialov [Crystal plasticity: theory and applications to the description of inelastic deformation of materials. Part 2: Viscoplastic model and elastoviscoplastic]. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politehnicheskogo universiteta. Mehanika, 2011, vol. 2, pp. 101-131.
9. Trusov P.V., Volegov P.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: teorija i prilozhenija k opisaniju neuprugogo deformirovanija materialov. Ch. 3: Te-orii uprochnenija, gradientnye teorii [Crystal plasticity: theory and applications to the description of inelastic deformation of materials. Part 3: Hardening theories, gradient theories]. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politehnicheskogo universiteta. Mehanika, 2011, vol. 3, pp. 146-197.
10. Trusov P.V., Volegov P.S., Janc A.Ju. Opisanie vnutrizeren-nogo i zernogranichnogo uprochnenija mono- i polikristallov [Description of intragrain and grain boundary hardening of mono-and polycrystals]. Nauchno-tehnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarst-vennogo politehnicheskogo universiteta. Fiziko-matematicheskie nauki,
2010, no. 98, pp. 110-119.
11. Trusov P.V., Shvejkin A.I. Mnogourovnevye fizicheskie modeli mono- i polikristallov. Prjamye modeli [Multilevel physical models of single- and polycrystals. Direct models]. Physical Mesomechanics, 2011, vol.14, no. 5, pp. 5-30.
12. Trusov P.V., Shvejkin A.I. Mnogourovnevye fizicheskie modeli mono- i polikristallov. Statisticheskie modeli [Multilevel physical models of single- and polycrystals. Statistical models]. Physical Mesomechanics,
2011, vol.14, no. 4, pp. 17-28.
13. Trusov P.V., Shvejkin A.I. Teoria plastichnosti [Theory of plasticity]. Perm: Permskij nacional’nyi issledovatel’skij politehnicheskij univer-sitet, 2011, 419 p.
14. Trusov P.V., Shvejkin A.I., Nechaeva E.S., Volegov P.S. Mnogourovnevye modeli neuprugogo deformirovanija materialov i ih pri-menenie dlja opisanija jevoljucii vnutrennej struktury [Multilevel model of inelastic deformation of materials and their application for description of internal structure evolution]. Physical Mesomechanics, 2012, vol. 15, no. 1, pp. 33-56.
15. Hirt D., Lote I. Teorija dislokacij [Theory of Dislocations]. Moscow: Atomizdat, 1972, 600 p.
16. Honikomb R. Plasticheskaja deformacija metallov [Plastic deformation of metals]. Moscow: Mir, 1972, 408 p.
17. Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Volegov P.S., Shveykin A.I. Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution. Physical Mesomechanics, 2010, vol. 13, Issues 1-2, January-April, pp. 38-46.
18. Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals. Physical Mesomechanics, 2010, vol. 13, Issues 3-4, May-August, pp. 152-158.
Об авторах
Кондратьев Никита Сергеевич (Пермь, Россия) - аспирант кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: KondratevN S @ gmail. com).
Трусов Петр Валентинович (Пермь, Россия) - доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).
About the authors
Kondratev Nikita Sergeevich (Perm, Russian Federation) - postgraduate student, Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, Perm, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: Kondrat-evNS@gmail.com).
Trusov Peter Valentinovich (Perm, Russian Federation) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, Perm, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., Perm, 614990, Russian Federation, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).
Получено 7.08.2012
