CC BY
52
УДК 539.3
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1305-1307
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗМЕРА ЗЕРНА НА ПРЕДЕЛ ТЕКУЧЕСТИ В ДВУХУРОВНЕВОЙ МОДЕЛИ НА БАЗЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
© Д.Г. Селуков, П.С. Волегов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, e-mail: [email protected]
Рассмотрена и реализована двухуровневая математическая модель неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов с учетом взаимодействия дислокаций с границами зерен. Это взаимодействие с дефектами кристаллической решетки приводит к упрочнению, что в рамках используемой модели описывается эволюцией критических напряжений (законом упрочнения). Предполагается, что механизм зернограничного упрочнения отвечает за влияние размера зерна на предел текучести поликристалла. Используемый в работе закон упрочнения, явным образом учитывающий физические особенности взаимодействия решеточных дислокаций с границами з е-рен, а также кинетику накопления в них дислокаций ориентационного несоответствия, позволяет описывать известное соотношение Холла-Петча, что подтверждается проведенными в работе численными экспериментами по деформированию представительного объема поликристалла.
Ключевые слова: физические теории пластичности; двухуровневая модель; закон Холла-Петча; неупругое деформирование; зернограничное упрочнение; поликристалл.
Предел текучести является весьма важной характеристикой материала при проектировании конструкций. Расчет предельно допустимых силовых нагружений накладывает на применяемые материалы ограничения, учет которых обеспечивает работу конструкции в необходимом эксплуатационном режиме. Повсеместное использование в конструкциях металлов, представляющих собой поликристаллы с некоторым средним размером зерна, требует изучения характеристик этих материалов, в частности, актуальной задачей остается прогнозирование величины предела текучести. Для большинства металлов влияние размера зерна на предел текучести металлов описывается известным соотношением Холла-Петча [1]:
деформирования на макроуровне (т. е. на масштабах представительного объема поликристалла) является совокупностью мезодеформаций. Таким образом, в деформируемом поликристалле можно выделить два масштабных уровня: уровень отдельного кристаллита и уровень представительного объема поликристалла. На мезоуровне активация движения дислокаций происходит при достижении касательными напряжениями на кристаллографических системах скольжения некоторых критических значений.
Таким образом, можно записать математическую постановку задачи определения напряженно-деформированного состояния для элемента мезоуровня (отдельного монокристалла):
ог = о0 + kd
(1)
где от - предел текучести; d - средний размер зерна; о0, k - параметры материала.
Соотношение (1) подтверждено экспериментально в широком диапазоне материалов и размеров зерна, но конкретные физические механизмы, приводящие к такой зависимости, не вполне ясны. Для введения в математическое описание явной физики происходящих процессов в работе предлагается использовать математические модели, основанные на физических теориях пластичности [2-3], в силу явного учета в последних физических механизмов неупругой деформации.
Основным носителем процесса пластического деформирования в поликристаллах (в широком диапазоне материалов и воздействий) является движение дислокаций по кристаллографическим системам скольжения (СС) кристаллитов. Этот процесс протекает на масштабном уровне кристаллита (мезомасштабе). Процесс
ar = п: d" = п: (d - d'" ),
K
d" = J Y(k Vk), .(*) ~
Y(k) = Y„I ^ | H (T(k) - Tk))
(2)
т(к > = «:Ь(к }п(к >, Т ?> = / ( У('> ,У(л,...), о • от = ю,
а=б,
к = 1,..., К,
где Ь(к), п(к) - вектор Бюргерса к-й системы скольжения данного монокристалла и нормаль к плоскости залегания дислокации; у(к) - скорость сдвига дислокаций к-й системы скольжения; т - скоростная чувстви-
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки
тельность; т'4' - касательное напряжение для к-й системы скольжения; Н - функция Хевисайда; т'4' - критическое напряжение (при котором активируется система скольжения).
На макроуровне поведение представительного объема поликристалла описывается системой уравнений (3):
ской модели обусловлено тем, что модель движения дислокации как скольжения в определенной плоскости в определенном направлении представляет собой достаточно хорошо изученный физический процесс, определяющий неупругое деформирование поликристалла в целом. В данной работе принимается мера разориента-ции в виде (5) [3-4]:
i = 1,
, N,
(3)
EÄ = П : (D - Din), П = П(Ю(0),
П = П К, 0(i)), '
Din = Din (d™, п(0,«,))
где £ - коротационная производная тензора напряжений Коши; П - тензор упругих свойств материала на макроуровне (т. е. для поликристалла); Б, и'" - тензор деформации скорости и его неупругая часть; й - спин, описывающий поворот материальных волокон; о(;) -
тензор поворота, связывающий лабораторную систему координат (ЛСК) с кристаллографической системой координат (КСК) г'-го монокристалла; N - количество монокристаллов в представительном объеме.
Эволюционное уравнение для критических напряжений (уравнение (2)5) носит название закона упрочнения и учитывает предысторию деформирования: накопленные сдвиги по различным системам скольжения, историю и характер их взаимодействия. Например, отдельно можно выделить взаимодействие дислокаций с границами зерен: оно тем больше, чем больше объемная плотность границ в поликристалле. Уменьшение размера зерна, помимо увеличения объемной плотности границ, также ограничивает средний пробег дислокации своей величиной, что приводит в случае движения дислокации к ее встрече с границей и последующим взаимодействием. Таким образом, момент начала пластической деформации зависит от размера зерна. В используемом в работе законе упрочнения (4) учтена зависимость от взаимного расположения соседних взаимодействующих кристаллов, их границы, ориента-ций системы скольжения переходящей дислокации и системы скольжения того зерна, в которое при скольжении переходит дислокация [4-5]:
1
№ = п1 /) y (k Mk) |, d 1=1 S
к = 1,...,K
(4)
где п - параметр зернограничного упрочнения; d -средний размер зерна; у'4', у- сдвиги по системам скольжения и их скорости соответственно; Ь - количество соседних зерен для данного; М-4' - мера взаимной разориентации данного зерна, соседнего (/-го) зерна (к-й системы скольжения с системами скольжения соседнего зерна) и границы; - площадь соприкосновения /-го зерна с данным; Б - общая площадь зерна; К - количество систем скольжения. Чем больше площадь поверхности, тем больше дислокаций может переходить в данное зерно, тем большее упрочнение оно вызовет.
Соотношение (4) является феноменологическим, но оно относится к нижнему из рассматриваемых структурных уровней материала, и его принятие в физиче-
|~Al(i)( >)_
L ^ ЗЩ
M(i0= min| Al(i)U > |, (5)
где - разность тензоров деформации скорости,
соответствующих пластическим сдвигам по '-й СС рассматриваемого зерна и /-й СС соседнего /-го зерна. Индекс ЗГБг означает, что рассматриваются компоненты тензора в строго определенном базисе, связанном с границей зерна и г-й СС. Стоит отметить, что дислокация, встречая на своем пути границу зерна, может перейти в систему скольжения соседнего зерна, вообще говоря, произвольно ориентированную. Физическим
смыслом меры М-4' является выбор системы скольжения соседнего зерна, при переходе в которую дислокация доставит соседнему зерну минимальное приращение внутренней энергии, а также учитывает, насколько близки в ориентационном пространстве системы скольжения и граница.
В результате проведенного в работе ряда численных экспериментов на представительном объеме поликристалла технически чистой меди получена зависимость условного предела текучести от размера зерна (рис. 1).
Данная зависимость, полученная в численном эксперименте, хорошо согласуется с законом Холла-Петча, при котором зависимость должна быть линейной (при этом коэффициент Холла-Петча близок к наблюдаемому экспериментально для меди - порядка 0,1 МПа • м"2).
Таким образом, в работе реализована двухуровневая модель неупругого деформирования представительного объема металлического поликристалла, основанная на физической теории пластичности, описывающей упругопластическое деформирование. Получено эволюционное уравнение, описывающее изменение критических напряжений на системах скольжения кристаллитов в связи с взаимодействием дислокаций с границами зерен, проведена частичная идентификация внутренних параметров модели, проведены численные эксперименты для выявления предела текучести при различных размерах зерна в диапазоне 10-6-10-3 м,
Рис. 1. Зависимость условного предела текучести от размера зерна. Диапазон размера зерна 10-6-10-4м
построены графики полученных зависимостей. Поставленные эксперименты качественно и количественно удовлетворяют закону Холла-Петча.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hall E.O. The deformation and ageing of mild steel: III Discussion of results // Proc. Phys. Soc. B. 1951. V. 64. P. 747-753.
2. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехи. ун-та, 2013. 244 с.
3. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник
Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 3. С. 983-984.
4. Trusov P.V., Volegov P. S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. 2010. Т. 13. № 3-4. С. 152-158.
5. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПНИПУ. Механика. 2011. № 3. С. 146-197.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1, РФФИ (грант № 14-01-96008 р_урал_а).
Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.
UDC 539.3
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1305-1307
INVESTIGATION OF GRAIN SIZE EFFECT ON YIELD STRESS IN TWO-LEVEL MODEL BASED ON CRYSTAL PLASTICITY
© D.G. Selukov, P.S. Volegov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, e-mail: [email protected]
The two-level mathematical model of inelastic deformation of FCC polycrystals based on the interaction of dislocations and grain boundaries is considered and realized. The interaction of dislocation with the crystal lattice defects leads to a hardening, described in the model by the evolution of the critical stress (by hardening law). It is assumed that the mechanism of grain-boundary hardening is responsible for the effect of grain size on the yield stress of a polycrystalline. Hardening law based on physical mechanisms of dislocation interactions with grains boundaries and on accumulation orientation discrepancy dislocations was used. This law allows to describe the Hall-Petch law, as evidenced by the carried out numerical experiments on the deformation of a representative volume of the polycrystal.
Key words: crystal plasticity; two-level model; Hall-Petch law; inelastic deformation; grain boundary hardening; polycrystalline.
REFERENCES
1. Hall E.O. The deformation and ageing of mild steel: III Discussion of results. Proc. Phys. Soc. B., 1951, vol. 64, pp. 747-753.
2. Trusov P.V., Volegov P.S., Kondrat'ev N.S. Fizicheskie teorii plastichnosti. Perm, State National Research Polytechnical University of Perm Publ., 2013. 244 p.
3. Trusov P.V., Volegov P.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: prilozhenie k opisaniyu uprochneniya v polikristallakh. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, Tambov, 2010, vol. 15, no. 3, pp. 983-984.
4. Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals. Physical Mesomechanics, 2010, vol. 13, no. 3-4, pp. 152-158.
5. Trusov P.V., Volegov P.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: teoriya i prilozheniya k opisaniyu neuprugogo deformirovaniya materialov. Ch. 3: teorii uprochneniya, gradientnye teorii. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika - PNRPU Mechanics Bulletin, 2011, no. 3, pp. 146-197.
GRATITUDE: The work is fulfilled under financial support of grant of President of Russian Federation no. МК-4917.2015.1, Russian Fund of Fundamental Research (grant no. 14-01-96008 р_урал_а).
Received 10 April 2016
Селуков Дмитрий Григорьевич, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, студент, e-mail: [email protected]
Selukov Dmitriy Grigorevich, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, Student, e-mail: [email protected]
Волегов Павел Сергеевич, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования систем и процессов, e-mail: [email protected]
Volegov Pavel Sergeevich, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Mathematical Modeling of Systems and Processes Department, e-mail: [email protected]
