Упругая устойчивость. Критерии устойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование Г 2012

УДК 539.3:624.073

УПРУГАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ.

Теория упругой устойчивости, начало которой было положено еще в работах JI. Эйлера, — весьма широко разработанный раздел механики, располагающий рядом эффективных методов, большим количеством решенных задач и обширной литературой.

Устойчивость в широком смысле определяется как свойство системы мало отклоняться от невозмущенного движения (равновесия) при действии малых возмущений. Когда говорят об устойчивости, то имеют ввиду: вид движения (равновесия), устойчивость которого рассматривается; параметры, определяющие состояние системы; виды возмущений; интервал времени, на котором система должна быть устойчивой. На практике термин устойчивость обычно трактуют как свойство системы сохранять заданную форму равновесия при заданных условиях нагружения.

Разработкой критериев устойчивости занимались JI. Эйлер, Ж.Л. Лагранж, Ж.А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов и другие выдающиеся ученые. В строительной механике в основном используются три критерия устойчивости: динамический, статический и энергетический.

Статический критерий устойчивости — исторически первый. В теории упругой устойчивости предполагается, что при достаточно малых нагрузках равновесие упругой системы устойчиво и остается таковым вплоть до первой точки разветвления форм равновесия, за которой исходная форма становится неустойчивой. Критическая сила (или в общем случае параметр группы сил) определяется при этом как наименьшее значение силы, при котором наряду с исходной формой равновесия имеют место смежные, весьма близкие к ней другие формы равновесия. Такой подход (его часто называют методом Эйлера, или методом нейтрального равновесия) позволил свести вопрос об устойчивости формы равновесия к более простому — об отыскании минимальных собственных значений некоторых краевых задач.

Плодотворность метода Эйлера в теории упругой устойчивости бесспорна, и в настоящее

С.О. Барышников КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

время этот метод признан классическим. Вместе с тем метод Эйлера не универсален: он имеет вполне определенную область применения, выход за рамки которой неоднократно служил источником ошибок и недоразумений. Метод Эйлера применим, если внешние силы обладают потенциалом (то есть являются консервативными силами), но становится непригодным, если потенциал у внешних сил отсутствует.

Более общим и строгим является динамический критерий устойчивости. Согласно этому критерию критические нагрузки определяются с позиций устойчивости движения. Впервые , по-видимому, этот критерий для консервативных систем с конечным числом степеней свободы использовался Ж.Л. Лагранжем. Строгое математическое определение его для частного класса систем было дано А.М. Ляпуновым. Впоследствии динамический критерий был обобщен и расширен.

Использование динамического критерия сводится к интегрированию уравнений движения системы и исследованию поведения их решения во времени или же к исследованию характера возмущенного движения исходя из структуры самих дифференциальных уравнений. В случае нелинейных задач исследуются нелинейные колебания системы около ее равновесного положения. Динамический критерий применим к консервативным и к не консервативным системам.

Несмотря на свою общность и строгость, динамический критерий не нашел широкого применения в строительной механике. Большинство задач устойчивости было решено в рамках более простых критериев — статического и энергетического.

В основе энергетического критерия лежат два фундаментальных положения механики сплошных сред: принцип возможных перемещений и принцип возможных изменений напряженного состояния. Из принципа возможных перемещений непосредственно следует принцип стационарности полной потенциальной энергии 5П = 0, который утверждает, что из всех переме-

щений, отвечающих граничным условиям, те, которые удовлетворяют уравнениям равновесия, придают полной потенциальной энергии системы П стационарное значение. Из принципа возможных изменений напряженного состояния следует принцип стационарности дополнительной энергии, согласно которому из всех удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям напряжений те, что соответствуют условиям совместности деформаций, придают дополнительной энергии стационарное значение.

Уравнение 8П = 0 выделяет равновесные состояния. Об устойчивости этих состояний в случае линейных задач можно судить с помощью теоремы Дирихле: если равновесное состояние устойчиво, то полная потенциальная энергия имеет минимум (5П = 0,52П < 0, где 82 — символ второй вариации), если неустойчиво — максимум (5П = 0, б2П > 0), безразличному равновесию соответствует постоянная величина энергии (5П = 0,

л

8 П = 0). Исследование знака второй вариации на всевозможных перемещениях представляет собой трудную задачу. В линейных задачах устойчиво-

л

сти обычно используют условия 8П = 0,8 П = 0.

Если в безразличном равновесии энергию П представить в виде

П = П0 + 8П + 82П +...

(где Пг, — энергия исходного состояния; 8П, 8 П — части энергии, содержащие соответственно первые и вторые степени дополнительных смещений), то в силу того, что исходное состояние — равновесное и не варьируется, из

условия 8П = 0 получим 8^82П^ = 0. Последнее

равенство является вариационной формулировкой статического критерия, так как из него непосредственно следуют уравнения Эйлера. В консервативных задачах условия 82П = 0 и 8^82П^ = 0

эквивалентны, применение их обусловлено простотой получения конечного результата. В большинстве случаев более простым можно считать

условие 8^82п| = 0.

Энергетический критерий является видоизменением статического, так как все его уравнения — это те же уравнения статического критерия, записанные в вариационной форме. В линейных

Моделирование. Математические методы

задачах устойчивости консервативных систем оба критерия приводят к одинаковым результатам.

Под линейной теорией здесь понимается исследование устойчивости равновесия упругого тела по отношению к малым возмущениям (то есть устойчивость «в малом»). Такое исследование, как известно, приводит к линейным дифференциальным уравнениям. Эти уравнения отличаются, однако, от уравнений классической линейной теории упругости наличием дополнительных членов, содержащих параметры, с точностью до которых задана внешняя нагрузка. Чтобы получить эти члены, приходится делать различие между геометрией начального (невозмущенного) состояния, устойчивость которого исследуется, и геометрией других, близких к нему состояний. В линейной теории упругости это различие, как известно, игнорируется. Чтобы получить уравнения, описывающие поведение малых возмущений для заданной формы равновесия, приходится исходить из уравнений нелинейной теории упругости.

К сказанному необходимо добавить следующее. Если в основу положить уравнения линейной теории, то в силу теоремы единственности Кирхгофа придем к выводу, что при заданных нагрузках и граничных условиях возможна лишь единственная форма равновесия. Между тем сама постановка задачи упругой устойчивости предполагает возможность существования форм равновесия (или движения) отличных от невозмущенной.

Нелинейность уравнений теории упругости может быть как геометрического, так и физического происхождения. Геометрическая нелинейность связана с необходимостью различать координаты начального и конечного состояний, а также с необходимостью пользоваться полными выражениями для компонентов тензора деформаций. Физическая нелинейность проистекает от нелинейной связи между компонентами напряженного и деформированного состояний, с которой в ряде случаев следует считаться.

Говоря об устойчивости некоторой формы равновесия, мы эту форму равновесия будем называть невозмущенной. Наряду с невозмущенной формой равновесия рассматривают некоторые достаточно близкие к ней возмущенные формы равновесия. Во многих случаях для суждения об устойчивости (неустойчивости) рав-

^Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование Г 2012

новесия можно предположить возмущения достаточно малыми и, исследуя характер этих возмущений, исходить из линеаризованных дифференциальных уравнений. Такие уравнения, следуя Ж.А. Пуанкаре, называют уравнениями в вариациях.

Таким образом, с математической точки зрения задача об устойчивости форм равновесия сводится к определению собственных чисел и собственных векторов линейной краевой задачи, описываемой дифференциальными уравнениями в вариациях с соответствующими краевыми условиями. Собственные числа определяют критические нагрузки, а собственные векторы, им соответствующие , — формы потери устойчивости. Физический интерес представляет только первое (наименьшее) собственное значение, так как высшие формы потери устойчивости могут быть вызваны только специальным возбуждением (типа ударных нагрузок).

Следует отметить, что проблема отыскания собственных чисел и определения критических нагрузок во многих случаях представляет собой весьма сложную математическую проблему, которая точно решена лишь для простейших случаев линейной задачи. Это связано с тем, что искомая функция должна удовлетворять не только основному дифференциальному уравнению (или уравнениям), но и граничным условиям. Например, задача устойчивости прямоугольной пластины решена для случаев свободно опертой пластины или пластины, две противоположные грани которой — свободно опертые , а две другие имеют произвольное закрепление [2,3]. Но если речь идет о пластине, защемленной по всему контуру, или консольной пластине, то точного решения такие задачи не имеют. Использование тех или иных приближенных методов оставляет открытым вопрос о точности вычислений, о близости полученного решения к точному решению задачи.

Для сжатых стержней формула Эйлера получена в случае шарнирного опирания его концов. В работе [4] отмечается, что для других способов закрепления концов стержня можно использовать идею приведения к шарнирно-опертому стержню, но другой длины. В частности, для стержня, защемленного двумя концами, предлагается в формуле Эйлера вместо длины / стержня подставить величину вдвое меньшую. Эта идея основана на том, что изогнутая линия защемлен-

ного стержня имеет точки перегиба на расстоянии //4 от его концов, и фактически точки перегиба можно считать шарнирами. Поэтому критическая сила для такого стержня будет в четыре раза больше, чем для шарнирно-опертого.

Эту идею можно использовать и для прямоугольной пластины, защемленной по контуру и нагруженной, помимо поперечной нагрузки, постоянными сжимающими усилиями, приложенными ко всем граням. Здесь также за основу можно принять решение для свободно опертой пластины в виде двойного тригонометрического ряда [2]. Это решение дает соотношение для определения критических сжимающих усилий в двух направлениях (решение Брайена). В случае защемленной пластины критические усилия должны быть большими, как и для стержня. Чтобы их найти, можно поступить следующим образом. Решение для свободно опертой пластины считается начальным приближением. Оно удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба и условиям отсутствия прогибов защемленных граней, но не удовлетворяет граничным условиям по угловым деформациям, т. е. порождает невязки. Для их устранения предлагается использовать два вида корректирующих (исправляющих) функций в виде гиперболо-тригонометрических рядов по двум координатам. Каждая из этих функций должна быть подчинена соответствующему однородному дифференциальному уравнению задачи. Она «автоматически» удовлетворяет условиям отсутствия прогибов на двух параллельных гранях (ряд по синусам). Граничные условия на двух смежных гранях будут удовлетворяться за счет неопределенных коэффициентов ряда. Первая исправляющая функция в свою очередь даст невязки по углам поворота двух других граней. Эти невязки призвана компенсировать вторая исправляющая функция подобного вида (с переменой координат). Она также порождает угловые невязки на двух других смежных гранях. И далее все повторяется, т. е. организуется бесконечный итерационный процесс наложения указанных функций, взаимно компенсирующих порождаемые ими невязки в граничных условиях. При достижении заданной точности процесс прекращается. В задачах механики, как правило, подобные процессы будут сходящимися, во всяком случае, помимо аналитического доказательства сходимости (что бывает весьма сложно), при компьютерной

4

Моделирование. Математические методы^

реализации можно показать это численно, анализируя каждую итерацию и конечный результат.

Таким образом, решение задачи будет складываться из начального решения и п пар исправляющих функций. Эти функции и сделают повороты защемленных граней нулевыми. Однако начальное решение будет давать критическую нагрузку, соответствующую свободно опертой пластине. При этих значениях прогибы будут бесконечны, но это решение можно считать особым решением. Следует ожидать, что дальнейшее увеличение нагрузки даст конечные прогибы и критическая нагрузка будет достигнута при более высоких значениях, которые можно получить с помощью компьютерных вычислений. Кроме того, анализ формы изогнутой поверхности защемленной пластины, нагружен-

ной только поперечной нагрузкой, позволит приближенно найти линии перегибов и заменить (как и для стержня) данную пластину свободно опертой по этим линиям, которые приближенно будут давать прямоугольный контур меньших размеров. Критические усилия соответственно будут большими.

Подобный метод может быть использован и для решения других задач изгиба и устойчивости пластин и оболочек.

В заключение отметим, что во многих случаях получение точного решения задач о различных формах равновесия и устойчивости сопряжено с большими математическими трудностями, поэтому важное значение имеет разработка надежных приближенных методов, дающих решение, близкое к точному.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов, H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем [Текст] / H.A. Алфутов,— М.: Машиностроение, 1978,— 312 с.

2. Папкович, П.Ф. Строительная механика корабля. Ч. 2 [Текст] / П.Ф. Папкович,— J1.: Гос. союзное изд-во судостроит. промышленности, 1941.— 960 с.

3. Лехницкий, С.Г. Анизотропные пластинки |Текст| / С.Г. Лехницкий,- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.— 355 с.

4. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов [Текст| / Н.М. Беляев,- М.: ГИТТЛ, 1954,- 856 с.

УДК 517.929

И.Н. Зубов, С.В. Зубов, СЛ. Стрекопытов, М.В. Стрекопытова

УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

В приложениях наиболее важным видом инвариантных множеств являются стационарные инвариантные множества общих систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, которые определяют динамику функционирования системы управления и представляют собой множества в фазовом пространстве.

Постановка задачи

Рассмотрим систему

1 = 0(Х), (1)

где X = (х,,..., хп)' — вектор фазового состояния системы; &(Х) — непрерывно дифференцируе-

мая функция. Пусть для системы (1) множество Месть пересечение к поверхностей:

Ф|(*1.....*„) = 0,

......................... (2)

.....*„) = о

и является интегральным многообразием. Тогда из Х0еМ следует 1(/,10)еМ при />0, где X(/, Х0) — решение (1), удовлетворяющее условию X = Х() при / = 0. Будем называть множество (2) равновесным режимом системы (У) [1].

Пусть векторы Ь] = УФ у/1| УФу || (у = 1,..., к)