Двусторонние оценки в задачах устойчивости упругих стержней, выраженных через изгибающие моменты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.3

В.В. Купавцев

ФГБОУВПО «МГСУ»

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ, ВЫРАЖЕННЫХ ЧЕРЕЗ ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ

Рассмотрены задачи устойчивости упругих неоднородно сжатых однопролет-ных стержней, вариационные формулировки критического значения параметра на-гружения в которых выражены через возникающие при бифуркации изгибающие моменты без дополнительных условий. Вычисление оценок снизу и сверху для искомого параметра нагружения сведено к нахождению наибольшего собственного числа матриц, элементы которых выражены через известные изгибающие моменты, возникающие при бифуркации равновесия стержня постоянного поперечного сечения, сжатого продольными силами на концах.

Ключевые слова: устойчивость, двусторонние оценки, упругий стержень, неоднородно сжатый, вариационная формулировка, критическая нагрузка, изгибающий момент.

А.Р. Ржаницыным в [1] дифференциальное уравнение изогнутой оси продольно сжатого упругого стержня представлено через изгибающие момент и поперечную силу, возникающие в момент потери устойчивости стержня. В [2] были получены выраженные через изгибающий момент вариационные формулировки критического значения параметра нагружения в задачах устойчивости упругих неоднородно сжатых однопролетных стержней переменной изгибной жесткости. Предполагалось, что внешние нагрузки, пропорциональные безразмерному параметру нагружения р, при потере устойчивости стержня не изменяются ни по величине, ни по направлению, а концы стержня закреплены одним из шести классических способов, не допускающих перемещение стержня как жесткого целого в поперечном направлении. Если стержень сжимается продольными силами на его концах, то для всех шести случаев закрепления концов стержня уравнение Эйлера, соответствующее вариационным формулировкам, полученным в [2], совпадает с уравнением, представленным А.Р. Ржа-ницыным в [1].

В [3] получена вариационная формулировка критического значения параметра нагружения в задаче устойчивости стержня с упруго защемленными и опертыми концами. Она выражена через изгибающие момент и поперечную силу, которые возникают в момент потери устойчивости стержня.

Следует отметить, что полученные в [2, 3] вариационные формулировки задач устойчивости стержней не являются двойственными к вариационным формулировкам тех же задач устойчивости, выраженных через поперечные перемещения v(x) оси стержня в момент потери устойчивости. Применение метода Ритца к нахождению минимумов функционалов во всех вышеуказанных задачах устойчивости стержней позволяет находить только оценки сверху

ВЕСТНИК ~

2/2013

для критического значения параметра нагружения. Для нахождения оценок снизу можно воспользоваться методом двусторонних оценок [4], разработанным для вариационных формулировок задач устойчивости упругих стержней, выраженных через поперечные перемещения оси стержня.

Двусторонние оценки критических значений параметра нагружения в задаче устойчивости однородно сжатых нелинейно-упругих блокообразных тел с большими начальными деформациями получены в [5]. Используя статический энергетический критерий устойчивости в малом по отношению к состоянию с большими начальными деформациями, оценки сверху получены традиционным способом. Оценки снизу отыскивались методом Холдена на основе конкретных значений константы Корна.

В [6] получены двусторонние оценки внутренних усилий тонкостенного стержня открытого профиля при действии изгибно-крутящего момента. Построение оценок основано на введении и последовательной корректировке вспомогательной функции, которую можно рассматривать как аппроксимацию внутреннего усилия стержня с известной погрешностью.

Определению критической нагрузки в задаче устойчивости бесконечно длинной полосы при сжатии за пределом упругости посвящена работа [7]. На основе модели С.П. Тимошенко для плоских криволинейных стержней слоистой структуры в [8] построены одномерные уравнения геометрически нелинейного деформирования при произвольных перемещениях и малых деформаций. Составлены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия для решения задач устойчивости стержней при действии консервативных сил и стационарного температурного поля.

Действие неконсервативной силы в задаче устойчивости упругого стержня рассмотрено в [9], где вычислены двусторонние оценки критического значения параметра нагружения консольного стержня переменной изгибной жесткости, сжатого полуследящей силой на свободном конце. Методом двусторонних оценок решена в [10] задача устойчивости прямолинейного упругого консольного стержня, сжимающее усилие на незащемленный конец которого передается через шатун с шарнирами на концах.

В данной работе метод двусторонних оценок [4] распространяется на задачи устойчивости упругого неоднородно сжатого продольным усилием pN(х) однопролетного стержня переменной изгибной жесткости Е1 (х) (0 < х < £), вариационная формулировка которых представлена через внутренний изгибающий момент т(х) без дополнительных интегральных условий [2]. Концы стержня закреплены одним из следующих способов: 1) оба конца шарнирно оперты; 2) жестко заделан один конец и свободен второй; 3) шарнирно оперт один конец и заделан другой в опору, подвижную в поперечном направлении. Предполагается, что условиями закрепления концов стержня допускается продольное смещение одного из концов при нагружении стержня и N(х) > > 0, а переменная по длине стержня изгибная жесткость, так же как и продольное усилие, может быть кусочно-гладкой функцией на отрезке 0 < х < £ и Е1 (х) > Е1т^п > 0 .

Перейдем к безразмерным величинам: % = х£-1, w© = \Г-, и = т£(Е1 т)п) 1, I® =1 (7тт Г, N(4) = N(тах )-1, X = 12рИтах (ет^ ) и введем обозначения

1

[u, g], = Ju'g'N--d4; [u,g^ = Ju'g'd%; [u,g]B = Jug(EI )-1 d%; [u,g]^ = Jugd%, (1)

0 0 0 0 1 11/1

[u, g ]C = J u'g'N-ld %-J uÑ-ld %J g'Ñ-ld % J N-ld % (2)

0 0 0 1 0 для функций u(%) и g(%) из подпространства M соболевского пространства W2,1], удовлетворяющих на концах отрезка определения (0 < % < 1) следующим граничным условиям, соответствующим виду закрепления концов стержня в рассматриваемой задаче:

1) u (0) = 0, u (1) = 0; 2) u (1) = 0; 3) u (0) =0. (3)

Через штрих обозначено дифференцирование по безразмерному %. Выражения, определяемые по формулам (1) и (2), являются скалярными произведениями для функций u(%) из M, что позволяет рассматривать их как элементы гильбертовых пространств HA, H°A, HB,H°B и HC соответственно [2].

Согласно вариационным формулировкам, доказанным в [2], в первой из трех рассматриваемых задачах устойчивости стержней и соответственно в двух других задачах критическое значение X* безразмерного параметра нагру-жения X определяется как минимум функционала

Г= min [u,u]c {{u,u\B}1 Г= min [u,u]A {u,u]B} ', (4)

заданного в пространстве М безразмерных изгибающих моментов u(%), удовлетворяющих граничным условиям (3), соответствующим условиям закрепления концов стержня.

Для получения оценок снизу критической нагрузки в каждой из рассматриваемых задач устойчивости будем следовать методике, разработанной в [4]. Необходимо, исходя из вариационной формулировки (4) исходной задачи, построить последовательность функционалов Ф^), нижние грани Xn (n = 1,2,...) которых в M монотонно приближались бы снизу к X* и вычисление которых заключалось бы в нахождении собственных чисел матриц. Построение таких функционалов основано на том, что функционал (4) исходной формулировки задачи является отношением квадратов норм элементов гильбертовых пространств HC и HB в первой задаче и пространств H A и HB во второй и третьей задачах. Далее используются неравенства, вытекающие из задачи о наилучшем приближении элемента в этих пространствах. Кроме того, для сходимости Xn к X* используются неравенства, вытекающие из вариационной формулировки значения tn параметра нагружения в подходящей базовой задаче об устойчивости стержня постоянного поперечного сечения, сжатого продольными силами на концах. Вариационная формулировка базовой задачи для всех трех рассматриваемых задач устойчивости одна и та же: в пространстве М найти t1 = min{[u, u]a0 [u, u]~B} . Из уравнения Эйлера u'' + tu = 0 базовой задачи с граничными условиями (3) получим формы фп(£) внутреннего изгибающего момента и соответствующие им значения параметра нагружения tn при бифуркации равновесия стержня базовой задачи. В зависимости от вида закрепления концов стержня (3) имеем (tn = кП):

1) ф„ (4) = ^sin (4kn) kn = nn; 2) ф„ (4) = V2cos (kn ) kn =n(n - 0,5); (5)

ВЕСТНИК

МГСУ-

2/2013

3) Фи (4) = л/2>т (кп) кп = п(п - 0,5) (п = 1,2,...).

Все три последовательности функций фп(£) являются ортонормированными элементами пространства ИВд и ортогональными в На , так что [ф,- ,ф у ]д0 = 8 у и [фг- ,ф j ]а = к2Ьу, где — символы Кронекера. Они составляют базис в этих пространствах. Поскольку < N(5) < 1 и 1 < I (5) < 1тах , то две последовательности фп(£) (п = 1,2,...), задаваемые формулами (5), является базисом в пространствах Нв и Ил, так как для любой ф(£) пространства М справедливы неравенства:

[ф,ф]0 ^[ф,ф]0; [ф,ф] ^[ф,ф]а ^ [ф,ф]а0. (7)

Последовательность (6) является базисом в пространстве Нс , так как для любой ф(£) справедливы неравенства

Ко1 [ф'ф] - [ф'ф]с - ^п [ф,ф]

Ко =

} N^

(8)

Правое неравенство (8) очевидно, а для доказательства левого неравенства нужно воспользоваться тождеством (13) из [2].

Построим последовательность функционалов Фп(и) для первой задачи. Коэффициенты наилучшего приближения Су и Bj, (у = 1,2,...,п) первыми п элементами ф1(^),...,ф„ (£) базиса к любой функции и(£) из пространства М по нормам пространств Не и Ив удовлетворяют соответственно равенствам

«=1у=1

п п ф

/=1

]=1

/=1 7=1

(9)

(10)

* , * /— где Су и Ьу — элементы обратных матриц к положительно определенным матрицам Грама||су| и |Ы с элементами Су = [фг- ,фу ]с и Ъу = [фг- ,фу ]в , (1 </,у < п ).

Увеличивая последнее слагаемое правой части равенства (10), строим цепочку неравенств. Сначала поменяем В у на коэффициенты = [и>,ф 1 ] наилучшего приближения элемента и(£) системой ф1,...,фп по норме пространства Н°в и воспользуемся вторым неравенством (7). Из вариационной формулировки /п+1 следует, что [и,и]в0 <&-+1[и,иЦ при условии,что [и,фв0 = 0 (у = 1,2,...,п). Можно применить это неравенство далее, поскольку указанному условию

п

удовлетворяет элемент ш = и - ^ £г°Фг-. Если разложить и(£) изМв ряд по орто-

¿=1

нормированному базисуф1,ф2,..., легко убедиться, что В° = А° . ЗаменивА° на Ау, используем далее первое неравенство из (8) и равенство (9). В результате получим неравенство, в силу которого в пространстве М нижняя грань Хп функционала

Г п ( п Л!

Фп (и) = [и, и]с <! £ [и,ф 1 ]ВЬ*[ и,ф 7 ]в + К0к;2+1 [и, и ]с - £ [и,ф! ]с С*[м,ф}

^, 7=1

¿,7=1

(11)

является оценкой снизу для значения X*, т.е. = ттФ„(м)< Х(п = 1,2,...)

Пусть минимум функционала Ф„(и) в пространстве М достигается на функции . Если г|© — произвольная функция М, то производная по действительной переменной s функции Ф„ (ж + 5"п) в точке 5 = о равна нулю. Откуда следует, что справедливо равенство

Кп ^ [,Ф ]со1{ц,ф^ с =0 (12)

1 - K<Лn

с ^ n

]=1 кп+1 =1

для любой п© пространства М.

Рассматривая [ф},п]в (у = 1,2,...,«) при различных функциях п© из М как линейные функционалы в Ис , легко видеть, что они являются ограниченными линейными функционалами в М. Тогда по теореме Рисса найдутся такие qj (4) из М , что выполнены равенства

[П qj ]с = [гЪФу] в О' = 1,2,...>п) (13)

для любого п из М. Введем обозначение е(,ф7 ) = } (г)I _1(г)¿г, которое

о

является функцией по первому аргументу и функционалом по второму. Разбив, если нужно, отрезок 0 < § < 1 на участки, на которых I (§) непрерывна, а N(§) непрерывно дифференцируема, и проинтегрировав по частям (13), получим, что функция

1 1

qj © = § J N(z) e(z, ф j) dz + J e( z, ф j) dz 0 0

- J N(z)e(z, ф j)dz 0

(14)

| N (г) dz - ^ | N (г) dz _ о 0 _

принадлежит М и удовлетворяет равенству (13).

Положив в (12) п = Ф^ (5 = 1,...,«), а затем п = и учитывая, что согласно (13) [,Фj]с = [фх,Фj]в, получим систему 2« линейных однородных уравнений относительно [и>,ф 1 ] и [,ф^ ] (/ = 1,2,...,«). Используя первые « уравнений этой системы, можно свести ее к системе « однородных линейных уравнений относительно [фг-,м>]в (/ = 1, 2, ..., «), которые не все должны быть равны нулю, если Хп < К'01к2п+1. На функции из М, ортогональной к ф1,ф2,...,фп по нормам Ис и Ив, значение функционала (11) равно К0-1&«+1 . Учитывая, что кп ^да при « ^да, нижняя грань функционала (11) будет, начиная с некоторого «, меньше чем КО-1 к«+1 . В этом случае определитель системы уравнений должен быть равным нулю

det

,2 K0

n Г

kn+\ j=1

q 'ф] ]сс*-x n

Kn

sl ,2

n+1 J=1

? [q ,ф] ] Bby

+ 8,

= 0.

(15)

Наименьший корень хп уравнения (15) является нижней гранью функционала (11) в пространстве М, если Хп < К0-1к«+1.

По формуле Шура для определителей блочных матриц Хп равно наибольшему собственному числу г« матрицы 2«-го порядка, которую удобно записать

в виде блочной матрицы 2-го порядка с элементами

D(22)

D (11) D (i2)

D

( 21)

и

, являющимися матрицами n-го порядка

ВЕСТНИК

МГСУ-

d(")

D( 21)

2/2013

d(12) d(22)

ö(J1) = 0, d(12)-

-5.

d(21)--K к

^si 011 n+i

2 ЁГqs ,Ф,- 1

j-i

с Cjl;

n Г

■д[

qs j ] B

(16)

?г+1}, ги — наиболь-

Таким образом, оценка снизу равна Xn = minK0lkt шее собственное число матрицы с элементами (16).

Если отбросить неотрицательное последнее слагаемое в (10), получим неравенство, в силу которого нижняя грань Лп в M функционала

г л-1

Gn (u) = [u, u ]C

! S[u,Ф/]ßbtj[u'Ф]]B [i,j=1

(17)

является оценкой сверху для А*, т.е. Лп = minGn(u) > А*. Из условия равенства нулю производной по действительной переменной s функции Gn (w+s п) в точке s = о, положив п равным q1,...,qn и поскольку согласно (13) [w,qt]с = \w,qi], получим систему n линейных однородных уравнений относительно n неизвестных [v,фг-] (i =1,2,...,п), которые не все должны быть равны нулю. Тогда определитель этой системы равен нулю и наименьший корень Лп этого уравнения является нижней гранью функционала (15), а Л-1 равно наибольшему собственному числу матрицы II Gsi 11, элементы которой равны

"г -|

Gsi = LL qs ,Ф j \ Bbir

j=i

(18)

Если отыскивать минимум функционала (17) не на всем М, а на его

п-мерном подпространстве, образованном функциями ф1,...,ф„, то получаются

1 *

уравнения для нахождения оценки сверху для X , которые совпадают с уравнениями при нахождении оценок Rn методом Ритца. Следовательно, получаемые двусторонним методом оценки сверху через матрицу (18) не хуже оценок Rn.

Для нахождения оценок снизу Хп и сверху Лп критического параметра на-гружения во второй и третьей из рассматриваемых задач нужно взять первые п функции базиса ф1,ф2,...,ф„ пространстваМ, заданные соответственно форму-

к матрицам Грама змулам (1). Вместо

лами (5) или (6). Вычислить обратные матрицы а* и Ь* с элементами ау = [фг-,фу ]А и Ьу = [фг-,фу ]в (1 < г, у < п) по фо функций (14) qj (5) во второй и третьей задачах задаются соответственно по формулам

2) qj © = JN(z)e(Z,ф j)dz, 3) qj(4) = JN(z) | {ф j(x)I x)dx |dz.

,7-1/

(19)

Элементы блочной матрицы второго порядка вычисляются по формулам (16), где нужно положить К0 = 1, а скалярное произведение (2) пространства НС заменить скалярным произведением пространства НА , задаваемым первой формулой (1). Найти наибольшее собственное число матрицы (16) и матрицы (18), равные соответственно и Л-1.

Библиографический список

1. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М. : Гостехиздат, 1955. 475 с.

2. Купавцев В.В. Вариационные формулировки задач устойчивости упругих стержней через изгибающие моменты // Вестник МГСУ 2010. Т. 3. № 4. С. 285—289.

3. Купавцев В.В. О вариационных формулировках задач устойчивости стержней с упруго защемленными и опертыми концами // Вестник МГСУ 2011. № 4. С. 283—287.

4. Купавцев В.В. К двусторонним оценкам критических нагрузок неоднородно сжатых стержней // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1984. № 8. С. 24—29.

5. Пантелеев С.А. Двусторонние оценки в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков // Известия РАН. МТТ. 2010. № 1. С. 51—63.

6. Ижендеев А.В. Оценка внутренних усилий тонкостенного стержня открытого профиля // Известия вузов. Строительство. 2004. № 3. С. 100—103.

7. Чанышев А.И., Игонина Е.А. О потере устойчивости бесконечно длинной полосы за пределом упругости при сжатии // Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13. № 51. С. 89—95.

8. Паймушин В.Н., Гюнал И.Ш., Луканкин С.А. Исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры (постановка задачи) // Известия вузов. Авиационная техника. 2010. № 2. С. 34—37.

9. Дудченко А.В., Купавцев В.В. Двусторонние оценки устойчивости упругого консольного стержня, сжатого полуследящей силой // Вестник МГСУ 2011. № 6. С. 302—306.

10. Дудченко А.В., Купавцев В.В. Двусторонние оценки устойчивости упругого консольного стержня, сжатого через шатун // Вестник МГСУ 2012. № 7. С. 75—81.

Поступила в редакцию в декабре 2012 г.

Об авторе: Купавцев Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-46-74, kupavtsev. mgsu@mail.ru.

Для цитирования: Купавцев В.В. Двусторонние оценки в задачах устойчивости упругих стержней, выраженных через изгибающие моменты // Вестник МГСУ 2013. № 2. С. 47—54.

V.V. Kupavtsev

BILATERAL ESTIMATES IN ELASTIC ROD STABILITY PROBLEMS FORMULATED THROUGH BENDING MOMENTS

In the article, the author proposes an original method of identification of upper and lower bounds of critical values of loading parameters in respect of three stability problems for a non-uniformly compressed rectilinear one-span elastic rod with a varying longitudinal bending stiffness value.

Initial variational formulations of stability problems under consideration are presented through internal bending moments that emerge at the moment of the rod stability loss and that satisfy uniform boundary conditions rather than additional integral conditions. The author has obtained forms of the bending moment and respective loading parameter values in case of the rod equilibrium bifurcation in the basic problem of stability of an elastic rectilinear rod with a constant cross section, compressed by longitudinal forces at the rod ends.

The calculation of the lower bound is reduced to determination of the greatest eigenvalues for the matrices presented in the form of modular matrices of the second order with

ВЕСТНИК ofon, ~

2/2013

the elements expressed through the integrals of available forms of bending moments. The calculation of the upper bound is reduced to determination of the greatest eigenvalue for the matrix that almost coincides with one of modular matrices.

Key words: stability, bilateral bounds, elastic rod, non-uniform compression, variational formulation, critical loading, bending moment.

References

1. Rzhanitsyn A.R Ustoychivost'ravnovesiya uprugikh system [Stability of Equilibrium of Elastic Systems]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1955, 475 p.

2. Kupavtsev V.V. Variatsionnye formulirovki zadach ustoychivosti uprugikh sterzhney cherez izgibayushchie momenty [Variational Formulations of Problems of Stability of Elastic Rods Using Bending Moments]. Vestnik MGSU. [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 4, vol. 3, pp. 285—289.

3. Kupavtsev V.V. O variatsionnykh formulirovkakh zadach ustoychivosti sterzhney s up-rugo zashchemlennymi i opertymi kontsami [Variational Formulations of Stability Problems for Rods That Have Elastically Fixed and Supported Ends]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, vol. 3, no. 4, pp. 283—287.

4. Kupavtsev V.V. K dvustoronnim otsenkam kriticheskikh nagruzok neodnorodno szhatykh sterzhney [On Bilateral Evaluations of Critical Loading Values in Respect of Non-uniformly Compressed Elastic Rods]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo i arkhitektura. [News of Institutions of Higher Education. Construction and Architecture]. 1984, no. 8, pp. 24—29.

5. Panteleev S.A. Dvustoronnie otsenki v zadachakh ob ustoychivosti szhatykh uprugikh blokov [Bilateral Assessments in the Stability Problem of Compressed Elastic Blocks]. Izvestiya RAN. MTT. [News of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of Solids]. 2010, no. 1, pp. 51—63.

6. Izhendeev A.V. Otsenka vnutrennikh usiliy tonkostennogo sterzhnya otkrytogo profilya [Assessment of Internal Forces of a Thin-walled Rod with an Open Profile]. Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo. [News of Institutions of Higher Education. Construction]. 2004, no. 3, pp. 100—103.

7. Chanyshev A.I., Igonina E.A. O potere ustoychivosti beskonechno dlinnoy polosy za predelom uprugosti pri szhatii [On the Loss of Stability of an Indefinitely Long Strip beyond the Elasticity in Compression]. Fizicheskaya mezomekhanika [Physical Mesomechanics]. 2010, vol. 13, no. 51, pp. 89—95.

8. Paymushin V.N., Gyunal I.Sh., Lukankin S.A. Issledovanie kachestva nelineynykh uravneniy teorii uprugosti na zadachakh ustoychivosti ploskikh krivolineynykh sterzhney slois-toy struktury (postanovka zadachi) [Research into the Quality of Non-linear Equations of the Theory of Elasticity Exemplified by the Problems of Stability of Flat Curvilinear Rods That Have a Layered Structure (Problem Definition)]. Izvestiya vuzov. Aviatsionnaya tekhnika. [News of Institutions of Higher Education. Aeronautical Engineering]. 2010, no. 2, pp. 34—37.

9. Dudchenko A.V., Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki ustoychivosti uprugogo konsol'nogo sterzhnya, szhatogo polusledyashchey siloy [Bilateral Estimates of Stability of an Elastic Cantilever Rod, Compressed by the Half-tracking Force]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 6, pp. 302—306.

10. Dudchenko A.V., Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki ustoychivosti uprugogo konsol>nogo sterzhnya, szhatogo cherez shatun [Bilateral Estimates of Stability of an Elastic Cantilever Rod, Compressed over the Connecting Rod]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 75—81.

About the author: Kupavtsev Vladimir Vladimirovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; kupavtsev.mgsu@mail.ru; +7 (499) 183-46-74.

For citation: Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki v zadachakh ustoychivosti uprugikh sterzhney, vyrazhennykh cherez izgibayushchie momenty [Bilateral Estimates in Elastic Rod Stability Problems Formulated through Bending Moments]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 2, pp. 47—54.