Базисные функции метода двустороннихоценок в задачах устойчивости упругих неоднородносжатых стержней Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.075.22

В.В. Купавцев

ФГБОУВПО «МГСУ»

БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ МЕТОДА ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНОК В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ НЕОДНОРОДНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Представлены базисные функции для нахождения двусторонних оценок критического значения параметра нагружения в задачах устойчивости упругого неоднородно сжатого однопролетного стержня переменного поперечного сечения при различных условиях закрепления концов. Базисные функции получены из форм потери устойчивости упругого стрежня постоянного поперечного сечения, сжатого продольными силами, приложенными на концах стержня, которые закреплены так же, как концы неоднородно сжатого стержня. Вычисление оценок снизу и сверху заключается в нахождении наибольших собственных чисел матриц, элементы которых представлены через базисные и дополнительные функции.

Ключевые слова: устойчивость, упругий стержень, неоднородно сжатый, базисные функции, критическая нагрузка, двусторонние оценки, собственное число.

В [1] предложен численно-аналитический метод нахождения двусторонних оценок наименьшего критического значения параметра р квазистатического нагружения в задачах устойчивости прямолинейного однопролетного упругого стержня переменной изгибной жесткости Е1 (х) (0 < х < I), сжатого переменным по длине I продольным усилием рШ(х). Согласно этой методике, для нахождения оценок снизу в качестве базисных функций должны быть использованы формы потери устойчивости упругого стержня постоянного поперечного сечения, сжатого продольными силами на концах, которые закреплены так как концы неоднородно сжатого стержня. Вычисление оценок снизу и сверху сведено к нахождению наибольшего собственного числа матрицы, их элементы выражены через базисные и дополнительные функции. Каждой базисной функции соответствует дополнительная функция, выраженная в [1] через базисную функцию с точностью до четырех постоянных интегрирования, которые должны быть найдены из системы четырех линейных неоднородных алгебраических уравнений. Коэффициенты этих уравнений составляются в зависимости от вида закрепления концов стержня.

В данной работе выполнена аналитическая часть метода для следующих случаев закрепления концов стержня: 1) оба конца жестко заделаны; 2) жестко заделан один конец, а другой заделан в опору, имеющую возможность смещаться в поперечном направлении; 3) заделан один конец и шарнирно оперт другой; 4) жестко заделан один конец и свободен второй; 5) оба конца шарнирно оперты; 6) шарнирно оперт один конец и заделан другой в опору, подвижную в поперечном направлении. Предполагается, что условия закрепления концов стержня допускают продольное смещение второго конца при нагруже-нии стержня и N(х) > > 0, а N(х) и I(х) — кусочно-гладкие функции на отрезке 0 < х < I.

Следуя [1], перейдя к безразмерным величинам £ = хг1, ™ 00 =,

1 Ф = I (IШ1п , = N(мтак )-1, X = £2рыт 1 1

[ц>1, W2 ]А =| w{'Jw2'd [^1, W2 ]в =| м>1 Pw2d %, (1)

0 0 где штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному £ (0 < ^ < 1) . Согласно энергетическому критерию устойчивости упругого стержня [2], наименьшее критическое значение X* безразмерного параметра нагружения X в каждой из рассматриваемых задач устойчивости стержня равно минимуму функционала

Х* = тш [м>]А } (2)

в пространстве У2 непрерывно дифференцируемых на отрезке (01) безразмерных функций поперечных прогибов W(x) оси стержня, имеющих почти всюду вторую производную, квадратично интегрируемую на отрезке определения, и удовлетворяющих в зависимости от вида закрепления концов стержня одному из следующих граничных условий на концах отрезка определения

1) м<0) = м/(0) = = м/(1) = 0; 2) М<0) = м/(0) = М>'(1) = 0;

З)м>(0) = ™'(0) = -Ц<1) = 0; 4)-^(0) = >у'(0) = 0; 5) м*0) = м>(1) = 0; (3)

6) И<0) = м>'(1) = 0.

У2 является подпространством Соболевского пространства ^2Д] [3]. Оба выражения (1) задают скалярное произведение для функций пространства У2, что позволяет рассматривать их как элементы гильбертовых пространств НА и Нв .

В [4] получены двусторонние оценки для критического значения параметра нагружения в задачах об устойчивости сжатых нелинейно-упругих анизотропных стержней (блоков) при конечных начальных деформациях.

Для различных вариантов закрепления торцов стержней в [5, 6] рассмотрена задача устойчивости и прочности тонкостенных стержней переменного поперечного сечения при продольном сжатии.

Возможность применения критерия работы «второго порядка» для определения неустойчивости конструкций указана в [7]. Матричный подход к исследованию устойчивости с анализом второго порядка предложен в [8] для стойки Тимошенко с полужесткими связями.

Сравнение точности и эффективности различных методов решения задачи об устойчивости стержня переменного по длине поперечного сечения, нагруженного следящей силой, проведено в [9]. В частности отмечено, что применение полиномиальных базисных функций в методе Бубнова — Галеркина менее всего подходит для анализа устойчивости стержней с сильно меняющимся поперечным сечением. В [10] получено точное решение задачи об устойчивости двухслойного стержня Тимошенко, в котором возможно проскальзывание слоев.

Согласно методике нахождения двусторонних оценок в рассматриваемых задачах устойчивости стержней, изложенной в [3], необходимо в качестве базисных функций взять решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами четвертого прядка w''' ' + к2'' = 0 , которые удовлетворяют одному из видов граничных условий (3). Эти решения опре-

деляются с точностью до постоянного сомножителя, который удобно выбрать таким, чтобы базисные функции фу (I) были ортонормированы по норме гильбертова пространства НВ, задаваемого по второй формуле (1), положив в ней Р(|) = 1, т.е. |фг- ,фу ^ 0 =Ъу , где — символ Кронекера. В результате получена последовательность базисных функций фу(|) (/ = 1,2,...) для каждого из шести рассматриваемых случаев закрепления концов стержня.

Ф2/-1 (|) = к2М V2 [^(^ -1 )-1], кц-1 = 2п', ки = 2К,, ф2г (I) = к-л/2 [2-1 к2,))+яп(|к2, )-|к2,], (4)

где К1,К2,... — расположенные в порядке возрастания корни уравнения

tgK = К. (5)

2) ф/ (I) = к~142[со^|к,)-1], к, =п/. (6)

3) ф, (|) = к/2 42 [ап(|к,.)-к, ^(|к,.)+кк.], (7) где к1,к2,...— расположенные в порядке возрастания корни уравнения (5).

4) Ф,(I) = к~141 [<^(!к)-1], к =п(/-0,5). (8)

5) ф, (|) = к-1л/2яп(|к), к, = П. (9)

6) ф (|) = к-^т^к ), к, =п(7 - 0,5). (10) 2 2

к , к2,... — последовательность критических значений безразмерного параметра нагружения, которой соответствует последовательность форм потери устойчивости Ф1 (|),ф2(|),.... Эти функции ортогональны по норме гильбертова пространства Н°А, задаваемого по первой формуле (1), где J (|) = 1.

В [11] в качестве базисных функций использовались тригонометрические функции для решения задачи об устойчивости полимерного стержня при ползучести энергетическим методом в форме Тимошенко — Ритца.

Исходя из вариационной формулировки (2) рассматриваемой задачи, в [1] построена последовательность функционалов Фп(и>) (п = 1,2,...)

Г п ( п ^

Фп И = [V, 1 X [ ^ Ф/ ]в Ь*1] [V Ф] ]в + - X [ V Ф/ ] 4 *V Ф ] ]

I i, j=1

... - - - -¡A

i, j=1

у которых минимумы X в пространстве У2 являются оценками снизу для значения А*. Через а^ и Ь^ обозначены элементы обратных матриц к положительно определенным матрицам Грама ||агу|| и ||бгу|| с элементами, вычисляемыми по формулам

ау = [Ф 'ФJ ~\А' Ъч = [ф 'ФJ ]в г' = 1,2'...'п; ] =1'2'...'п. (12)

Следует отметить, что минимум функционала (11) не равен тривиальному значению кП+\, если не все [,ф^ ] (, = 1,2,..., п) равны нулю. Здесь м(|) — функция, на которой достигается минимум Фп (в пространстве У2. Тогда производная по действительной переменной t функции Фи (и + ?п) в точке I = 0 равна нулю, где п(^) любые функции пространства У2. Откуда следует, что справедливо равенство

6/2013

1 --

к1

п ^ п

[и] -Xп Е [и] Ь* [ф]в + .1 [и'ф/] 4 [п,ф] \ = 0 (13)

Л-ц * * 1

и ]=1

I] =1

при любой функции п(4) пространства У2.

Таким образом, оценка снизу X равная минимуму функционала (11), отыскивается из условия, что не все [и,ф ■ ] равны нулю, где и(4)— решение уравнения (13). Используя теорему Рисса о представлении линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве, можно избежать нахождения громоздкого решения уравнения (13). Скалярные произведения [ф;каждой функции фг- (4) (/ = 1, 2,..., п) и п(4) при различных функциях п(4) пространства У2 являются ограниченными линейными функционалами в пространстве У2. Тогда согласно теореме Рисса [3] найдутся такие ч (£,) из V , что выполнены равенства

[Ч<] = [п,Ф,-]в а = 1, 2,...,п) (14)

для любой функции п(4) пространства У2.

Если J(4) и Р(4) являются кусочно-гладкими функциями на отрезке 0< 4 < 1, то можно разбить его точками 0 = 4 о<41 <... <4т =1 так, что J(4) и Р(4) непрерывны вместе со своими производными на каждом из интервалов (4 у; 4 у+1) и на концах их существуют односторонние конечные пределы как справа J (4у+), J' (4у+), Р (4у +), Р' (4у +), так и слева J (4у-), J' (4у-), Р(4у-), Р' (4у-). Проинтегрировав по частям оба выражения (14) в предположении, что J(4)и''(4) является функцией пространства и положив п(4) равной функциям из С((00О)) [0;1] с носителем [4.; 4.+1 ](у = 0,2,..., т -1) [3],

получим дифференциальное уравнение ') '' + А,(Рфг') ' = 0 для нахождения

функции д.(4) на каждом интервале [4.; 4У+1 ]. Положив п(4) равной функциям из множества С(0) [0;1] с носителями в непересекающихся интервалах, содержащих единственную точку 41, 42,..., 4т-1, получим, что в этих точках должны быть выполнены равенства

(4у +)д'(4у+)=J(4у -)д'(4у -) (Jq;') ' (4. +) - (') ' (4. -)= = [Р (4 у -)-Р (4 у +)]Ф'(4 у).

(15)

Положив в (14) п = Фг 0 =1,. ., п), а затем п = Ч, получим систему 2п линейных однородных уравнений относительно [и,ф■] и [и,ф^] (/ =1,2,...,п). Эту систему можно преобразовать к системе п однородных линейных уравнений относительно [■,и] (/' =1,2,...,п), которые не все должны быть равны нулю, если Хп < кП+1. Поскольку кп ^да при п ^да, то минимум функционала (11) будет, начиная с некоторого номера п, меньше к2п+1. Тогда определитель преобразованной системы уравнений должен быть равен нулю

det

>2 Ь "2 кп ьп+1

п

Е[Ф, у=1

5цкп+1 + ' Ъ У=1

} J а У

+ 8,

= 0.

(16)

Наименьший корень X уравнения (16) равен минимуму функционала (11)

в пространстве У2, если Хп < ки+1

По формуле Шура для определителей блочных матриц, равно наибольшему собственному числу гп матрицы 2п-го порядка, которую удобно записать

в виде блочной матрицы 2-го порядка с элементами С(22) , являющимися матрицами «-го порядка,

С(11) с(12) С(21)

cM C(12)

C( 21) C 1

Ч11)- 0 г(12) -;

C (11) - 0 C (12) - S C( 21) = - k Y h п*

Csi _0' Csi ~°si, Csi kn+1 Y hsj aji 5

j-1

C

(22) -S k-2 +

_ si n+1 +

n Г 1 *

Y\-qs'qj -Lh* (i's -1 2''"'n)'

(17)

j-1

Л +i

где rn — наиболь-

Таким образом, оценка снизу равна Xп = min {rn шее собственное число матрицы с элементами (17).

Следует отметить, что элементы единственной блочной матрицы С^22) выражаются через элементы матрицы ||gjs|| = [q, qs ]А , куда входят дополнительные функции qj которые найдены из уравнений (14) и условий (15). Поскольку для составления матрицы С^г22) требуются лишь элементы gis, то далее приведены формулы для этих элементов в зависимости от типа закрепления концов стержня. Для сокращения записи введем обозначения для следующих выражений

e (f (y);S) = jdy (i = 0,1,2) ш(/(у);£) = JP(у)f (y)dy. (18) 0 J (y) 0

Выражения (18) являются функционалами по первому аргументу и функциями по второму. Для элементов gis были получены следующие формулы:

1) gu = (e0 (1;1)e (ю(Ф i (у); £); 1) ^ (ю(Ф; (у); £ );l) + e2 (1; 1) ео (ю(ф) (y); £ );l) х

X e (ш(ф; (y), - e (1;1) [e 0»(ф; (y); & i) e 0»(ч>; (у); &i)+ei (y); &i)x

i

X e0 (ш(ф; (y); ;1)]} D— + j [со(Фг' (y); ш(Ф; (y); Щё |

0

D - e12 (1;1) - e0 (1;1) e2 (1;1); (19)

2) gu

) -^((»(ф;^);^;!)^^^)^);!)^1^!) (20)

3) gis = e0(ш(ф' (у); (у);+ e 2(1;1)ш(Ф; (у);1)ш(Ф; (у);1) -

- ey (ш(Ф; (y); ^);1}ш(Ф; (y );1) - ^ (ш(Ф; (y); Q; 1)ш(Ф; (y );1);

4) gu = e0 (ш(ф; (у); ^)ш(ф; (у); ij);l) + eo (1;1)ш^ (у); 1)ш(фг' (у);1) --e (оо(ф) (y); ^);1)со(ф; (y);i) - во (ш(ф; (y); ¡;);1)а>(ф< (y); 1);

5) gis = ео(ш(Ф; (у); ^)ш(ф; (у); ^);1) + e2 (1;1)ш(Ф ^ (y); 1)ш(Ф; (y );1) -

- e1 (ш(ф; (y); ^);1)Ш(Ф; (y );1) - ех (Ш(Ф; (y); £); 1>(ф,' (y); 1);

6) gis = ео(ю(фг' (у); ^)ю(ф; (у); |);1).

(21) (22)

(23)

(24)

и

Итак, чтобы найти оценку снизу Xn для искомого значения X*, нужно, выбрав в зависимости от типа закрепления концов стержня первые n базисных функций (4)—(10), найти матрицы Ця^^^Ц и ||й/||, элементы которых вычисляются по формулам (12). Найти обратные к ним матрицы aj и bj . В зависимости от типа закрепления концов стержня вычислить по одной из формул (19)—(24) элементы матрицы ||gis||. Составить элементы матрицы 2п-го порядка (17) и найти ее наибольшее собственное число rn . Тогда оценка снизу равна X„ = min {{; к1 +i}.

В [1] получено неравенство, в силу которого минимум Лп в пространстве V2 функционала

Fn (w)=[w |¿[]У*[w ,<?j ]в J , (25)

является оценкой сверху для значения , а величина Л-1, обратная к оценке сверху, равна наибольшему собственному числу матрицы ||Gis ||, элементы которой равны

n

Gsi =Z g sjbj. (2б)

j=1

Если отыскивать минимум функционала (25) на n-мерном подпространстве V2, образованном функциями ф15...,фи, то получится система уравнений, совпадающая с уравнениями, получаемыми по методу Ритца для нахождения оценки сверху. Таким образом, оценка сверху Лп не хуже оценки, получаемой по методу Ритца.

Библиографический список

1. Купавцев В.В. К двусторонним оценкам критических нагрузок неоднородно сжатых стержней // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1984. № 8. С. 24—29.

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М. : Машиностроение, 1991. ЗЗб с.

3. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М. : Мир, 1985. 589 с.

4. Пантелеев С.А. Двусторонние оценки в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков // Известия РАН. МТТ. 2010. № 1. С. 51—бЗ.

5. Богданович А.У., Кузнецов И.Л. Продольное сжатие тонкостенного стержня переменного сечения при различных вариантах закрепления торцов. Сообщение 1 // Известия вузов. Строительство. 2005. № 10. С. 19—25.

6. Богданович А.У., Кузнецов И.Л. Продольное сжатие тонкостенного стержня переменного сечения при различных вариантах закрепления торцов. Сообщение 2 // Известия вузов. Строительство. 2005. № 11—12. С. 10—1б.

7. Nicot Francois, Challamel Noel, Lerbet Jean, Prunier Frorent, Darve Felix. Some insights into structure instability and the second-order work criterion // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49, № 1. pp. 1З2—142.

8. Aristizabal-Ocha J. Dario. Matrix method for stability and second rigid connections // Engineering Structures. 2012. Vol. З4. pp. 289—З02.

9. Темис Ю.М., Федоров И.М. Сравнение методов анализа устойчивости стержней переменного сечения при неконсервативном нагружении // Проблемы прочности и пластичности. 200б. Вып. б8. С. 95—10б.

10. Le Grognec Philippe, Nguyen Quang-Hay, Hjiaj Mohammed. Exat buckling solution for two-layer Timoshenko beams with interlayer // International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49, № 1. pp. 143—150.

11. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Энергетический метод при расчете на устойчивость стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ 2013. № 1. С. 101—108.

Поступила в редакцию в апреле 2013 г.

Об авторе: Купавцев Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-46-74, [email protected].

Для цитирования: КупавцевВ.В. Базисные функции метода двусторонних оценок в задачах устойчивости упругих неоднородно сжатых стержней // Вестник МГСУ. 2013. № 6. С. 63—70.

V.V. Kupavtsev

BASIC FUNCTIONS FOR THE METHOD OF TWO-SIDED EVALUATIONS IN THE PROBLEMS OF STABILITY OF ELASTIC NON-UNIFORMLY COMPRESSED RODS

The author considers the method of two-sided evaluations in the problems of stability of a one-span elastic non-uniformly compressed rod under various conditions of fixation of its ends.

The required minimum critical value of the loading parameter for the rod is the minimum value of the functional equal to the ratio of the norms of Hilbert space elements squared. Using the inequalities following from the problem of the best approximation of a Hilbert space element through the basic functions, it is possible to construct two sequences of functionals, the minimum values of which are the lower evaluations and the upper ones. The basic functions here are the orthonormal forms of the stability loss for a rod with constant cross-section, compressed by longitudinal forces at the ends, which are fixed just so like the ends of the non-uniformly compressed rod.

Having used the Riesz theorem about the representation of a bounded linear functional in the Hilbert space, the author obtains the additional functions from the domain of definition of the initial functional, which correspond to the basic functions. Using these additional functions, the calculation of the lower bounds is reduced to the determination of the maximum eigenvalues of the matrices represented in the form of second order modular matrices with the elements expressed in the form of integrals of basic and additional functions.

The calculation of the upper bound value is reduced to the determination of the maximum eigenvalue of the matrix, which almost coincides with one of the modular matrices. It is noted that the obtained upper bound evaluations are not worse than the evaluations obtained through the Ritz method with the use of the same basic functions.

Key words: stability, elastic rod, non-uniformly compressed, basic functions, critical loading, bilateral bounds, eigenvalue.

References

1. Kupavtsev V.V. K dvustoronnim ocenkam kriticheskih nagruzok neodnorodno szhatyh uprugih sterzhnej. [On Bilateral Evaluations of Critical Loading Values in Respect of Non-uniformly Compressed Elastic Rods]. Izvestija vuzov. Stroitel'stvo I arhitektura. [News of Institutions of Higher Education. Construction and Architecture]. 1984, no. 8, pp. 24—29.

2. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustojchivost' uprugih sistem. [Fundamentals of Stability Analysis of Elastic Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p.

3. Rektoris K. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike I tekhnike. [Variational Metods in Mathematical Physics and Engineering]. Moscow, Mir Publ., 1985, 589 p.

4. Panteleev S.A. Dvustoronie otsenki v zadache ob ustojchivosti szhatyh uprugih blo-kov. [Bilateral Assessments in the Stability Problem of Compressed Elastic Blocks]. Izvesty-ja RAN. MTT. [News of Russian Academy of Sciences. Mechanics of Solids]. 2010, no. 1, pp. 51—63.

5. Bogdanovich A.U., Kuznetsov I.L. Prodol'noe szhatie tonkostennogo sterzhnja peremennogo sechenija pri razlichnyh variantah zakreplenija torcov [Longitudinal Compression of a Thin-Walled Bar of Variable Cross Section with Different Variants of Ends Fastening (Informftion 1)]. Izvestija vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction]. 2005, no. 10, pp. 19—25.

6. Bogdanovich A.U., Kuznetsov I.L. Prodol'noe szhatie tonkostennogo sterzhnja peremennogo sechenija pri razlichnyh variantah zakreplenija torcov [Longitudinal Compression of a Thin-Walled Core of Variable Cross Section with Different Variants of Ends Fastening (Informftion 2)]. Izvestija vuzov. Stroitel'stvo [News of Institutions of Higher Education. Construction]. 2005, no. 11-12, pp. 10—16.

7. Nicot Francois, Challamel Noel, Lerbet Jean, Prunier Frorent, Darve Felix. Some insights into structure instability and the second-order work criterion. International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49, no. 1. pp. 132—142.

8. Aristizabal-Ocha J. Dario. Matrix method for stability and second rigid connections. Engineering Structures. 2012. Vol. 34. pp. 289—302.

9. TemisYu.M.,Fedorov I.M. Sravnenie metodov analiza ustojchivosti sterzhnej peremennogo sechenija pri nekonservativnom nagruzhenii [Comparing the Methods for Analysing the Stability of Rods of a Variable Cross-section under Non-conservative Loading]. Problems of strength and plasticity [Proceeding sof Nizhni Novgorod University]. 2006, no. 68, pp. 95—106.

10. Le Grognec Philippe, Nguyen Quang-Hay, Hjiaj Mohammed. Exat buckling solution for two-layer Timoshenko beams with interlayer. International Journal of Solids and Structures. 2012. Vol. 49, № 1. pp. 143—150.

11. Chepurenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Energeticheskiy metod pri raschete na ustoychivost' szhatykh sterzhney s uchetom polzuchesti. [Energy Method of Analysis of Stability of Compressed Rods with Regard for Creeping]. Vestnik MGSU. [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 1, pp.101—108.

A b o u t t h e a u t h o r: Kupavtsev Vladimir Vladimirovich — Candidate of Physical and mathematical Science, Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics; Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE). 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337. Russian Federation; [email protected]; +7(499)183-46-74.

For citation: Kupavtsev V.V. Basic functions for the method of two-sided evaluations in the problems of stability of elastic non-uniformly compressed rods. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 6, pp. 63—70.