Двусторонние оценки устойчивости упругого консольного стержня, сжатого через шатун Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

УДК 624.075

А.В. Дудченко, В.В. Купавцев

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОГО КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ, СЖАТОГО ЧЕРЕЗ ШАТУН

Вычислены оценки снизу и сверху критического значения параметра нагружения в двух задачах устойчивости прямолинейного упругого консольного стержня переменного поперечного сечения. В первой задаче продольное сжимающее усилие на конец стержня передается через шатун с шарнирами на концах, а во второй задаче шатун отсутствует. Полученные двусторонние оценки позволяют количественно оценить уменьшение критической нагрузки в первой задаче по сравнению со второй.

Ключевые слова: устойчивость, упругий стержень, однопролетный, консольный, шатун, критическая нагрузка, вариационная формулировка, двусторонние оценки, собственные числа.

В классической постановке задачи об устойчивости прямолинейных однопро-летных стержней считается, что в критическом состоянии при выпучивании стержней сжимающие их внешние продольные силы остаются неизменными по величине и направлению [1]. Но в некоторых случаях, в силу конструктивных особенностей нагружения стержня, при выпучивании, т.е. при переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к близкой к ней криволинейной форме равновесия, внешние силы меняют направления действия. В результате при выпучивании у сжимающего усилия появляется поперечная составляющая, прямопропорциональная по величине искомому сжимающему усилию [1, 2].

К указанным случаям относится задача об устойчивости прямолинейного упругого стержня длины t, один конец которого заделан, а ко второму через жесткий шатун длины a, с шарнирами на концах приложена продольная сила P (рис. 1). Эта задача сводится к рассмотрению устойчивости консольного стержня, сжатого продольной силой P, при выпучивании которого появляется поперечная сила Q (рис. 2, 3). Она прямопропорциональна по величине силе P и поперечному отклонению u(t) конца стержня. Из уравнений равновесия шатуна в криволинейном положении равновесия стержня следует, что Q = Pu(t)[a2 - u2(t)]-0,5 = Pu(t)a_1[1 - u2(t)a~2]-0,5 « Pu(i)a~l, так как поперечные отклонения конца стержня малы и величина u2 (t) a"2 много меньше 1. С той же степенью точности продольная составляющая усилия со стороны шатуна на конец стержня равна P.

P

P

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

ВЕСТНИК 7/2012

Критическое значение Р, при котором стержень теряет устойчивость, равно минимуму отношения потенциальной энергии изгиба стержня к изменению потенциальной энергии сжимающего усилия в продольном направлении и потенциальной энергии силы 0>, выраженных через поперечные перемещения оси стержня с точностью до величин второго порядка малости [1]. Минимум отыскивается на подпространстве V Соболевского пространства ^, т.е. на всех непрерывно дифференцируемых на отрезке 0 < х < 1 функциях и(х), имеющих почти всюду вторую производную, квадратично интегрируемую на [0, £], и удовлетворяющих на конце х = 0 отрезка определения 0 < х < 1 граничным условиям жесткой заделки конца стержня. Предполагается, что переменная по длине стержня изгибная жесткость Е1(х) может быть кусочно непрерывной функцией на отрезке 0 < х < £ и Е1 (х) > Е1т^п > 0.

В [3] был предложен метод нахождения двусторонних оценок в задачах устойчивости однопролетных упругих стержней переменного сечения в классической постановке. В [4] разработана модификация этого метода, по которой п-я оценка снизу критической нагрузки вычисляется, по существу, аналогично нахождению оценки сверху: найти наибольшее собственное число матрицы порядка 2п, элементы которой выражаются через первые п формы потери устойчивости стержня постоянного поперечного сечения, сжатого продольными силами на концах стержня.

Введем безразмерные величины а = а£~\ % = х£-1, w(%) = иГ1, I © = I(7^) X = I2 Р( и обозначения

1 1

[ ]] =} V V Л % , К, W2 ]А = | Wl" I w2'd % , (1)

0 0 1

[wl,w2к = Iw1 ^% , w2]в = w2]8 + ^(1)w2(1)a-1 , (2)

0 0 °

где штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному Тогда критическое значение X* безразмерного сжимающего продольного усилия X в рассматриваемой задаче устойчивости стержня равно минимуму функционала

г = Ч { Ч0+^ак1} (3)

на подпространстве V Соболевского пространства ^од] функций, удовлетворяющих граничным условиям на конце отрезка определения

w(0) = 0, w'(0) = 0 . (4)

Формулы (1) и (2) являются скалярными произведениями для функций w(£) из V, что позволяет рассматривать их как элементы гильбертовых пространств И^, НА, ИВо и Н в соответственно.

Для получения оценок снизу критической нагрузки в рассматриваемой задаче устойчивости будем следовать методике, разработанной в [4]. Необходимо, исходя из вариационной формулировки (3) задачи, построить последовательность функционалов Ф нижние грани X (п = 1, 2, ...) которых монотонно приближались бы снизу к X* и вычисление которых заключилось бы в нахождении собственных чисел матриц. В [4] построение таких функционалов основано на том, что функционал исходной формулировки задач является отношением квадратов норм элементов гильбертовых пространств. далее используются неравенства, вытекающие из задачи о наилучшем приближении элемента в этих пространствах. Кроме того, для сходимости X к X* используются неравенства, вытекающие из вариационной формулировки подходящей базовой задачи об устойчивости продольно сжатого стержня постоянного поперечного сечения с известными формами потери устойчивости.

Следует отметить, что формальное применение методики [4] потребовало бы нахождения форм потери устойчивости и соответствующих им нагрузок в задаче об

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

ВЕСТНИК

-МГСУ

устойчивости консольного стержня постоянного поперечного сечения, нагруженного через шатун продольной силой на свободном конце. Эта задача не входит в число шести базовых задач, достаточных для создания вычислительного комплекса нахождения двусторонних оценок критических нагрузок неоднородно сжатых однопролет-ных упругих стержней переменного поперечного сечения при различных стандартных условиях закрепления их концов.

Далее показывается, что для рассматриваемой задачи устойчивости стержня с нестандартными условиями нагружения двусторонние оценки критической нагрузки можно вычислить, используя соответствующую базовую задачу для стержней со стандартными условиями закрепления их концов.

Для нахождения n-й (n = 1, 2, ...) оценки снизу Xn для X* потребуются первые n формы потери устойчивости консольного стержня постоянно поперечного сечения, сжатого продольной силой на свободном конце в классической постановке задачи. Перейдя к безразмерным величинам, эти формы имеют вид фп = -v/2kn 1 [cos (knl,) -1] (0 < £ < 1), где кп = п (n - 0,5) равно корню квадратному от значения безразмерного усилия, соответствующего n-й форме Фп© потери устойчивости этого стержня. Последние являются ортонормированными элементами пространства ИВо и ортогональными в Ha , так что [фг- ,фj ]в = 5j и [фг- ,фj А = k/Sj- , где 5.. — символы Кронекера.

Совокупность всех ф.(£), (i = 1, 2, ...) является базисом не только в пространствах HBo и Ha , но и в пространствах Ив и HA , так как для любой w(£) справедливы неравенства

[w, w\B <[w, w\B < (1 + a-1) [w, w\B , [w, WЦ <[w, w]A < I max [ w, wЦ • (5)

Действительно, первое, третье и четвертое неравенство в (5) очевидны, так как I1 при 01. Используя первое граничное условие (4) и неравенство

Шварца, получим

а -V

« = <

J w(%)-1d %

< а-

J(wf d k-Jl2d %

= а 1 [w, w]B

Отсюда следует, что справедливо второе неравенство в (5).

Коэффициенты наилучшего приближения А и В., (] = 1, 2, ..., п) первыми п элементами ф1(^),..., Фп© базиса к м>(§ из Vпо нормам пространств НА и НВ удовлетворяют соответственно равенствам

[w wL= ZZ [w ф L a*ij[ j] a + i=i j=i

n n

[w = EE [w Ф ]B b*ij[J ]B +

i=1 J=1

Z Ai Ф/^ i=1

Z Aj ф j

j=1

>-E вф ;w -Z bj ф J i=1 j=1

(6)

(7)

где а у и Ъ у — элементы обратных матриц к положительно определенным матрицам Грама ||а,у|| и у с элементами а^ = [фг,ф]А и Ьу = [фг-,ф^ ]в , (1 < г,у < п ).

Построим цепочку неравенств, оценивающих последнее слагаемое правой части равенства (7). Сначала заменим В на коэффициенты в0 = Гм',®,-1„ наилучшего

] 1 V т - jbQ

приближения элемента системой ф1,...,фп по норме пространства Н и воспользуемся вторым неравенством (5). Из вариационной формулировки безразмерной силы к^+1 вытекает неравенство [и,и]в < ^¡[и,и, справедливое при условии, что [и,фу~\в = 0 (] = 1,2,...,п). В частности этому условию удовлетворяет элемент

= wBftyi. Разложив w из Vв ряд по ортонормированному базису ф1, ф2, ..., легко

!=1

n

ВЕСТНИК

7/2012

убедиться, что Б° = Л0. Заменив далее Л] на Л. и используя третье неравенство из (5) и (6), получим неравенство, в силу которого нижняя грань X функционала

Фп О) = ™\А \ £ [Щф{ ]вЬ*[3 ]в +

I ¡,1=1

п

(1 + а-1 [п, п>\а -£ [п,ф \А а*[]а

¡, 1=1

(8)

в V является оценкой снизу для X*, т.е. Х„ = штФи X* (п = 1,2,...).

Пусть нижняя грань функционала (8) в V достигается на V из V, а п произвольный элемент из V. Тогда производная по действительной переменной t функции Ф п (у + ип) в точке t = 0 равна нулю. Откуда следует, что справедливо равенство

(1 + а-1)Х„~

1 --

1>>пЬ- ^и Е 1Л [Ф 1 >пЬ +

¡, 1=1

К (1 + а-1)

Е [^Фг 1а*[П>Ф 1 ]А = 0

(9)

кп+1 1

при любом п из V

Если рассматривать [ф]7ц\в , (] = 1,2, ...,п) при различных п из Vкак линейные функционалы в Нл , то легко видеть, что они являются ограниченными линейными функционалами не только в Нл , но и в V. Тогда по теореме Рисса найдутся такие Ц (?) из V , что выполнены равенства

[п Ч] Ъ = [П,Ф7- (/ = и,..., п) (10)

( с _ для любого п из V. Введем обозначения: (£) = |ф. (z)I_1(z)dz , (?) = 1фj (2)1 Ч

0 0 (т = 0,1). Разбив, если нужно, отрезок 0 < < 1 на участки, на которых I (£) непрерывна, и проинтегрировав по частям, получим, что функция

qj (5) = ф} (1) (1+а->))е0(г)йг-оТ11е,(гЩ (г)йг (11)

О 0 0

принадлежит V и удовлетворяет равенству (10).

Положив в (9) п = ф^, (^ = 1,..., п), а затем п = и учитывая, что согласно (10) [дх ,ф ^ ] = [фх ,ф j ]в, получим систему 2п линейных однородных уравнений относительно [у,фг- и [у,фг- ]А (/ = 1,2,..., п) [ф*-V]А [ф*= 0 (* = 1,-,п);

1 - 1п (1-а [у,ф, 1

-К (1 - а 1 )к-+1 £ [^Ф,-\Аа* [ ]А = 0. (12)

, ] =1

Используя первые п уравнений системы (12), можно свести ее к системе п однородных линейных уравнений относительно [фг-,у]в (г = 1,2,...,п) , которые не все должны быть равны нулю, если Xп < (1 + а"1)"1 кП+1 . На функции из V, ортогональ-

,Ф п по нормам НЛ и НБ, значение функционала (8) равно (1 + а_1)_1 к,2 . Учитывая, что к,

Л "Б' --------Ч'-'----------- V"/ ^----- (^х т ^ ) Л„+1

да при п , нижняя грань функционала (8) будет начиная с

1\-Ь2

ной к Ф1,Ф2

, что кп ^да при п

некоторого п меньше (1 + ак^+1 . В этом случае определитель системы уравнений

(1 + а-!)

должен быть равным нулю (1 + а-1)

к 2

Ё Г?*,Ф] 1 ] =1Г ' 1

к 2 кп+1

- Ё Г ,Ф ] 1 ]=1Г ' 1

ъа

= 0. (13)

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

ВЕСТНИК

-МГСУ

Наименьший корень Хп уравнения (13) является нижней гранью функционала (8)

на V если Хп < + а_1 ^^ к^+1 .

По формуле Шура для определителей блочных матриц Хпг равно наибольшему собственному числу г матрицы 2п-го порядка, которую удобно записать в виде блоч-

ной матрицы 2-го порядка с элементами щимися матрицами n-го порядка

C

(11)

C

(12)

C

(21)

с1

(22)

являю-

с (n) с(12)

с(21) C (22)

4° = 0, С12 = 5si, cf^-a+a-y^I [gs,<fj]

an A J1

} = Ssi (1 + a-1)knh + £ [qs ,фJ ]B b* . J=1

(14)

Таким образом, оценка снизу равна Xп = тт{г~'; (1 + а_1)_1 кПп+1) , гп — наибольшее собственное число матрицы с элементами (14).

Если отбросить неотрицательное последнее слагаемое в (7), получим неравенство, в силу которого нижняя грань Лп в V функционала

I n

Gn (w) = [w w\ \ Z [w]b b [wфj ]B

(15)

i, j=1

является оценкой сверху для X*, т.е. Лп = min Gn (w) > X* . Из условия равенства нулю производной по действительной переменной t функции Gn (v +1 п) в точке t = 0, положив п равным qn и поскольку согласно (10) [v,q.]a =[у,ф,.] , получим систему n линейных однородных уравнений относительно n неизвестных [у,фг- ]в (i = 1,2,...,n), которые не все должны быть равны нулю. Тогда определитель этой системы равен нулю, и наименьший корень Лп этого уравнения является нижней гранью функционала (15), а Л4 равно наибольшему собственному числу матрицы II Gsi 11, элементы

которой равны Gs

n Г

= ZL qs,

ф,

j=1

j J B'J

Если отыскивать минимум функционала (15) на п-мерном подпространстве V, образованном функциями ф1,...,ф„ , то получится оценка сверху для X, совпадающая с оценкой Я получаемой по методу Рэлея-Ритца. Следовательно, получаемые оценки сверху не больше оценок Яп.

_ Вычисленные оценка снизу Х4 и оценка сверху Л4 для X* при а =0,01; 0,1; 0,5 и I(Д)=(1 + Р)(^ + Р) (Р = 0,5;1,0;2,0) представлены в первых трех четных столбцах табл. Вычисленные оценка снизу и оценка Л 4 сверху критического значения продольной силы, приложенной на конце рассматриваемого стержня без шатуна, представлены в предпоследнем столбце табл. полученные двусторонние оценки позволили определить критическую нагрузку в каждой из двух задач с относительной погрешностью А % не более 0,1 % и количественно оценить уменьшение критической нагрузки в первой задаче по сравнению со второй с той же точностью.

Двусторонние оценки критических нагрузок X* и X0

a

ß 0,01 A % 0,1 A % 0,5 A % as

0,1 0,440817 0,440750 0,76 0,827729 0,827569 0,96 1,474509 1,474308 0,68 6,61078 6,61037

и

ВЕСТНИК

7/2012

Окончание табл.

a

e 0,01 A % 0,1 A % 0,5 A % ; Л4

0,5 0,281986 0,281849 0,02 0,531965 0,531962 0,02 0,955232 0,955227 0,02 4,60367 4,60363

1,0 0,225940 0,225940 0,00 0,426831 0,426831 0,00 0,768308 0,768307 0,00 3,79195 3,79194

Библиографический список

1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М. : Машиностроение, 1991. 336 с.

2. Дудченко А.В., Купавцев В.В. Двусторонние оценки устойчивости упругого консольного стержня, сжатого полуследящей силой // Вестник МГСУ. 2011. № 6. С. 302—306.

3. Клюшников В.Д., Купавцев В.В. Двусторонние оценки критических нагрузок неоднородно сжатых стержней // Доклады АН СССР. 1977. Т. 238. № 3. С. 561—564.

4. Купавцев В.В. К двусторонним оценкам критических нагрузок неоднородно сжатых стержней // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1984. № 8. С. 24—29.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Дудченко Александр Владимирович — студент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, aleks_dud@mail.ru;

Купавцев Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-46-74, kupavtsev.mgsu@mail.ru.

Для цитирования: Дудченко А.В., Купавцев В.В. Двусторонние оценки устойчивости упругого консольного стержня, сжатого через шатун // Вестник МГСУ. 2012. № 7. С. 75—81.

A.V. Dudchenko, V.V. Kupavtsev

BILATERAL BOUNDS OF STABILITY OF AN ELASTIC CANTILEVER BAR COMPRESSED

OVER A CONNECTING ROD

The authors present both top and bottom limit values of loads within the two problems of stability of a rectilinear elastic cantilever bar that has a variable cross-section. In the first problem, a longitudinal compressive force applied to the bar end is transmitted through a connecting rod that has hinges on both ends, while the second problem is to be resolved in absence of any connecting rod.

The authors apply well-known expressions to identify the stability loss by a rectilinear elastic cantilever bar that has a constant cross-section compressed by a longitudinal force at its free end, with account for the inequalities generated by the best approximation problem in the Hilbert space. They constructed two series of functionals, the bottom bounds of which are the bilateral bounds of the unknown critical value of the load parameter. The calculation of the bottom bounds is reduced to determination of the biggest eigenvalues for the matrices presented in the form of second-order matrices with elements, expressed through the integrals of well-known forms of stability loss by a bar that has a constant cross-section. The calculation of the top bound is reduced to the determination of the biggest eigenvalue for the matrix which almost coincides with the one of the block matrices constructed for the determination of the bottom bound.

Bilateral bounds identified in accordance with the above method make it possible to assess the reduction of the critical load value in the first problem and to compare it to the one of the second problem.

Key words: stability, elastic bar, consolidated, connecting rod, critical load, bilateral evaluations, eigenvalues.

References

1. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost' uprugikh sistem [Fundamentals of Stability Analysis of Elastic Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

2. Dudchenko A.V., Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki ustoychivosti uprugogo konsol'nogo ster-zhnya, szhatogo polusledyashchey siloy [Bilateral Bounds of Stability of an Elastic Cantilever Bar, Compressed by the Half-Tracking Force]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 6, pp. 302—306.

3. Klyushnikov V.D., Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki kriticheskikh nagruzok neodnorodno szhatykh sterzhney [Bilateral Evaluations of Values of the Critical Load Applicable to Non-Uniformly Compressed Elastic Rods]. Doklady akademii nauk SSSR [Reports of the Academy of Sciences of the USSR]. 1977, vol. 238, no. 3, pp. 561—564.

4. Kupavtsev V.V. K dvustoronnim otsenkam kriticheskikh nagruzok neodnorodno szhatykh sterzhney [About Bilateral Assessments of Values of Critical Loads Applicable to Non-uniformly Compressed Elastic Rods]. Izvestiya VUZov. Stroitel'stvo i arkhitektura. [Proceedings of Higher Education Institutions. Construction and Architecture]. 1984, no. 8, pp. 24—29.

About the authors: Dudchenko Aleksandr Vladimirovich — student, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; aleks_dud@mail.ru;

Kupavtsev Vladimir Vladimirovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; kupavtsev. mgsu @mail.ru; +7 (499) 183-46-74.

For citation: Dudchenko A.V., Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki ustoychivosti uprugogo konsol''nogo sterzhnya, szhatogo cherez shatun [Bilateral Bounds of Stability of an Elastic Cantilever Bar Compressed over a Connecting Rod]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 75—81.