Базисные функции и двусторонние оценки в задачах устойчивости упругих неоднородно сжатых стержней, выраженных через изгибающие моменты с дополнительными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.3

В.В. Купавцев

ФГБОУВПО «МГСУ»

БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ И ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ НЕОДНОРОДНО СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ, ВЫРАЖЕННЫХ ЧЕРЕЗ ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Разработан алгоритм вычисления двусторонних оценок критического значения параметра нагружения в трех задачах устойчивости упругого неоднородно сжатого однопролетного стержня, вариационные формулировки которых представлены через внутренний изгибающий момент с интегральными условиями. Вычисление оценок сверху и снизу сведено к нахождению наибольших собственных чисел матриц, элементы которых выражены через интегралы от базисных функций, которые с точностью до линейного полинома совпадают с изгибающими моментами, возникающими при бифуркации равновесия стержня постоянного поперечного сечения, сжатого продольными силами на концах.

Ключевые слова: устойчивость, упругий стержень, неоднородно сжатый, двусторонние оценки, вариационная формулировка, критическая нагрузка, изгибающий момент, базисные функции.

В [1] были получены выраженные через внутренний изгибающий момент т(х) вариационные формулировки наименьшего критического значения параметра нагружения упругого прямолинейного стержня переменной по длине £ изгибной жесткости Е1 (х), сжатого продольным усилием pN (х) (0 < х < £), где р — параметр квазистатического нагружения стержня [2]. Рассмотрены шесть задач устойчивости с классическими условиями закрепления стержня.

В [3] приведен способ вычисления двусторонних оценок наименьшего критического значения параметра нагружения стержня в тех задачах, вариационная формулировка которых, выраженная через т(х), не требует выполнения интегральных условий. Вычисление оценок сверху и снизу сведено к нахождению наибольших собственных чисел матриц с элементами, выраженными через собственные функции базовой задачи, которые составляют ортонорми-рованный базис [4] в пространстве, задаваемом при формулировке задачи.

В данной работе метод двусторонних оценок наименьшего критического значения параметра нагружения распространяется на три задачи устойчивости неоднородно сжатых стержней, вариационные формулировки которых накладывают линейные однородные интегральные условия на т(х), а собственные функции базовой задачи не входят в пространство, задаваемое при вариационной формулировке задачи.

В [5] получены конфигурации потери устойчивости стержня с дополнительными условиями, соответствующие минимуму энергии стержня. С использованием энергетического критерия условий устойчивости в [6] получены двусторонние оценки критического значения параметра нагружения в задачах об устойчивости упругих параллелепипедов при конечных докритических де-

ВЕСТНИК о/ОП-1/1

2/2014

формациях. Для решения задач о послекритическом состоянии упругих стержней с большими деформациями в [7] использован канонический дуальный метод конечных элементов. В [8] прогнозируется максимальная сжимающая нагрузка для упругого стержня, локально теряющего устойчивость вследствие сильного нагрева.

С учетом влияния структурного параметра вязкоупругого материала стержня рассмотрена динамическая устойчивость сжатых железобетонных элементов в [9]. В [10] предложен упрощенный способ нахождения критической силы динамически сжимаемого стержня с учетом зависимости предела текучести от скорости деформаций.

Концы стержней в рассматриваемых далее трех задачах устойчивости закреплены следующим образом: 1) оба конца жестко заделаны; 2) заделан один конец и шарнирно оперт другой; 3) жестко заделан один конец, а другой заделан в опору, имеющую возможность смещаться в поперечном направлении. Перейдем к безразмерным величинам: £ = хГ1, X = 12р№твх (Е1тт) ,

и = т£ (Е1 тп ) 1, 7 © =1 (Л™ N © = N (тах )-1 и введем обозначения

11 11

[и,§]а =|и'^Й-[и,g]Б =|ug(Г)"1 [и,=|и' ¿Щ; [и,g]^ =|ugdЕ; (1)

0 0 0 0

1 - 1 - 1 - ( 1 - \

[и,g]C и^Я-^Ъ, - К -1и'^Чg'N'4% К = |% ; (2)

о оо V о

1

[и, g]c =| u'g'd£-[u(1) -и(0)][ g(1) -g(0)], (3)

0 о

где штрих означает дифференцирование по безразмерной переменной £ функций Соболевского пространства ^0,1] [4]. В каждой из рассматриваемых задач устойчивости вводится пространство М функций из ^01], которые на отрезке определения (0 < £ < 1) в зависимости от условий закрепления концов стержня удовлетворяют одному из следующих видов линейных однородных интегральных условий (и граничному условию во второй задаче) [1]

1)}[и(£)/7 (£)]й£ = 0, }[£и(£)/7(£)]й£ = 0 (4)

о о

1 1

2) и(1) = о, {[(£ - 1)и©/7(£)]Л£ = 0; 3) {[и(£)/7(£)]^£ = о. (5)

о о

Вторая формула (1) и формула (2) являются скалярными произведениями для функций из М в первых двух задачах и задают гильбертовы пространства Нв и Нс [4]. Первые две формулы (1) являются скалярными произведениями для функций из М задачи 3 и задают гильбертовы пространства НА и Нв .

Согласно [1] в первых двух и соответственно в третьей задаче наименьшее критическое значение X* безразмерного параметра нагружения X определяется как минимум в пространстве М функционала

[и,и ] Ки,и Ы1 г=тм ["'и ]л {Ки и1 (6)

t = min

1 U GM '

Применение метода двусторонних оценок [3] к нахождению оценок снизу наименьшего критического значения параметра нагружения в рассматриваемых задачах устойчивости связано с возсможностью построения последовательности функционалов Фя(м), минимумы Xn(n =1, 2, ...) которых в M монотонно приближались бы снизу к искомому значению А*, и возможностью вычисления X . Построение таких функционалов основано на том, что функционал (6) является отношением квадратов норм элементов соответствующих гильбертовых пространств. Далее необходимо использовать неравенства, вытекающие из задачи о наилучшем приближении элемента в этих пространствах базисными функциями, являющимися точными решениями подходящей базовой задачи. В качестве базовой обычно выбирается задача об устойчивости стержня постоянного поперечного сечения, сжатого продольными силами на концах, которые закреплены так же, как концы неоднородно сжатого стержня исходной задачи. Для сходимости последовательности Xn к А* используются неравенства, вытекающие из вариационной формулировки критического значения tn параметра нагружения стержня в базовой задаче, и свойство tn ^<х> при n ^<х>.

В базовой задаче вариационная формулировка наименьшего критического значения параметра нагружения стержня, для первых двух и третьей из рассматриваемых задач, устойчивости заключается в нахождении минимума соответственно функционала

\u,u]Со {\u,u]Во } t1 = min \u,u{\u,u]Bo } (7)

в пространстве M0 функций, удовлетворяющих соответствующему условию:

Ii i i

1) Ju(I)d I= 0, Jiu(I)dI = 0; 2) u(1) = 0, J (I - 1)u(I)dI = 0; 3) Ju(I)dI = 0. (8) 0 0 0 0

Последние две формулы (1) определяют скалярные произведения для функций из M0 задачи 3 и задают гильбертовы пространства Н°А и HB. Последняя формула (1) и формула (3) определяют скалярные произведения для функций из M0 для первой и второй задачи и задают пространства Hв и H0C .

Для нахождения минимума функционала (7) базовой задачи используем метод множителей Лагранжа [2], позволяющий свести задачу к отысканию нетривиального решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и однородными граничными условиями. В результате получаем последовательность критических значений ti (i = 1, 2, ...) параметра нагружения стержня в базовой задаче и соответствующие им формы внутренних изгибающих моментов ф.(I) (i =1, 2, ...), образующих базис [4] в M0. Его выбираем ортонормированным по норме HB (ti = k"2):

1) Ф2,-1 (I) = Л cos (Ik2,-1 ), k2i-1 = 2nU (9)

Ф2, (I) = V2 [cos (Ik2) - K- sin (Ik2i)], k2= 2Ki,

где K K2, ... — расположенные по возрастанию корни уравнения tgK = K.

2) Фi (i) = V2 [k:1 sin (Ik)-cos (Ik)], k. = K; (10)

3) ^(I) = V2cos (Iki), k =ni. (11)

ВЕСТНИК о/ОП^/1

2/2014

Однако для стержней переменного по длине поперечного сечения область определенияM0 базового функционала (7) не совпадает с областью M определения исходного функционала (6), так как интегральные условия (4) и (5), задающие M, не совпадают с условиями (9), задающими M Используя последовательности (9)—(11), можно для всех трех задач построить базисные функции Ф.. (£) (i =1, 2, ...) в пространстве M, отыскивая их в виде:

1) у, (I) = Ф, (I) + of +£a,(1) (a,(0), a,(1) const); (12)

У, (I) = Ф, (I) + (I - 1)b, (b — const); (13)

2) W(I) = Ф, (I) + dt (rf,. — const). (14)

Поскольку в первой задаче каждая базисная функция (12) должна удовлетворять двум однородным линейным интегральным условиям (4), получаем для каждого i (i = 1, 2, ...) систему двух неоднородных линейных алгебраических уравнений для нахождения a,(0) и a,(1). При доказательстве того, что определитель D этой системы не равен нулю использовалось тождество аналогичное (13) из [3]. Во второй задаче базисные функции отыскиваем в виде (13), при котором выполнено граничное условие (5) для любого значения bt. Из условия выполнения первого интегрального условия (5) каждой базисной функцией (13) находится bt. В третьей задаче из условия выполнения второго интегрального условия (5) каждой базисной функцией (14) находится di.

Далее для краткости используются обозначения (5 = 0, 1, 2 и j = 1, 2)

f, 9=i4rrdy- К (fO-M) A^f*- (15)

J i (y) 0 i (y)

0

- e-

Найденные а(0), а(1), bi, di представляются в виде (D = е2 (1;1) е0 (1;1) -1 (1;1))

1) а(0)= В[е1(1;1)е1(ф1.(у);1) -е2(1;1)е0(ф,.(у);1)];

' (16) а(1) = В -1 [ё, (1;1)е; (ф. (у); 1) - ё0 (1; 1)ё (ф. (у); 1)];

2) Ь =-5-Ч1;1)«1(^- Си);1); 3) dl ^ЧиК (Ф, 00;1). (17)

Определим для рассматриваемых первых двух и третьей задачи устойчивости стержня промежуточную базовую задачу как задачу о нахождении минимума соответственно первого и второго функционала (7), областью определения которого является не М0, а пространство М. Последняя формула (1) и формула (3) задают в первых двух задачах скалярно е произведение для функций пространства М и гильбертовы пространства Н(° и Н°с. Две последние формулы (1) задают скалярные произведения и пространства Н°А и Н(° для функций из М в третьей задаче. Обозначим через (I =1, 2, ...) расположенную в порядке возрастания последовательность собственных значений уравнения Эйлера промежуточной базовой задачи.

Построим последовательность функционалов Фп (и) для первых двух задач. Числитель и знаменатель первого функционала (6) по формулам (9) и (10) из [3] представим через коэффициенты наилучшего приближения С1 и В1 (1 = 1,..., п) функции и(£) первыми п базисными функциями ^(4),...,^(£) по нормам Нс и Нв, а также элементы с^- и Ь^ обратных матриц к положительно определенным матрицам, вычисляемым по формулам (1) и (2),

c =[v, j C b j ]b (i ^ u j ^ n).

(18)

Далее построим цепочку неравенств, увеличивая последнее слагаемое в знаменателе. Во-первых, заменим B{ коэффициентами Ci наилучшего приближения функции u (£) базисными функциями уД^),...,^ (4) по норме HC и, поскольку 1 < I (Q, воспользуемся неравенством [w, w]B < [w, w]^,

n

где w (E) = u (E) Cty. Так как для выражения w (£) справедливы n

i=1

равенств [w^Jg = 0,...,[w,yn]- = 0, то лз минимаксного принципа Куранта [4] для n+1-го собственного значения tn+1 промежуточной базовой задачи

следует, что tn+1 > min {[w, w]л [w, w]B } = F° Откуда вытекает используемое

ueM ( A во )

далее неравенство [w, <{лп'+1} [w, w]^ . Наконец, применив неравенство [w, w]^ < K_1[w, w]^ , для доказательства которого нужно использовать тождество (13) из [3] , получим, что минимум А на M функционала

X п = [u, и]с

n [U,и ]с-Z[U ]cCl[U,Vj ]C

Z [u,Vi]Bbl[u,Vj]B +- ',j=1

Kt

(19)

является оценкой снизу для искомого А*. Оказывается, что ?П°+1 = к^+1.

Для доказательства используется взаимно-однозначное соответствие функций u (£) из M и функций u0 (£) из M0, задаваемое по формулам аналогичным (12)—(14). Используя их и равенства (8), которым удовлетворяют u0 (£), непосредственно интегрированием можно убедиться, что [и,уj]с = [и0,фj]с

и [уtj]Q = [ф;,фj]Q. Тогда коэффициенты Cj совпадают с коэффициентами

C0 наилучшего приближения u0(£) по норме H(° функциями ф1(Е),...,фя(Е) и выполнено [w, ф1 ]C = 0,...,[w, фп = 0. Из минимаксного принципа [4] для tn+1

базовой задачи следует, что tnl+1 = tn+1.

Применив метод множителей Лагранжа для нахождения минимума функционала (19) получаем соответствующие уравнения Эйлера и естественные граничные условия, из которых и интегральных условий (8) следует, что множители Лагранжа и в первой, и во второй задаче равны нулю. Тогда, отыскивая минимум функционала (19), можно следовать методике, изложенной в [3]. В результате получим, что оценка снизу равна An = min {rn4; K"kL}, где rn — наибольшее собственное число матрицы 2-го порядка, которая представляется в виде блочной матрицы 2-го порядка (/, s = 1,..., n)

ID (11)||

ID (21)11

г II

D (22)1

D(11)= 0, D(12)=5., D(21) =-Kk-lfb.c..;

si ' si si' si n+1 / V sj Jl '

j=1

(20)

D(22) = 5КГ2 + G , G =V gb'..

si si n+1 si* si / t о sj ij

j=1

ВЕСТНИК

2/2014

Если обозначить ю(f (£)) = | N(£)f (£)d£, то элементы матрицы gsi равны

о

1) g i = Y i + {Si (v s (y );1) (( (y); £) [[W; £) - ¿o(i;i) ^,(1; £ )]) +

(21)

+ Si (v, (y); 1) ® (((v s (У); £) [[ (i;i) ^ (i; £) - e> (i;i) e (i; £) ])} я_1;

2) g. = Ys,-8^1(l;l){S1 ( (y);l)( (<so(Vl. (y); £)S1(1; £)) +

(22)

+ Si ((. (y );i)( ( s (y); £)8i(i; £))};

3) gsi = Ys, y «= ЛуУЛ) eü(v,(y);£)).

(23)

Для нахождения оценок снизу Хп наименьшего критического значения параметра нагружения стержня в третьей задаче нужно взять первые n функции (11) базовой задачи и по формулам (14) перейти к базисным функциям. Вычислить обратные матрицы а* и b* к матрицам с элементами а* = [уi; уs]A и b*s = [у,; у s ]s. Составить блочную матрицу (20), положив K = 1, заменив с* элементами а* и вычислив по формуле (23) элементы матрицы gsi. Найти на

большее собственное число rn матрицы (20) и выбрать Хп = min{r"1;

Для нахождения оценки сверху Л п наименьшего критического значения параметра нагружения стержня в первых двух и третьей задаче нужно вычислить наибольшее собственное число цп матрицы Gsi, входящей в последний элемент блочной матрицы (20). Так же, как в [3], можно показать, что полученная оценка сверху Л п = ц- не хуже оценки, получаемой методом Ритца.

1. Купавцев В.В. Вариационные формулировки задач устойчивости упругих стержней через изгибающие моменты // Вестник МГСУ 2010. Т. 3. № 4. С. 285—289.

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М. : Машиностроение, 1991. 336 с.

3. Купавцев В.В. Двусторонние оценки в задачах устойчивости упругих стержней, выраженных через изгибающие моменты // Вестник МГСУ 2013. № 2. С. 47—54.

4. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М. : Мир, 1985. 589 с.

5. Doraiswamy Srikrishna, Narayanan Krishna R., Srinivasa Arun R. Finding minimum energy configurations for constrained beam buckling problems using the Viterbi algorithm // International Journal of Solids and Structures. 2012, vol. 49, no. 2, pp. 289—297. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2011.10.003.

6. Пантелеев С.А. Двусторонние оцени в задачах об устойчивости сжатых упругих блоков // Известия РАН. МТТ. 2010. № 1. С. 51—63.

7. SantosH.A., GaoD.Y. Canonical dual finite element method for solving postbuckling problems of a large deformation elastic beam // International Journal Non-linear Mechanics. 2012, vol. 47, no. 2, pp. 240—247. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2011.05.012.

8. Selamet Serdar, Garlock Maria E. Predicting the maximum compressive beam axial force during fire considering local buckling // Journal of Constructional Steel Research. 2012, vol. 71, pp. 189—201. DOI: 10.1016/jjcsr.2011.09.014.

9. Тамразян А.Г. Динамическая устойчивость сжатого железобетонного элемента как вязкоупругого стержня // Вестник МГСУ 2011. Т. 2. № 1. С. 193—196.

Библиографический список

10. Манченко М.М. Устойчивость и кинематические уравнения движения динамически сжатого стержня // Вестник МГСУ 2013. № 6. С. 71—76.

Поступила в редакцию в декабре 2013 г.

Об авторе: Купавцев Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-46-74, kupavtsev. mgsu@mail.ru.

Для цитирования: Купавцев В.В. Базисные функции и двусторонние оценки в задачах устойчивости упругих неоднородно сжатых стержней, выраженных через изгибающие моменты с дополнительными условиями // Вестник МГСУ 2014. № 2. С. 39—46.

V.V. Kupavtsev

BASIC FUNCTIONS AND BILATERAL ESTIMATES IN THE STABILITY PROBLEMS OF ELASTIC NON-UNIFORMLY COMPRESSED RODS EXPRESSED IN TERMS OF BENDING MOMENTS WITH ADDITIONAL CONDITIONS

The method of two-sided evaluations is extended to the problems of stability of an elastic non-uniformly compressed rod, the variation formulations of which may be presented in terms of internal bending moments with uniform integral conditions. The problems are considered, in which one rod end is fixed and the other rod end is either restraint or pivoted, or embedded into a support which may be shifted in a transversal direction.

For the substantiation of the lower evaluations determination, a sequence of func-tionals is constructed, the minimum values of which are the lower evaluations for the minimum critical value of the loading parameter of the rod, and the calculation process is reduced to the determination of the maximum eigenvalues of modular matrices. The matrix elements are expressed in terms of integrals of basic functions depending on the type of fixation of the rod ends. The basic functions, with the accuracy up to a linear polynomial, are the same as the bending moments arising with the bifurcation of the equilibrium of a rod with a constant cross-section compressed by longitudinal forces at the rod ends.

The calculation of the upper evaluation is reduced to the determination of the maximum eigenvalue of the matrix, which almost coincides with one of the elements of the modular matrices. It is noted that the obtained upper bound evaluation is not worse than the evaluation obtained by the Ritz method with the use of the same basic functions.

Key words: stability, elastic rod, non-uniformly compressed, bilateral estimates, variational formulation, critical loading, bending moment, basic functions.

References

1. Kupavtsev V.V. Variatsionnye formulirovki zadach ustoychivosti uprugikh sterzhney cherez izgibayushchie momenty [Variational Formulations of the Problems of Elastic Rods Stability Using Bending Moments]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, vol. 3, no. 4, pp. 285—289.

2. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoychivost' uprugikh sistem [Fundamentals of the Stability Analysis of the Elastic Systems]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 336 p.

3. Kupavtsev V.V. Dvustoronnie otsenki v zadachakh ustoychivosti uprugikh sterzhney, vyrazhennykh cherez izgibayushchie momenty [Bilateral Estimates in Elastic Rod Stability Problems Formulated through Bending Moments]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 2, pp. 47—54.

4. Rektoris K. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike i tekhnike [Variational Methods in Mathematical Physics and Engineering]. Moscow, Mir Publ., 1985, 589 p.

ВЕСТНИК o/on^/l

2/2014

5. Doraiswamy Srikrishna, Narayanan Krishna R., Srinivasa Arun R. Finding Minimum Energy Configurations for Constrained Beam Buckling Problems Using the Viterbi Algorithm. International Journal of Solids and Structures. 2012, vol. 49, no. 2, pp. 289—297. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2011.10.003.

6. Panteleev S.A. Dvustoronnie otsenki v zadachakh ob ustoychivosti szhatykh uprugikh blokov [Bilateral Assessments in the Stability Problem of Compressed Elastic Blocks]. Izvestiya RAN. MTT [News of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of Solids]. 2010, no. 1, pp. 51—63.

7. Santos H.A., Gao D.Y. Canonical Dual Finite Element Method for Solving Post-buckling Problems of a Large Deformation Elastic Beam. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2012, vol. 47, no. 2, pp. 240—247. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2011.05.012.

8. Selamet Serdar, Garlock Maria E. Predicting the Maximum Compressive Beam Axial Force During Fire Considering Local Buckling. Journal of Constructional Steel Research. 2012, vol. 71, pp. 189—201. DOI: 10.1016/j.jcsr.2011.09.014.

9. Tamrazyan A.G. Dinamicheskaya ustoychivost' szhatogo zhelezobetonnogo elementa kak vyazkouprugogo sterzhnya [Dynamic Stability of the Compressed Reinforced Concrete Element as Viscoelastic Bar]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, vol. 2, no. 1, pp. 193—196.

10. Manchenko M.M. Ustoychivost' i kinematicheskie uravneniya dvizheniya dinami-cheski szhatogo sterzhnya [Dynamically Loaded Bar Stability and Kinematic Equations of Motion]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 6, pp. 71—76.

About the author: Kupavtsev Vladimir Vladimirovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Мoscow, 129337, Russian Federation; kupavtsev.mgsu@mail.ru; +7 (499) 183-46-74.

For citation: Kupavtsev V.V. Bazisnye funktsii i dvustoronnie otsenki v zadachakh ustoychivosti uprugikh neodnorodno szhatykh sterzhney, vyrazhennykh cherez izgibayushchie momenty s dopolnitel'nymi usloviyami [Basic Functions and Bilateral Estimates in the Stability Problems of Elastic Non-Uniformly Compressed Rods Expressed in Terms of Bending Moments with Additional Conditions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 2, pp. 39—46.