О вариационных формулировках задач устойчивости стержней с упруго защемлёнными и опёртыми концами Текст научной статьи по специальности «Физика»

4./2011 ВЕСТНИК _7/202J_МГСУ

О ВАРИАЦИОННЫХ ФОРМУЛИРОВКАХ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ С УПРУГО ЗАЩЕМЛЁННЫМИ И ОПЁРТЫМИ КОНЦАМИ

ABOUT THE VARIATIONAL FORMULATIONS OF THE

STABILITY PROBLEMS FOR THE RODS WITH THE ELASTIC FIXATION OF SUPPORTED ROD ENDS

B.B. Купавцев

V.V. Kupavtsev

ГОУ ВПО МГСУ

Получены выраженные через изгибающие моменты и поперечные силы, вариационные формулировки задачи устойчивости прямолинейногооднопролётного неоднородно-сжатого стержняс упруго защемлёнными и опёртыми концами.

The author obtained the variational formulations of the stability problem for a rectilinear one-span non-uniformly compressed rod with the elastic fixation of supported rod ends; the aforesaid formulations are expressed through the bending moments and the transversal forces.

Рассматривается в классической постановке задача устойчивости прямолинейного однопролётного упругого стержня длиной I и переменной изгибной жесткости EJ(x) (0 < x < £), сжатого продольным усилием pN(x) .Внешние нагрузки, пропорциональные безразмерному параметру p, при потере устойчивости стержня не изменяются ни по величине, ни по направлению. Концы стержня упруго защемлены и упруго опёрты[1]. Коэффициенты жесткости защемления концов x = 0 и x = I равны, соответственно, а0 и а1 (а0 > 0,а1 > 0), а коэффициенты жесткости опор поперечным смещениям равны Д, и Д (/?„ > 0,Д > 0). Предполагается, что условия закрепления концов стержня допускают продольное смещение одного из концов при нагружении стержня И N(x) > Nmin > 0.

При переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к смежной изогнутой форме равновесия (бифуркация равновесия) изменение полной потенциальной энергии стержня A3(v, p) складывается из потенциальной энергии изгиба стержня, энергии деформации упругих опор и уменьшения потенциальной энергии сжимающего усилия. A3(v, p), вычисленное с точностью до квадратов поперечных перемещений v(x) точек оси стержня и их производных [2], равно

A3(v, p) = 1 J[EJ(v")2 - pN(v')2]dx +1[«0V2 (0) + «у2 (i) + Дv2 (0) + 4v2 (i)] (1) 2 0 2 Здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по переменной x .

Согласно энергетическому критерию потери устойчивостикритическое значение параметра нагружения p равно наименьшему его значению p1, при котором изменение полной потенциальной энергии стержня(1)равно нулю. Равенство A3(v1; p1) = 0 должно быть выполнено при некотором поперечном перемещении v1(x) из множества V функций поперечных перемещений v(x) оси стержня, на которые согласно условиям закрепления концов стержня геометрические граничные условия не накладываются. Предполагается что, функции множества V непрерывны со своими производными до четвёртого порядка включительно на отрезке 0 < x < £, а функция EJ(x) и ее первые две производные, равно как и функция N(x) и ее производная, также непрерывны на этом отрезке.Следует отметить, что из множества V можно исключить функцию v(x) = const, соответствующую поступательному перемещению стержня в поперечном направлении. Действительно, энергия опорных устройств должна появляться за счёт уменьшения потенциальной энергии сжимающего усилия, которая при поступательном поперечном перемещении стержня не изменятся, поскольку продольные усилия на поперечном перемещении стержня работы не совершают.

Существование смежной формы равновесия стержня эквивалентно условию стационарности полной потенциальной энергии стержня в смежном положении равновесия. Из условия стационарности, приравняв нулю первую вариацию £(ДЭ) = 0 полной потенциальной энергии стержня (1) и проинтегрировав по частям, вытекают уравнение смежной формы равновесия (уравнение нейтрального равновесия) однопролётного стержня с упруго защемлёнными и упруго опёртыми концами

(EJv")" + р( Nv')' = 0 (2)

и соответствующие ему естественные граничные условия

EJ (£)v"(£) + «/(-0 = 0, EJ (0)v"(0) -a0v'(0) = 0, (3)

(EJv")' (-0 + pN(£)v'(£) -fi1v(£) = 0 , (EJv")' (0) + pN(0)v'(0) + Д 00) = 0. (4)

Нахождение наименьшего собственного значения p1, для которого существует решение v1 (x) дифференциального уравнения (2), не равное тождественной константе и удовлетворяющее однородным граничным условиям (3) и (4), эквивалентно нахождению минимума функционала i

jEJ(x)(v")2 dx + a0v'2 (0) + a1v'2 (£) + f30v2 (0) + plv2 (I) p1 = min "-J-• (5)

veV,

v *const jN (x)(v ')2 dx

0

Применив метод Релея-Ритца [2] к нахождению минимума функционала (5), мож-нодля критического значения параметра нагружения p1 найти его приближённые значения, которые являются верхними оценками p1.

В [3] получена выраженная через изгибающие моменты вариационная формулировка задач устойчивости неоднородно-сжатых прямолинейных однопролётных упругих стержней переменной изгибной жесткостибез учёта податливости опорных устройств. В этих случаях условия закрепления концов стержня не допускают ни поступательное его перемещение в поперечном направлении, ни поворот как абсолютно твёрдого тела. Каждой отличной от нуля функции поперечного перемещения стержня,

4/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ

удовлетворяющей граничным условиям, соответствует отличный от нуля внутренний изгибающий момент. Поэтому вариационную формулировку задачи устойчивости в изгибающих моментах в [3] можно было получить из условия стационарности полной потенциальной энергии путём выражения потенциальной энергии изгиба стержня через изгибающий момент и выражения изменения потенциальной энергии сжимающего усилия через изгибающий момент с использованием уравнение нейтрального равновесия.

В рассматриваемой задаче устойчивости условиями закрепления концов стержня допускаются его перемещения в виде поворота абсолютно твёрдого тела. При таком перемещении внутренний изгибающий момент тождественно равен нулю, так что отличной от константы функции поперечного перемещения стержня может соответствовать равный нулю внутренний изгибающий момент. Следует отметить, что при этом потенциальная энергия изгиба стержня равна нулю, но появляется энергия деформации упругих опор за счёт уменьшения потенциальной энергии сжимающего усилия.

Далее формулируется обобщённая вариационная формулировка рассматриваемой задачи устойчивости, выраженная через поперечные перемещения оси стержня, внутренние изгибающие моменты m(x) и действующие по торцам стержня изгибающие моменты /и0, цх и поперечные силы r0, r1. Введем обобщённый функционал

2 2 2 2

0(v, m, ц0, А, r0, rj = ^v'(i) - А- + v'(0) - + r1 v(l) + r0v(0) - +

2«1 2«0 2Л 2А)

-J[mv" + 2Ej + pN(v')2]dx , (6)

определённыйна множестве V функций v(x), множестве M дважды непрерывно дифференцируемых функций m(x) (0 < x < I), на которые граничные условия не накладываются, и на множествах действительных чисел ¡л1, r0 и r1 .Так как A3(v, p), определяемое по формуле (1), является выпуклым функционалом по v"(x) и выпуклой функцией по v'(£), v'(0), v(£) и v(0) ,то справедливо равенство

max 0(v, m, /j0, r0, r1) = A3(v, p). Непосредственно в этом можно убедиться, вы-

m,M„,Ml, Г„А

делив для нахождения максимума 0(v, m, ju0, ¡и1, r0, r1) из его выражения (6)четыре вычитаемых полных квадрата [д - v'(^)]2(2a1)_1, [ц0 - v'(0)]2(2a0)_1, [r1 - v(^)]2(2/?1)_1 ,[r0 - v(0)]2(2^0)_1, а извыражения под знаком интеграла (6) полный квадрат (m + v")2 (2EJ)_1.

Из условия стационарности функционала (6), приравняв нулю его первую вариацию §(Ф) - 0 и проинтегрировав по частям mSv" и pNv'Sv' на отрезке 0 < x < I, вытекают соотношения:

- m" + p(Nv')' = 0 , v" + m (EJ)= 0 (7)

на отрезке 0 < x < I, а на его концах

ц - m(i) = 0 , ju0 + m(0) = 0, (8)

m CO - pN(t)v'(t) + r1 = 0 , m (0) - pN(0)v'(0) - r0 = 0, (9)

у'(£)-^а,1 = 0, у'(0)-д,«"1 = 0, у(£) - тф;х = 0, у(0) - гА1 = 0. (10)

Если, используя второе соотношение (7) и четыре равенства (10), исключить в правой части выражения (6) функционала Ф(v, m, Mo, ^ ro, г1) все переменные, кроме -первого, то обобщённый функционал(б) преобразуется в функционал полной потенциальной энергии (1).

Преобразуем теперь обобщённый функционал(б), исключая все переменные, кроме т, используя первое соотношение (7) и равенства (8) и (9). Проинтегрировав первое равенство(7), получим

- т'(х) + рМ(х)у'(х) = д, у'(х) = [т'(х) + дурИ(х), (11)

где б -константа интегрирования, равнаяс точностью дознака сумме проекций всех сил, расположенных в поперечном сеченииизогнутого стержня, на ось, перпендикулярную к первоначальной, прямолинейнойоси стержня.Из равенств(9) следует г1 = б и г0 =- д на основании первого равенства (11). Тогда

I

г^(£) + гу(0) = ду(£) - у(0)] = д ¡у^х . (12)

0

Из равенств (8) следует /л1 = т(1) и ¿и0 = - т(0) .Выразив по второй формуле (11) первую и вторую производные у(х) в выражениях под знаком интеграла(12) и обобщённого функционала (6), то егоможно представить после интегрирования по частям в следующем виде

I (m, q=1 г m x)+Q]2 dX -1 fmixidx+mifi++Q ^\

2 0 pN(x) 2 ¡FJ(x) ^ /у \ИХ И0 '

rm2(x) , m2(i) m 2(0)

--—d" ' '

_ 0 EJ(x)

Функционал I(m, Q) задаётся на множестве M функций m(x) и множестве действительных чисел Q, при условии, что на отрезке 0 < x < I тождественно m' + Q Ф 0. Это условие, согласно второму равенству (11) эквивалентно условию v(x) ф const.

Итак, вариационная формулировка рассматриваемой задачи устойчивости, выраженная через возникающие при бифуркации изгибающие моменты m(x) и взятые с противоположным знаком поперечные силы Q, заключается в нахождении наименьшего значения p1 параметра нагружения, при котором принимает стационарное значение функционал (13) на некоторой функции ml(x) из множества M и значении Q1 при

условии m1 + Q1 Ф 0 тождественно на отрезке 0 < x < i .

Из условия стационарности функционала (13), приравняв нулю его первую вариацию и проинтегрировав по частям [m'(x) + Q][pN(x)]-1 Sm' на отрезке 0 < x < I, вытекают соотношения, которым должны удовлетворять m1 (x) и Q1,

i

[(m'{ x) + Q )/ pN (x) J + m(x )/ EJ (x) = 0 , j[m'( x) + Q] (pN (x) dx - Q (Д"1 + Д;1) = 0 (14)

0

и соответствующиместественнымграничным условиям

(m'(l) + Q )/ pN (Г) - m(C)d[x = 0, (m'{0) + Q )/pN (0) + m(0)a0_1 = 0 . (15)

Согласно второму равенству (11) первое соотношение (14) эквивалентно выражению внутреннего изгибающего момента через вторую производную поперечного перемещения оси стержня (7), а граничные условия (15) эквивалентны выражениям мо-

(13)

4/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ

ментов, возникающим на торцах стержня, через углы поворотов концов стержня. Смысл второго соотношения (14) легко раскрывается, если стержень сжимается силами, приложенными только на его концах (N = const). Тогда оно принимает вид

m(t) - m(0) + Qt - pN(rxp{x - ro0^i) = 0, который совпадает c условиемравновесия всего

стержня в целом [1] , поскольку r1 = Q, r0 =-Q , a r^1 = v(£) и r^f^ = v(0).

Нахождение наименьшего собственного значения p1, для которого существует

функция m1 (x) из множества M и действительное Q1 при условии m + Q1 Ф 0, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению и соотношению (14) и однородным граничным условиям (15) , эквивалентно нахождению максимума функционала

I 2 ( )

J m ( d x + m2(i)a\l + m2 (0) c^1 + Q2 (Д"1 + Д-1)

— = max ---. (16)

p1 ^MQQo^ f[m'(x) + Q]2 dx

0J N (x)

Следует отметить, что полученная вариационная формулировка, выраженная через изгибающие моменты и поперечные силы, не является двойственной к вариационной формулировке (5) рассматриваемой задачи устойчивости, выраженной через поперечные перемещения оси стержня, поскольку максимум функционала (16) равен величине обратной к искомому критическому значению p1.

Литература

1. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М., Гостехиздат, 1955.

2. Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М., Машиностроение,

1978.

3. Купавцев В.В. Вариационные формулировки задач устойчивости упругих стержней через изгибающие моменты // Вестник МГСУ. 2010, № 4,т.3,с. 285-289.

Literature

1. Rzhanitsyn A.R. Ustoichivost ravnovesiya uprugih sistem. M., Gostehizdat, 1955.

2. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustoichivost uprugih sistem. M., Mashinostroenie, 1978.

3. Kupavtsev V.V. Variatsionnye formulirovki zadach ustoichivosti uprugih sterzhnyei cherez izgibayushchie momenty // Vestnik MGSU. 2010, № 4, t.3, s. 285-289.

Ключевые слова: устойчивость, упругий стержень, однопролётный, неоднородно-сжатый, упругое защемление, упругое опирание, критическая нагрузка, вариационная формулировка, изгибающий момент, поперечная сила

Key words: stability, elastic rod, one-span, non-uniformly compressed, elastic fixation, elastic support, critical loading, variational formulation, bending moment, transversal force

Тел.:8-985-257-21-90. E-mailaemopa:kupavtsev.mgsu@,mail.ru

Рецензент: Киселёв Алексей Борисович, доктор физико-математических наук, профессор-кафедры «Волновой и газовой динамики» МГУ им. М.В. Ломоносова