CC BY
28
ВЕСТНИК 6/2Q11
ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОГО КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ, СЖАТОГО ПОЛУСЛЕДЯЩЕЙ
силой
TWO-SIDED ESTIMATES OF THE STABILITY OF AN ELASTIC FLOATING CORE, CONTRACTED BY A HALF-TRACKING
FORCE
A.B. Дудченко, B.B. Купавцев
A.V.Dudchenko, V.V. Kupavtsev
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
Получены двусторонние оценки в задаче устойчивости прямолинейного упругого консольного стержня, сжатого силой, линия действия которой при бифуркации равновесия проходит через неподвижную точку.
The two-sided estimates are obtained in the problem of the stability of an elastic floating core, contracted by a force, the line of action of which at the equilibrium bifurcation state goes through a fixed point.
Рассматривается задача об устойчивости прямолинейного упругого стержня длины I, один конец которого заделан, а ко второму свободному концу приложена продольная сила P , линия действия которой при бифуркации равновесия стержня проходит через неподвижную точку C (рис.1). Расстояние от закрепленного конца стержня до точки C равно b . К такой постановке сводится задача об устойчивости стойки шпренгельной балки, сжатой усилиями, передающимися от тяжей [1].
При бифуркации равновесия рассматриваемого стержня, то есть при переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к близкой к ней криволинейной форме равновесия меняется линия действия силы P. В результате, при выпучивании у сжимающей стержень силы появляется поперечная составляющая
Q = P sin у = = Pu(I) (/ + b+ u2 (/)(/ + bу1 я Pu(i)(i + b)_1, так как поперечное отклонение u (t) свободного конца стержня настолько мало по сравнению с длиной стержня, что квадратом u(f,)(£ + б)"1 по сравнению с 1 можно пренебречь. С той же степенью точности продольная составляющая равна ■ Сила Q направлена к исходной прямолинейной форме равновесия стержня, т.е. в противоположном направлении к перемещению точки её приложения (рис.1). Поэтому потерянная при выпучивании стержня потенциальная энергия сжимающего его усилия равна
du Y dx _
dx J I + b
(1)
6/2П11 ВЕСТНИК
_6/2011_МГСУ
Критическое значение Р, при котором стержень теряет устойчивость, равно минимуму отношения потенциальной энергии изгиба стержня [1] к изменению потенциальной энергии внешнего сжимающего усилия (1). Перейдя к безразмерным величинам | = хГ1 , w(f) = ut-1, 7(« = I(/шш)-1, l2Р(Е1шш)-1, ^ = (* + b)l-1, получим, что критическое значение А безразмерного сжимающего усилия равно
я = min_bwL_. (2)
w^ [w, w]Bo - w2 d/T1
Используются обозначения, где штрих означает дифференцирование по £ (0 1)
i _ 1
[wU w2 ]A = \w!i'1 w2di , [W1, w2 = \w"w"d4 ,
0 0
1
(3) k, w2 ^ = Jw w2, k, w2 - [W1, w2 1,0 - w1 (1V2 W/^ . (4)
0
Минимум в (2) отыскивается в пространстве ^ функций w(|), которые непрерывно дифференцируемы на отрезке 0 < £ < 1, имеют почти всюду [2] квадратично интегрируемую вторую производную и удовлетворяют на конце этого отрезка определения граничным условиям жесткой заделки стержня
w (0) = w'(0) = 0 . (5)
Предполагается, что безразмерная изгибная жесткость I(£) может быть кусочно непрерывно-дифференцируемой функцией на отрезке 0 1 и I(^)> Imin > 0.
В [3] предложен метод нахождения двусторонних оценок в задачах устойчивости неоднородно-сжатых однопролётных упругих стержней переменного сечения в классической постановке задачи, когда линии действия сжимающих сил не меняются при бифуркации равновесия. Чтобы применить этот метод к рассматриваемой задаче, нужно вариационную формулировку (2) представить в виде нахождения минимума функционала, равного отношению квадратов норм элементов двух гильбертовых пространств. Эти пространства должны быть заданы на функциях w(f) из Р . Далее необходимо построить две последовательности функционалов Фп (w) и Fn (w), минимумы которых в V являлись бы оценками снизу и сверху для Л, т.е. Лп = штФп (w)<Ä< minFn (w) = An (n = 1,2,...) . Вычисление этих оценок необходимо свести к нахождению собственных чисел матриц. Элементы матриц должны выражаться через известные первые n собственные функции и соответствующие им собственные значения базовой задачи [3]. В качестве таких функций для рассматриваемой задачи можно взять известные [1] формы потери устойчивости ^ консольного стержня постоянного поперечного сечения, сжатого продольной силой на конце в классической постановке задачи. Перейдя к безразмерным величинам, ^ и соответствующие им корни квадратные кп безразмерных сжимающих усилий, равны
срп (^^"'ММН К =ж(п - 0,5) (п = U,..).
Используя граничные условия (5), легко убедиться, что оба выражения в (3) и первое в (4) являются скалярными произведениями [2] для функций из , что позволяет рассматривать их как элементы гильбертовых пространств # , н и H, соответственно. Тогда выражение в числителе функционала (2) является квадратом нормы
ВЕСТНИК МГСУ
6/2Q11
элементов пространства нА . Чтобы показать, что и знаменатель функционала (2) для функций пространства ^ также является квадратом нормы элементов некоторого гильбертова пространства нв , задаваемого по второй формуле (4), необходимо ис-
пользовать тождество 1 1
J(w')1 w2(1) =J(w')1 jw'(4)= - JJ[w'(s)- w'(t)]1 dsdt.
(6)
Очевидно, что квадратичная форма [и^, и>2 ]в симметрична и билинейна [2]. Неравенство [и, и]в > 0 справедливо на основании тождества (6), поскольку
инте-
1 2 1
[и,и\в = |(и')2и ' > |(и')2и2(1), так как р> 1, а выражение под знаком
0 Р 0
грала в правой части (6) не отрицательно. Чтобы убедиться, что из равенства [и, и\в = 0 для функции и из V следует и э о , нужно воспользоваться тождеством (6) и граничными условиями (5).
Построение последовательности функционалов Фп (и) (п = 1,2,...), основано на неравенствах, вытекающих из задач о наилучшем приближении и из V функциями (р1 (<0(<0по нормам пространств НА и нв [2]. Коэффициенты А, и В, наилучшего приближения в этих задачах удовлетворяют равенствам
n n
= [■w wL -ЕЕ [w, я L [w, Vi ] a
i=1 i=1
n n
[w, wL = ZZ К v, L b'i [ w, Vi ]в
i=1 i=1
(7)
(8)
где dy и b'i - элементы обратных матриц к положительно определенным матрицам lajl и ||by| с элементами a.. = [^^ и bij = [pi,vi]B . Если заменить Bt в последнем слагаемом правой части (8) на коэффициенты наилучшего приближения в0 элемента w (|) системой <р1,...,фп по норме пространства И°в , применить неравенство [w, w] <[w, w] и неравенство, вытекающее из вариационной формулировки безразмерной силы kJ+i, а затем неравенство [w, w] <[w, w] и равенство (7), то получим неравенство, в силу которого нижняя грань Хп функционала
Фп (w) = [w, w]a \ J [w,^]вb* [w,ъ ]в + Kh [w, wL - X [w,ft]A a* [w,ft]A
i, i=1
i. i =1
(9) яв-
ляется оценкой снизу для искомого значения X .
Пусть минимум функционала (9) в V достигается на V, а ^ - произвольный элемент из V . Тогда из условия обращения в ноль первой вариации Фп ( и) слсдуст
(1 -ЛА" )Ма-Л,ЁЬ-,^]в £]А = 0 (10)
i, i=1
i, i=1
Для каждой фиксированной ф (, = 1,2,...,п) скалярное произведение ]в является ограниченным линейным функционалом в V. Тогда по теореме Рисса [2] най-
6/2П11 ВЕСТНИК
_6/2011_МГСУ
дутся такие qJ из К , что выполнены равенства ]в = ]^ . Разбив, если нужно, отрезок 0 < £ < 1 на участки, на которых 7непрерывна, и проинтегрировав по частям, можно убедиться, что функция qJ (£) равна
qJ(£) = |||7Г"1«(1)«]|а2 (. = 1,2,...,и) (11)
Положив в (10) ^ = <ра (|) (л = 1,2,..., п), а затем ^ = qs (|) и учитывая, что для функций (11) [ ^ ^ = [^ ^ = ь , получим систему 2п линейных однородных уравнений относительно [у,^ ]в и [у,^ . Используя первые и уравнений этой системы, можно свести ее к системе п однородных линейных уравнений относительно , у]в . Они не все должны быть равны нулю, если д < и2^ , так как на функции из V
ортогональной к по нормам Нл и Нв значение функционала (9) равно ¿п2+1.
Определитель этой системы уравнений должен быть равным нулю
det
Л2кп"+1 Z b*ja)i ~Xn j=1
= 0 (12)
S^i +£[ qs ,9; ] Bb,* _ j=i
Наименьший корень X уравнения (12) является нижней гранью функционала (9)
на V , если Хп < к2+1. Следует отметить, что limк2п = да при п ^ да [2].
По формуле Шура для определителей блочных матриц равно наибольшему собственному числу r матрицы 2п-ого порядка, которую удобно записать в виде блочной матрицы 2-ого порядка с элементами || С1-11' ||, Ц С1-12' ||, || С1-21' || и || С<22) || являющимися матрицами n-ого порядка с элементами
СГ = 0, = , = ±bs/ß, df>=ös^+±[qs,9i]гь;, (13)
где Ssi - символы Кронекера (s,i = 1,2,...,п). Таким образом, оценка снизу равна Än = min jr^1; к2+1}, где r - наибольшее собственное число матрицы (13).
Если отбросить неотрицательное последнее слагаемое в (8), получим неравенство, в силу которого нижняя грань лп в V функционала
Fn (w)=[w, w]Ä j £ [щ Ъ ]в b [ w, Pj ] B J (14)
является оценкой сверху для X. Из условия равенства нулю первой вариации функционала (14), положив там ц равным q1,...,qn и поскольку [v,qt]Ä =[у,^]b, получим систему п линейных однородных уравнений относительно п неизвестных [v,^.]
(i=1,2,.. ,,п), которые не все должны быть равны нулю. Тогда определитель этой системы равен нулю и наименьший корень лп этого уравнения является нижней гранью
функционала (15), а Л ^ равно наибольшему собственному числу матрицы || Gsi 11, эле-
п
менты которой равны Gsi qs] b* . Если отыскивать минимум функционала
;=1 B
ВЕСТНИК 6/2011
(14) на n-мерном подпространстве V , образованном функциями , то получит-
ся оценка сверху для X, совпадающая с оценкой r , получаемой по методу Релея-Ритца. Следовательно, Лп < r .
Вычисленные двусторонние оценки для Я в случае I(£) = (1 + + (а = 0,1; 0,5;1) и р = 1,25; 1,5; 2 позволили определить критическую нагрузку с относительной погрешностью не более 5,5% при выборе n = 4 .
Литература
1. Ржаницын А.Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М., Гостехиздат, 1955.
2. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М., Мир, 1985.
3. Купавцев В.В. К двусторонним оценкам критических нагрузок неоднородно сжатых стержней // Изв. Вузов. Сер. «Строительство и архитектура». 1984, № 3, с. 561-564.
The literature
1.Rzhanitsyn A.R. Stability of the equilibrium state of elastic systems. M., Gostekhizdat, 1955.
2.Rektoris K.Variational methods in mathematical physics and engineering. M., Mir, 1985.
3.Kupavtsev V.V. To the two-sided estimates of critical loading values for non-uniformly contracted elastic cores. - Proceedings of higher education establishments. Construction and architecture, 1984, №8, p.p. 24-29.
Ключевые слова: устойчивость, упругий стержень, однопролётный, консольный, критическая нагрузка, вариационная формулировка, двусторонние оценки, собственные числа
Key words: stability, elastic rod, one-span, consolidated, critical loading, variational formulation, bilateral evaluations, eigenvalues
Тел.:8(985)2572190, e-mail: kupavtsev.mgsu@mail Тел.8(926)0698812, e-mail: aleks_dud@ mail.ru
Рецензент: Киселёв Алексей Борисович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Аэромеханики и газовой динамики» МГУ им. М.В. Ломоносова.
