Устойчивость интегральных многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

4

Моделирование. Математические методы^

реализации можно показать это численно, анализируя каждую итерацию и конечный результат.

Таким образом, решение задачи будет складываться из начального решения и п пар исправляющих функций. Эти функции и сделают повороты защемленных граней нулевыми. Однако начальное решение будет давать критическую нагрузку, соответствующую свободно опертой пластине. При этих значениях прогибы будут бесконечны, но это решение можно считать особым решением. Следует ожидать, что дальнейшее увеличение нагрузки даст конечные прогибы и критическая нагрузка будет достигнута при более высоких значениях, которые можно получить с помощью компьютерных вычислений. Кроме того, анализ формы изогнутой поверхности защемленной пластины, нагружен-

ной только поперечной нагрузкой, позволит приближенно найти линии перегибов и заменить (как и для стержня) данную пластину свободно опертой по этим линиям, которые приближенно будут давать прямоугольный контур меньших размеров. Критические усилия соответственно будут большими.

Подобный метод может быть использован и для решения других задач изгиба и устойчивости пластин и оболочек.

В заключение отметим, что во многих случаях получение точного решения задач о различных формах равновесия и устойчивости сопряжено с большими математическими трудностями, поэтому важное значение имеет разработка надежных приближенных методов, дающих решение, близкое к точному.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов, H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем [Текст] / H.A. Алфутов,— М.: Машиностроение, 1978,— 312 с.

2. Папкович, П.Ф. Строительная механика корабля. Ч. 2 [Текст] / П.Ф. Папкович,— J1.: Гос. союзное изд-во судостроит. промышленности, 1941.— 960 с.

3. Лехницкий, С.Г. Анизотропные пластинки |Текст| / С.Г. Лехницкий,- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.— 355 с.

4. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов [Текст| / Н.М. Беляев,- М.: ГИТТЛ, 1954,- 856 с.

УДК 517.929

И.Н. Зубов, С.В. Зубов, СЛ. Стрекопытов, М.В. Стрекопытова

УСТОЙЧИВОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

В приложениях наиболее важным видом инвариантных множеств являются стационарные инвариантные множества общих систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, которые определяют динамику функционирования системы управления и представляют собой множества в фазовом пространстве.

Постановка задачи

Рассмотрим систему

1 = (1) где X = (х,,..., хп— вектор фазового состояния системы; &(Х) — непрерывно дифференцируе-

мая функция. Пусть для системы (1) множество Месть пересечение к поверхностей:

Ф|(*1.....*„) = 0,

......................... (2)

.....*„) = о

и является интегральным многообразием. Тогда из Х0еМ следует 1(/,10)еМ при />0, где X(/, Х0) — решение (1), удовлетворяющее условию X = Х() при / = 0. Будем называть множество (2) равновесным режимом системы (У) [1].

Пусть векторы Ь] = УФ у/1| УФу || (у = 1,..., к)

^Научно-технические ведомости СПбГПУ. Наука и образование Г 2012

определены илинейно независимы в каждой точке М. Построим в каждой точке т е М ортогональное дополнение к подпространству, натянутому на векторы 6,, Ь2.....Ьк, и выберем в нем произвольный ортонормальный базис Ьк+1.....Ьп.

Пусть векторы .....Ьп непрерывно дифференцируемы по компонентам вектора Хв каждой точке М. Пусть р(А', М) — расстояние отточки Xдо множества М\ 5) — множество таких точекX, что р( А , М) < 5 . Введем в рассмотрение Рт — нормальную к М ¿-мерную плоскость, определяемую уравнениями

(Х-т,Ь,\л=т) = 0: Я = к +1.....п (3)

и проходящую через точку теМ.

Рассмотрим систему «уравнений (2), (3). Применим теорему о неявной функции. Рассмотрим функциональный определитель этой системы относительно компонент вектора т [2]. Если Якобиан системы п-к уравнений (3) относительно компонент вектора т = (т1,..., тп_к) отличен от нуля на А/, то в некоторой окрестности М существует функция т = т(Х), непрерывно дифференцируемая по компонентам вектораХ

Введем новую систему координат у{.....уп

с центром в точке теМ и ортами Ьх.....Ьп.

Матрицу перехода обозначим В. Получим соотношения

Х = т{Х) + ВУ\ У =В~\Х-т{Х)). (4)

Отметим, что = ... = уп =0. Это следует из (3), (4). Составим систему дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют переменные >',.....Ук- Из (4), (1) следует

Здесь

У = В~

А,

( . О Л

-ВУ + ©(7)--

V ЛХ ]

(5)

И{т{.....тп) _\ дт1

БХ Дх,.....х„)

дХ;

если 8 можно выбрать так, чтобы выполнялось р(Х(1,Х0),М) 0 [3].

Система (1), (5) имеет интегральное многообразие

7 = 0, Ф,(Х) = 0,

(6)

где /, у' = 1, ...л.

Определение 1. Равновесный режим М называется устойчивым, если для каждого е>0 можно указать 5>0 такое, что при р(А0,А/)<5 будет

р(Х(/,Х0), М)<г для любого />0. Устойчивый режим называется асимптотически устойчивым.

где у' = 1,...,к .

Определение 2. Интегральное многообразие (6) системы (1), (5) называется устойчивым по отношению к компонентам вектора У равномерно по отношению к компонентам вектора X, если для каждого е > 0 можно указать 5 > 0 такое, что в случае | |< 5 будет || У(), Х0) |< 8 при / > О для всех Х() е Еп. Если к тому же 5 можно выбрать так, что выполняется б > 0 равномерно по Х0 е Еп, многообразие (6) называется асимптотически устойчивым по отношению к компонентам вектора У равномерно по отношению к компонентам вектора Х[4].

Теорема 1. Для устойчивости (асимптотической устойчивости) равновесного режима системы (1) необходимо и достаточно, чтобы семейство (6) было устойчиво (асимптотически устойчиво) по отношению к компонентам вектора У равномерно по отношению к компонентам вектора X.

Доказательство. Необходимость. Пусть равновесный режим (2) системы (1) устойчив (асимптотически устойчив). Тогда с учетом соотношений (4) по определению для любого в > 0 можно указать 5 > 0 такое, что при выполнении условия

р(Х0М) =|| ВУ01|< 84п будет выполняться

р(Х(1,Х0),М)=\\ВУ(1,У0,Х())\\<гу[п при />0 и

р(X(/, Х0), М) =|| В У (/, У(), Х0) ||-> 0 при / оо ,

т. е. иметь место устойчивость (асимптотическая устойчивость) семейства (6) относительно Урав-номерно по X, так как Хне входит в оценки выражений IВУ{) ||,||5Г(/,^,Х0)||.

Достаточность. Пусть семейство (6) устойчиво (асимптотическиустойчиво) по отношению к компонентам вектора /равномерно по отношению к компонентам вектора X. Тогда из (4) следует, что в случае Уе > 0 можно указать 8 > О такое, что при р(Х0,М) =|| ВУ01|< 8л/л будет выполняться

4

Моделирование. Математические методы

р(Х(/, Х0),М) =|| В У (/, 70, Х0) ||< г4п при / > О ир(Х(/,Хо),М)->0 при/ ->оо,

т. е. режим (2) системы (1) устойчив (асимптотически устойчив) [5].

Определение 3. Функция У(У,Х) называется положительно определенной по отношению к компонентам вектора У равномерно по X, если выполнены следующие условия:

1 )У(У,Х) задана при X е Еп, | У ||< а как вещественная и непрерывная, причем К(0,X) = 0; а — некоторая положительная постоянная;

2) для достаточно малого С2 > 0 можно указать такое С[>0, что в случае ||К||>С2 будет

У(У,Х)>С1 при Х0еЕ„.

Теорема 2. Многообразие (2) системы (1) будет устойчивым, если существует функция У (У,X), удовлетворяющая условиям:

1) У (У, X) — положительно определенная по отношению к компонентам вектора Кран но мерно по X;

2) функция У(У<Х) -> 0 равномерно по от-

у-> о

ношению к Х0 е Еп ;

3) полная производная функции У(У,Х)

(IV дУ • ЗУ • — =—Х + — У = 1¥(У,Х) Л дХ ЗУ

в силу системы (4)непрерывна и неположительна.

Доказательство. Зафиксируем е > 0 и рассмотрим сферу || У ||= е. Найдем наименьшее значение У(У,Х),Х0 е Еп на этой сфере. Это, очевидно, можно сделать в силу первого условия. Пусть при | У ||= е, Х0 е Еп

МУ(У,Х) = Х .

В силу непрерывности У(У,Х) существует 5 > 0 такое, что У(У,Х)<к для || У ||<8, Х0 е Е„. Покажем, что это 8 отвечает е в определении 2. Пусть || У ||<8 . Тогда У(У0,Х0)<к при Х0 е Еп , и поскольку V не возрастает в силу третьего условия, то

|| У (/, У(), Х0) ||< 8 при / > О, Х0 е Е„.

Следовательно,

|| 7(/, У0, Х0) ||< £ при / > О, Х0 е Е„ ,

ибо в противном случае существует Т > 0 такое, что ||У(7\У0,ЛГ0)||=е. Тогда К(У(7\ У0, ЛГ0), Х(Т, К0, А'0)) > А,. Полученное противоречие показывает, что при выполнении условий теоремы интегральное многообразие (6) устойчиво к компонентам вектораХ Следовательно, по теореме 1 равновесный режим (2) системы (1) устойчив. Теорема доказана.

В статье показана острота проблемы устойчивости интегральных многообразий, обусловленная тем, что основным аппаратом исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений служит численное интегрирование с помощью ЭВМ. При таком исследовании, как уже было отмечено, возможны не только неточности, но и принципиальные ошибки в оценке характера поведения траекторий системы. Выходом из этого положения может быть построение консервативных численных алгоритмов, учитывающих наличие интегральных многообразий интегрируемых нелинейных систем. Если речь идет об интегральных многообразиях, то нахождение стационарных интегралов или доказательство их существования фактически сводится к задаче интегрирования заданной системы.

Работа выполнена при финансовой поддержки РФФИ (пр. № 10-08-00624).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зубов, И.В. Анализ управляемых систем и равновесных движений [Текст] / И.В. Зубов, Н.В. Зубов, М.В. Стрекопытова,— СПб.: Изд-во СПбГУ, 2009,- 326 с.

2. Зубов, A.B. Динамическая безопасность управляемых систем |Текст| / A.B. Зубов, Н.В. Зубов,— СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2009.— 172 с.

3. Зубов, Н.В. Безопасность функционирования технических систем [Текст] / Н.В. Зубов, А.Ф. Зу-

бова,- СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2010.— 342 с.

4. Блистанова, Л.Д. Проблемы устойчивости матриц и вычислительных алгоритмов [Текст] / Л.Д. Блистанова, Г.А. Зеленков, И.В. Зубов, Н.В. Зубов,— СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2007,- 150 с.

5. Зубов, A.B. Динамика управляемых систем |Текст| / A.B. Зубов, Н.В. Зубов, В.Н. Лаптин-ский.- СПб.: Изд-во «ВВМ»," 2008,- 336 с.