Устойчивость стержней с переменной жесткостью при сжатии распределенной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

"Цены" полосы материала по деформациям в разнотипных экспериментах практически совпадают, что свидетельствует о необходимости применения соотношения связи между механическими величинами и порядками полос изохром в форме выражения (6). Поэтому при выводе основного закона в методе фотоупругости будем исходить из прямой пропорциональной зависимости между тензорами деформаций еij и диэлектрической проницаемости Kj с коэффициентом пропорциональности C, не зависящим от упругих характеристик материала и от вида напряженного состояния: ej = CKj. Отсюда имеем

(ei — е2) sin 2а = C(ki — k2) sin 2p, (ei — е2) cos 2а = C(ki — к2) cos 2p,

где а — угол, характеризующий главные направления тензора деформаций в плоскости пластинки. Поделив одно из этих соотношений на другое, получим

а = p ± п/2. (7)

Таким образом, соотношения (6) и (7) являются основными соотношениями метода фотоупругости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарафутдинов Г.З. Об основах метода интегральной фотоупругости //Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 5. 70-79.

2. Фрохт М.М. Фотоупругость. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Т. 1; 1950. Т. 2.

3. Дюрелли А., Райли У. Введение в фотомеханику. М.: Мир, 1970.

4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

5. Шарафутдинов Г.З., Шейн А.Л. Решение задачи о сжатии диска в трехмерной постановке // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 3. 143-150.

6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

7. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М.: Физматгиз, 1959.

Поступила в редакцию 06.09.2010

УДК 539.3:534.1; 539.4:624.07

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ С ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ ПРИ СЖАТИИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ

В. И. Горбачев1, О. Б. Москаленко2

Рассматривается неоднородный по длине стержень с переменным поперечным сечением. Стержень сжимается распределенной вдоль оси переменной продольной нагрузкой. В работе рассматривается случай потери устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня, при котором наряду с прямолинейной возможна искривленная форма. Критическое сочетание жесткости и продольной силы получается с помощью интегрального представления решения исходного уравнения устойчивости с переменными коэффициентами через решение такого же уравнения с постоянными коэффициентами. В интегральное представление входит функция Грина исходного уравнения, которая вычисляется методом возмущений. Проводится сравнение расчетов по полученным формулам с ранее известными точными решениями уравнения устойчивости для различных частных случаев.

Ключевые слова: упругость, устойчивость, неоднородный стержень, метод осреднения.

A variable cross-section bar is considered. The bar is not uniform in length. The bar is compressed by a variable longitudinal force distributed along its axis. The stability loss of the

1 Горбачев Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorby@mech.math.msu.ru.

2 Москаленко Ольга Борисовна, — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: olga@moskalenko.org.

straight-line shape of the bar's equilibrium is discussed when a curved shape is also possible. The critical combination between rigidity and the longitudinal force is a result of using an integral representation for the solution to the original stability equation with variable coefficients by the aid of the solution to a similar equation with constant coefficients. The integral representation contains the Green function of the original equation specified by the method of perturbations. The numerical results obtained by the derived formulas are compared with the known exact solutions to the stability equations for various particular cases.

Key words: elasticity, stability, nonuniform bar, averaging method.

1. Постановка задачи. В декартовых координатах, выбранных так, как показано на рис. 1, изгиб стержня распределенной продольной силой описывается уравнением четвертого порядка [1]

d_

dx

d_

dx

\ d2u

W(x)

dx

-T(x)^}=0,xe(0,L). (1)

Здесь и(х) — прогиб оси стержня в точке с координатой х; Ш(х) = Е(хх)3(х) — жесткость стержня при изгибе; Т(х) — осевое усилие в сечении с координатой х в прямолинейном стержне в момент потери устойчивости, вычисляемое по заданной распределенной нагрузке Ь(х) (см. рис. 1, а-С); Ь — длина стержня; Е(х) — модуль Юнга; .](х) — момент инерции сечения.

К уравнению (1) необходимо добавить четыре однородных граничных условия (по два на каждом Рис. 1. Устойчивость стержней под действием конце стержня).

распределенной нагрузки Для решения дифференциального уравнения с

переменными коэффициентами применим метод осреднения, суть которого заключается в том или ином способе представления решения исходной краевой задачи для уравнения с переменными коэффициентами через решение такой же краевой задачи для уравнения с постоянными коэффициентами. В настоящее время существуют два основных способа такого представления — это метод малого геометрического параметра (ММГП) и метод тензоров Грина (МТГ). ММГП был предложен Н.С. Бахваловым [2, 3]. Он приспособлен для случая периодической зависимости коэффициентов уравнений от координат. МТГ применим к линейным уравнениям с произвольной зависимостью коэффициентов от координат, в том числе и периодической. Он основан на возможности интегрального представления решения исходной задачи для линейного уравнения с переменными коэффициентами через соответствующий тензор Грина и решение такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами [4-6].

2. Интегральная формула. Пусть С(х,£) — функция Грина некоторой краевой задачи для уравнения (1), т.е. такая функция, которая при х = 0 и х = Ь удовлетворяет однородным условиям, а при х € (0, Ь) — уравнению вида

д_ (д_

дх 1 дх

W (x)

d2G(x,0 дх2

- T(x)

dG(x,Q dx

= S(x - {), x e (0,L),

(2)

где 5(х — £) — дельта-функция Дирака [7].

Для вывода интегральной формулы понадобится решение так называемой сопутствующей задачи, т.е. задачи на отрезке [0, Ь] для дифференциального уравнения того же типа, что и уравнение (1) исходной задачи, и с теми же входными данными, но только с постоянными коэффициентами. Уравнение сопутствующей задачи имеет вид

d4 v

d2v dx2

^о^-г-То—= 0, xe{0,L).

Умножим уравнение (1) на функцию Грина и проинтегрируем по длине:

L

J | [W(x)u"(x)]' - T(x)u'(x)}' G(x, С) dx = 0.

(3)

(4)

После преобразований интегралов и замены х ^ £ получим из (4) следующее представление:

ь ь

и(х) = v(x) + J [Wo- д2°^Х) v"(0 dí + j [To - T(0]

dG(£,x)

dC

v'(Z)

(5)

Как видно, в интегральной формуле (5) явно не присутствуют входные данные исходной задачи. Это означает, что вид интегральной формулы не зависит от граничных условий. Непосредственной проверкой можно убедиться, что выражение (5) удовлетворяет исходному уравнению (1).

3. Общее решение исходного уравнения устойчивости. Общее решение исходного уравнения (1) представляется через общее решение сопутствующего уравнения (3) по формуле (5). Пусть To < 0, тогда общее решение сопутствующего уравнения определено с точность до четырех констант Ci, C2, C3, C4 и имеет вид

v(x) = С\ sin \х + С2 cos \х + С3Х + С4, Л = у/—То/Wo-

Если это решение подставить в интегральную формулу (5), то получим вид общего решения исходного уравнения устойчивости (1), определенного с точностью до четырех констант:

u(x) = C1

L L

sin Xx — Л2 J W(0Gll(£,x) sin X£d£ + \J T^G1 (£,x) cos

+

+ C2

L L

cos Xx — Л2 J W(OGll(£,x) cos X£d£ — Л J TfáG^x) sin X£d£

+

+ C3

x +

L

j T(0G\(£,x) d(

+ C4.

(6)

Здесь Ш(£) = Wo — Ш(£), Т(0 = То — Т(£), С1(^,х) обозначает производную по переменной £, а G'(£,х) — производную по х.

4. Выбор коэффициентов сопутствующей задачи. В формулу (6) входит функция Грина, которая определяется из уравнения четвертого порядка (2). Она также определена с точностью до четырех констант. Для выделения единственного решения уравнения (2) примем следующие условия:

([W (x)G " (x,0] \ = 0, (G "(x,0)x = 0, <G' (x,$)x = 0, <G(x,0)x = 0.

(7)

Под угловыми скобками понимается среднее значение функции на интервале изменения указанной переменной. Если переменная единственна, то она не приводится. Можно показать, что в случае условий (7) коэффициенты Wo и То перестают быть произвольными и необходимым образом должны быть выбраны

в виде То = (Т), Wo = > тогДа

W (0 =

1/W

— w (О, Г(0 = T — T (0, Л = А/—<т) (1/W

5. Уравнение критического состояния. Произвольные константы С\, С2, С3, С4, входящие в формулу (6), необходимо выбрать так, чтобы они удовлетворяли четырем однородным граничным условиям. В результате будем иметь систему четырех однородных уравнений относительно четырех констант. Из условия существования нетривиального решения этой системы получается уравнение критического состояния, т.е. функциональное уравнение для переменной жесткости и переменного продольного усилия, при которых стержень потеряет устойчивость:

F(W,T) =0.

(8)

6. Приближенный способ вычисления функции Грина. Функциональное уравнение (8) содержит функцию Грина исходного уравнения. Для ее отыскания воспользуемся методом возмущений [8].

1

Искусственно введем безразмерный возмущающий параметр к, заменив в уравнении (2) функцию Т(х) на кТ(х). Похожий прием часто используется у В.А. Ломакина (см. монографии [9, 10]). Вместо уравнения (2) получим уравнение

д_ J д_

дх ] дх

W(x)

d2G(x,Q дх2

(9)

в котором присутствует параметр к. Будем искать решение задачи (7) в виде ряда по степеням к:

С(х,0 = ^2 кпОи(х,0. (10)

n=0

Подстановка ряда (10) в уравнение (9) и в условия (7) дает рекуррентную последовательность задач для функций Сп(х,£):

Ш(х) Со(х,о] " = 5(х — С), п = 0;

WGn'

W(x) Gn(x,£)J = T(x) G'n_l(x,0, n> 0;

= 0, G)x = 0, (Gn)x = 0, G)x = 0, n > 0.

(11) (12) (13)

После решения задач (11)-(13) параметр к в формуле (10) полагается равным единице [10, с. 50]. Уравнения (11) и (12) интегрируются в аналитическом виде. В частности,

x

Go (x,0 = j

(* - y){y - ОКУ zOdy + КоЛО f (x -y)y dy +

W (y)

W (y)

+ K02(0 j щ^ау + КогЮх + Км®.

o

Здесь h(x) — функция Хевисайда. Величины K01,... К04 находятся из условий (13):

Koi(0 = -

L '

К02(С) = -

< 1/W >

(у-ОКу-0

W{y)

W(y)

W(y)

Ko4i0 = " \-2Ш-)y ~ Koii0\-ЩуГ/ " Ko2i0 yww) " 03(6 2 •

Расчеты показывают, что maxx>j \Gn(x,£)\ быстро убывает с увеличением номера n.

7. Случай стержня переменной жесткости при постоянном продольном усилии. Пусть продольное усилие постоянно: T = -P = const. Этот случай соответствует t(x) = -F5(x - L), т.е. на конце x = L задана постоянная сжимающая сила, по величине равная P (рис. 2).

В этом случае Т = 0 и формула (6) для общего решения исходного уравнения приобретает вид

u(x) = C\

L

sin \x - \2 J W(0Gll(£,x) sin A£d£

+

+ C2

L

cos \x — A

(14)

x

x

1

Рассмотрим вначале шарнирно опертый стержень (рис. 2, а). Критическую нагрузку будем искать приближенно в том смысле, что в формуле (14) вместо точного значения функции Грина примем G(x, £) ~ G0(х,{). Удовлетворяя условиям и(0) = п(Ь) = 0, п"(0) = п"(Ь) = 0, получаем уравнение критического состояния в "нулевом приближении", которое в данном случае представляется в виде нелинейного уравнения для критического параметра Л:

sin(AL + tf) =

(p(x) sin Ax)

\J((fi(x) sin Лж}2 + (l — {(p(x) cos Аж})2

(15)

где

tf = arctg

(p(x) sin Ax) 1 — (p(x)cos Ax)'

p(x) =

W (x)

1

- 1.

Рис. 2. Устойчивость стержней при действии продольной силы

W (x) W(x)(l/W)

Правая часть уравнения (15) меньше единицы, следовательно, оно разрешимо. Ранее задачи (рис. 2, a-d) были решены методом малого геометрического параметра [11], в результате чего были получены явные аналитические формулы для критической силы во всех четырех случаях. Для шарнирно опертого стержня на рис. 3, b показаны графики зависимости отношений Ркр/Ркр1, полученных разными методами, от относительной длины 0 ^ a ^ 1 части стержня с жесткостью J2, когда J2 = 0,5Ji (рис. 3, a); PKpi = n2EJ1/L2 — критическая сила Эйлера для стержня постоянной жесткости Ji. Сплошная кривая соответствует точному решению уравнения устойчивости для ступенчатого стержня, найденному С.П. Тимошенко [12]. Штрихпунктирная и пунктирная кривые получены МТГ в первом и нулевом приближениях соот-

г-. Рис. 3. Графики зависимости отношения Ркр/РкР1

ветственно. Оставшаяся кривая отвечает решению, ^ ^ ^ р/ кр1

найденному с помощью ММГП [11]. Видно, что ре- / ' 2 = , 1

шение, полученное в нулевом приближении с помощью МТГ, имеет лучшую точность по сравнению с

решением, полученным во втором приближении ММГП.

8. Случай стержня постоянной жесткости при переменном продольном усилии. Считаем, что (Т) < 0. При W = const имеем W = 0 и формула (6) для общего решения исходного уравнения приобретает вид

u(x) = C1

sin Ax + A

x) cos A(

+ C2

cos Ax A

, x) sin A(

+

+ C3

x +

,x) d£

+ C4, A = J — T)/W

Уравнение критического состояния в нулевом приближении таково:

sin (AL + tf) =

b

y/b'2 + (a- 2)2'

(16)

L

L

L

где

а = ХЬ(ф(х) 8ш \х) — (ф)(1 — ссе ХЬ), Ь = ХЬ(ф(х) ее« \х) — (ф) 8ш ХЬ,

§ = arctg

Ь

а- 2'

= Т{х)

<Т>

1

2аЛ

1

Т(х)

<Т>

1

2х

т

Предположим, что продольное усилие меняется пропорционально параметру, т.е. Т(х) = —рр(х). Тогда (Т) = — р < р >, (Т) = р(р— < р >) = рр, X = \/р < р > /Ш и уравнение (16) превращается в уравнение для определения критического значения параметра р, при котором шарнирно опертый стержень теряет устойчивость. В частности, при р(х) = Ь — х получаем классическую задачу Эйлера об устойчивости шарнирно опертой колонны под действием собственного веса (см., например, [13]). В данном случае параметр р обозначает вес единицы длины стержня. Из уравнения (16) получаем ркрЬ3/ЕЗ = 2п2 ~ 19,74, что примерно на 6% превышает значение 18,6, найденное А.Н. Динником.

9. Случай стержня переменной жесткости при переменном продольном усилии. Метод тензоров Грина позволяет рассматривать сжатие стержня переменной по длине продольной нагрузкой. Например, пусть стержень, шарнирно опертый по концам, подвергается действию сил Р\, Р2 и Р1 + Р2 и сила Р2 приложена в некотором промежуточном сечении, расположенном на расстояниях ¡1 и ¡2 от концов (рис. 4, а).

В случае сосредоточенной силы в пролете

Т (х) =

—(Р1 + Р2), —Р1,

0 ^ х ^ ¡2; ¡2 ^ х ^ Ь.

Рис. 4. Зависимость между силами на торце и в пролете, отнесенными к Ркр1, в момент потери устойчивости, 12 = 2/1

Примем, что момент инерции сечения в верхней части равен /1, а в нижней равен /2. Известно уравнение для нахождения точных значений критических нагрузок Р1 и Р2 [14].

В качестве примера рассмотрим стержень (рис. 4, а), для которого построена зависимость отношения Р2/Ркр1 от отношения Р1 /Ркр1 (рис. 4, Ь) в момент потери устойчивости. Сплошная кривая соответствует точному решению, а пунктирная — решению, полученному МТГ в нулевом приближении. Заштрихованная область на графике — область устойчивости для точного решения. Видно, что полученное решение хорошо приближает точное и в данном случае (/2 = 2/1) имеет запас по устойчивости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978.

2. Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // Докл. АН СССР. 1974. 218, № 5. 1046-1048.

3. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. 221, № 3. 516-519.

4. Горбачев В. И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. № 2. 61-76.

5. Горбачев В.И. О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 6. 68-71.

6. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 31-37.

7. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978.

8. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

9. Ломакин В.А. Статистические задачи механики деформируемых твердых тел. М.: Наука, 1970.

10. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.

11. Горбачев В.И., Москаленко О.Б. Об устойчивости стержней с переменной жесткостью // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 6. 65-69.

12. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1965.

13. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. 4-е изд., перераб. M.: Наука, 1987.

14. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

Рассматриваются гамильтоновы системы с малым неавтономным и непериодическим возмущением. Доказываются достаточные условия, при которых значения первых интегралов невозмущенной системы слабо меняются вдоль решения возмущенной системы, если возмущение мало. В качестве примеров рассматриваются механические системы.

Ключевые слова: возмущенная гамильтонова система, постоянно действующее возмущение, неавтономная гамильтонова система.

Hamiltonian systems under weak nonautonomous and nonperiodic perturbations are considered. Sufficient conditions under which the first integrals of the unperturbed system vary slightly along the solution of the perturbed system are formulated. Some mechanical systems are considered as examples.

Key words: perturbed Hamiltonian system, constantly acting perturbations, nonautonomous Hamiltonian system.

Теория КАМ позволяет получать качественные выводы о динамике близких к интегрируемым га-мильтоновых систем, если возмущение гамильтониана автономно или периодично по времени [1]. При определенных предположениях о невозмущенной системе большинство нерезонансных инвариантных торов не разрушается, а только слегка деформируется. Однако если размерность фазового пространства системы больше 4, то значение переменных действие в возмущенной системе может изменяться на величину порядка единицы при сколь угодно малом возмущении [2]. В работе изучаются гамильтоновы системы c неавтономным и непериодическим по времени возмущением. Найдены достаточные условия, при которых значения первых интегралов невозмущенной системы слабо меняются вдоль решений возмущенной системы, если возмущение мало. В частности, если система имеет полный набор первых интегралов в инволюции, то доказываемые утверждения предоставляют достаточные условия, при которых возмущенное решение, начавшееся на инвариантном торе, все время будет оставаться близким к этому тору. Приводятся примеры механических систем, иллюстрирующие общие утверждения.

Введем некоторые определения.

Определение. Гамильтоновой системой будем называть [3] тройку (Ы,ш2,H), где M — гладкое многообразие, dim(M) = 2n, ш2 — замкнутая невырожденная 2-форма на M, H = H(x, t) : M х ^ R — гладкая функция. Через мы обозначаем множество всех неотрицательных действительных чисел.

Динамика в системе (^M,u2задается уравнением X = {x,H}, где {•, ■} — скобка Пуассона двух функций на M, соответствующая 2-форме ш2. При вычислении скобки Пуассона переменная t, определяющая зависимость гамильтониана от времени, считается параметром. В координатах Дарбу (p, q) = (pi,p2, ...,Pn,qi,q2,---, qn), в которых ш2 = Ya=i dpi Adqi, скобка Пуассона двух функций f (p, q) и g(p, q, t) вычисляется по формуле

Поступила в редакцию 24.12.2010

УДК 531

О ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ С МАЛЫМИ НЕАВТОНОМНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

И. Ю. Полехин1

n

{f,g} = Е

df(p,g) дд(р, g, t) _ dfjp, g) dgjp, g, t)

% dpi dpi %

i=1

1 Полехин Иван Юрьевич — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivanpolekhin@gmail.com.