Упрощенная методика определения симметричных составляющих несимметричных систем токов или напряжений Текст научной статьи по специальности «Математика»

АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ

УДК 621.3.02:621.311.13

УПРОЩЕННАЯ МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ ТОКОВ ИЛИ НАПРЯЖЕНИЙ

А.И. Сергиенко, инженер Волгоградский государственный аграрный университет

Предложена инженерная методика, позволяющая ответить на весь комплекс вопросов, связанных с определением СС (симметричные составляющие - модули Иь И2 и И0; аргументы ф1 ,ф2 и ф0). Методика основана на применении «метода трех вольтметров».

Ключевые слова: метод симметричных составляющих, коэффициент несимметрии по напряжению (току) обратной последовательности, параметры качества электроэнергии, метод трёх вольтметров.

На основании графической модели [3], в работе решаются следующие задачи по алгебраизации и упрощению вычислений СС:

1. Разработать математическую модель, позволяющую исследовать закономерности изменения СС на окружности в 360°. Модель должна давать адекватные результаты во всех режимах работы электрических сетей: от КЗ (двухфазного без земли) до обрыва фазы, включая полнофазные несимметричные режимы, а также симметричный.

2. Решить задачу повышения точности вычисления всех составляющих несимметрии при значительном снижении сложности используемых формул и алгоритмов.

Математическая модель должна давать результаты в любом интересующем виде (алгебраическом, показательном, тригонометрическом), в зависимости от целей исследования при непременном условии простоты используемых формул как основы инженерной методики расчета СС.

В работе [3] описана графическая модель, положенная в основу вывода аналитиче-• • •

ских выражений для и 1, и 2 и и о. Автором предложен упрощенный способ определения СС относительно стягивающей ( Г ) стороны Бд (равнобедренный треугольник) (рис. 1).

Рисунок 1 - Упрощенный графический способ определения прямой

Л ОС ,0 р. ~ ' ОА и 1л е1 и обратной и2л =

-130

последовательностей Бд ОББ

л/3 е 2'' S

• •

Алгоритм нахождения и 1л и и2л [4] сводится к следующему.

Если вектор Г несимметричного Бд ОББ равен Г = 1 + а2 + ае Л'х,

• •

то линейные вектора прямой и 1л( ба) и обратной и 2 л( ба) последовательностей:

(1)

Л ОС 130°

и 1л(БА) =—;=■ е =

л/3

1 + а + ае

Л?+60°)

,130° • ОЛ —,(2) и 2 л( ба) = е ^30° = л/3

2

1 + а + ае

-Л?. -60°)

,-1-30°

Таким образом,

= ОВ = Г .

, (3) (4)

^ _ _ л/3 л/3

(0Ле 1300 + ОСе130°)

л/3 _

То есть стягивающая сторона исходного несимметричного Бд (Г ) равна геометрической сумме двух стягивающих векторов, один из которых (ОС ) получен поворотом подвижного вектора к=1 на угол ( — 60 ), а ОЛ - на угол (+60°), разделенных на -У3 и по-

вернутых соответственно на е 1 (для определения и 2 л ) и е] (для определения и 1л ).

В

Рисунок 2 - Определение и 1л(тд) и и 2 л(тд) ТД

В рамках предлагаемого метода несимметричный ТОП (треугольник общего положения, у которого, в общем случае, все стороны различны по модулю, далее Тд), рассматривается как сумма Бд, плюс некоторое искажающее приращение, зависящее как от длины подвижного вектора «к», так и от угла (рх между «к» и неподвижным вектором

а=1 (о.е.). Для того чтобы определить фазные составляющие Тд, вначале необходимо

• •

определить положение нового центра тяжести (ЦТ) трех треугольников ( и 1л(тд), и 2л(тд) и ДАВС) на окружности со6 = к (рис. 2).

Исследования показали, что ЦТ Тд перемещается относительно ЦТ Бд в направ-

к -1 е] (12 о-( )

лении, параллельном вектору «к» на величину пропорциональную 3 . Урав-

нение фазного вектора ТД:

»

к— 1 3

2 „_2

и 2 ф(та) = Цба Ь" + Цт А Цба = и 2ф(БА)+^ е1(12(0—?) = 1Ц + а2 + аеЛ«—60))+ ^ е1(120—?), (5)

к—1

3

где к = \иср(„Мишт(л)|, = агссо 1 + к ^ , да = |итах(л)Мит1П(Л)|

и 2л(БА) е

Ц Ь" = и 2л(БА)

-130°

2к

1 + а2 + ае —60°)

130° -130°

е ^ • е

л/3

л/3 ^л/3

■ = е -160°

2 ^ „„—К?—60°)

1 + а + ае

3

= и/ 2 ф(БА) . (6)

л/3 —1150° _ •

Из рис. 2 следует, что векторная разность и 2фта—— е 1 = и фа , (7)

/3

где У— е_1'150° - неподвижный вектор, соединяющий точки Ь" и Ь'. 3

Определившись с обратными фазными векторами СС Тд, переходим к истинным линейным векторам СС по формулам:

и = и л/3е1'30°

и 2 л(ТА) и 2 ф(ТА)^ 3е , • •

и = с/ л/3е-130°

и1 л(ТА) и1 Ф(ТА) 3е '

1л(ТА) ф(ТА)

В развернутом виде формулы (8) и (9) примут вид:

-160°' < - к-1

3

и.

2 л(ТА)

е

3

(1 + а2 + —660°))+ к—1 е1(120°—)

л/3е130°.

и!

л(ТА)

е

-160°

3

(1

2 , —/(«—60°)\ . + а + ае 1 ))+

к — 1 е1(120°—« ) — л/3 е 115С°

3 3

л/3е~

130°

(8) (9)

(8') (9')

Из формул (8') и (9') получаем сокращенные выражения в показательном виде:

и.

2 л(ТА)

—190°

л/3

[ке-1(?х+120)+ l]=-L[ke-J«+120) +1],

и1

1 И« -+1]=13 [ке

л/3'

.•„2

л(ТА)

—120°)

+ 1

].

(10) (11)

е

После применения тригонометрических формул для суммы и разности углов [1], получаем алгебраический вид сокращенных выражений (10) и (11) в о.е.

и

л(ТА)

и.

2 л(ТА)

к 1

~ЯТ + 2 | + 1

к sin« к

2л/3

к СОЗ « 1

л/3 2л/3

-с°« | + 1|

к

к

Для модуля шем без вывода:

и1 л

(ТА )

вывод формулы приведем полностью, а для

и.

2 л(ТА)

(10') (11')

запи-

1 л(ТА)

к 8т ? 2к1 1 к соз ? 2ксо$,фх 11

3

л/3 2 4

л/3 2л/3 12

1

3

[l + k2 + k(л/3 sin ( - cos ( J = [l + k2 + 2k cos(( -120° )]2,

U

2 л(Т&)

[l + k2 - k(л/з sin ( + cos ( )]2 = [l + k2 + 2k cos(( +120° )]2.

(12)

(13)

Для определения модулей СС в именованных единицах, выражения (12) и (13) необходимо умножить на модуль минимального линейного напряжения из трёх изме-

ренных -

Из формул (10') и (11') получаем выражения для аргументов СС:

(14) ( = arctgk+ )-2

k(sin (px - V3 cos (px )

(1л = arctg

^ 2k cos (px -1 ^

2k sin( + V3

Определение комплекса U о.

• •

Из рис. 2 следует, что U о = -U 2ф(тд). Теперь:

(15)

U о =- a (1 + a2 + kae-j((x-60°)) = - a (-a - k cos( + jk sin() = - a

(1 - k cos (x) - j(y- k sin (x)

(16)

где kae

j((-60° ) _

= ke(1

80s-(x) _

= k cos 180° • cos( + k sin 180° • sin(. + j sin 180° • cos( -

- j • cos 180° • sin (px = (- k cos (px + kjsin (px), 1 + a2 = -a, -a = e j60

Модуль

1

= 3

U 0

U с

--k cos (x I +

2 ,.

— - k sin (x

1 + k2 -k(cos(x + V3sin(x)]2 = ^1 + k2 + 2kcos(( +120°) = ^1 + k2 -2kcos((-60°). (17)

Аргументу : ( = e 160 e

arctg-

, ■ ,

-(--ksin( )

(—k cos( )

(18)

2

2

Окончательно комплекс U 0 :

U0 = + k2 + 2k cos((+120°) • Аргумент ( с учетом e~j60 :

-k sin() a rctg—--

-k cos (x )

(19)

к , гт .ч л/3

-(л/3 С08 + вт % ) - —

(о = ат^ -2-2", (20)

- фътрх - С0в (х) - 2

Очевидно, определение % по (18) менее затратно по времени, чем по (20). Примеры использования полученных выражений.

Коэффициент несимметрии по напряжению обратной последовательности, в соответствии с [2]:

K2„ = Ul • 100% =

и

1 + k2 + 2k cos(ffx +120°) 1 + k2 + 2k cos(^ -120°)

• 100%,

(21)

Комплексный коэффициент несимметрии по напряжению обратной последовательности:

• U 2

K 2U = и2 -100% = -a

U1

ke

-j(q>x +120 )

+ 1

ke

-j(Vx -120)

+1

•100%,

(22)

Выводы: предложенная методика позволяет определять СС в полном виде (мо-

о

дули и аргументы) на окружности 360 алгебраическим способом, доступными вычислительными средствами, без применения вспомогательных таблиц, номограмм и сложных алгоритмов.

Библиографический список

1. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике [Текст]/ М. Я. Выгодский. - М.: Наука, 1978 - 335 с.

2. ГОСТ 13109-97 Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения.

3. Сергиенко, А.И. Алгебраизация способов нахождения модулей симметричных составляющих неполных несимметричных треугольников токов или напряжений [Текст]/ А.И. Сергиенко//Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2013. - №1 (29). - С. 199-204.

4. Сергиенко, А.И. Разработка и исследование инженерной методики по определению симметричных составляющих систем токов и напряжений [Текст] : монография /А.И. Сергиенко. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградская ГСХА, 2011. - 144 с.

E-mail: anatsergienk@gmail.com