Алгебраизация способов нахождения модулей симметричных составляющих неполных несимметричных треугольников токов или напряжений Текст научной статьи по специальности «Математика»

АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ

УДК 621.311.1:521

АЛГЕБРАИЗАЦИЯ СПОСОБОВ НАХОЖДЕНИЯ МОДУЛЕЙ СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ НЕПОЛНЫХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ТОКОВ ИЛИ НАПРЯЖЕНИЙ

А.И. Сергиенко, инженер Волгоградский государственный аграрный университет

Статья посвящена разработке новой методики определения модулей симметричных составляющих (СС) в инженерной практике, без использования сложной вычислительной техники, сложных алгоритмов, комплексного исчисления.

Ключевые слова: метод симметричных составляющих, коэффициент несимметрии по напряжению (току) обратной последовательности, параметры качества электроэнергии, метод трех вольтметров.

СС широко используются в электрических расчетах, например, при определении коэффициента несимметрии по напряжению (току) обратной последовательности, симметрировании режимов узлов нагрузок, в релейной защите, при расчете несимметричных режимов электрических сетей. В целом ряде работ, например [1], [4] и других, реализованы попытки упростить аналитические вычисления по определению модулей СС. Основными недостатками рассмотренных моделей являются: а) громоздкость формул для определения СС; б) частичность решения задачи - определяются только модули искомых величин. В продолжение этих работ автором предложены свои графическая и аналитическая модели.

В предлагаемой работе следует отличать две постановки задачи: а)

определение СС для БД; б) определение СС для ТД, где БД - равнобедренный треугольник; ТД - произвольный треугольник.

Методика определения СС для БД может найти применение в теории электрических машин, например для определения СС при неправильном (перевернутом) подключении фаз асинхронного двигателя или трансформатора, при коротком замыкании (без земли) и обрыве фазы. Характерной особенностью несимметричных систем при перевороте фазы является наличие двух одинаковых по

модулю линейных напряжений. Например и ел и II не(рис. 1).

Рисунок 1 - Векторная диаграмма напряжений при перевернутой фазе «С»

Для определения СС используем треугольник АВС'.

Алгоритм построения графической модели и способ ее использования для определения СС заключается в следующем [3] (рис. 2):

1. Из произвольной точки С' радиусом R = 1 чертим окружность = 1 и на ней строим заданный несимметричный треугольник АВС' (в о.е.).

2. Из точек С', V и Ь” строим окружности радиусами Я ^я =-^, таким

73

образом, чтобы они пересекались в центрах друг друга.

3. Построение окружности о)5 = 1 показано на рис. 2. Центр а>5 = 1 - точка

Оа>5, расположенная на расстоянии 1 от точки С' вектора ВС'.

4. Графический способ определения фазных и линейных СС БД-ов.

4.1. На окружностию5 = 1 фактически повторяем построение исходного

БД-ка только в масштабе 1:3. Так например, отрезок ЕОю5 подобен отрезку ВС', а отрезок Ою5ЦТе - отрезку С'А, с той лишь разницей, что не строим стягивающую сторону, подобную отрезку АВ исходного БД-ка.

4.2. Из точек Ь' и Ь" окружности а =1 строим хорды до пересечения их в

5 3

точке ЦТ£ .

4.3. Хорда ЦТеЬ" пропорциональна \Х2ф\ - фазному модулю обратной последовательности, а ЦтеЬ’ = \Х1ф\. Очевидно, что линейные модули СС будут в 43 больше, что отчетливо видно из векторной диаграммы (рис. 2).

Рисунок 2 - Определение |х^| = |аЬ” и |х2л\ = \а” Ь"\ последовательностей для БД-ка при фх=-120о, к = 1, F = 43

Здесь k = UcA = 1, F = Ua^ = 43. Сторона UBC принята за «особую» фазу,

UBC UBC'

относительно которой определяются (в о.е.) две другие стороны (k, F), ЦТЕ - общий центр тяжести трех треугольников - прямой, обратной последовательностей, а

также исходного БД-ка, расположенный на окружности ®5 = 1. При изменении угла

фх и, как следствие, конфигурации БД-ка, ЦТе перемещается по окружности rn5. BG -линия отсчета углов фх. Отсчет ведется по часовой стрелке.

4.4. Переход от отрезков пропорциональных фазным СС к СС в именованных единицах возможен из следующих пропорций (рис. 2).

4.4.1. Обратная последовательность \Х2ф\:

1 I I 1, , ,

dUmin |(B) Х2ф |(В) . . Т |Umin I' |ЦТЕ' Ь"\

3------------------------, (1) откуда Х 2J = 3-__-, (В),

EO оАСм) ЦТЪ b (См) \EO*5\

(2)

4.4.2. Прямая последовательность |Х1ф\:

3 |Umin |(B) |Х1ф |(В) 3 |Umin | • |Ц^- b"

Г------i-----------------------------------= Н— \-, (3) откуда Х1ф = -3-.-,-, (В),

|EOffl5 |(См) Цт2b \(См) I 1ф |EOffl51

(4)

Из рисунка 2, для угла фх = -120° и k = 1, отчетливо, без дополнительных аналитических выкладок, видны две закономерности, которые также имеют место и при других углах фх [3]:

|a'b'| + |a "b " | = |UAB| = |F|, или, что то же самое \X 1Л | + |Х2Л | = |F|

(5)

Разность площадей равносторонних треугольников прямой и обратной последовательностей равна площади исходного БД-ка.

1л ~ Sx 2 Л = ‘бК

(6)

Из [2] известна формула для площади равностороннего треугольника

S = — a243, (7). Тогда 4

S S = Л^3 Х2 — '^3 Х2 = Л/^3 ( Х2 — Х2 ) = a •k •F (8)

S^1л Sx2л = 4 Х1Л 4 x 2л = 4 (Х1Л x 2л ) = 4R , (8)

Sx, — ‘K, = ^Xl, — ^Хl, — Х2Л) = Vp(p — а)(p — k)(p — F), (9)

где a, k, F - стороны ТД-ка, р = a + k + F - полупериметр ТД-ка, r =_F_ - радиус

2 Isin^

описанной окружности около ТД-ка.

(рх = arccos

2ak

(10) - угол между сторонами a и k.

Две формулы для площади ТД-ов приняты для того, чтобы найти минимальное, с точки зрения количества арифметических операций, решение для

определения СС. В [2] приведено десять наиболее часто используемых формул для вычисления площадей треугольников.

Следовательно в данной работе можно получить не менее 10 различных формул для определения модулей СС. Вопрос, естественным образом, упирается в сложность конечных формул для СС.

Так, при подстановке исходных данных в (9) получим:

1Л

а + k + F • - а + k + F • а - k + F • а + k - F

3

(11)

При перемножении четырех подкоренных выражений в (11) получается выражение для STД

STA =1 [2k2 + 2F + 2k2 F2

- k4 - F4 -1

4*,

Из (8) получаем:

л/2 л/2 _ akF • 4 _ akF _ akF • 2 sin (рх _ 2ак • sin (рх

х 1Л - х 2 Л = = 4ш = “

(12)

(13)

V3F л/3 ’

где фх определяется из (10).

Формулы (11) - (13) дают один и тот же результат, но проще всего воспользоваться формулой (13).

Каждое из уравнений (5), (8) и (9) ни что иное, как одно уравнение с двумя неизвестными, которое не имеет аналитического решения. Чтобы добавить к каждому из уравнений еще одно уравнение с теми же неизвестными, определим, чему будет равняться сумма квадратов СС, т.е. Х12Л + X2Л .

Из [3] (в работе [3] формулы модулей дополнены формулами аргументов), [1], [4] известны формулы для линейных модулей СС, полученные на основе различных математических моделей:

ию =4:^ и% + и\с + иСл ±^,[4и2лви1с - (и2лв + иВс - иСл )2 , (14)

7-2 , тт2 1 /7-7-2 , тт2 тт2 \ т/2 , т/2

тогда Ц2 + и 2 =- (иЛв + и2с + и2л) = Х^ + X

2 Л •

(15)

Теперь возможно записать две системы уравнений, решающих вопрос о СС алгебраическим способом:

1.

Для равнобедренных треугольников (БД).

Х1Л + Х2 Л = П

X

+ IX,. Г = 1 (а2 + к2 + F2)

(16)

2. Для произвольных треугольников (ТД)

X

1Л

- X

I2 = 1 (а2 + к2 + F2) 3у ’

12 _ STA • 4

(17)

2Л

л/3

При k = 1, система (17) дает тот же результат, что и (16), доказывая, тем самым, свою универсальность. Но в (16) есть своя особенность, которой нужно воспользоваться для упрощения аналитических выкладок при получении модулей

2

2

2

СС БД-ов. Так как решением (16) является квадратное уравнение, корнями которого являются СС БД:

X2 -FX +1 ^2 -1)= 0 (18)

Т

Откуд^ X1(2) л = — ±у

(Т) - 3 (F! -1) (19)

Простейшие алгебраические формулы модулей линейных СС, полученные из предлагаемой модели, показаны ниже.

^1(2)Л|гд = + К2 + 2К • ^(^ +120°) = ,

(20) (21)

(22)

|и1л|ВА ^3 ишт • ^П

V

и „ = —;= и ■ • sin

I 2ЛІ5А 13 тт

V 2

Выводы

1. Формулы, полученные в данной работе, ориентированы на инженерную практику, которая предполагает наличие простейших выражений для СС. Так, оптимальные, с точки зрения количества арифметических операций и времени получения результата, для ТД является (20), а для БД - (19), (21) и (22).

2. Непосредственное решение системы (17) позволяет предельно просто определиться с модулями СС, а решение ее в алгебраическом виде относительно СС - получить ряд различных выражений для СС, т.к. они будут зависеть исключительно от выбора формулы для площади ТД.

3. Из формул, определяющих СС исключительно по модулям измеренных линейных параметров (I или V), (без вычисления cosфx или sinфx), лучшей является (14), тем более, что в сравнении с аналогичной формулой Г0СТ-13109-97 она не дает неопределенности (при обрыве фазы.

Библиографический список

1. Калинин, В.Ф. Трехфазные цепи в электрооборудовании [Текст]: учебнометодический комплекс / В.Ф. Калинин, В.М. Иванов, Е.А. Печагин. - Тамбов: Издательство Тамбовского государственного технического университета, 2007. - 72 с.

2. Панарин, Я.П. Элементарная геометрия [Текст] : в 2 т. - Т. 1: Планиметрия, преобразование плоскости / Я.П. Панарин. - 2-е изд., стереотип.- М. : МЦНМО, 2008. - 312 с.: ил.

3. Сергиенко, А.И. Разработка и исследование инженерной методики по определению симметричных составляющих систем токов и напряжений [Текст]: монография /А.И. Сергиенко. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградского ГСХА, 2011. - 141 с

4. Цапенко, Е.Ф. Контроль симметричных составляющих линейных напряжений сетей 6-10 кВ [Текст]/ Е.Ф. Цапенко, Камаль Юнис // Энергетика. - 1997. - №5. - С. 31-33.

Е-mail: anatsergienk@gn^ail. сот

0