УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 3 (2022). С. 3-16.

УДК 517.5

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ОБЛАСТЯХ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Ф.Г. АВХАДИЕВ

Аннотация. В областях евклидова пространства для пробных функций сконструированы и доказаны несколько новых интегральных неравенств типа Гальярдо-Ниренберга с явными константами. Эти неравенства справедливы в любой области, они являются нелинейными, подынтегральные функции содержат степени от модулей градиента и лапласиана пробной функции и, а также множители вида /(|и(ж)|), /'(|и(ж)|), где / — непрерывно дифференцируемая, неубывающая функция, /(0) = 0. В качестве весовых функций используются степени расстояния от точки до границы области, а также степени переменного гиперболического (конформного) радиуса.

Как применения универсальных неравенств типа Гальярдо-Ниренберга мы получаем новые интегральные неравенства типа Реллиха в плоских областях с равномерно совершенными границами. Для этих Lp-неравенств типа Реллиха установлены критерии положительности констант, получены явные двусторонние оценки этих констант в зависимости от евклидова максимального модуля области и от параметра р > 2. В доказательствах используются несколько числовых характеристик для областей с равномерно совершенными границами.

Ключевые слова: неравенство типа Гальярдо-Ниренберга, расстояние до границы, гиперболический радиус, равномерно совершенное множество.

Mathematics Subject Classification: 26D10, ЗЗС20

1 15 И К. (К1III к

Интегральные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга (см. [1], [2], а также [3] и [4]) играют важную роль в теории пространств Соболева и их приложениях. Они оказываются справедливыми в областях, удовлетворяющих тем или иным функционально-геометрическим требованиям.

Нашей целью является конструирование и доказательство новых интегральных неравенств типа Гальярдо-Ниренберга для пробных функций и £ С2(П) в n-мерных областях Q. Интегралы в этих неравенствах будут содержать модули самой функции, ее лапласиана и градиента. Наша основная цель состоит в поиске специальных случаев, когда неравенства являются универсальными в том смысле, что они верны для любой области гиперболического типа и не содержат неизвестных констант.

Отметим, что мы пользуемся некоторыми идеями из теории неравенств типа Харди и Реллиха. В этой тематике получен ряд интересных результатов, историю развития которых можно проследить в работах [4]-[14], и, кроме того, накоплен большой арсенал полезных классов областей, в которых справедливы соответствующие интегральные неравенства.

В частности, доказаны несколько неравенств типа Харди, справедливых во всех областях фиксированной размерности, без каких-либо существенных ограничений на границу области. Такие неравенства будем называть универсальными. В качестве примера приведем два результата.

Предположим, что

п > 2, р £ [1, ж), s £ (п, ж).

F.G. Avkhadiev, Universal inequalities on domains in Euclidean space and their applications.

© Авхадиев Ф.Г. 2022.

Работа поддержана РНФ (грант 18-11-00115).

Поступила 6 февраля 2022 г.

Пусть Q С Rra — область (т.е. непустое, открытое, связное множество), Q = Мга. Тогда корректно определено расстояние р(х, dQ) от точки х G Q до границы этой области и для всех функций

u :Q ^ R, u G C£(Q),

справедливо следующее универсальное неравенство

f \4u(x)lp dx (s — n)p f lu(x)lp dx . .

Jn ps-p(x,dQ) " pP Jn ps(x,dQ), 1 • }

доказанное нами в статье [6]. Отметим, что существенным является требование s — п > 0. Второй пример относится к случаю областей на плоскости.

Пусть Q С C — область на комплексной плоскости. Предположим, что эта область имеет не менее трех граничных точек. Как хорошо известно (см., например, [15]), такая область называется областью гиперболического типа, в ней можно определить метрику Пуанкаре с коэффициентом X(z, Q) и с гауссовой кривизной, равной

Ain\-1(z, Q)

« = X2(Z} Q) = —4, г = a + ry G Q.

Обозначим R(z, Q) := 1/\(z, Q). Известно, что

\{, Q) G С~(Q), Riz, Q) > p(z,dQ) := inf h — ги| Vz G Q.

wec\n

Как доказано нами в статье [8], в любой области Q С C гиперболического типа для всех функций u : Q ^ R, u G Cq(Q), справедливо следующее универсальное неравенство:

IVU(Z)I dxdy > 2 ff dxdy. (1.2)

/п р(г,дО) УУП R2(z, О)

Отметим, что частный случай неравенства (1.1) для случая, когда

п = 2, р = 1, 8 с (2, ж), О С С, О = С, можно записать в виде следующего неравенства

Ц0 ^ШО - (8 - 2) Ца с с1(а)- (1-3)

Полезно сравнить неравенства (1.2) и (1.3) с двумя близкими неравенствами

Ца - с2(о)ц ^ЙО ^ ¥и с с0(о)- <и)

Ца 1Ш)Ыу -с|(О) Ц0 та ^ Уа €°0(О). (ь5)

Предполагаем, что постоянная С2(О) с [0, ж) в неравенстве (1.4) и постоянная с*(О) с [0, ж) в неравенстве (1.5) выбраны максимальными из возможных.

Неравенства (1.4) и (1.5) не являются универсальными (см., например, [8]), так как существуют области О С С гиперболического типа, для которых С2(О) = с2(О) = 0, т.е. существуют области, для которых эти неравенства не являются содержательными. С другой стороны, известно, что С2(О) > 0 и с*(О) > 0 для любой области О С С с равномерно совершенной границей.

При сравнении неравенств (1.2), (1.4) и (1.5) необходимо учитывать, что гиперболический радиус R(z, О) и расстояние р(г, дО) от точки до границы области являются близкими величинами. С необходимыми указаниями литературы числовые характеристики областей с равномерно совершенными границами будут описаны ниже в пункте 3.

2 универсальные неравенства типа Гальярдо-Ниренверга

Символом С*2 (О) обозначим стандартное семейство дважды непрерывно дифференцируемых функций и : О ^ М, компактные носители которых лежат в области О.

Через Уи(ж) € Мп и Ди(ж) будем обозначать градиент этой функции и ее евклидов лапласиан, соответственно.

Для векторов ж = (ж1,ж2, ...жп) € Мп и у = (у1, у2,..., уп) € Мп пользуемся евклидовой нормой

|ж| = ( ж1 + ж2 + ... + жп)

и скалярным произведением

(ж, у) = ж1У1 + ж2У2 + ... + жпУп.

Для определенности, отметим, что 1^ж2...^жп — дифференциальный элемент объема

в п-мерных интегралах вида ^(ж) ^ж, а также

|vu^)| :=

\

£ 2 -(ж):= ± ^

j=1 i=l

Наряду с этими обозначениями, в двумерном случае мы пользуемся также комплексной переменной z = ж + iy а дифференциальным элементом площади ^ж^у в двойных интегралах (см. выше формулы в неравенствах (1.2), (1.3) и (1.5)).

Справедлива следующая теорема об универсальных неравенствах типа Гальярдо-Ниренберга в произвольных областях Q С Шп.

Теорема 2.1. Пусть Q С Мга — облает,ъ, п > 2. Предположим, что р G (1, œ) q = — 1), е G (0, œ) g : Q ^ (0, œ) — непрерывная функция, f : [0, œ) ^ [0, œ) — функция, удовлетворяющая следующим условиям: f G С 1([0, œ)); /(0) = 0 /'(¿) > 0 для всех t G [0, œ).

Тогда, для, любой вещественнозначной функции и G C2(Q) справедливы, следующие неравенства:

[ /'(|и(ж)|)|Уи(ж)|2^ж < / /(|и(ж)|) |Ди(ж)|^ж, (2.1)

JQ JQ

Î /'(|и(ж)|)|Уи(ж)|2 ^ж <(/ (|и(ж)|) ^ ( [ др (ж)|Ди(ж)|р tte) (2.2)

./q V./Q 9я (ж) / V./Q /

и

^/'(|и(ж)|)|Уи(ж)|2^ж < ^/^^/^М^ж + Ц5(ж)|Ди(ж)|^ж. (2.3)

Доказательство. Для вещественнозначных функций

и G C2(Q), v G С 1(Q)

по формуле Грина имеем

/ г»(ж)Ди(ж) ^ж + (V(ж), Уи(ж))^ж = 0. (2.4)

./п ./п

Определим функцию v : Q ^ R равенством

и(ж) = /(|и(ж)|) sг<7п(и(ж)), ж G Q. Легко видеть, что v = /(|и|) sг^п(и) G С(Q). С учетом условий

и G C2(Q), /gC 1([0, œ)), /(0) = 0, получаем, что v = /(|и|) sг^п(и) G С 1(Q), так как

v|u^)| = Vи(ж) sг<7п(и(ж)), ж G Q,

и

Vv(ж) = /'(|и(ж)|)V|и(ж)| 5г<?п(и(ж)) = /'(|и(ж)|^и(ж), ж G Q.

/ (V(ж), vu^))^ = /'(|и(ж)|)^и(ж)|2^ж пп

и из формулы Грина (2.4) следует равенство

/ / '(|и(х)|)|Уи(х)|2йх + /(|«(ж)|)« ъдп(и(х))Ди(х)йх = 0, (2.5)

]п ./п

справедливое для всех функций и € С0;(П).

В силу условий теоремы имеем: /(¿) > 0 и /'(£) > 0 для всех £ € [0, те). Поэтому тождество (2.5) влечет неравенство (2.1), справедливое для всех функций и € С2(П). Поскольку д(х) > 0 для всех х € П, то неравенство (2.1) можем записать в следующей форме:

. /'(|и(х)|)|Уи(х)|2йх < I -ГтШйх. М

/п ]п 9(х) (9(х)) 1

Оценивая сверху интеграл в правой части (2.6) с применением неравенства Гельдера, получаем неравенство (2.2).

Подынтегральную функцию интеграла в правой части (2.1) можно представить в виде

/(|и(х)|) |Ди(х)| = ар~1 Ь,

где

/(|и(х)|)

Имеем

аР_1 = , Ь = е1/р д11р(х) |Ди(х)|.

1 Я Л 1 ^ » 1 Г(|и(х)|) ЬР е . ... . - '1 - = —^/ )|), - = -g(х)|Ди(х)|p.

р — 1 р' V Р/ дед/р дя/р(х) Р Р'

Для того, чтобы получить неравенство (2.3), достаточно оценить сверху подынтегральную функцию интеграла в правой части (2.1) с применением неравенства Юнга

ар-1Ь < (1 — Л ар + —

Р Р

с учетом приведенных выше формул для (1 — 1/р) ар и Ър/р. Этим завершается доказательство теоремы 2.1. □

Отметим, что для случая п = 2, /(¿) = в > 1, неравенство (2.1) и тождество (2.5) были обоснованы нами ранее в статье [9].

Полагая /(¿) = arctgí и /(£) = £/(1 + ¿) в (2.1) и учитывая простые неравенства arctgí < -/2, í/(1 + £) < 1 для £ € [0, те), получаем следующее утверждение.

Следствие 2.1. Предположим, что п > 2, П С Мга — область. Тогда для любой веществен-нозначной функции и € С0(П) справедливы неравенства

[ |Уи(х)|, йх < - [ |Ди(х)| йх ,}п 1 +и2(х) < 2,/п | ( )|

и

|Уи(х)|

2

йх < |Ди(х)|йх. п

Уп (1 + |и(х)|)2 Далее нам потребуются функция расстояния

р(х, дП) = dist(х, дП) := М |х — у|, х € П,

где П С Кга — область, такая, что П = Мга. функция расстояния р(., дП) достаточно хорошо изучена (см., например, [7], [16]-[19]). В частности, для любой области П С Кга, П = Мга, функция расстояния удовлетворяет следующему условию Липшица

|р(х,дП) — р(у,дП)| < |х — у|, Ух,у € П.

Следовательно, по теореме Радемахера [16] эта функция является дифференцируемой почти всюду в области П. Отметим (см., например, [7], гл. 2), что |У р(х,дП)| = 1 почти всюду в П.

р( х, дП)

областей, в которых справедливы те или иные теоремы вложения в различных пространствах Соболева (см. например, работы [3], [4], [7], [20]).

Следствие 2.2. Предположим, что р(ж, дО) — расстояние от, точки ж € О С Мп до границы области О = Мп; п > 2, р € [2, то), д = р/(р — € М е € (0, те). Тогда для, любой вещественнозначной функции и € С2(О) справедливы неравенства

11 и(ж)Г 2|V*)!2 * < р (/п М^!) * (/п ^Д^) " <->

/ |и(ж)Г2|уи(ж)|2^ж < — / |и(ж)|Р ^ + ^ [ |Ди(ж)|^ж (2 8)

Уп|и(ж)| | (ж)| Йж " Уп ^(ж,дО) + р2 Уп р-*/*(ж,до). (2'8)

Доказательство. Неравенство (2.2) влечет (2.7) в случае, когда

/(* )= ¿р-1, ^(ж) = рв/®(ж, дО).

Неравенство (2.8) соответствует (2.3) для ж, дО). □

Следствие 2.3. Предположим, что р(ж, дО) — расстояние от, точки ж € О С Мп до границы, облает,и О = Мп; п > 2 е € (0, то). Тогда для любой вещественнозначной функции и € С2(О) справедливо неравенство

I |и(ж)|п|Уи(ж)|2с?ж <Л / р(ж,дО)|Уи(ж)|п+2^ж + В / р(п-1)2(ж, дО)|Ди(ж)|п+2(гж, (2.9)

п п п

где

(п + 2)п+1 -

А = v ,' ,, , Б =

£V(™+i) ' (п + 1)(п + 2)'

Доказательство. Полагая s = п + 1 р = п + 2 в неравенстве (1.1), получаем

I р(х,ш)^и(х)Г+2^х >-—|M(_f1))ra+2n fX. Уп Л1Л " (п + 2)™+2 Уп р^х^О)

Это неравенство и неравенство (2.8) при s = п + 1 р = п + 2 влекут (2.9). □

В двумерном случае на основании теоремы 2.1 можно получить новые конформно инвариантные интегральные неравенства в областях гиперболического типа. Напомним, что область О С R2 является областью гиперболического типа тогда и только тогда, когда она имеет не менее трех граничных точек.

Будем пользоваться комплексной переменной z = х + гу и символом C для обозначения плоскости переменной z. Как известно, в области О С C гиперболического типа определена метрика Пуанкаре с коэффициентом A(z, О) с гауссовой кривизной, равной к = —4. Нам потребуется гиперболический (конформный) радиус, определяемый формулой

, О) = 1 , 2 = х + г ye О С C. A(z, О)

Известно, что Д(., О) e Сте(О), , О) > р(,г, 9О) в любой точке г e О (см., например, [21]).

Следствие 2.4. Предположим, что О С C является областью гиперболического типа, Д(,г, О) — гиперболический радиус этой облает и в точке z e О Р e [2, то), q = р/(р — 1), е e (0, то). Тогда для любой вещественнозначной функции u e С2(О) справедливы конформно инвариант,ные неравенства:

q ( Г Г |u(z)|pdxdy [[ |Ди(,г)|р dxdy^ 1/р

Р Шп , О) и

и ^м*» < /о ^^+р2и те?.

Доказательство. Неравенство (2.10) вытекает из неравенства (2.2) в случае, когда

/(i)= ip-1, 5(¿) = ^2/9(^, О). Неравенство (2.11) равносильно (2.3) при /(i) = ip_1, <7(2:) = E2p/g(z, О). □

Л | u( ,) | p-2 | vu( ,) | 2 ** < р (Д Iй!™ )1/5 (Д )

(2.10)

Следствие 2.5. Предположим, что Q С C является односвязной или двусвязной облает, ыо гиперболического типа, R(z, Q) — гиперболический радиус этой области в точке z £ Q, р £ [2, те). Тогда для любой вещественнозначной функции и £ Со(П) справедливы следующие конформно инвариантные неравенства:

|Ди(z)lpdxdy > 4Р(р - 1)р Г Г lu(z)lPdxdy (2 12)

п Я2-2ф, П) - р2 УУп , П)

и

л > а шгъфя**. (-з,

Доказательство. Необходимо указать, что при р = 2 неравенство (2.12) было обосновано нами в статье [9].

Пусть П С С — односвязная или двусвязная область гиперболического типа. Тогда, как известно (см., например, [5], [8], [9]), справедливо неравенство

I£ |Уи(,)|2 йхйу >Лп Уи € С1(П). (2.14)

Если р > 2, то нетрудно убедиться в том, что |и|р/2 € С^П). Поэтому мы можем заменить и(г) функцией |и( ,г)|р/2 в неравенстве (2.14). В результате будем иметь неравенство

р21/п ШГ^иШ2 йхйу Уи € С1(П). (2.15)

и € С2(П)

ведлпво неравенство

4(р — 1) Г Г |и( г)^ йхйу ( Г Г ^(г)^ йхйу\ / г г Ди^Р йхйу \ 1/р р2 УУп Я2(*, П) НУУп , ПП Шп Я2-2Ф, П^ .

Очевидно, это неравенство влечет (2.12).

Далее, с применением неравенств (2.10), (2.14) и (2.15) получаем, что для любой веществен-и € С2(П)

(р — 1) I¡^иШ-^и^Чхйу <(р21^иШ-^и^йхйу}1 1/Р(У( Д-^)1/Р .

Это неравенство влечет (2.13), что и требовалось доказать. □

Пример 2.1. Пусть О' = {.г € С :0 < |,г| < 1} — круг с выколотым центром,. Хорошо известно, что Я(г, О') = 2|,г| 1п(1/|,г|) для этой двусвязной области. В силу неравенств (2.12) и (2.13) для, любого р € [2, те) и любой вещественнозначной функции и € С2 (О') будем иметь следующие неравенства:

^и^)^ йхйу (р — 1)р [[ |и(.г)|р йхйу

/о<и<1 И2-2р 1п2-2р(1/И) " р2р УЛ<И<1 И2 1п2(1/И) Г Г \Ди^)\Р(1хйу (р — Г-2\Уи(г)\2йхйу

3. Неравенства в областях с равномерно совершенными границами

В геометрической теории функций имеется около 15 различных определений и критериев равномерной совершенности множеств. Поэтому необходимо привести те определения и характеристики, которыми мы пользуемся. Нас будут интересовать три числовых характеристики областей с равномерно совершенными границами. А именно, нам потребуются известные определения максимальных модулей М(П) и Мо(П) для областей П С С, а также величины

■ г Р(г, дП) а(П) := т! ——— ^еп , П)

ПСС

Символом C = C U {то} обозначим расширенную комплексную плоскость, т.е. риманову сферу. Рассмотрим область О С C, граница которой содержит не менее двух точек.

Как известно, если О2 С C является двусвязной областью, то она может быть конформно и однолистно отображена на некоторое концентрическое кольцо вида

А(О2) = {-г e C : а < |,г| < &}, 0 <а< b < то. О2

М(О2) = ^ln- e (0, то] 2— а

М(О2) = то а = 0 = то

Приведем определение конформного максимального модуля М(О) для области О С C.

Определение 3.1. Пусть О С C является областью, граница которой содержит не менее

М(О)

О М(О) = 0

О М(О)

ласт,и, т.е.

М(О) = ^ln- e (0, то], 2 - а

О

Ц'У {z e C : а < |z| < 6}; 0 < а < b < то. О

М(О) := sup М(О2),

П2

О2 О2 С О О2

разделяет границу области О, т.е. множество О \ О2 не является связным.

В статье А.Ф. Бирдона и X. Поммеренке [22] доказано, что

М(О) < то^а(О) > 0 (3.1)

для областей О С C гиперболического типа.

М(О) М(О)

задачу. С точки зрения оценок является значительно простой величина Мо(О), которую мы называем евклидовым максимальным модулем.

Для определения евклидова максимального модуля Мо(О) нам потребуется множество Апп(О) концентрических колец

А = А(20; а, 6) := {ze C : а < |2 — 201 < 6},

обладающих следующими свойствами:

А( о; а, ) О 0 < а < < то

2) центры колец 2о лежат на границе области, т.е. на множестве 9О; А( о; а, ) О

{2 e C : — 201 < а}, {2 e C : |2 — 201 > &}

О

Очевидно, множество Апп(О) может быть и пустым множеством.

Определение 3.2. Предположим, что О С C является областью, граница, которой содержит, не менее двух точек. Пусть Апп(О) означает введенное выше множество колец. Евклидов максимальный м,одул,ь М0(О) определяется следующим образом.

1) Если Апп(О) = 0; то полагаем, М0(О) = 0.

2) Если Апп(О) не является пустым множеством, то полагаем,

Мо(О) := sup -^ln-, (А = А(2о;а, 6)).

АеАгага(П) 2- а

Определение Мо(О) не связано с конформными отображениями, и можно показать, что евклидов максимальный модуль Мо(О) не является конформно инвариантной величиной в общем случае.

Из приведенных определений легко следует, что 0 < Мо(О) < М(О). Л. Карлесон и Т.У. Гаме-лин [23] указали следующее замечательное свойство максимальных модулей М(О) и Мо(О):

Мо(О) < то ^ М(О) < то. (3.2)

Если Мо(О) < то, т0 следуя X. Поммеренке [24] мы будем говорить, что граница области О является равномерно совершенным множеством. В силу (3.2) условие Мо(О) < то можно заменить равносильным условием М(О) < то.

Отметим, что эквивалентность (3.2) уточнялась в ряде работ. В частности, в книге автора и К.-И. Вирца [21] доказано, что

Мо(О) < М(О) < Мо(О) + 1 (3.3)

для любой области О С С, граница которой содержит не менее двух точек.

В недавней статье [25] А. Голберга, Т. Сугавы и М. Вуоринена можно найти обобщение неравенств (3.3) на многомерный случай, а также ряд других определений равномерно совершенных множеств. Если то € О, то справедлив следующий аналог неравенства (3.3):

Мо(О) < М(О) < 2Мо(О) + 1, то € О,

для любой области О С С, граница которой содержит не менее двух точек (см. [8]).

Пусть р € [2, то). В области О С С О = С Для функций и : О ^ М рассмотрим следующее неравенство типа Реллиха

|Ди(г)|-/у |и(2)|р^ж(й/ 2

> С;(О) У[ уи € Со (О), (3.4)

п р2-2-(2,дО) " Уп р2(^, дО)

где р(,г, дО) — расстояние от точки 2 = ж + г у € О до границы этой области, постоянная С-(О) определена как наибольшая постоянная, возможная на этом месте, т.е.

/]Пр2р-2(-г, дО) |Ди(,г)|-

С-(О) := М -^ ' ' ^ " - € [0, то).

- «ес02(п),^о //пр-2(-г, д О)|и(,г)|-^у

ч* /

о) :=

--уО^),«^ ^п,

В следующей теореме представим явные оценки снизу для постоянной С-(О)в областях О С С, имеющих равномерно совершенные границы.

€ [2, то) О С С

щие утверждения: О

(р - 1)р

с;(о) > ^Ь (з-5)

О

(р - 1)р

С-(О) > -(р-)-; (3.6)

-( ) > р2- (2М0(О) + 1 + ^2 )2р; 1 ;

О

(р -1);

С-(О) >-^-)-з-, (3.7)

рК ;> 4-р2- (тгМ(О) + со)4-

г(9е

Г — гамма функция Эйлера.

Г4(1/4) Г

Доказательство. Для области П С С, П = С, при п = 2, д = р/(р — 1) и з = 2 из неравенства (2.7) следует, что

Я йхйу < р (//п М™)1/8 (//п )"Уи € «(О). ,,,

ПСС

А. Анкона [5], справедливо неравенство

Ц ^ > ^ /( ^^ уи € С^П). (Ы)

Если р > 2, то |и|р/2 € С^П). Заменяя и(,г) функцией |и(,г)|р/2 в неравенстве (3.9), получаем

4 [[ ШГ^и^2йхйу > 1 Ц |и(")|Рйхйу Уи €С1(П). (3.10)

4 У Уп1 У л 1 * " 16 У Уп Р2 (г ,дП)

Из неравенств (3.8), (3.9) п (3.10) следует, что

р — 1 [ ( |и( ¿)|рйхйу //•/• |и(г)|рйхйу \1/9 [ [Г \Ди(г)\Р йхйу \ 1/р 2(П)

4р2 ]]п Р2(г, дП) ЧУ Уп р2(., д П) / Шп р2-2Ф ,дП)^ Уи € °0 (П)

Поэтому для любой функции и € С^(П), и ф 0, справедливо неравенство

(р — 1)р [[ |и( ,г)|рйхйу [[ ^и^)^ йхйу

4рр2р УУп р2(-г,дП) "УУп р2-2р(,г,дП) '

Отсюда следует неравенство (3.5) в силу определения постоянной С*(П) как максимальной из возможных в неравенстве (3.4).

ПСС

доказано нами в [10], в этом случае справедливо неравенство

// ^и^йхйу >-1-2 // ^йхй Уи €С1(П).

УУп |1Л У 4 (2М0(П) + 1 + ^2)2УУп р2(^,дП) ° '

€ [2, те)

р2 // |и(г)|р-2|Уи(г)\2йхйу>--1-// |и(2"5дхйу Уи €С1(П). (3.11)

4 У Уп 4(2М0 (П) + 1 + у^) ^Уп р2(^ ,д П)

Комбинируя (3.8) и (3.11), получаем, что для любой функции и € С^(П), и ф 0, справедливо неравенство

_(р — 1)р_ Г Г |и(г)|рйхйу [Г Ди^Р йхйу

р2р (2М0(П) + 1 + ^2 )2рУУп Р2(^, дП) <1 Уп р2-2р(^,дП) .

Это неравенство влечет (3.6) в силу определения постоянной С*(П).

Остается доказать неравенство (3.7). Пусть П С С — произвольная область с равномерно совершенной границей. Как доказано нами (см. [6] и [8]), в этом случае справедливо неравенство

I£ |Уи( ,)|2 йхйу > а4(П) I£ Уи € С1(П).

Следовательно, для любого р € [2, те)

р2/[ ЖГ2 |Уи(г)|2 йхйу > а4(П) I! ^ Уи € С1 (П). (3.12)

Далее нам потребуется уточненная оценка А.Ф. Бпрдона и X. Поммеренке (см. [22] и [21]):

а(П) > ——т1-. (3.13)

1 ;> 2- М0(П) + 2с0 1 ;

Комбинируя (3.8), (3.12) и (3.13), получаем, что для любой функции и € С2(О), и ^ 0, справедливо неравенство

(р — 1)- [[ |и( ,г)|-^ж^у [[ |Ди(,г)|-^ж^у

4-р2- (тгМо(О) + с0)4- 7Уп р2(^, дО) < У7п р2-2Ф, дО) ' Отсюда п следует неравенство (3.7). Этим завершается доказательство теоремы. □

М(О) = 0 О

ется односвязной областью, конформно эквивалентной единичному кругу.

Следующий пример из нашей статьи [13] показывает, что евклидов максимальный модуль М (О)

Пример 3.1. Пусть К — классическое канторово множество, лежащее на отрезке [0,1], и пусть

Оо := {ж + гу € С : |ж| < то, |у| < 1}. Рассмотрим следующую многосвязную область

О(К) = Оо \ {ж + г у € С : ж € К, |у| < 3/4}. Тогда М0(О(К)) = 0 так как Ашг(О(К)) = 0.

Нетрудно видеть, что имеется широкое семейство областей О С С, обладающих свойством М (О) = 0 качестве следствия.

Следствие 3.1. Предположим, что р € [2, то) и О С С — область с равномерно совершенной

М (О) = 0

функции и € С2 (О)

|Ди(,г)|- ^ж^у 43%8-(р — 1)- /у |и(,г)|- ^ж^у

/П р2-2-( -г, дО) _ р2-Г16-(1/4) У.}п р2(2, дО) ' Г

4. критерии положительности С-(О) и С-* (О) с любым р € [2, то)

В статье [26] памп доказан критерий положительности С*(О). В следующей теореме мы распространяем этот критерий на константу С-(О) с любым р > 2.

Теорема 4.1. Предположим, что р € [2, то) и О С С — облаеть, О = С. Тогда,

М0(О) < то^С-(О) > 0,

т.е. постоянная С-(О) — положительное число тогда и только тогда, когда граница области О С С является равномерно совершенным множеством.

Доказательство. Как следствие теоремы 3.1 получаем положительность С*(О) для области с равномерно совершенной границей. Поэтому нам достаточно доказать лишь обратную импликацию, т.е. доказать, что

С- (О) > 0 Мо(О) < то.

Пусть С-(О) > 0. Обозначим

* * = ¡р о(*)|-^

: ¡0 КЮМ^

где г>о : (0, ^ М — фиксированная функция г>о € С2(0, такая, что о- € (0, то). Докажем, что

М(О) < " := 2(<т- С-(О))1/(2-).

Предположим обратное, т.е. предположим, что Мо (О) € (т, то]. Тогда в силу определения евклидова максимального модуля существует кольцо

А> = {-г € С : а < |,г — ,г0| < 6} С О,

о € дП 0 < а < < те

т < М(Ао) := ^ 1п - < Мо(П). (4.1)

2 - а

Так как ¿о € дП, то р(х, дП) < |,г — ,го| для любой точки г € П. Поэтому из (3.4) следует, что для любой вещественнозиачной функции и € С^(Ао) справедливо неравенство

Ц |z — го^Ди^ йхйу >С;(П) I[ ^^. (4.2)

о € дП

ства (4.2) к этим полярным координатам. Одновременно сузим семейство рассматриваемых функций, а именно, будем рассматривать лишь радиальные функции, определяемые равенствами

и(х) = ин(г) ф ин(го + |-г — 2о|) =: Ъ(г), г = |^ — ^о| € (а, Ь),

где Ъ € Сд (а, Ь), следовательно, ин € С2(Ао). Простые вычисления показывают, что

Дин(г) = ДЪ(г) = Ъ'(г) + Ъ(г)/г

и неравенство (4.2) для функций и = и^ € Сд(Ао) равносильно следующему соотношению

гь - ^^^ ^ |Ъ(г)|р

|гЪ'(г) + Ъ(г)1'гр-1 йг > С*(П) I йг УЪ €Со2(а, Ь). (4.3)

/а ла

Преобразуем интегралы в этом неравенстве с помощью новой замены переменных. А именно, введем функции V € Со(0,-), определяемые равенствами г>(£) = Ъ(г), где

г = Ъе-2М(Ао)0 <*<-. Непосредственные вычисления приводят к неравенству

л Г'К Г'К

12

^''(ЩРйЪ >С*(П) / |у^РМ Уу € С2(0,-)

22рМ2р(А0' ^ " ^ ' Уо равносильному (4.3). Следовательно, имеем неравенство

22рМ2р(Ао) >а*РС*Р(П)

поэтому

М(Ао) < 2(,;Ср*(1П))1/(2Р) = т,

т

Получили противоречие.

Этим и завершается доказательство теоремы 4.1. □

Пример 4.1. Пусть О' = {г € С : 0 < |,г| < 1} — круг с выколотым центром. Легко видеть, что Мо(О') = те. Тогда С*(О') = 0 по теореме 4-1. Это означает, что для любого р € [2, те) и любого числа, е € (0, те) существует вещественнозначная функция и € С2(О') для которой имеет место неравенство

|Ди( ,г)|рйхйу [ [ |и(-г)|р йхйу

'о<к|<1 (шт{И, 1 — И})2-2р УЛ<|,|<1 (шт{И, 1 — И})2"

Введем еще одну характеристику области П С С, а именно, определим постоянную С**(П), родственную к постоянной С*(П).

Пусть снова р € [2, те). В области П С С, П = С, для вещественнозначных функций и € С2(П) рассмотрим следующий аналог неравенства (3.4):

Я^Щ > СР**(П) I^Г^иШ2 йхйу Уи €С02(П), (4.4)

где постоянная С-** (О) определена как наибольшая постоянная, возможная на этом месте, т.е.

ч /Гпр2--2(<г,дО) |Ди(,г)|-г

С-*(О):= М Пр ■ /л, (,2 , , € [0, то).

Теорема 4.2. Предположим, что р € [2, то) и О С С — облаеть, О = С. Тогда,

Мо(О) < то^С-*(О) > 0,

т.е. постоянная С-*(О) — положительное число тогда и только тогда, когда граница, области О С С является равномерно совершенным множеством. В частности, справедливы, неравенства

С-*(9) > (р — 1)(С-(О))1-1/- > 0 (4.5)

в любой области О С Сс равномерно совершенной границей.

Доказательство. Пусть р € [2, то), и пусть Мо(9) < то. Тогда С-(О) > 0 по теореме 3.1. В силу (3.4) и (3.8) для д = р/(р — 1), имеем

И|«<*>г21*им|2«*< р (с-Ю)1/7Х^^ № ^ с2<°>-

Поэтому

(р — 1)(С-*(О))1-1/-|^|и(.)|--2 |Уи(.)|2^ж^ < ^и €Со2(9),

что влечет оценку (4.5) с учетом определения постоянной С-** (О) как максимальной постоянной в неравенстве (4.4). Таким образом, постоянная С-** (О) является положительным числом для любой области О С С с равномерно совершенной границей. Итак, нам остается доказать лишь обратную импликацию

С-*(9) > 0 Мо(9) < то.

Докажем этот факт, пользуясь той же схемой, которая была использована в доказательстве предыдущей теоремы.

Пусть С-*(9) > 0. Обозначим

** = Г о(*)|--2| ^о (¿)|2^

: /о" |,

где г>о : (0,^) ^ М — фиксированная функция г>о € С2(0, такая, что а-* € (0, то). Докажем от противного неравенство

М0(О) < т1 := 1

2 ((г-*С-*(9))1/(2--2)' М (О) € ( т1, то]

существует кольцо

= {-г € С : а < |,г — ,г0| < 6} С О, € дО 0 < а < < то

т1 < М(А) := 1п - < М0(О). (4.6)

2^ а

Поскольку точка ¿о € дО, т0 имеет место неравенство р(,г, дО) < |,г — 2о| для любой точки г € О. Поэтому из неравенства (4.4) вытекает, что для любой вещественнозначной функции и € С2(А) справедливо неравенство

// |,г — ,г0|2--2|Ди(,г)|-^ж(й/ >С;*(О) // |и(,г)|--2|Уи(,г)|2^у. (4.7)

Далее мы упростим это неравенство дважды.

Во-первых, перейдем в интегралах неравенства (4.7) к полярным координатам с центром в точке ¿о € дО. Как и при доказательстве предыдущей теоремы сузим семейство рассматриваемых функций. Снова будем рассматривать лишь радиальные функции, определяемые формулами

и(я) = и^(^) = и^(2о + |2 — го|) =: Ъ(г), т = |2 — 201 € (а, 6),

где Ъ € Со2(а, 6), поэтому и^ € С2(Ао).

Поскольку Уи^(2) = УЪ(г) = Ъ'(г) и Ди^(2) = ДЪ = Ъ''(г) + Ъ'(г)/г, то неравенство (4.7) для функций и = и^ € С2(Ао) приобретает форму

/ |гЪ"(г) + Ъ'(г)|-г--Чг >С-*(9) / |Ъ(г)|--2|Ъ'(г)|2гйг УЪ € Со2(а,6). (4.8)

./а, ./а

Снова упростим это неравенство, преобразуя интегралы с помощью новой замены переменных. Определим функции V € С2(0, равенствами г>(£) = Ъ(г), где

г = 6е-2М(^о)*, 0

Непосредственными вычислениями получаем, что неравенство (4.8) равносильно следующему неравенству

о о

> *(Q),

22--2М 2--2(Ао) Л Следовательно, имеем неравенство

1

22--2М2--2(Ао) "

что противоречит (4.6). Этим и завершается доказательство теоремы 4.2. □

Благодарности Автор благодарен анонимному рецензенту за полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 2

3

4

5

6

7

8 9

10 11 12 13

E. Gagliardo. Ulteriori propriet'a di alcune classi di funzioni in pi'u variabili // Ricerche Mat. 8, 24-51 (1959).

L. Nirenberg. On elliptic partial differential equations // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. Sci. Fis. Mat. Ser. 3 13, 115-162 (1959).

O.B. Бесов. Интегральные оценки дифференцируемых функций на нерегулярных областях //

Матем. сб. 201:12, 69-82 (2010).

V.G. Maz'va. Sobolev Spaces. Berlin: Springer. 1985.

A. Ancona. On strong barriers and an inequality of Hardy for domains in Rra //J- London Math. Soc (2). 34:2, 274-290 (1986).

F.G. Avkhadiev. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math. 21, 3-31 (2006).

A.A. Balinskv, W.D. Evans and R.T. Lewis. The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality. Universitext. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer. 2015.

Ф.Г. Авхадиев. Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения // Матем. сборник. 206:2, 3-28 (2015).

Ф.Г. Авхадиев. Конформно инвариантные неравенства // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 142, 28-41 (2017).

F.G. Avkhadiev. Euclidean maximum moduli of plane domains and their applications // Complex Variables and Elliptic Equations. 64:11, 1869-1880 (2019).

M. Ruzhanskv, D. Suragan. Hardy Inequalities on Homogeneous Groups. Progress in Mathematics, 327. Birkhauser, 2019.

D.W. Robinson. Hardy and Rellich inequalities on the complement of convex sets //J- Aust. Math. Soc. 108:1, 98-119 (2020).

F. Avkhadiev. Selected results and open problems on Hardy-Rellich and Poincare-Friedrichs inequalities // Anal. Math. Phvs. 11, 134. 1-20 (2021).

14. Ф.Г. Авхадиев. Неравенства типа Харди, содержащие градиент функции расстояния // Уфимск. матем. журн. 2021. 13:3, 3-16 (2021).

15. L.V. Ahlfors. Conformal invariants, Topics in Geometric Function Theory. New-York: McGraw -Hill. 1973.

16. H. Rademacher. Uber partielle und totale Differenzierbarkeit I// Math. Ann. 89:4, 340-359 (1919).

17. H. Federer. Geometrie measure theory. New York: Springer. 1969.

18. D.H. Armitage, U. Kuran. The convexity and the superharmonicity of the signed distance function // Proc. Amer. Math. Soc. 93:4, 598-600 (1985).

19. C. Mantegazza, A.C. Mennucci. Hamilton-Jacobi equations and distance functions on Riemannian manifolds // Appl. Math. Optim. 47, 1-25 (2003).

20. A.H. Назаров, C.B. Поборчий. Неравенство Пуанкаре и его приложения: учебное пособие, СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та. 2012.

21. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. Schwarz-Pick Type Inequalities. Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser Verlag. 2009.

22. A.F. Beardon, С. Pommerenke. The Poincare metric of plane domains //J. London Math. Soc. (2). 18, 475^483 (1978).

23. L. Carleson, T.W. Gamelin. Complex dynamics. New York: Springer. 1993.

24. C. Pommerenke. Uniformly perfect sets and the Poincare metric // Arch. Math. 32, 192—199 (1979).

25. A. Golberg, T. Sugawa, M. Vuorinen. Teichmüller's theorem in higher dimensions and its applications // Comput. Methods Funct. Theory. 20:3-4, 539-558 (2020).

26. F.G. Avkhadiev. Hardy-Rellich inequalities in domains of the Euclidean space // J. Math. Anal. Appl. 442, 469-484 (2016).

Фарит Габидинович Авхадиев, Казанский федеральный университет, ул. Кремлевская, 18, 420008 г. Казань, Россия E-mail: avkhadiev47@mail .ru