Конформные инварианты плоских областей гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 2 (2019). С. 3-18.

УДК 517.518

КОНФОРМНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Ф.Г. АВХАДИЕВ, Р.Г. НАСИБУЛЛИН, И.К. ШАФИГУЛЛИН

Аннотация. Рассматриваются плоские области гиперболического типа и конформно инвариантные функционалы, определяемые как наилучшие константы в неравенствах типа Харди. Исследуется взаимосвязь между этими функционалами и оптимальными константами в гиперболических изопериметрических неравенствах. Изучаемые неравенства типа Харди содержат весовые функции, зависящие от гиперболического радиуса области, и являются конформно инвариантными. Доказано, что положительность констант в неравенствах типа Харди связана с существованием гиперболических изопериметрических неравенств специального вида. Доказана теорема сравнения констант Харди с различными числовыми параметрами. Изучена связь между линейным гиперболическим изопериметрическим неравенством в некоторой области и евклидовым максимальным модулем этой области. Существенную роль в доказательствах играют характеристики областей, имеющих равномерно совершенные границы. Кроме того, мы обобщаем некоторые результаты из следующих двух статей:

1) J.L. Fernández, J.M. Rodríguez, The exponent of convergence of Riem,ann surfaces, bass Riemann surfaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Series А. I. Mathematica. V. 15. 1990. P. 165-183.

2) V. Alvarez, D. Pestaña, J.M. Rodríguez, Isoperimetric inequalities in Riemann surfaces of infinite type // Revista Matemática Iberoamericana, Vol. 15, № 2. 1999. P. 353-425.

Ключевые слова: метрика Пуанкаре, гиперболическое изопериметрическое неравенство, равномерно совершенное множество, неравенство типа Харди.

Mathematics Subject Classification: 30F45, 30А10

1. Введение

Пусть Q — область гиперболического типа, т.е. область, содержащая не менее трех граничных точек на расширенной комплексной плоскости С. Через C¿(Q) обозначим семейство непрерывно дифференцируемых функций и : Q ^ Re компактными носителями в Q, Если то е Q, то гладкость u(z) в бесконечно удаленной точке z = то понимается как гладкость u(1/z) в точке z = 0.

В каждой точке z = х + iy е Q определим гиперболический радиус формулой

R(z, Q) = 1/\q(z),

где Ап — коэффициент метрики Пуанкаре области Q с гауссовой крив изной к = —4 (см., например, [1], [2]).

Следуя X. Поммеренке [3], будем говорить, что область гиперболического типа Q С С имеет равномерно совершенную границу, если М(Q) < то, где М(Q) — точная верхняя граница модулей двуевязных областей, лежащих в области Q и разделяющих ее границу. Напомним, что модуль двуевязной области Q' определяется следующим образом. Берется

F.G. Avkhadiev, R.G. Nasibullin, I.K. Shafigullin, Conformal invariants of hyperbolic

planar domains.

©Авхадиев Ф.Г., Насибуллин Р.Г., Шафигуллин И.К. 2019 .

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 18-11-00115). Поступила 20 февраля 2019 г.

конформно эквивалентное области П' круговое кольцо А, определяемое неравенствами г (А) < \ г\ < Я(А). По определению, число

-(П') = 2ж

называется модулем двуевязной области П', Мы говорим, что двуевязная область П' разделяет границу области П, если П' С П и в каждой компоненте множества С \ П' имеются П

Кроме максимального модуля М(П) нам потребуется следующая числовая характери-П

-1

Л(П) = rJJa кЪЖ)iliy (L Rob) '

где точная верхняя граница берется по всем областям G, ограниченным кусочно гладкими кривыми, и таким, что G С П. Попутно отметим, что гиперболическая площадь IIg R-2(z, П)ixiy и гиперболическая длина JdG R-1(z, H)|iz| являются безразмерными величинами, Очевидно, условие h(Q) < ж означает, что в области П С C имеет место линейное гиперболическое изопериметрическое неравенство.

Настоящая работа посвящена исследованию новых конформно инвариантных величин (функционалов), определяемых как точные константы в вариационных неравенствах специального вида для функций u G С0(П) в плоских областях гиперболического типа.

Основной конформно инвариантный функционал области cp,q(П), который мы рассмотрим, определяется как максимальная из возможных постоянных в следующем вариационном неравенстве типа Харди

(ЯRuKSff *-(П)(//^Г *-»'(П), «

где 1 < р ^ q < ж, z = x+iy, Vu - градиент функции u. Таким образом, рассматриваемый нами функционал cp,q(П) определяется формулой

' -<П)=f (Я R^)'"- <»

Конформная инвариантность функционала, определяемого формулой (2), легко проверяется, Действительно, пусть F : П ^ П — однолистное конформное отображение области П на некоторую другую область П С C, Обозначим

С = F(z) = £ + if] G Пс,U := u о F-1,

где z = x + i у G Пи функция u G С' (П), Тогда U := u о F-1 G С^П) и имеют место формулы

Ап (z)|i z1 = Aqc (z)li(1, \2Q(z)ixiy = Aqc (z)di dr],

dU( ndu(z)-

\Р '(г)\2с1 х ¿у = ¿^¿г], VI = 2^- = = (Чи)Р'(г).

Определяя сРА(П) формулой (2) с заменой области П на область П и функции и па функцию I, соответственно, получаем, что

ср,д (П) = ср,д (Пс).

Базовыми для нас являются хорошо известные результаты Д, Салливана [4], Х.Л, Фернандеса [5], Х.Л, Фернандеса и Х.М, Родригеса [6] из спектральной теории оператора Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях постоянной отрицательной кривизны.

В этих статьях рассматривается частный случай неравенства (1), соответствующий случаю р = д = 2, а именно, неравенство

Ц^ ^и^йхйу > ^(П) Д -щщ<1х<1у, Уи е С^П), (3)

где

С2 (П) = т£ 11 ^и^йхйу^! |ц| . йхйу] . (4)

«есЖп^оу./п П) )

Очевидно, с2(П) = с2 2(П). Известно (см. [4] и [5]), что с2(П) = 1 для любой односвязной или двусвязной области гиперболического типа, а также с2(П) е [0,1] для любой области гиперболического типа. Существуют области, для которых с2(П) = 0 т-е- ПРИ Р = 1 = 2 существуют области, для которых неравенство (1) не является содержательным. Эти утверждения являются следствиями известных фактов гиперболической геометрии и формулы Элетродта-Паттереона-Сулливана ([4], с. 333):

С2(П) = {1 для 0 ^ р ^ 1/2; 4р (1 - р) для 1/2 ^ р ^ 1} ,

где Р = Р(П) — критический показатель сходимости рядов Пуанкаре-Дирихле для фундаментальной группы преобразований П.

В [5] Фернандес доказал, что условие М(П) < то влечет положительность величины с2(П). Ключевым результатом статьи [6] Фернандеса и Родригеса являются оценки

1/ (2^(П))2 ^ С2(П) ^ 3/к(П).

Ф.Г. Авхадпев [7]-[9] исследовал следующее обобщение (3):

/( йЩ)^ > С"(П) Я ет^ Уи е С°<П). (5)

где ре [1, то) — фиксированное число и

П |Уи|р П 1и\р

с*(П)=.«¿пи УХ кл^мЫу Л да^(6)

В [7]-[9] доказано, что условие М(П) < то влечет положительность величины ср(П) при любом значении ре [1, то) и установлено раве нетво ср(П) = 2Р /рР для любой односвязной или двусвязной области гиперболического типа при любом р е [1, то). Кроме того, в [9] доказаны оценки для константы ср(П), зависящие от евклидова максимального модуля М0(П) и показателя р е [1, то). Отметим, что

М0(П) ^ М(П) ^ М0(П) + 1/2

для областей П с С (см. подробнее [2]) и

М0(П) ^ М(П) ^ 2М0(П) + 1

для областей П с С то е П (см. [9]), где М(П) — максимальный модуль, определенный выше.

В настоящей статье мы получаем несколько новых оценок для константы ср(П) и их обобщения для сРА(П) при 1 ^ р ^ д < то. В частности, мы докажем, что для р е [1, 2) константа ср(П) > 0 тогда и только тогда, когда является конечным коэффициент к(П) линейного изопериметрического неравенства для гиперболической метрики. Кроме того, мы докажем, что конечность величины

н"(П) = 8"р (Я ^Ъ) ' (ЬтШ) |<кО

при условии 1/р — 1/2 ^ 1/q ^ 1/р ^ 1 влечет положительность константы cp,q(П), Отметим, что некоторые результаты, касающиеся ср(П) и приведенные здесь с полными доказательствами, были анонсированы нами ранее в кратком сообщении [10],

В случае когда то ф П, известны несколько критериев равномерной совершенности границ в терминах гиперболического радиуса R(z, П), его градиента VR(z, П) и функции расстояния dist(z,дП) до границы области П (см. [3], [9]), Мы получим оценки Л,(П) через эти характеристики областей. Например, докажем, что

V3sup |V R(z, П)| > 2^(П).

zen

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Весовые функции, рассматриваемые в

R( , П)

бот, посвященных неравенствам типа Харди, когда весовая функция содержит дистанцию dist(z,дП) до границы области (см, [11] [20]). Следует также отметить, что одномерные неравенства Харди не связаны с геометрией. Они воспринимаются как некоторый инструмент из теории функций, используемый в доказательствах теорем вложения функциональных пространств (см, монографии С,Л, Соболева [21] и В,Г, Мазьи [22]), В отличие от одномерного случая, неравенства типа Харди в областях на плоскости являются частью геометрического анализа, так как они существенно связаны с различными геометрическими характеристиками.

Для удобства читателя в следующем пункте приведем известные результаты, которые существенно используются нами в доказательствах.

2. Вспомогательные утверждения и определения

Существенную роль в доказательствах играет подход В.М, Миклюкова и М, Вуоринена [23], связанный с изопериметрическим профилем области.

Пусть П — область гиперболического типа на расширенной плоскости, и пусть а,3 : П ^ (0, то) — некоторые непрерывные функции. Рассмотрим фиксированные параметры р и д, удовлетвориющие условию 1 < р ^ д < то. На множестве областей С С П, таких, что граница дС состоит го кусочно-гладких кривых и С С П, определим взвешенную площадь

V(С) = JJ а(г)9dхdy с

и взвешенную длину

А(С) = У 3 (г)а(г)(р-1)(1/р№\. эс

П

функцией

6» : [0, V(П)) ^ [0, то), 0(0) = 0, удовлетворяющей следующему соотношению

0(V( С)) ^ А(С)

С

такой, что С С П.

Приведем формулировку основного утверждения из статьи В.М. Миклюкова и М. Вуоринена [23] (с. 2746) в той общности, которая необходима для нас. Необходимо отметить, что в статье [23] указаны более специальные условия на функции а и /3, которые не используются в доказательстве этой теоремы, но упрощают описание различных приложений.

Теорема А. Пусть 1 < р ^ q < ж, и пусть П — область гиперболического типа, на, расширенной плоскости, C. Если для обла,сти П существует изопериметрический профиль, удовлетворяющий соотношению

( ,V(П) \ (р-1)/р

В := sup rl/q[ d(t)-v/(v-l)dt < ж,

re(o,v(n)) yjr J

то для, любой функции и Е С0(П) имеет место следующее неравенство

l/ч / \ l/v

\a(z)u(z)lqdxdy I ^ Л I (((z)\V u(z)\)p dxdy

где z = x + iy, Л — положительная постоянная, для, которой справедливы, оценки:

В O ^Bq1/q {q/{q - 1))(p-1^/p .

Нам необходимы также три следующих теоремы Фернандеса и Родригееа,

Теорема В. (J.L, Fernández, J,M, Rodriguez [6], с, 166) Пусть Q — область гиперболического типа. Константа h(Q) < ж тогда и только тогда, когда, c2(Q) > 0, более того,

1/ (2h(Q))2 ^ C2(Q) ^ 3/h(Q).

В следующей теореме речь идет об областях с равномерно совершенными границами.

Теорема С. (J.L, Fernández, J,M, Rodriguez [6], с, 167) Пусть Q С C — область гиперболического типа, такая, что M(Q) < ж. Пусть А С Q — множество, состоящее из конечного или счетного множества точек 'таких, что

inf dn(z, w) > 0,

zeA,weA\{z}

где dn(z,w) — гиперболическое расстояние между точками z,w Е Q. Тогда,

c2(Q \ А) > 0.

А

ное множество А С Q, состоящее их конечного числа точек.

Теорема D. (J.L, Fernández, J,M, Rodriguez [6], с, 167) Пусть Q плоская обла,сть, ж Е Q такая, что c2(Q) > Oui— множество изолированных точек дQ. Тогда, точки I равномерно отдалены, друг от друга.

В [24], Альварес, Пестана и Родригес получили утверждения, обобщающие соответствующие результаты Фернандеса и Родригееа из [6], Отметим, что они распространили результаты из [6] на случай гиперболических римановых поверхностей, причем некоторые из этих результатов являются новыми для областей на плоскости. Приведем одно из таких утверждений.

Теорема Е. (V, Alvarez, D, Pestaña, J,M, Rodriguez, [24], стр. 362), Пусть Q — область гиперболического 'типа, I - замкнутое и счетное подмножество Q и R = Q \1. Неравенство h(R) < ж имеет место тогда и только mогда, когда, h(Q) < ж и для, некоторого фиксированного числа г0 > 0 в любой точке t Е I существуют односвязные и попарно непересекающиеся гиперболические круги, Bn(t,г0) с центром в t и радиусом г0. Более того, имеют место оценка

h(R) < h<Q , +_^

4 ' ; п-,2 Í го\ „ tanh го

tanh2 r0 log tannhf)

Прежде чем сформулировать следующий результат Ф.Г, Авхадиева, из [9], введем некоторые обозначения. Евклидов максимальный модуль определяется равенством

ЩП) :=sup¿ log ^,

где супремум берется по всем кольцам А таким, что А разделяет границу П,

А = {ze C : г(А) < lz- z0| < R(Á)} с П и Zo едП.

Мы полагаем М0(П) = 0, если множество таких колец является пустым множеством. Справедливо следующее утверждение.

Теорема F. (Ф.Г. Авхадиев [9], с. 16) Пусть 1 ^ р < то. Если П с C — область, граница которой имеет не менее трех компонент и является равномерно совершенной, то для любой вещественнозначной функции и е CQ(П) справедливо неравенство

f f iVnfdx dy Iff IUPdx dy

JJ R2-p(X + iy, П) " pP^P(П) JJ R2(X + iy, П)

П П

где

_ JVm0(П) + Г4(1/4)/(4^2), если, то / П,

) _ \ 2-кМ0 (П)+^ + Г4(1/4)/(4^2), если, же П. Здесь Г — гамма-функция Эйлера.

3. Основные результаты

Докажем сначала теорему сравнения для констант сг(П) для различных г. Близкие результаты, относящиеся к неравенствам Харди другого типа, имеются в наших статьях M и [17].

Теорема 1. Пусть 1 ^ р ^ г < то, и пусть П С C — область гиперболического типа. Тогда

Сг(П) > pr [ср(П)]г/р/гг. (7)

_

рассмотрим лишь случай, когда р < г.

Пусть и е С^П), 0 и пусть 1 ^ р < г < то. Определим новую функцию < : П ^ R равенством <p(z) = |u(z)|r/p, z _ x + i y е П. Очевидно, < е С (П). Имеем

V <p(z) _ (г/р) |u(z) |r/p-1^n u(z))Vu(x). Так как г/р — 1 > 0 и функция и е С1 (П), то функция < является непрерывно дифференцируемой в тех точках z е П, где u(z) _ 0, Если же u(zo) _ 0 в некоторой точке zq е П, то ясно, что V <(zq) _ 0 и lim^ ^ Z0 V <p(z) _ 0 с учетом соотнош еннй г/р — 1 > 0 и u е С^П),

Поэтому имеем: < _ |u|г/р е С1 (П),

<

£Л0 ^R—VrPdx'ly > ^ Я dxdV' u е С1(П).

Оценим сверху интеграл из левой части этого неравенства, полагая

г г |u |r-P |Vu|P

Р1 _ -, Р2 _ ", J1 _ п2-2р/r , J2 -

Г-р " р Jí R2-2P/r> J2 R2p/r-P^

и применяя неравенство Гельдера

\ 1/Р1 /(• С \ 1/Р2

hÎ2dxdy <(ffn ffdxdy^j fl2dxdy^

В результате будем иметь неравенство

Г'Р ( [[ 1и1гйхйу\ 1-р/г / г г 1^и1гйхйу\р/г С Г 1и1гйхйу

I щщ) Шп я2-^, ^ - Ср(1)]к ж^д'

Так как и € С;(П) и и ф 0, то это неравенство равносильно следующему

[Г |Уи|"Лхф/ у'{Су(П)]''/р [Г |и|'Лхйу с 1(п) 0

Отсюда и следует неравенство (7), так как с учетом определения (6) при г = р постоянная сг (П) является максимально возможной постоянной в неравенстве

11пЩхГ) - - (П) Ип ЯШ 4и € с;»

Этим и завершается доказательство теоремы 1,

Следующие два утверждение являются обобщениями теоремы В Фернандеса и Родриге-са. Мы получаем оценки конформно инвариантных величин ср(П) и ср,д(П) при некоторых ограничениях па параметры р ъ д. Напомним, что величины ср(П) и ср,д(П) сравнимы с константой с2(П) при условии р = д = 2, В частности, при р = 2 следующая теорема 2

В

Теорема 2. Пусть П С С — область гиперболического типа, с коэффициентом линейного из оперим,етрическо го неравенства, определенным, равенством

к(П) = вир /У ВТ2(г, П)(1х(1у( [ К-1(г, ,

с 3 За ^эс )

где точная верхняя, граница берется, по всем, областям, С, компактно вложенным в область П и ограниченным кусочно-гладкими кривыми. Справедливы следующие утверждения.

1) Если Н(П) < ж, то постоянная ср(П) является, положительным числом для, любого р € [1, ж) и имеет место оценка, ср(П) — 1/ (рЛ,(П))р.

2) При любом, р € [1, 2] постоянная, ср(П) является, положительным числом тогда, и только тогда, когда, Л,(П) < ж. Кроме того, справедливы, оценки

1 12р/2 ^ ррСр(П) ^

Доказательства теорем,ы, 2. Докажем сначала первое утверждение теоремы. Предположим, что р € (1, ж) и к(П) < ж, В силу определения конформно инвариантной константы ^(П) для любой области С, компактно вложен ной в П и ограниченной кусочно гладкими кривыми, будем иметь

" ' (С):= И та <"<п> I ят ■ «>

Далее мы применяем теорему В.М, Миклюкова и М, Вуоринена в приведенной выше форме (см, теорему А), полагая д = р € (1, ж),

а

(г) = К~2/р(г, П), $ (г) = Я"2/р+1 (г, П).

Из определения изопериметрического профиля области П следует, что профиль удовлетворяет неравенству

в(г) — г/к(П)

для любого t е (0, Ip), где Ip = supG V(G), Поэтому

/ гiP \ (p-1)/p

В := sup r1/p( d(t)-p/(p-1)dt ^

re(0,ip) \Jr J

/ г^ \ (p-1)/p

^ h(Q) sup r1/p[ t-p/(p-1)dt = h(Q)(p - l)1-1/p.

re(o,<x>) \Jr J

Последнее равенство получено с помощью непосредственных вычислений,

В силу теоремы Д применяемой для параметров q = р е (l, то), имеем неравенство

Л пЩщ'1^ ^х-гJL Jrndxdv- Vu ес'0(п)' (9)

где постоянная А удовлетворяет неравенству

А ^ ВP1/p (р/(р - l))(p-1)/p ^ ph(Q). (10)

Заметим теперь, что постоянная cp(П) определена как максимальная постоянная в неравенстве вида (9), Следовательно,

Cp(П) > А-р.

Эта оценка вместе с оценкой (10) приводит к неравенствам

Cp(П) > 1/(рh(H))p > 0.

Тем самым первое утверждение теоремы доказано для любого ре (1, то).

Остается рассмотреть случай, когда р = 1. Пусть и е С0(П) — фиксированная функция. Для этой функции при любом ре (1, то) будет справедливо неравенство (9) с постоянной А

зависят от параметра р е (1, то) для фиксированной функции и е С^П), то мы можем перейти к пределу при р ^ 1, Очевидно, предельный переход в (9) и (10) при р ^ 1 приводит к оценке

С1(П) > 1/h(n) > 0

с учетом определения с1(П) как максимальной постоянной в соответствующем неравенстве.

Докажем теперь второе утверждение теоремы. Предположим, что р е [1,2]. Если h(n) < то то ^^^^^ительпость ср(П) и нижняя оценка для этой величины вытекают из первого утверждения теоремы.

Предположим теперь, что ср(П) > 0 для фиксированного р е [1, 2]. Если р = 2, то неравенство h(n) < то и верхняя оценка

С2(П) ^ 3/h(n)

доказаны Фернандесом и Родригесом (см, выше теорему В). Пусть тепе рь ре [1, 2) и cp(П) > 0. Применяя оценку (7) теоремы 1 при г = 2, имеем:

С2(П) > р2 [Ср(П)]2/р/4 > 0. Применяя эту оценку и теорему В, получаем, что h^) < той

Ср(П) ^ (4с2(П)/р2)р/2 ^ (l2/(h(П)p2))p/2.

Таким образом, теорема 2 доказана полностью.

Приведем несколько утверждений, получаемых как следствия теоремы 2 и указанных выше теорем Фернандеса, Родрнгеса и Ф.Г, Авхадиева,

Следствие 1. Пусть П С С — область, граница которой является равномерно совершенной. Тогда справедлива следующая оценка

л/ЫЩ) < 2^(П),

где

(П) = {жМ°(П) + ,4 если ж € п,

М ) {2ттМ(П)+тт + ^^^, если ж € П, Г — гамма-функция Эйлера.

Доказательство. По теореме Ф.Г. Авхадиева (теореме для гиперболической области с равномерно совершенной границей получаем, что

Ср(П) — —.

По теореме 2 при р € [1, 2) имеем

/ 12 \р/2 1 {рЩ)) >Ср(п) — ррщ.

Следовательно,

у/Щ) < л/12)и(П),

что и требовалось доказать,

В следующем утверждении величина с1п(г,т) обозначает гиперболическое расстояние между точками € П.

Следствие 2. Пусть П С С — область гиперболического 'типа, такая, что М(П) < ж, т-е- граница области П является, равномерно совершенным множеством. Пусть А С П — множество, состоящее из конечного или счетного множества точек и К = П \ А. Если А является, счетным множеством, то предполагаем, что

т£ с1п(г, т) > 0.

Тогда, ср(К) > 0 при 1 ^ р < ж.

Доказательство. Из теоремы Фернандеса и Родригеса (см, [6]) следует, что константа с2( К) > 0, Поэтому изопериметрическая постоянная Н(К) < ж по теореме В, Применяя теперь теорему 2, имеем

Ср(К) — —1-> 0,

рк 1г(К)ррр

для любого 1 ^ р < ж, что и требовалось показать.

Следствие 3. Пусть р € [1, 2), и пусть П С С — область гиперболического 'типа, ж € П, и через I обозначим, множество изолированных точек границы дП. Предположим, что ср(П) > 0. Тогда, точки множества I равномерно отдалены, в гиперболической метрике области С = П и I.

Доказательство. По условию ср(П) > 0 при р € [1, 2), Применяя неравенство (7), получим, что также с2(П) > 0, Утверждение следствия следует из теоремы И Фернандеса и Родригеса,

Приведем утверждение, получаемое как следствия теоремы 2 и сформулированной выше теоремы Альвареса, Пестаны и Родригеса из [24],

Следствие 4. Пусть р Е [1, 2), и пусть П С С — область гиперболического 'типа, то Е П, I замкнутое счетное подмножество П и Я = П \/. Тогда, справедливы, следующие утверждения

1, если Ср(Я) > 0, то Л,(П) < то, ср(П) > 0, и для, некоторого фиксированного числа го > 0 в любой точке Ь Е I существуют односвязные и попарно непересекающиеся гиперболические круги, Вп(£,г0) с центром в Ь и радиусом г0;

2, если, ср (П) > 0 и для, некоторого фиксированно го числа г0 > 0 в любой точ ке Ь Е I существуют односвязные и попарно непересекающиеся гиперболические круги, Вп(£ ,г0) с центром в Ь и радиусом г0, то к( Я) < той ср ( Я) > 0. Более того, имеют место оценка

-р

Ср( R) >

+

tanh2 (?) rolog ^

Доказательство. Пусть ср(R) > 0, Применяя теорему 2 при р Е [1, 2), meeм h(R) < то. Далее, используя теорему Альвареса, Пестапы и Родригеса (т.е. теорему Е), получим, что h(Q) < то, и чт0 в любой точке t Е I существуют односвязные и попарно непересекающиеся гиперболические круги Bn(t, го) с центром в í и фиксированным радиусом го- Остается еще раз применить теорему 2, чтобы получить неравенство ср(П) > 0,

Пусть теперь ср (П) > 0, Следовательно, то теореме 2 имеем неравенство h(Q) < той оценку

ph(Q) > [Ср(П)]1/р. (11)

Е

болические круги bq(í, го) с центром в í и фиксироваппым радиусом го > 0, то по теореме Е h( R) < то

h(R) ^ h(2") , +-, (12)

( ) tanh2 (*) го log , 1 '

Ср(R) > —1-> 0. (13)

J ~ h(Я)ррр к 1

Комбинируя неравенства (11), (12) и (13), получаем требуемое утверждение.

Замечание. Согласно теореме 2, если р Е [1, 2] и ср(П) > 0, то коэффициент h(Q) является конечной величиной. Остается открытым вопрос: гарантирует ли конечность коэффициента h(n) условие, что константа ср(П) является положительным числом для некоторого р Е (2, то). По-другому, эту проблему можно сформулировать следующим образом: существует ли такая область П С С гиперболического типа, что константа с2(П) = 0, но константа ср(П) является положительным числом для некоторого р Е (2, то). Следующая теорема обобщает первое утверждение теоремы 2,

Теорема 3. Предположим,, что П С С — область гиперболического 'типа, числа р Е [1, то) u q Е [1, то) фиксированы и удовлетворяют неравенствам 1/р-1/2 ^ 1/ q ^ 1/р, величина, hPyQ(П) определена, равенством,:

/ ff \ 1/ч-1/р+1 / г \-1

hptg(П) = sup (JJ R-2(z, tydxdy] (J R-1(z, П)|^И ,

где точная, верхняя, граница берется, по всем, областям, G, компактно вложенным в об-П

Если кр,я(П) < ж, то константа сРА(П) является положительным числом. Кроме того, имеют место оценки:

(П) > ^/р-1/д-1 (р(* - 1) ^ (р-1)/р , > , Сра(П) — -—,-Г ОЛЯ случая, р> 1,

' Кл(П) \<1(р - Ч/

(П) — 1/ ,—7п\ для, случая, р = 1.

Доказательства теоремы 3. Мы применяем тот же метод, который был использован при доказательстве первого утверждения предыдущей теоремы.

Определим непрерывные функции а : П ^ (0, ж) и 3 : П ^ (0, ж) равенствами а(г) = К-2/я(г, П) и 3(г) = К-2/р+1(х, П), где г = х + iу€ П. С

С С П. Пользуясь определениями В.М. Миклюкова и М, Вуоринена для выбранных нами а 3

V- (С) = Цам<Шу = Ц дЦ)

С

и взвешенной длины границы

[ И-2 I

A(G) = 3 (z)a(z)(p-l) q/p\dz\

IdG R(z, П)"

dG

В силу условий теоремы для любой допустимой области имеем неравенство

V3(G) ^ hp,q(Q)A(G),

где величина hp>q(П) < ж, а число 3 := 1/q — 1/р +1 е [1/2,1], С другой стороны, изопериметрический профиль

0:[O,V(П)) ^ [0, ж), в(0) = 0,

области П является максимальной функцией, удовлетворяющей неравенству

в(V( G)) ^ A(G) G

e(t) > t3/hp,q(П).

Предположим, что

р е (1, ж), Ip = sup V(G),

G

и применим теорему Миклюкова-Вуоринена. Так как

3Р/(Р — 1) = 1+ p/(q(p — 1)),

/с ^ \ (p-Wp 1

Ц t-3p/(p-l)dt)j = (q(1 — 1/p))(p-l)/p -q.

Характеристика Миклюкова-Вуоринена В допускает оценку

/ гh \ (p-l)/p

В ^ sup г 1/9 / e(t)-p/(p-l)dt) ^

re(o,iP) \Jr J

гф, iP)

/ \(p-l)/p /п(п_1) \ (p-l)/p ^ hp,q(П) sup rl/q ( t-3p/(p-l)dt) = hM(ПН q(P 1) )

ге(о,те) \Л / \ P J

Следовательно, по теореме А имеет место следующее неравенство

(//„B^y'W i (//о . V« ес-ж (14)

/пЯ2-р(г, П)/ Л У ,/пЛ2(г, П)

Константа в последнем неравенстве удовлетворяет соотношению

Л ^ Вд 1/9 () ^ ^ ^(П)д () ^ . (15)

Поскольку постоянная сРА(П) определена как максимальная в неравенстве вида (14), то имеет место оценка ср,д(П) > Л-1, Привлекая оценку (15), получаем доказываемое неравенство для ср,д(П) в случае р > 1.

Случай р = 1 получается предельным переходом так же, как и при доказательстве первого утверждения предыдущей теоремы, так как в неравенствах (14) и (15) можно перейти к пределу при р ^ 1 для фиксированной функции и € С0(П), Таким образом, теорема 3 доказана полностью.

Приведем одно следствие теоремы 3, соответствующее случаю р = 1,

Следствие 5. Предположим, что П С С — область гиперболического типа. Если 1 ^ д ^ 2 и (П) < то, то

Л1-(П)<//" Я щщЫу > (Я таНи/, ¥и € С1(П).

Кроме коэффициента Н(П) и евклидова максимального модуля М (П) в дальнейшем нам потребуются некоторые другие числовые характеристики области гиперболического типа, а именно, величины а(П), 7(П) и С(П), определения которых приведем ниже. Эти характеристики взаимосвязаны между собой , Известно (см., например, [2], [3], [7]-ПСС

тогда и только тогда, когда

М(П) < то ^ а(П) > 0 ^ т(П) < то ^ С(П) > 0,

где

) := dirt(z, дП), ) := gup ,

zEQ K(Z, П) zen

run, . A cap({|z-z0| ^ r}) n (c \ П) \

с(П) := inN-!-—--—-—- : Zo е дП, 0 < г < то > .

Через cap Е обозначена логарифмическую емкость множества Е (см., например, [3]),

Теорема 4. Пусть П С c — область, граница которой является равномерно совершенной. Тогда,

^ < ^ ) ■

VMn<^ <Jy

Здесь Г — гамма-функция Эйлера.

с(П)

ство

м (П)«hlog сщ <2м

(см, подробнее [3], [7]),

< 2V3(ibg)

Используя последнее соотношение и следствие 1, получаем, что

1 , Г4(!/4)^

Если П С C — область, граница которой является равномерно совершенной, то

7(П) := sup |V-R(*, П)| < ж

zen

и для любой вещеетвеннозначной функции f е С^(П) справедливо неравенство (см, [9] Следствие 4.1.)

/У |V Hpdxdy 4р [[ lflpdxdy

УУ Я2-р(х + %у, П) " Рр1р(П)]] Я2(х + гу, П)' п п

Следовательно, используя теорему 2 и определение константы ср(П) как максимальной

постоянной в соответствующем неравенстве, получим

/ 12 \р/2 4Р

[РЩ)) - ^(П) - ргщ'

Таким образом,

л/§7(П)/2 - у/ЦП). Комбинируя это неравенство с неравенством Осгуда (см., [2], гл. 3 и [9])

7(П) ^ 2/а(П),

получаем последнее из требуемых неравенств

/3/а(П) - л/Щ).

Этим и завершается доказательство теоремы.

4. Некоторые примеры

В теореме 3 предполагается, что параметры р € [1, ж) и д € [1, ж) фиксированы и удовлетворяют неравенствам

1/р - 1/2 ^ 1/д ^ 1/р.

Как следствие, получаем, что

3 := 1/д - 1/р +1 € [1/2, 1].

неравенство Ир,д(П) < ж может выполняться не для всех значений параметров, удовлетворяющих условию 1 ^ р ^ д < ж.

Покажем, что Ир,д(П) = ж для любой односвязной области П гиперболического типа при условии 3 € [1/2, 1]. В силу конформной инвариантноети Ир,д(П) достаточно рассмотреть П

Пример 1. Пусть П = О = {г € С : | z| < 1}. Рассмотрим круги

Ог = {г € С : |г| < г}

радиуса г € (0,1). Поскольку

Я(г,В) = 1 - И2,

то гиперболическая площадь V (Ог) круг а Ог и гиперболическая длина А(Ог) окружности |х| = г вычисляются явно. Имеем:

V(Ог) = 4^г2(1 - г2)-1

и

) = 4кг(1 - г2)-1.

Следовательно,

= (4^-1г23-1(1 - г2)1-3.

Если 3 € [1/2, 1], то изучаемое отношение

V3 (Ог )/А(Ог) (0 <г< 1)

не ограничено сверху либо в окрестности точки г = 0, либо в окрестности точки г = 1, Таким образом,

виргф^У13 (Ог )/А(Ог) = ж

при условии ¡3 € [1/2, 1].

Если П С С — область, граница которой является равномерно совершенной, то ср (П) > 0 для любого р € [1, ж). Как было указано выше, при р = 2 этот факт впервые доказан Фернандесом [5], а в общем случае Ф.Г, Авхадиевым (см. [7]-[9]). Если граница области не является равномерно совершенной, то вопрос о положительности константы ср (П) оказывается сложным. А именно, существуют области П0 и П1; границы которых не являются равномерно совершенными и обладающими свойствами: ср (П0) > 0 и ср(П1) = 0. Подходящие для нас примеры областей П0 и П1 имеются в [6]. Для полноты картины опишем кратко эти примеры.

Пример 2. Пусть

По = О \{1 - 1/2п}~ь где О = {г € С : |г| < 1} (см. [6]). Известно, что в единичном круге гиперболическое расстояние гп) между точками гт,хп € О определяется формулой

1 1 + Ь

d»(zm,zn) = -log---, t =

2 1 — t

Zn Zm

1 ZnZ<]

n m m

Поэтому расстояние dD(zm, zn) между точками zm = 1 — 1/2ти zn = 1 — 1/2n при n > m + 1 дается формулой

, / \ 1 n 1 ZnZm + ^n Zm

do(Zm, Zn) = 2 log ^---+- =

2 1 ^n^m +

_1 1 — (1 — 1/2m)(1 — 1/2n) — 1/2n + 1/2m_ 1 2n+1 — 1 = 2 0g 1 — (1 — 1/2m)(1 — 1/2n) + 1/2n — 1/2m = 2 0g 2m+1 — 1' Следовательно, имеем

inf dD(zm, Zn) > - log 2 > 0.

nGN,mGN,n=m 2

На основании следствия 2 мы можем утверждать, что при любом р е [1, ж) константа cp(Q0) является положительным числом.

Этот пример интересен в сравнении со следующим примером, рассмотренным также в статье [6].

Пример 3. Пусть

fii = D \{0}\{1/2n}~i,

где D = {z е C : |z| < 1}.

Гиперболическое расстояние dD(zm, zn) между точками zm = 1/2m и zn = 1/2n при m > n +1 вычисляется явно по формуле

. . 1 1 ZnZm + Zn Zm 1 , 2 + +2 2+1

dD(zm, zn) = - log-= - log-:-, n < m.

D\ m <Ч П 1 _ r r _ -у \ -у О Om+n _ Om _i_ On _i_ 1 '

— n m — n m —

Как и в предыдущем случае, имеем

inf d0(zm, zn) > 1 log 2 > 0.

nGN,m,GN,n=m 2

Имеется и отличие от предыдущего случая, связанное с особой точкой 0 G А. Поскольку расстояние между точками 0 и zn дано формулой

dro(0, Zn) = 1 log 1 + Zn, 2 1

то, очевидно, будем иметь: dD(0, zn) ^ 0 при n ^ то, т.е. точка 0 G D является точкой сгущения последовательности. Следовательно,

inf dn(z,w) = 0, А = {0} U |1/2n}-=1.

zeA,weA\{z}

В отличие от предыдущего случая, мы не можем применить следствие 2 и получить неравенство ср(П1) > 0, Напротив, как показано в статье [6], имеет место равенство с2(П1) = 0, Используя теорему 1, получаем, что ср(П1) = 0 и при любом р G [1, 2),

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L.V. Ahlfors Conform,al invariants, Topics in Geometric Function Theory. New Yourk: McGraw-Hill, 1973. 160 p.

2. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Schwarz-Pick Type Inequalities. Basel-Boston-Berlin: Birkháuser Verlag. 2009. 156 p.

3. Ch. Pommerenke Uniformly perfect sets and the Poincaré metric // Arch. Math., V. 32, Is. 1. 1979. P. 192-199.

4. D. Sullivan Related aspects of positivity in Riemannian geometry //J. Differential Geom., V. 25, Is. 3. 1987. P. 327-351.

5. J.L. Fernández Domains with Strong Barrier // Revista Matemática Iberoamericana. V. 5, Is. 2. 1989. P. 47-65.

6. J.L. Fernández, J.M. Rodriguez The exponent of convergence of Riemann surfaces, bass Ri,em,ann surfaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Series A. I. Mathematica. V. 15. 1990. P. 165-183.

7. F.G. Avkhadiev Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants // Lobachevskii J. Math., V. 21. 2006. P. 3-31.

8. Авхадиев Ф.Г. Нера,венет,ва, типа Харди в плоских и пространственных открытых множествах // Тр. матем. инст. им. В.А. Стеклова, Т. 255. 2006. С. 8-18.

9. Авхадиев Ф.Г. Интегральные неравенства в областях гиперболического типа и их применения // Матем. сб., Т. 206, вып. 12. 2015. С. 3-28.

10. Авхадиев Ф.Г., Насибуллин Р.Г., Шафигуллин И.К. Lp-eepcuu одного конформно инвариантного неравенства // Изв. вузов. Матем., № 8. 2018. С. 88-92.

11. М. Hoífmann-Ostenhof, Т. Hoffmann-Ostenhof, A. Laptev A geometrical version of Hardy's inequality // J. Funct. Anal, V. 189, Is. 2. 2002. P. 539-548.

12. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Unified Poincaré and Hardy inequalities with sharp constants for convex domains // Z. Angew. Math. Mech., V. 87, Is. 8-9. 2007. P. 632-642.

13. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths Weighted Hardy inequalities with sharp constants // Lobachevskii J. Math., V. 31, Is. 1. 2010. P. 1-7.

14. F.G. Avkhadiev, K.-J. WTirths Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. V. 18, Is. 4. 2011. P. 723-736.

15. F.G. Avkhadiev,K.-J. WTirths On the best constants for the Brezis-Marcus inequalities in balls // J. Math. Analysis and Applications. V. 396, Is. 2. 2012. P. 473-480.

16. F.G. Avkhadiev, I.K. Shafigullin Sharp estimates of Hardy constants for domains with special boundary properties // Russian Mathematics. V. 58, Is. 2. 2014. P. 58-61.

17. Авхадиев Ф.Г., Насибуллин Р.Г. Неравенства типа Харди в произвольных областях с конечным внутренним радиусом // Сиб. матем. жури., Т. 55, № 2. 2014. С. 191-200.

18. A.A. Balinskv, W.D. Evans, R.T. Lewis The Analysis and Geometry of Hardy's Inequality, Universitext, Springer, Heidelberg - New York - Dordrecht - London, 2015.

19. Насибуллин Р.Г. Точные интегральные неравенства типа Харди с весам,и, зависящим,и от, функции Бесселя, // Уфимск. матем. журн., Т. 9, Вып. 1. 2017. С. 89-97; Ufa Math. J., V. 9, Is. 1. 2017. P. 89-97.

20. Шафигуллин И.К. Нижняя оценка, константы Харди для, произвольной области в Мга // Уфимск. матем. журн., Т. 9, Вып. 2. 2017. С. 104-111; Ufa Math. J., V. 9, Is. 2. 2017. P. 102-108.

21. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа, в математической физике, М.: Наука. 1988. 254 с. ISBN 5-02000052-3.

22. V.G. Maz'va Sobolev spaces, Springer. 1985. 488 p.

23. V.M. Miklvukov, M.K. Vuorinen Hardy's inequality for -functions on Riemanni an manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. V. 127, No. 9. 1999. P. 2745-2754.

24. V. Alvarez, D. Pestaña, J.M. Rodriguez Isoperimetric inequalities in Riemann surfaces of infinite type // Revista Matemática Iberoamericana, Vol. 15, № 2. 1999. P. 353-425.

Фирн i Габидинович Авхадиев,

Институт математики и механики им. И.И. Лобачевского Казанский (Приволжский) федеральный университет, Кремлевская, 18 420008, г. Казань, Россия E-mail: avkhadiev47@mail.ru

Рамиль Гайсаевич Насибуллин,

Институт математики и механики им. 11.11. Лобачевского Казанский (Приволжский) федеральный университет, Кремлевская, 18 420008, г. Казань, Россия E-mail: NasibullinRamil@gmail.com

Ильнар Касыймович Шафигуллин,

Институт математики и механики им. 11.11. Лобачевского

Казанский (Приволжский) федеральный университет,

Кремлевская, 18

420008, г. Казань, Россия

E-mail: shaf igullin. ik@gmail. com