Точный порядок роста мажоранты в неравенстве Шварца - Пика для жесткости кручения Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

001: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.6.2

УДК 517.544 ББК 22.162

ТОЧНЫЙ ПОРЯДОК РОСТА МАЖОРАНТЫ В НЕРАВЕНСТВЕ ШВАРЦА - ПИКА ДЛЯ ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ

Динара Халиловна Гиниятова

Соискатель кафедры теории функций и приближений, Казанский (Приволжский) федеральный университет [email protected]

ул. Кремлевская, 18, 420008 г. Казань, Российская Федерация

Аннотация. В статье [6], посвященной аналогам леммы Шварца для интегральных характеристик областей, были получены новые неравенства типа Шварца — Пика для коэффициента жесткости кручения плоской односвяз-ной области. Однако вопрос о точности представленных оценок до сих пор оставался открытым. В настоящей работе устанавливается асимптотическая точность указанных оценок для коэффициента жесткости кручения.

Ключевые слова: неравенства типа Шварца — Пика, коэффициент жесткости кручения, лемма Шварца, конформные отображения.

Введение

Неравенства типа Шварца — Пика берут свое начало в классических трудах Пика [14], Каратеодори [13], Саца [19], Бернштейна [12] и др. Последние десятилетия эта тематика активно развивалась, ряд результатов по неравенствам данного типа можно найти в работах Рушевея [16; 17], Ямашиты [20], Авхадиева [7-10] и др. (см. также [2-4]). Основным объектом изучения в подобных неравенствах являются производные функций f, в общем случае локально голоморфных или мероморфных в некоторой гиперболической области П С С и таких, что /(П) С П С С. В работе [6], посвященной 016аналогам леммы Шварца для интегральных характеристик плоских односвязных обла-^ стей, неравенства типа Шварца — Пика удалось распространить на физический функ-X. ционал области, такой как коэффициент жесткости кручения. Ниже приведем основные ^ определения и необходимые результаты из данной статьи.

о Пусть П — произвольная односвязная область в комплексной плоскости С. Жест-

ка костью кручения (коэффициентом жесткости кручения) упругой балки с поперечным сечением П называется функционал Р(П), определяемый как решение следующей варись ационной задачи (см. [11; 15]):

(2 Го и(х)(х) Р(П) = вир V Зп 1 ; ]

«ес§°(п) /п \Чи12(1х(1у '

где (х,у) € П, С0ю(П) — пространство гладких функций с компактным носителем в П. Общая теория кручения была разработана Сен-Венаном. Согласно предложенной им формуле:

Р(П) = 2 ^у(х(у,

п

где V = у(х, у) — решение краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона Ау = — 2 с краевым условием у|ап = 0. Функцию V называют функцией напряжений. Изучению свойств данной функции посвящено множество работ (см., например, [5; 18]). Эквивалентность двух определений жесткости кручения доказана в [15]. Поскольку функционалы, определяемые посредством краевых задач, являются трудно вычислимыми, важной проблемой математической физики является получение оценок для них через более простые, геометрические, характеристики области. В 1998 г. Ф.Г. Авхадиевым было установлено, что жесткость кручения эквивалентна конформному и евклидовому моменту инерции относительно границы [1].

Далее пусть П — произвольная односвязная область в С и 0 € П. Согласно теореме Римана существует функция / : А ^ П, такая что /(0) = 0. Пусть Пг — образ круга Дг = (С € С : |с| < г} при отображении функцией f для всякого г € (0,1), то есть Пг = (г € П : г = /(С), |С| < г, г € (0,1)}. В [1] сформулирован аналог теоремы Шварца — Пика для Р(П), а именно доказана теорема.

Теорема. Пусть Р(П) < то и 0 < г < 1. Тогда справедливы следующие неравенства

(-РШ < р(П),

( 1 — 8

и для всякого т € N

/Р(П)у2т+1) < (2т +1)!Р(П) ™ (т\2 к

V Г4 ) (1 — г2)2т+1 ¿=Ак) ' ()

Оба неравенства в данной теореме являются строгими. Например, для первого неравенства это означает, что для любой константы с > 0 не существует области П, такой что

)

(Р(ПГ) сг3

(г ~ 1 — Г2 ,

В этом легко убедиться, тем не менее, ниже мы покажем, что порядок точности приведенных оценок улучшить нельзя. В этом смысле полученные оценки являются асимптотически точными.

2

1. Основные результаты

Теорема 1. Для любого г0 € [1/2,1) существует область П себе точку г = 0, такая что

П(г0), содержащая в

(Р (Пг (Го))

(

>

0

г=г 0

1 — 02

где со = ^.

Доказательство. В качестве области П рассмотрим круг единичного радиуса, граница которого проходит близко к началу координат (рис. 1).

Рис. 1. Область О

В [6] доказана формула

Р (П ) = 2 Е

[ 2 ] 2и £

п=2 а=1

в=а

(2)

где щ — коэффициенты разложения в ряд Тейлора конформного отображения f : А ^ ^ П. Воспользуемся этой формулой в качестве примера ее практического применения для вычисления Р(Пг). Построим отображающую функцию f (г), которая переводит единичный круг А в область П с соответствием /(0) = 0:

/ ^^+• -..

Разложим /(г) в ряд по степеням ^ и запишем общий вид коэффициента ак при

то есть

/(г) = Е * ((-1)"-1 (1 - 5)"-1 + М)"(1 - 6)"+1)

к=1

ак = (-1)^-1 (1 - 6)^-1 + (-1)*(1 - 6)^+1.

Вычислим произведение акап-к:

акап-к = ((-1)*-1 (1 - б)*-1 + (-1)*(1 - 6)*+1) ((-1)п-*-1 (1 - 6Г-*-1 +

+ (-1)п-^(1 - ) = (-1)™-2(1 - 6)™-2 + 2(-1)п-1 (1 - 6)п +

2

п-2

,п-1

,2 \ 2

+ (-1)П(1 - 6)П+2 = (-1)П-2(1 - 6)П-2 (1 - (1 - б)2)

Обозначим у = 1 - 6, тогда согласно формуле (2)

Р (П ) = П Е ^ Е

п=2 а=1

Е(-!)"-2(1 - Г2)2

в=а

2

2

Поскольку произведение коэффициентов не зависит от индекса суммирования,

его можно вынести из-под знака суммы. Имеем

в=а

Следовательно,

уп-2(—1)п-2(1 — у2)2

у™-2(_ 1)«-2(1 — у2)2(и — 2а + 1)

Р(Пг) = 2 £ г2>2-4(1 — У2)4£ |п — 2а + 1|2.

п=2

а=1

Имеем

Р(П) = П £ г2"у2га-4(1 — у2)4 ■ .

т-г---4(1 — У2)4 6

п=2

Вынесем все множители, не зависящие от п, из-под знака суммы, получим

2

Р(П) = ^п(п» — 1)(гу)2".

п=2

(3)

Введем обозначение £ = ( гу)2 и вычислим сумму в последнем выражении для Р(Пг):

£ п(п2 — 1)Г = £ пНп — £ пГ.

п=2 п=2 п=2

(4)

Используя известную формулу для геометрической прогрессии

1 + + 2 + ..

1

га=0

1

дифференцированием по получаем

£п п-1

п=1

1

> пГ

(1 — )2

п=1

(1 — )2

п=2

(1 — )2

.

Аналогично последовательным дифференцированием вычисляем и первую сумму в (4). Окончательно имеем

У Гп(п2 — 1) = ^. ¿2 ( ) (1 — ^)4

Возвращаясь к прежним обозначениям и применяя формулу (3) для вычисления жесткости кручения Р(Пг), получим

Р (Пг)

п(6 — 2)464г4 2((5 — 1)2г2 — 1)4'

Вычислим производную

/Р(Пг)V _ 4п(2 — 6)464(6 — 1)2г = (1 — (6 — 1)2г2)5

4

2

2

\ Л _±п

Достаточно показать, что для каждого фиксированного г0 € [1, 1) приведенная выше область П существует. Существование области П равносильно в нашем случае существованию величины 6. Положим 6 = 1 - Тогда

4п(1 + г2)4(1 - г2)4г5 4П(1 + г2)4(1 - г2)4г05 4П(1 + г2)4г05

>

(1 - Го6)5 (1 - Г02)5(1+ г02 + г4)5 (1 - г02)(1 + г02 + г4)5 " (1 - г0)•

Определим константу с из условия неравенства. Имеем

4п(1 + г2)4г5 4П(1 + г0)4г0 4Пг5 4П _ п

(1 + г0 + г0)5 " 35 " 35 - 2535 1944;

ПТ

то есть в качестве константы с можно взять число

1944 '

Теперь рассмотрим случай производных порядка п > 1. Вычислим производную п-го порядка для функции Р(Пг)/г4. Для этого приведем ее к виду

"г )

44

Р(П) п(б - 2)464 1

г4 2 (1 -аг2)4'

где а = (6 - 1)2. Таким образом, необходимо вычислить производную п-го порядка для функции 1/(1 - а г2)4. Для этого предварительно разложим ее в ряд, а затем продифференцируем. Перепишем нашу функцию в виде 1/(1 - ¿)4 (£ = аг2). Тогда, последовательно дифференцируя функцию 1/(1 - ), получим

те

1 - ^ к

1 1 + г + ? +... =

к=0

оо

(1 - )2 2

23

к=1 те

Е к(к - 1)гк-2, к=2 те

= £к(к - 1)(к - 2)

Окончательно имеем

1 1 те -—- = 6 £( к + 3)( к + 2)( к + ^"

^ ' к=0

Последовательно дифференцируем полученный ряд

(1 - аг2)4/ 6 ^

те

к + 3)( к + 2)( к + 1) ак 2 кг2к-1

ч // ..те

к + 3)( к + 2)(к + 1)ак2 к(2 к - 1)г2й-2

(1 - аг2)4/ 6 ^

1 Ч /// -.те

Т!-2й = 6 Е( к + 3)( к + 2)(к + 1)ак2 к(2 к - 1)(2 к - 2)г2*-3

(1 - аг2)4/ 6

1

и т. д. Имеем

/ 1 ч (га) 1 те п

= 6 £ ак( к + 3)(fc + 2)(fc + 1) Ц(2к - j + l)r2*-га

fc=ra j=1

Таким образом, получаем

(га)

"iL ]

И 12

= Ц(5 - 2)454(ö - 1)га £ tk-f (fc + 3)(fc + 2)(fc + 1) П(2fc - j + 1)

к=п ]=1

где г= (6 — 1)2г2.

Мы должны показать существование константы с > 0, такой что

^ты^(га)

- Тл-^га' г° G

(1 - ?о)га

1) ■

1, 1 I , П е N.

Рассмотрим сумму в выражении производной п-го порядка:

те

£гк-f ( & + 3)( А; + 2)(к + 1)2 А;(2к — 1) ■ ... ■ (2 к — п + 1). (5)

к=п

Так как

2 к > к, 2 & — 1 > & — 1,

2 & — п +1 >к — п +1 = к — (п — 1), то выражение (5) преобразуется следующим образом:

те

£гк-*( А; + 3)( к + 2)(& + 1)2 к(2к — 1) ■ ... ■ (2 к — п +1) >

к=п

те

> ^гк-*( к + 3)(& + 2)(к + 1)А;(к — 1) ■ ... ■ ( к — п + 1) =

к=п

те

= ^ £^-га( к + 3)( А; + 2)(к + 1)А;(А; — 1) ■ ... ■ ( к — п + 1) =

к=п

П у Л ч , П

_ ¿2 (п + 3)! ¿2

(1 - ¿)га+4 " (1 - ¿)га+4'

Имеем

/Р (Пг (г°))\(га) > п(5 - 2)454(5 - 1)га (5 - 1)га г га V г° ) - 12(1 - (5 - 1)2г2)га+4 . Положим 5 =1 - г° и покажем, что существует константа с > 0, такая что

п(1 + Г° )4г°га с

12(1 - г°)га(1 + г° + г4)га+4 - (1 - г2)га. ( )

Из (6) следует, что

пг3га(1 + г2)4

12(1+ Гд + Гд )™+4'

'О "Т 'О;

Определим константу с из условия неравенства для 1/2 < г0 < 1

ПГ3п(1 + г2)4 пг0га(1 + гО)^ пг3га П

12(1 + г0 + г0)га+4 " 12 ■ 3п+4 - 12 ■ 3га+4 " 12 ■ 23га ■ 3п+4'

Следовательно, за константу с можно взять число 2зп+п3п+б . Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 2. Для любого г0 € [1/2,1) существует область П = П(г0), содержащая в себе точку г = 0, такая что

>

(1 - г2)™;

О)

г=го

где с

23п+2 3П+5 •

Замечание. Следует отметить, что утверждение теоремы 2 справедливо для всякого произвольного п € N в отличие от неравенства (1), где результат сформулирован лишь для нечетных производных.

Автор благодарит профессора Ф.Г. Авхадиева за проявленный интерес и постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

П

1. Авхадиев, Ф. Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана / Ф. Г. Авхадиев // Мат. сб. - 1998. - Т. 189, № 12. - C. 3-12.

2. Гиниятова, Д. Х. Аналог теоремы Саца для вторых производных аналитических функций / Д. Х. Гиниятова // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. — 2009. — Т. 38. — C. 84-85.

3. Гиниятова, Д. Х. Обобщение теорем Саца и Рушевея о точных оценках производных аналитических функций / Д. Х. Гиниятова // Изв. вузов. Математика. — 2009. — № 12. — C. 84-89.

4. Гиниятова, Д. Х. Оценки градиента гиперболического радиуса и неравенства типа Шварца — Пика для эксцентрического кольца / Д. Х. Гиниятова // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия физ.-мат. — 2016. — C. 172-179.

5. Салахудинов, Р. Г. Изопериметрические неравенства для £р-норм функции напряжения многосвязной области на плоскости / Р. Г. Салахудинов // Изв. вузов. Математика. — 2013. — № 9. — C. 75-80.

6. Abramov, D. A. Versions of the Schwarz lemma for domain moments and the torsional rigidity / D. A. Abramov, F. G. Avkhadiev, D. Kh. Giniyatova // Lobachevskii J. Math. — 2011. — Vol. 32, № 2. — P. 149-158.

7. Avkhadiev, F. G. Estimates of the derivatives of meromorphic maps from convex domains into concave domains / F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // CMFT. — 2008. — Vol. 8. — P. 107-119.

8. Avkhadiev, F. G. Schwarz — Pick inequalities for hyperbolic domains in the extended plane / F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Geom. Dedicata. — 2004. — Vol. 106. — P. 1-10.

9. Avkhadiev, F. G. Schwarz — Pick type inequalities / F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. — Boston ; Berlin ; Bern : Birkhauser, 2009. — 156 p.

10. Avkhadiev, F. G. The punishing factors for convex pairs are 2n 1 / F. G. Avkhadiev, K.-J. Wirths // Revista Math. Iberoamericana. - 2007. - Vol. 23. - P. 847-860.

11. Bandle, C. Isoperimetric inequalities and application / C. Bandle. — Boston : Pitman, 1980. — 228 p.

12. Bernstein, S. N. Sur la limitation des derivees des polynomes / S. N. Bernstein // C. R. Acad. Sci. Paris. — 1930. — Vol. 190. — P. 338-340.

13. Caratheodory, C. Sur quelques applications du theoreme de Landau — Picard / C. Caratheodory // C. R. Acad. Sci. Paris. — 1907. — Vol. 144. — P. 1203-1206.

14. Pick, G. Über die Beschrankungen analytischer Funktionen, welche durch vorgeschriebene Funktionswerte bewirkt werden / G. Pick // Mat. Ann. — 1916. — Vol. 77. — P. 7-23.

15. Polya, G. Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics / G. Polya, G. Szego. — Princeton : Princeton Üniv. Press, 1951. — 279 p.

16. Ruscheweyh, St. Two remarks on bounded analytic functions / St. Ruscheweyh // Bulg. Math. Publ. — 1985. — Vol. 11. — P. 200-202.

17. Ruscheweyh, St. Über einige Klassen in Einheitskreis holomorpher Funktionen / St. Ruscheweyh // Ber. Math.-Stat. Sektion Forschungszentrum Graz. — 1974. — № 7. — P. 1-12.

18. Salakhudinov, R. G. Payne type inequalities for Lp-norms of the warping functions / R. G. Salakhudinov // J. of Math. Anal. and Appl. — 2014. — Vol. 410, № 2. — P. 659-669.

19. Szasz, O. Ungleichheitsbeziehungen für die Ableitungen einer Potenzreihe, die eine im Einheitskreise beschrankte Funktion darstellt / O. Szasz // Math. Z. — 1920. — № 8. — P. 303-309.

20. Yamashita, S. La derivee d'une function univalente dans un domaine hyperbolique / S. Yamashita // C. R. Acad. Sci. Paris. — 1992. — Vol. 314. — P. 45-48.

REFERENCES

1. Avkhadiev F.G. Reshenie obobshchennoy zadachi Sen-Venana [Solution of the Generalized Saint Venant Problem]. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 1998, vol. 189, no. 12, pp. 3-12.

2. Giniyatova D.Kh. Analog teoremy Satsa dlya vtorykh proizvodnykh analiticheskikh funktsiy [The Analog of Szasz's Theorem for the Second Derivatives of Analytic Functions]. Tr. mat. tsеntra im. N.I. Loba^vskogo, 2009, vol. 38, pp. 84-85.

3. Giniyatova D.Kh. Obobshchenie teorem Satsa i Rusheveya o tochnykh otsenkakh proizvodnykh analiticheskikh funktsiy [Generalization of Theorems of Szasz and Ruscheweyh on Exact Bounds for Derivatives of Analytic Functions]. Izv. vuzov. Matеmatika [Russian Mathematics], 2009, no. 12, pp. 84-89.

4. Giniyatova D.Kh. Otsenki gradienta giperbolicheskogo radiusa i neravenstva tipa Shvartsa — Pika dlya ekstsentricheskogo koltsa [Estimates of the Hyperbolic Radius Gradient and Schwarz — Pick Inequalities for the Eccentric Annulus]. U^n. zap. Kazan. un-ta. Sеriya fiz.-mat., 2016, pp. 172-179.

5. Salakhudinov R.G. Izoperimetricheskie neravenstva dlya Lp-norm funktsii napryazheniya mnogosvyaznoy oblasti na ploskosti [Isoperimetric Inequalities for Lp-Norms of the Stress Function of a Multiply Connected Plane Domain]. Izv. vuzov. Matеmatika [Russian Mathematics], 2013, no. 9, pp. 75-80.

6. Abramov D.A., Avkhadiev F.G., Giniyatova D.Kh. Versions of the Schwarz Lemma for Domain Moments and the Torsional Rigidity. Lobachevskii J. Math., 2011, vol. 32, no. 2, pp. 149-158.

7. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Estimates of the Derivatives of Meromorphic Maps From Convex Domains Into Concave Domains. CMFT, 2008, vol. 8, pp. 107-119.

8. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Schwarz — Pick Inequalities for Hyperbolic Domains in the Extended Plane. Geom. Dedicata, 2004, vol. 106, pp. 1-10.

9. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Schwarz — Pick type inequalities. Boston; Berlin; Bern, Birkhäuser, 2009. 156 p.

10. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. The Punishing Factors for Convex Pairs are 2ra-1. Revista Math. Iberoamericana, 2007, vol. 23, pp. 847-860.

11. Bandle C. Isoperimetric inequalities and application. Boston, Pitman, 1980. 228 p.

12. Bernstein S.N. Sur la Limitation des Derivees des Polynomes. C. R. Acad. Sci. Paris, 1930, vol. 190, pp. 338-340.

13. Caratheodory S. Sur Quelques Applications du Theoreme de Landau — Picard. C. R. Acad. Sci. Paris, 1907, vol. 144, pp. 1203-1206.

14. Pick G. Über Die Beschrankungen Analytischer Funktionen, Welche Durch Vorgeschriebene Funktionswerte Bewirkt Werden. Mat. Ann., 1916, vol. 77, pp. 7-23.

15. Polya G., Szego G. Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics. Princeton, Princeton Üniv. Press, 1951. 279 p.

16. Ruscheweyh St. Two Remarks on Bounded Analytic Functions. Bulg. Math. Publ., 1985, vol. 11, pp. 200-202.

17. Ruscheweyh St. Über Einige Klassen in Einheitskreis Holomorpher Funktionen. Ber. Math.-Stat. Sektion Forschungszentrum Graz., 1974, no. 7, pp. 1-12.

18. Salakhudinov R.G. Payne Type Inequalities for Lp-Norms of the Warping Functions. J. of Math. Anal. and Appl., 2014, vol. 410, no. 2, pp. 659-669.

19. Szasz O. Ungleichheitsbeziehungen Fur Die Ableitungen Einer Potenzreihe, Die Eine Im Einheitskreise Beschrankte Funktion Darstellt. Math. Z, 1920, no. 8, pp. 303-309.

20. Yamashita S. La Derivee D'une Function Univalente dans un Domaine Hyperbolique. C. R. Acad. Sci. Paris, 1992, vol. 314, pp. 45-48.

AN EXACT ORDER OF THE MAJORANT GROWTH IN THE SCHWARZ - PICK INEQUALITY FOR TORSIONAL RIGIDITY

Dinara Khalilovna Giniyatova

Candidate for a Degree, Department of Functions Theory and Approximations,

Kazan Federal University

[email protected]

Kremlyovskaya St., 18, 420008 Kazan, Russian Federation

Abstract. The beginning of Schwarz — Pick type inequalities may be found in classical papers of Pick [14], Caratheodory [13], Szasz [19], Bernstein [12] and others. In recent years this program is actively developed, a number of results on inequalities of this type can be found in articles of Ruscheweyh [16; 17], Yamashita [20], Avkhadiev [7-10] etc. (see also [2-4]). These results are concerned with function / holomorphic or meromorphic in a domain Q in the extended complex plane C and /(Q) C n c C. In [6] we obtained Schwarz — Pick type inequalities for the torsional rigidity. As known, the Saint-Venant functional P for the torsional rigidity in an arbitrary plane Q can be found as the solution of the generalized problem (see [1; 11; 15])

, s (2 L «(xWx)2

P(Q) = sup v Jn v ; ;

«ec§°(fi) L |V«|2cirdy '

where (x, y) e Q, C0°(Q) — the space of smooth functions with compact support in Q. Let Q e C arbitrary simply connected domain and 0 e C. According to

Riemann's theorem there exists a function f such that f : A ^ Q and /(0) = 0. Let Qr the image of the circle Ar = {Z G C : |Z| < r] under the mapping f for each r G (0,1), i.e. Qr = {z G Q : z = /(Z), |Z| < r,r G (0,1)]. In [6] an analogue of Schwarz — Pick theorem is formulated for the P(Q), to be exact the following theorem is proved there.

Theorem. Let P(Q) < to u 0 < r < 1. Then the following inequalities

hold

dP(Qr) 4r3

< —8 P ("),

dr 1 — r

and, for each m G N,

P(") \ (2m+1) (2m +1)!P(") ^(m ГЛ J < (1 _ f2)2m+1 I fc

We see, that both inequalities are strict in this theorem. In this paper we establish the asymptotic accuracy of the estimates. We prove the next theorems: Theorem 1. For each r0 G [1/2,1) there exists Q = Q(r0), z = 0 G Q, such that

dP (" (re))

d

>

e

r=ro

1 e2

where cq = 2735.

Theorem 2. For each r0 G [1/2,1) there exists Q such that

"(re), z = 0 G

(P (" (r e)^(n)

>

r=ro

(1 _ r02)™'

where

r, n>1

23n+23n+5 >

Key words: Schwarz — Pick type inequalities, torsional rigidity, Schwarz's lemma, conformal mappings.

П