НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ, СОДЕРЖАЩИЕ ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 3 (2021). С. 3-16.

УДК 517.5

НЕРАВЕНСТВА ТИПА ХАРДИ, СОДЕРЖАЩИЕ ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ

Аннотация. В областях евклидова пространства доказаны несколько новых неравенств типа Харди, содержащих градиент функции расстояния от точки до границы области. Для пробных функций рассматриваются усиленные неравенства в форме, предложенной Балинским и Эвансом для случая выпуклых областей. А именно, в неравенствах типа Харди вместо градиента пробной функции берется скалярное произведение градиентов пробной функции и функции расстояния от точки до границы заданной области.

В этой статье интегральные неравенства типа Харди изучаются в невыпуклых п-мерных областях, имеющих конечный внутренний радиус. Нами доказаны три новых Lp-неравенства типа Харди в усиленной форме с явными оценками констант в зависимости от размерности евклидова пространства п ^ 2, внутреннего радиуса области и двух параметров р ^ 1, s ^ п.

Доказательства имеют три важных ингредиента. Первый из них связан с аппроксимацией и специальным разбиением области, в частности, мы пользуемся аппроксимацией области подмножествами, составленными из конечного числа кубиков, грани которых параллельны координатным плоскостям. Второй ингредиент состоит в представлении области в виде счетного объединения подобластей с кусочно-гладкими границами и применении одной новой теоремы автора о сходимости градиентов функций расстояния этих подобластей. Кроме того, доказаны три новых неравенства типа Харди на конечном интервале, они используются при обосновании неравенств в многомерных областях.

Ключевые слова: неравенство типа Харди, внутренний радиус, градиент функции расстояния.

Mathematics Subject Classification: 26D10, ЗЗС20

1 15 И К. (К1III к

Пусть п ^ 2 и пусть Q С К™ — область, такая, что Q = К"". В таких областях будем рассматривать весовые интегральные неравенства типа Харди для функций и £ Cq (Q), где C0(Q) — семейство вещественнозначных гладких функций, компактные носители которых лежат в области Q.

Отметим, что Харди исследовал одномерные интегральные неравенства для различных значений параметров р £ [1, те) и s £ К \{1}- Его результаты можно сформулировать в следующей, объединенной форме (ср. с [1]).

Теорема 1.1. Предположим, чтор £ [1, те) и параметр s £ К\{1}. Тогда для любой функции f : (0, те) ^ R, удовлетворяющий условиям f £ Cq((0, те)) и f ф 0, справедливо неравенство

Ф.Г. АВХАДИЕВ

оо

оо

О

О

F.G. Avkhadiev, Hardy type inequalities involving gradient of distance function. © Авхадиев Ф.Г. 2021.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-00115. Поступила 5 февраля 2021 г.

где константа — 1|Р/рР является точной.

В обобщениях неравенства Хардн на многомерный случай используется величина р(х, дО) — расстояние от точки х € О до границы области О, т.е.

р(х,дО) := И |х — у1.

уем,п\п

Через V р(х, О) обозначим градиент этой функции. Отметим также, что здесь и далее пользуемся евклидовой нормой |х| = (х2 + х\ + ... + х2) 1 и евклидовым скалярным произведением

х ■у = ххух + х2у2 + ... + хпуп

для векторов х = (х1, х2,... хп) € Еп и у = (у1, у2,..., уп) € Еп.

Отметим попутно известный факт: |V р(х, дО)| = 1 почти всюду на О. Следовательно, с учетом неравенства Коши для скалярного произведения получим: для любой функции и € Сд(О)

^и(х)| ^ |Vu(х) ■ V р(х, дО)| почти всюду на О. (1.1)

Имеются различные многомерные аналоги неравенства Харди (см., например, книги [2] и [3]). Нас будут интересовать обобщения двух следующих неравенств, где параметры выбраны так, что р € [1, го) и в € [1, го).

Первое неравенство имеет вид

/ > О) / «и ™

п п

а второе неравенство является усилением первого в силу (1.1) и имеет вид

Г ^и(х) ■ Vр(х,дО)\Р<1х ^ *( О) Г 1(О) п ^

У—р-(х,до)— ^ Ср(*,О)У р(хж) €Со(О). ( }

пп Постоянные Ср (в, О) € [0, го) и с*(8, О) € [0, го) предполагаются максимальными из возможных, т.е. они определены формулами:

Г |Vu(х)|Рdх

р3~Р(х, дО)

< х

Ср(,в, О) = М ---, (1.4)

«ес01(п),и^о [ |u(х)|рdх х '

] р3(х,дО) п

в случае неравенства (1.2) п

|Уи(х) ■ V р(х,дО)|Р<х р3~р(х, дО) х

с*(в, О) = М ---, (1.5)

р иес1(п),и^о [ |и(х)|р<х ' 4 ;

.1 р3(х,дО) п

в случае неравенства (1.3).

Максимальные постоянные Ср(в, О) и ср(в, О) в неравенствах (1.2) и (1.3), определяемые формулами (1.4) и (1.5), соответственно, являются инвариантными по отношению к линейным конформным преобразованиям области. В частности, имеют место равенства

Ср(8, О) = Ср( 8, кО + х0), Ср(8, О) = с*(8, кО + х0),

где

кО + хо := [у€ Еп : у = кх + хо, х € О} (хо € Еп, к € Е, к = 0). Обратим внимание читателя на простой, но важный факт. Инвариантность неравенств по отношению к масштабированию, т.е. к преобразованиям вида у = кх (к > 0), приводит к тому, что

константы ср(8, О) и с*(8, О) являются безразмерными величинами. Отметим также, что в силу

р

ср(8, О) ^ Ср(8, О).

Настоящая статья посвящена доказательству новых неравенств вида (1.3) и их обобщений. В этом направлении имеется лишь несколько результатов, их мы опишем ниже.

2. О вазовых свойствах функций р( • , П) и их применениях

Функция расстояния р( •, дП) имеет многочисленные применения в ряде областей теории функций и теории дифференциальных уравнений эллиптического типа. Эта функция достаточно хорошо изучена. Ее базовыми свойствами являются два факта (см., например, главу 2 книги [2]): функция р( •, дП) удовлетворяет условию Липшица:

1р(х,дП) - р(у,дП)| < Ix — yl Ух,у е П,

и, следовательно, является дифференцируемой почти всюду по теореме Радемахера [4]. Таким образом, функция расстояния р( • ,дП) является дифференцируемой на множестве П \ Б(П), где S(П) — множество всех сингулярных точек (т.е. тех точек, в которых р( •, П) не является дифференцируемой), причем лебегова мера mesraБ(П) = 0.

Известно также, что точка х е П \ S(П) тогда и только тогда, когда существует единственная точка х' е дП, такая, что р(х, дП) = |ж — х'причем

Чр(х,дП)= . (2.1)

Как указано в [2], с. 52, это утверждение восходит к К.С. Моцкину [5], оно было также получено позже независимо от Моцкина другими математиками. Как следствие (2.1) получаем, что

|Ур(ж,9П)| = 1 Ух е П \ 5(П).

Существуют области, для которых mesra Б(П) = 0, где S(П) обозначает замыкание в П множества S(П) сингулярных точек. Примерами таких областей служат шар, полупространство и выпуклый многогранник. Но оказывается, что mesra Б(П) > 0 для ряда плоских и пространственных областей. Мантегазза и Менуччи (С. Mantegazza A.C. Mennucci) [6] опубликовали пример ограниченной выпуклой области П* С К,2, для которой множество S(П*) имеет положительную двумерную меру Лебега.

Фактически в статье [6] представлено семейство таких областей П* С К2. Геометрическое поП*

{х е К2 : |ж| = 1}.

Пример Мантегаззы и Менуччи легко обобщается на случай п ^ 3. В частности, пусть область П** := П* х (0,а)га-2, где а - достаточно большое положительное число. Тогда mesra 5*(П**) > 0.

Для доказательства неравенств типа Харди вида (1.2) в областях евклидова пространства разработаны несколько методов. Наиболее простыми и эффективными являются методы, основанные на применениях формул интегрирования по частям типа формул Грина.

Но в тех областях, в которых mesra S(П) > 0, невозможно использовать эти простые методы для доказательства неравенств вида (1.3) и их обобщений. Поэтому мы разработали новый подход, основанный на применении представлений вида

те

п = U П,

3 = 1

где П подбираются таким и, что mesra ) = 0. Кроме того, нам потребуются утверждения, доказанные нами в недавних статьях [7] и [8], о сходимости функций расстояния и их градиентов при исчерпании области.

Приведем основной результат статьи [8].

Теорема 2.1. Пусть п ^ 2, и пусть

П = U П

3 = 1

где Q u Qj — открытые множеств а, евклидова, пространства Rra; Q = К™, К — некоторое компактное подмножество Кп; причем выполняются условия

К с Qз с Qj+i Vj е N.

Тогда справедливы следующие утверждения:

(г) p(x, dQj) ^ р(х, дQ) при j ^ го равномерно на компакте К, т.е.

lim max|р(х,дQ) — p(x,dQj)l =0;

xEK

(iг) существует такое множество S с К, что его n-мерная лебегова мера mesn S = 0 и в каждой точке х е К \S

lim V p(x,dQj) = Vp(x,dQ).

В статьях [7] и [8] нами получены также аналогичные результаты о сходимости при внешних аппроксимациях области и их применения к обоснованию строгих форм неравенств типа Харди. В частности, в статье [8] нами доказана

Теорема 2.2. Предположим, что n ^ 2 и Q с К™ — выпуклая обла сть, Q = К™, ре [1, го) и s е (1, го). Тогда

Ф, Q)=(lj^.

A.A. Балинским и У.Д. Эвансом эта теорема была доказана ранее в статье [9] для случая р = s е (1, го) и при некоторых дополнительных требованиях на область. В статье [9] указано, что некоторые неравенства вида (1.3) имеют применения в задачах распознавания и восстановления изображений.

Следующая теорема принадлежит автору (см. [8] и [10]).

Теорема 2.3. Пусть n ^ 2 и пусть Q с К™ — произвольная область, удовлетворяющая условию Q = Кп. Есл и р е [1, го) и ее [n, го), то

(s — п)р

cp(s, Q) > 4(s, Q) > .

Оценки точны в том смысле, что существуют как ограниченные, так и неограниченные обла-Q = К™

cp(s, Q) = с*(s, Ü) =

(s - п)р

рр

Другие оценки для константы cp(s, О) можно найти в статьях [11]-[16].

3. Неравенства в областях с конечным внутренним радиусом

Внутренний радиус р(О) области О определяется равенством

р(О) = sup р(х, дО). хеп

Очевидно, внутренний радиус ограниченной области является конечной величиной. Отметим, что обратное утверждение неверно: существуют неограниченные области с конечным внутренним радиусом.

При р = 1 и s £ (п, го) в силу (1.3), (1.5) и теоремы 2.3 в произвольной области О С К"", О = К", справедливо неравенство

/|VM(^ ^XT1* > (s -п) / рет £с0(") (зл>

п п

причем существуют как ограниченные, так и неограниченные области О, для которых константа с1(s, О) = s — п в этом неравенстве является точной, т.е. максимальной из возможных. Напомним одну особенность неравенств типа Харди: точность константы не означает существование экстремальной функции и ф 0, для которой достигается равенство в неравенстве.

Докажем, что неравенство (3.1) допускает существенное усиление для любой области О с конечным внутренним радиусом р(О). А именно, докажем два следующих утверждения.

Теорема 3.1. Предположим, что п > 2, в € (п, те) и О С К"" — произвольная область, удовлетворяющая лишь условию р(О) < те. Тогда

1—-¿-ът—- пч жщ> 81(щ О) ^ € с°(О), (3-2)

п п

где

$ — п [' 1 С

51 (и, О) = ---\и(х)\(1х + р(х,дО)\Уи(х) ■Ур(х,дО)\йх.

(в - 1) р8(О) У Р3(О) )

пп

Следующее утверждение является одновременно и обобщением, и следствием теоремы 3.1.

Теорема 3.2. Предположим, что п > 2 и О С К"" — произвольная область, удовлетворяющая лишь условию р(О) < те. Если р € [1, те) и в € (п, те), то

Г \Уи(х) ■Ур(х,дО)\рйх (в - п)р Г Нх^йх 1

У—р*-Р(х,до)---ж] жщ>Бр(щО) Уи€Со(О), (3-3)

п

где

(в - п)р Г 1 Г\ Уи(х)■Ур(х,дО)\р

БЛи, О) =-—.-———- \и(х) \р йх +--т— -т——— йх.

рк ' 7 рР-1 (в - 1) р3(О) у \ 1 7 \ рр5(О) У р3-Р-Р3(х,дО)

п

Как мы уже отметили выше, поскольку \ " р(х, дО) \ = 1 почти всюду на О, то в силу неравенства Коши для скалярного произведения справедливо неравенство (1.1). Поэтому теорема 3.2 влечет

Следствие 3.1. Предположим, что п > 2, р € [1, те) в € (п, те) и О С К"" — произвольная область, удовлетворяющая условию р(О) < те. Тогда,

\"и(х) \Р(1х (8 - п)Р [ \и(х) \Р(1х > с*(„ О) с 1(О)

р3-Р(х,дО) - Рр } р3(х,дО) > Ьр(Щ О) Уи € 6o(О), пп

где

а*, п^ (в - П)Р Л , ш, 1 [ \ ^и(х) \Р

О) =-^-—— \и(х)\рйх +-— -1-\

рК ' 7 рР-1 (в - 1) р3(О) J \ к J\ рР3(О) J р3-Р-Р3(х,дО)

пп

При = п нетривиальные аналоги неравенства (3.1) возможны за счет изменения весовых функций с применением логарифмических множителей так, как это сделано в статье автора [10] в менее общей ситуации, когда неравенства содержат \"и(х) \ вместо модуля скалярного произведения \"и(х) ■ "р(х,дО) \. А именно, с применением логарифмических множителей докажем две следующих теоремы.

Теорема 3.3. Предположим, что р € [1, те) п > 2 и О С К"" — произвольная область, удовлетворяющая условию р(О) < те. Тогда, имеет место неравенство

I £ок* > £ / ^ ад- <->

пп

Отметим, что в общем случае логарифмический множитель в этом неравенстве является существенным фактором. Так, например, для области

О1 = [х € Кп : 0 <\ х\< 1},

т.е. для единичного шара с выколотым центром, не существует положительной постоянной с(р, п), такой, что справедливо неравенство

Г\ ><*»> 1Жз »

П1 П1

Укажем также, что теорема 3.3 влечет следующее утверждение, доказанное нами в статье [10].

Следствие 3.2. Предположим, что п > 2 и О С Еп — область, удовлетворяющая условию р(О) < го. Тогда, имеют место неравенства

[ ^^ ы р(О) > Г НФ^ «и €С10(О),

7 рп-1(х,д0) р(х,дО) ,] рп(х,дО}) пп

^и^)^ <<х > — [ «и €С1 (О).

|K п р(х,дО) пп ] рп(х, дО) 0К J

п п

пп

В теореме 3.3 усилено ядро интеграла в левой части за счет множителя

1пр .р(О^ го, когда р(х, дО) ^ 0. р( х, дО)

Рассмотрим теперь случай, когда ослаблено ядро интеграла в правой части неравенства за счет логарифмического множителя.

Теорема 3.4. Предположим, что р € [1, го^ п > 2 и О С Еп — область, удовлетворяющая р(О) < го

г ^дО •V р(х,дО)| > г 2 ер(О) УиеС 1(О)

.1 рп-1 (х,дО) <х > ] рп(х,дО)1п р(х, дО) Уи €Со(О). (3'5)

пп

Как обычно, через в ^ 2, 718 обозначено основание натурального логарифма.

Если р > 1, то условие и € Сд (О) влечет, что функция V := ^^ € С^(О). Поэтому справедливо

р € [1, го) п > 2 О С Еп

р(О) < го

С ихЖ-1^) ^р^дО^ > 1 С \и(х)\рА(х, О) С1

.1 рп-1(х,дО) <х > Р] рп(х,дО) <х Уи € Со(О), пп

где

ах 0) = п-2 ер(О

р( х, дО)

Для доказательства теорем потребуются следующие 4 леммы, обобщающие и усиливающие соответствующие утверждения, доказанные нами в [10].

Лемма 3.1. Предположим, что с = с оп в £ > 0, в области О С Еп заданы, две непрерывные функции ,ш1 = -ш-]^^) > 0, = ~ш2(х) > 0 и задан некоторый функционал, З : Со (О) ^ Е. Если для любой вещественнозначной функции и € С (О)

З(и) + J |u(х)|w1(х)dх < с У |Vu(х) •Vр(х,д0)|w2(х)dх, пп

то для любого р € (1, го) и для любой вещественнозначной функции и € С^ (О) справедливо неравенство

рЗ(|u|p) + ! их)^ ш1(х)<х < (ср)Р! ^иХ ■Vр(х,д0)|Рw1l-Р(х)wp(х)dх. пп

> 1 и € Со1 (О)

Тогда функция V := ^^ € С^О), так как

Vv = V|u|p = р|u|p-1(Vu)sг дп(и)

и функция |и|р- 181§п (и) является непрерывной в силу того, что и € Со (О) и параметр р > 1. По условию леммы для функции V = ^^ € С (О) справедливо неравенство

з(\u|p)+ [ |u(х)|pWl(х)<х ^с [ ^Нх^ ^Vр(х,д0)|w2(х)dх.

Оценим сверху интеграл в правой части, привлекая простое неравенство

\"\и(х)\р р(х,дО)\ ^р\и(х)\р-1\"и(х) р(х,дО)\

и неравенство Юнга

ар-1Ь < (1 - ^ ар + —

для величин

1 1 -1 а = \и(х)\,Ш1 (х), Ь = ср\Vu(x)\wl (ж^2(ж).

Получим

п п

+ 1 I (ср)р \Уи(х) р(ж,9О)\р wl-p(x)w^^(x)dx,

что влечет утверждение леммы. □

Лемма 3.2. Предположим, что 0 < а ^ Ь, к € [1, 2,... ,п}, где п — натуральное число, п > 2, в € (п, те). Если / : [0, а] ^ К — абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая (0) = 0

а

Ж (1+ ' и < ^ (1 -

J 1з-к+1 у ( 5-1)Ьз^ 8-пу гз-к ^ &^

0 0

Доказательство. Поскольку

\ / (*) \ < / \ Г (г) \ <1т, 0

то будем иметь

а а Ь

/ ^ 0 + (Г^) Л Ч Й+т С1 + (Т-Ы Л /\''{тЛЛт-

0 0 0

Меняя порядок интегрирования в повторном интеграле и вычисляя внутренний интеграл, полу-

а а

\ ^ (1 +гАт )* < ¡Щ ТМ*.

,] гз-к+1\ ( 8 -1)ьу у тз-к у ' '

чим

а

А< IЩ1

гз-к+1 V ( 8 -1)тз-к 00

где

а

Т(г) = г3-к [ —к-т (1 + . ^ М.

К ! у í (8 -1)ъз)

Полагая £ = хт и применяя оценки

а ^ Ь, > п, хк-1 ^ ж""-1 при 1 ^ х ^ —,

с —

1 -У3-п + п(8-1)(у"-га-у3) ^ 1 при 0= < 1,

будем иметь

ь

т

Т(г) < / —^ Г1 + , ХЗТ[1 ^ йх ' ] ж5-га-1 V (в - 1)Ь3) 1

1 - у3-п ув-п - ув 1 - ув т

=-+ ^—гт ^-, у = Т-

в -п щв -1) в -п о

а

Таким образом, получили неравенство

а а

I ^^ V« < — IЩ (1—?

7 ¿8-к+1 V (8 — 1)Ь8) 8 — п ] Т8-к V Ь8 ) оо

что и требовалось доказать. □

Лемма 3.3. Предположим, что 0 < а <Ь, к € {1, 2,..., п}, где п — натуральное число, п > 2. Если f : [0, а] ^ Е абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая условию ¡'(0) = 0; то имеет место неравенство

а а

!< [ЩьЛ,

оо

Доказательство. Применяя схему предыдущего доказательства, имеем

а а а

/ ^ш* < / ^! | ¡'(-х=!

о о о о

где

Т* (т)= тп-к I

а Ь о/т Ь/т

,п—к1 < ^ п—

рг-к+1 ~~~~ I рг-к+1 I х'п-к+1 I х Т

т т 1 1

Этим и завершается доказательство. □

Лемма 3.4. Предположим, что 0 < а <Ь, к € {1, 2,... ,п}, где п — натуральное число, п > 2. Если : [0, а] ^ Е абсолютно непрерывная функция, удовлетворя ющая условию ¡(0) = 0; то имеет место неравенство

а а

Г 1Л01 <1

I £п-к+1 ^2 Ье I £п-к

о 1 о

Доказательство. Применяя схему доказательства леммы 3.2, имеем

а а а

г \fO\it „ г Л [.„, ,.Л л/'М,

п2 ье <1 ^тс / ^ =/

о 1 о 1 о

где

Т**(т) = тп-к у

I. I

п-к I «ь < ^п-к

1п-к+1 1п2 ^ 7 ьп-к+1 1п2

<х [ <х 1

< -гг-г- = 1--г- < 1.

7 хп-к+1 1п2 Ц ^ 7 х 1п2 1п Ье

Таким образом, лемма 3.4 доказана. □

Доказательство. Доказательство теоремы 3.1. Нам потребуется исчерпание области О = Еп

О

раллельны координатным плоскостям. Такой подход для доказательства некоторых неравенств типа Харди вида (1.2) был предложен нами ранее (см., например, [3], [10]).

Пусть вещественнозначная функция и € Со (О), и ф 0. Через К С О обозначим компактный носитель этой функции. В дальнейшем будем считать, что функция и € Со (О) фиксирована. Далее строим аппроксимацию области О С Еп, О = Еп.

Пусть число к € (0,1). Рассмотрим покрытие евклидова пространства Еп следующими кубами

К(х, к) = {х € Еп : х = кх + у, у € [0, к]п}, х € Жп.

а

Далее, определим множество Q(h) как подмножество Q, состоящее из внутренних точек объединения всех тех кубов, лежащих Q П {х Е К"" : | х\ < 1/h}. Тогда множество

Q(h) С Q П{х Е К" : | х\ < 1/h]

состоит из конечного числа кубов. Считаем, что число h Е (0,1) выбрано достаточно малым, таким, что компакт К содержится в одной из компонент Q(h).

Определим теперь последовательность Qj (j Е N), полагая Qj := Q(hj), где hj = h/2J-1, j Е N. Имеем

Q = j, К с Qj С Qj+i (Vj Е N).

Граница dQj открытого множества Qj является объединением конечного числа (п — 1)-мерных К( , h ) Q

Очевидно, граница dQj содержит кубические грани размерности к для к Е {0,1,... ,п — 1}. Пусть Gjm С dQj является к-мерной гранью одного из кубов, составляющих Qj. Попутно отметим, что сингулярное множество S(Qj) состоит из точек х Е Qj, для которых существуют кубические Гр^НИ ГД6 Gjm = Gjm' i Тс1КИ6; x^qpQ

Р(х, Qj) П Gjm = Р(х, Qj) П Gjm< =

х Е Q

граней Gjm = Gjm' размерности к Е {0,1,..., п—1} и к' Е {0,1,..., п—1}, является ограниченным ( п — 1) ( п — 1)

порядка.

dQ

то meSraS(Qj) = mesnS(Qj) = 0, где S(Qj) означает замыкание в области Qj множества S(Qj). Далее, определим множества Gjm следующим образом.

Если dimGjm = 0, т.е. эта грань является точкой, одной из вершин некоторого куба К(z,hj), то полагаем Gjm := Gjm\ если dimGjm = к Е {1,...,п — 1}, то с точностью до вращения и переноса множество Gjm совпадает с множеством (0, h)k и Gjm С Gjm, причем замыкание Gjm является гранью Gjm С dQj.

По построению, имеем конечное число множеств Gjm, т Е {1,2,...,mj}, таких, что Gjm = Gjm' для т = т, и dQj = lJ>m==1Gjm.

Q

W(Gjm) = {х Е Qj \ S(Qj) : Р(х, Qj) = {у}, у Е Gjm}.

Для любой непрерывной функции F Е С (Qj) можем пользоваться формулой:

mj

/ F (х) (1х = ^ / F (х)йх.

Jnj m=1 (Gim)

Введем несколько новых обозначений. Пусть S"-k := {t Е R+-k : Щ = 1}, где

= {Ь Е К

:->n—k,iit I \ ^ тт>n—k

К— := № 1, . . ., Ъ-к) € Кп-к : ¿1 > 0,..., 1п-к > 0}.

Пусть Gjm — кубическая грань размерности к € [0,1,...,п - 1}. Предположим, что шв8га Ш(Gjm) > 0. С точностью до евклидова движения множество Ш(Gjm) может быть представлено следующим образом:

Ш = {у + гш : у € Gjm, ш € в—-к, 0 <г < рк(у ,ш;Gjm, О^}, где <^к — некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условию:

0 ^ ^к(у, ш; Gjm, Оj) ^ p(Оj).

При интегрировании по множеству Ш(Gjm) величина г = p(x,дОj) будет играть роль одной из переменных интегрирования, поэтому нам понадобятся три типа координат (сферические координаты, несколько цилиндрических координат и декартова система координат). Переходя от кратных к повторным интегралам, мы получаем п различных формул в зависимости от выбора систем координат.

Потребуются обозначения рк(у,ш) = рк(у, ш; € [0, р(00^] и следующие формулы из

статьи [10]:

- если ё1ш(С^т) = п — 1, то

Г Г Г<Рп-1(у,шо)

/ Р (х)<х = Лу Р (у + гшо)<г;

(с^) Зс^ Уо

- если ё1ш(С^т) = п — к, шв8п Ш (С^т) > 0 и 2 <к < п — 1, то

Г Г Г №п-к(у,ш)

/ Р(х)<х = Лу Лш Р(у + гш)г - <г;

^(С^) .)Сзт ./й* Jо

- если diш(Gjm) = 0, ь е. = {хо}, и шв8п Ш(С^т) > 0, то

Г(ро(хо,ш)

Р(х)<х = I I Р(хо + гш)гп 1<г.

-/й* Уо

Полагая Р(х) = |и(х)|г-8 (1 + г8/((в — 1)Ь8)) и применяя неравенство леммы 3.2 с выбором параметров

а = ¡п-к(у,ш), Ь = р(0) > р(О^) > а для внутренних интегралов, получаем неравенства

(р„-1(у,шо) <рп-1(у,шо)

( — 1) 8 — п -1 — 8

8 ( — 1) 8 — п - 1 8

00

Фп-к (у,и) ¡рп-к(у,ш)

1 Щ(^т-^)^<— [ Щ-(1—

] г8-к+^ (8 — ^ 8 — п у г8-к V Ь8)

оо

} г8-п+1 V (8 — 1)Ь8/ в — п] г8-п V Ь8) оо

к = 1 2 < к < п — 1 к = п

= р( х, дО )

ди(х)

д

= ^иХ ■Vр(х,д0,)|, (3.6)

будем иметь

[ Их) ( р8(х,д03) \ < _^ Г ^х) ^р^дО^ ( р8(х,д03) У р8(х,д0,)\+(з — 1)р8(0,)) < з — п У р8-1(х,д0,) ^ р8(0) 1 .

Суммируя эти неравенства по т € {1, 2,..., т^ }, получим

^ ( р8(х,д03) \ < Г^х) ^Vр(х,д0j)| (

с,д0j)\+(s — 1)р8(0)] < 8 — п У р8-1(х,д0j) V

и^ Л , р8(х,дЩ)\^^ 1 [ ^иХ ■Vр(х,д0j)| / — р8(х,д0^Уих^

П ~ П р8 1(х,д 0^ ^

Наконец, переходя в этом неравенстве к пределу при ] ^ го с использованием теоремы 2.1 и теоремы Лебега о мажорированной сходимости, приходим к неравенству

и(х) (х + р8(х,д0) Ч <х < Г ^х) ^р^^О) / — р8(х,д0)\ <х

Г их^ ( р8(х,д0) \ < Г ^и(х) ^р^дО^ ( р8(х,д0)\

] р8(х,д0)\ +(8 — 1)р8(О)) х < 8 — п] р8-1(х,дО) V р8(0) ) х, пп

равносильному (3.2). Тем самым, теорема 3.1 доказана. □

Доказательство. Доказательство теоремы 3.2. Положим J (и) = -—^^ [ 1и(х)1 (1х, С= 1

в - 1 J в - п

п

1 1 Л О) Ч

^ (ж) = г&щ, = „-1{Х,до) I1 - "ТчОГ^.

Применяя последнее неравенство из доказательства теоремы 3.1 и лемму 3.1, получаем следующее утверждение: для любой вещественнозначной функции и € Сд(О) справедливо неравенство

|и(х)|Р / рр3(х,гМ) \ рР Г |Уи(х) •Ур(х,дQ)|p / р3(х,дQ)\Р

p'^^Q) V + (s — 1)ps(Q)J х < (s — п)Р J р3-Р(х,дQ) V Ps(Q) J

/ — p^y < 1 — рПхЖ^ ^х Е Q.

V ps (Q) J ""

— 1)ps(Q)^ < V—WpJ -- (1--^

n n

Отсюда следует доказываемое неравенство (3.3) теоремы 3.2 в силу того, что р ^ 1, s > п и

^(х,д Q) V Ps(Q) ) ^ ~ psp(Q)

Последнее неравенство сводится к элементарному неравенству (1 — t)Р < 1 — tp для i Е [0,1], так как

0 <t := p^ddQ < 1

ps (Q)

для любой точки х Е Q. □

Доказательство. Доказательство теоремы 3.3. Нам потребуются геометрические построения, приведенные в доказательстве теоремы 3.1.

А именно, возьмем вещественнозначную функцию и Е С0(Q) с компактным носителем К С Q,

Q

Qj := Q(h),

h = h/2 -1 Е N

те

Q = У Qj, К С Qj С Qj+1 (Vj Е N). =1

Далее, для фиксированного j рассматривается разбиение множеств дQj и Qj на подмножества Gjmrn W(Gjm). В доказательстве теоремы 3.1 мы получили п различных формул для интегралов по множествам W (Gjm) в зависимости от выбора систем координат. Пользуясь этими формулами для интегралов по множествам W(Gjm) для случая F(х) = |и(х)|r-n, и применяя неравенство леммы 3.3 с выбором параметров а = <^n—k(у, ш),Ь = p(Q) ^ p(Qj) ^ а, Для внутренних интегралов, получаем неравенства

Pn-l(y,uo) Pn-l(y,uo)

idr < f км in(^Ur,

)

1и(х)^г < f К(х)|^ÍP(Q)\

у." I

0

Vn-k (

|и(х)| , I

y*n— k+1 J

0

|и(х)|

00 Vn-k (у,ш) Vn-k (У,v)

f m*- < i JuM in (p<Q> W

J —k+1 j —k \ V J

-dr <

0 0

К(х)| ln(dr

для случаев к = 1 2 ^ к ^ п - 1, к = п, соответственно. Интегрируя по внешним переменным с учетом равенств г = р(х,дО^) и (3.6), получим

[ \и(х)\ ах ^ Г \Уи(х) - Ур(х дО)| 1д( ^ \ах.

J pn(х,дQj) J p^^^Qj) yp^^ Qj)

W(Gjm) W(Gjm)

( p(Q) ^

Суммируя эти неравенства по т € {1, 2,..., т3 }, будем иметь

-йх < / ' ' " У / ^ „ ) йх.

С \и(х)\ < (\Уи(х) ■ Ур(х, дП3)\ / р(П)

У рп(х,дП3) <] рп-1 (х, дП3) \р(х,дП3),

п

Перейдем в этом неравенстве к пределу при $ ^ <х> с использованием теоремы 2.1 и теоремы Лебега о мажорированной сходимости. Тогда получим требуемое неравенство (3.4) для случая р = 1. Применяя лемму 3.1, приходим к неравенству (3.4) для случая р > 1. Теорема 3.3 доказана. □

Доказательство. Доказательство теоремы 3.4. Снова пользуемся геометрическими построениями, проведенными в доказательстве теоремы 3.1.

Фиксируем вещественнозначную функцию и € С0 (П) с компактным носителем К С П, строим последовательность открытых множеств П3, составленных из кубиков. Далее, пользуемся также формулами для интегралов по множествам Ш(Сзт), зависящих от выбора систем координат, для случая

^(х) = \и(х)\г-п 1п-2 у. Применим неравенство леммы 3.4 с выбором параметров

а = Рп-к(у, и), Ь = р(П) ^ р(П3) ^ а для соответствующих внутренних интегралов. Приходим к неравенствам

йг < Щ\(1г,

7 гп 1п2 еР(п) у гп-1 '

0 г О

¥п-к(у,и) <Рп-к( У,и)

1 -^^йт < I \Щйг,

7 гп-к+1 1п2 еР(п) 7 гп-к '

О г О

<ро(хо,ш) <Ро(%о ,и)

/ < / К(х)^

О г О

соответствующим случаям к = 1,2 < к < п — 1, к = п. Интегрируя по внешним переменным = р( х, дП )

[ \и(х)\ ^ ^ [ \Уи(х) ■Ур(х,дП3)\

-йх < -Г7-^ „ йх.

7 рп(х дП ■) 1п2 еР(п) 7 рп-1(х,дПз)

Суммируем эти неравенства по т € {1, 2,..., т3}. В результате получим [ \и(х)\ йх < Г\Уи(х) ■Ур(х,д П)\ йх_

7 рп(х дП ) 1п2 ер(п) ^ 7 рп-1(х,дП1) п р (х,дПз)1п Р(хфп) п3 3

Перейдем в этом неравенстве к пределу при использованием теоремы 2.1 и теоремы

Лебега о мажорированной сходимости. Тогда получим требуемое неравенство (3.5) для случая р = 1. Применяя лемму 3.1, приходим к неравенству (3.5) для случая р > 1.

Этим завершается доказательство теоремы 3.4. □

4. Пример и одна открытая проблема

Пусть ср(в, П) и с*(в, П) — константы в неравенствах (1.2) и (1.3), определенные формулами (1.4) и (1.5) соответственно.

Для любой выпуклой области П С К.п, П = К,п, справедливы равенства

(ч — 1)р

ф, П) = ф, П) = (—^

в силу теоремы 2.2, оценки ср(в, О) ^ (в - 1)р/рр из статьи [14] и оценки с*(з, О) ^ ср(,в, О). В частности, имеем

С2(2, О) = с2(2, О) = 1.

Приведем пример, который показывает, что эти равенства справедливы и для некоторых невыпуклых областей. Рассмотрим круговое кольцо

А = А(г,Е) = [г € С : г < \г\ < В}, 0 <г<К< те,

с конформным модулем М(А) = (2^)-11п В силу леммы 1 из [15] и формулы (3.6) справедливо равенство

С2(2,А) = с2(2,а) для А = А(г, В). В [15] вычислены точные значения С2(2, А) в зависимости от модуля М(А). Оказалось, что

Нш с2(2,а) = 0, с2(2, А) = 1 для случая М(А) € (0, М*],

М(А)^те 4

0 < с2(2,а) < 1 для случ ая М (А) € (М *, те),

где критическое значение модуля М* ~ 0.57298. Отметим, что

М* = (2тт)-11п(А - 1) .

Число д* ~ 0.05318 определяется следующим образом. Рассмотрим гипергеометрическую функцию Гаусса

те ^к к-1

^(а, З, 1; С) = 1 + Е ткш П(а + 3)(З + з), \С\ < 1,

к=1 (к!) j=o

и ее аналитическое продолжение на область С\ [1, те). Как доказано в [15], справедлива формула

те

1 + г 1 - г _ Л 2 А 2 / совгМ

2

и уравнение

1;С =—^ —;—тг> СеC\[1,

* 0 (ch2i - 0 2

F' ( 1+ 1— 1—^1 F' Г1+ 1— 1; I-«

Х(9) := М 2 , 2 , 1; ч ) М 2 , 2 , 1; 2-9

QF 1;-V) (2 - q)F 1; 1-f) 1 - Q

имеет корень q = g* е (0,1), такой, что

q* = min [q :Х(q)(1 - q) = 1 и X(i)(1 - t) < 1 Vi е [q, 1)} - 0.05318. <?e(o,i)

Нетрудно вычислить, что критическому модулю М* соответствует легко запоминающееся критическое значение отношения радиусов

с* = ( R/r)* = exp(2^ М*) - 36.6.

Следовательно, справедливо

Предложение 4.1. Пусть А(г, R) = [z е C : г < \z\ < R}. Если

R

1 < - < с* - 36.6,

то С2(2, А(г, -)) = с2(2, А(г, -)) = 1/4.

В заключение приведем одну из нерешенных задач.

Проблема. Предположим, что Q С К2 — произвольная односвязная область, удовлетворяющая лишь условию Q = К2. Существует ли постоянная С** > 0; такая, что имеет место

j \Vu(x) • Vр(х, дQ)\2 dx > С* j Vu е С1(П)?

п

1

Если ответ на этот вопрос будет положительным, то следующим шагом станет получение подобных неравенств в областях Q С R2 с равномерно совершенными границами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г.Г. Харди, Дж.Е. Литтльвуд, Г. Полиа. Неравенства. (С дополнениями В.И. Левина и C.B. Стечкина). Москва: ИЛ. 1948.

2. A.A. Balinskv, W.D. Evans, R.T. Lewis. The analysis and geometry of Hardy's inequality. Springer, Heidelberg. 2015.

3. Ф.Г. Авхадиев. Конформно инвариантные неравенства. Изд-во Казанского университета, Казань. 2020.

4. H. Rademacher. Ùber partielle und totale Differenzierbarkeit I// Math. Ann. 89:4, 340-359 (1919).

5. T.S. Motzkin. Sur quelques propriétés charactéristiques des ensembles convexes // Atti Real. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Serie VI, 21, 562-567 (1935).

6. C. Mantegazza, A.C. Mennucci. Hamilton-Jacobi equations and distance functions on Riemannian manifolds // Appl. Math. Optim. 47, 1-25 (2003).

7. Ф.Г. Авхадиев. Свойства и применения функции расстояния открытого подмножества в евклидовом пространстве // Изв. вузов. Матем. № 4, 87-92 (2020).

8. F.G. Avkhadiev. A Strong Form, of Hardy Type Inequalities on Domains of the Euclidean Space // Lobachevskii J. Math. 41:11, 2120-2135 (2020).

9. A.A. Balinskv, W.D. Evans. Some recent results on Hardy-type inequalities // Appl. Math. Inf. Sci. 4:2, 191-208 (2010).

10. Ф.Г. Авхадиев. Неравенства m,una Харди в плоских и пространственных открытых множествах // Тр. МИАН. 255, 8-18 (2006).

11. F.G. Avkhadiev, A. Laptev. Hardy Inequalities for Nonconvex Domains // International Mathematical Series "Around Research of Vladimir Maz'va, I". Function Spaces, Springer, 11, 1-12 (2010).

12. F.G. Avkhadiev, K.-J. Wirths. Sharp Hardy-type inequalities with Lamb's constants // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 18, 723-736 (2011).

13. Ф.Г. Авхадиев, Р.Г. Насибуллин. Неравенетва m,una Харди в произвольных областях с конечным внутренним радиусом, // Сиб. матем. журн. 55:2, 239-250 (2014).

14. Ф.Г. Авхадиев, И.К. Шафигуллин. Точные оценки, констант Харди, для, областей со специальными граничным,и, свойствами // Изв. вузов. Матем. 2, 69-73 (2014).

15. F.G. Avkhadiev. Sharp Hardy constants for annuli // J. Math. Anal. Appl. 466, 936-951 (2018).

16. F.G. Avkhadiev, R.V. Makarov. Hardy Type Inequalities on Domains with Convex Complement and Uncertainty Principle of Heisenberg // Lobachevskii J. Math. 40:9, 1250-1259 (2019).

Фарит Габидинович Авхадиев, Казанский федеральный университет, ул. Кремлевская, 18, 420008 г. Казань, Россия E-mail: avkhadiev47@mail .ru