Унитарные автоморфизмы пространства (т+н)-матриц порядка 4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512

А. К. Абдикалыков1, Х. Д. Икрамов2, В. Н. Чугунов3

УНИТАРНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВА (Т+Н)-МАТРИЦ ПОРЯДКА 4*

В статье рассматриваются матрицы U из унитарной группы U4, для которых справедлива импликация VA 6 ТН4 —> В = U* AU 6 ТН4, где ТН4 — множество (Т+Н)-матриц порядка 4. Такие матрицы можно отождествить с унитарными автоморфизмами пространства ТН4.

Решается вопрос: может ли граница матрицы U не содержать ни одного нуля? (Граница матрицы — это совокупность элементов этой матрицы, стоящих в ее первой и последней строке и первом и последнем столбце.) Показано, что матрицы U с полностью ненулевой границей действительно существуют, что контрастирует с ситуацией для унитарных автоморфизмов пространств теплицевых и ганкелевых матриц порядка 4.

Ключевые слова: теплицева матрица, ганкелева матрица, (Т+Н)-матрица, характеристический многочлен, унитарное подобие.

1. Введение. Пусть Мп(С) — линейное пространство комплексных п х n-матриц. Обозначим символами %ii Ип и ТНп подпространства этого пространства, образованные соответственно теплицевыми, ганкелевыми и (Т+Н)-матрицами. Эти последние называются в англоязычной литературе Toeplitz-plus-Hankel matrices и действительно определяются как матрицы, представимые в виде суммы теплицева и ганкелева слагаемого.

Нас интересуют следующие вопросы.

1. Каковы унитарные п х n-матрицы, которые отображают подпространство Тп в себя, выступая в качестве трансформирующих матриц подобия? Если матрица U обладает этим свойством, то мы пишем U G UAut(7^). Таким образом, включение U G UAut(7^) означает импликацию

VA еТп —> В = U*AU G Тп-

2. Тот же вопрос 1 по отношению к подпространству Нп вместо Тп. Соответствующее множество унитарных матриц будем обозначать через UAut(%n).

3. Тот же вопрос 1 с заменой Тп па ТНп и множества UAut(7^) на UAut(ТНп)-

Ответы на вопросы 1 и 2 были даны соответственно в [1] и [2]. Они содержатся в формулируемых ниже теоремах 1 и 2. Для этих формулировок нам придется ввести некоторые обозначения.

Символом Un мы обозначаем унитарную группу порядка п, т. е. группу всех унитарных пхп-матриц. Символы D® и Vn используются соответственно для диагональной матрицы diag(l,е,£2,... ,£п~1) и так называемой перъединичной матрицы

( Л

1

1

V /

В частном случае, когда е = — 1, мы пишем Vn вместо V£n. Таким образом,

Vn = diag(l, -1,1, -1,...).

Теорема 1. Группа UAut(7^) есть прямое произведение группы Ui и группы, порожденной перъединичной матрицей Vn и матрицами , соответствующими всем числам е с модулем 1.

1 Факультет ВМК МГУ, заочн. асп., e-mail: adiko2008Qgmail.com

2 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su

3 ИВМ РАН, ведущ. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: chugunov.vadimQgmail.com

* Работа третьего автора поддержана грантом Российского научного фонда № 14-11-00806.

Теорема 2. Если п ^ 3, то есть прямое произведение группы III и дискретной

группы, порожденной матрицами Рп и Т>п.

Назовем границей матрицы А совокупность элементов этой матрицы, стоящих в ее первой и последней строке и первом и последнем столбце. Как видно из теорем 1 и 2, граница каждой из матриц в группах и содержит только два ненулевых элемента. Случай

п = 2 в теореме 2 является примечательным исключением. Оно связано с тем обстоятельством, что всякая симметричная 2 х 2-матрица А есть в то же время ганкелева матрица. Поэтому группа иАи^^г) должна включать в себя все вещественные ортогональные матрицы 2-го порядка.

Задача о характеризации матриц II € IIАи^ТНп) имеет смысл только начиная с п = 3. Дело в том, что любая 2 х 2-матрица А может рассматриваться как (Т+Н)-матрица, что демонстрирует, например, представление

А = /аи а!2\ = /аи а!2\ + /0 0 \

\Й21 Й22/ \Й21 111/ \0 а22-ац)'

Группа унитарных автоморфизмов иАи^ТНз) описана в нашей статье [3]. Это описание содержится в следующем утверждении.

Теорема 3. Если п = 3, то 11АмХ^ТИ-п) есть прямое произведение группы III и группы, порожденной матрицами V3 и Тг, а также всеми матрицами вида

« 7 А

7^7,

/3 7 а)

где а = ^ е), /3 = ± е), -у = ^ е 6 [0,1] и £ € (—7г, тг].

Таким образом, большинство матриц из группы иАи^ТНз) имеет полностью ненулевую границу а, /3, 7. Возникает вопрос: не является ли порядок п = 3 для автоморфизмов (Т+Н)-матриц таким же исключением, каким был случай п = 2 для автоморфизмов ганкелевых матриц?

Здесь уместно отметить, что задача описания матриц II € IIАмХ^ТИ-п) для произвольного п гораздо более трудна, чем аналогичные задачи для \]АиХ(Тп) и Полностью эта задача

не решена до сих пор. Что же касается вопроса, поставленного в предыдущем абзаце, то ответ на него дается в настоящем сообщении. Мы показываем, что матрицы II € I] АиХ^Н^ с полностью ненулевой границей существуют. Более того, в п. 3 дано полное описание таких матриц. Нужные нам вспомогательные факты приведены в п. 2.

2. Вспомогательные факты. Нам понадобятся следующие два утверждения, доказанные соответственно в [4, 5].

Теорема 4. Всякая матрица II е 11А мХ^ТИ-п) центр о симметрична либо косоцентросимме-трична.

Напомним, что центросимметричной называется п х п-матрица II, удовлетворяющая соотношению

игп = гпи. (1)

Если вместо (1) выполняется соотношение

I "Р„ = -'Р„Г.

то II называют косоцентросимметричной матрицей.

Теорема 5. При п ^ 4 унитарная матрица II, для которой \u\2\2 + |«1з|2 + • • • + |«1)П-1|2> О, тогда и только тогда принадлежит множеству Х5 КиХ^ТИ-п)когда существуют нижнетреугольная вещественная теплицева матрица Я и числа а £ С, р, д € И, такие, что II*Я11 = Б+Е. В этом равенстве Е = а,Ец +а,Епп +рЕ\п + цЕп\, а Б — трехдиагональная теплицева матрица с нулем на главной диагонали и единицей на двух соседних с ней.

Символ /•.',/ — это стандартное обозначение матричной единицы, т. е. матрицы порядка п, единственный ненулевой элемент которой стоит в позиции (г,^) и равен 1.

3. Автоморфизмы с ненулевой границей. Применим теорему 5 при п 1. Полагая а = х + гу, х, у € К, выпишем матрицы Йи5:

R =

По теореме 5 имеем II*Ш1 = в + Е, т.е. матрицы К и Б унитарно подобны. Используем вначале равенство характеристических многочленов этих матриц. Характеристический многочлен треугольной матрицы Д находится тривиально:

/ Г\ 0 0 0\ ( X + iy i 0 р \

Г2 Г1 0 0 , S = S + Е = 1 0 1 0

гз Г2 Г1 0 0 i 0 1

\г4 гз Г2 Г\) \ q 0 1 х — iy J

(А - г i)4 = А4 - 2жА3 + (-3 -рд + х2 + у2) А2 + 4жА ^g + pg+l^p

х

У

Коэффициенты характеристического многочлена матрицы Б можно вычислить как альтернирующие суммы ее главных миноров соответствующего порядка. Приравнивая одноименные коэффициенты найденных многочленов, получаем систему уравнений относительно вещественных чисел г 1, х,у,р и д:

6 г\ =

-Аг\ = —2х,

^3 — рд + х2 = 4ж, рд + 1 — р -

х

У

(2)

(3)

(4)

(5)

Из (2) и (4) следует, что г\ = 0 и х = 0. Складывая (3) и (5), находим р+д = —2. Если положить р = — 1 + д = — 1 — то (3) дает у2 1 - /'-'. Делая замену £ = 2соимеем р = — 1 + 2со д = —1 — 2со81/>, х = 0, у = 28ш </•. Г1 = 0.

Чтобы найти остальные коэффициенты г2, г3, г4 матрицы Д, воспользуемся унитарным подобием между К ъ Б. Оно обеспечивает равенство следов любого многочлена от матриц К и К* и такого же многочлена от 5 и 5*. В частности, справедливы равенства

tr RT R = Зго

2 г2

Г л = 16 = tr S* S,

ЬгЕ2Е1 = 2 г2г3(г2 + г4) = 0 = = г^г4 = -16 =

Решая эту систему уравнений, находим два решения (г1, г2, г3, г4) = ±(0, 2, 0, —2). Переписав уравнение II* К11 = Б + Е в виде

иё = т

(6)

и приравняв элементы левой и правой частей в позициях (1,2) и (1,3), получим (с учетом равенства П =0)

«11 + «13 = «12 + «14 = 0. (7)

Положим иц = а и = b, тогда первая строка матрицы U примет вид (a, b, —а, —Ь).

Для определенности предположим, что U — центросимметричная матрица. В этом случае ее последняя строка должна иметь вид (—Ь,—а,Ь,а). Вместе с U группа UAut(TW4) содержит обратную матрицу U*, и для нее выполняются соотношения, аналогичные (7). Это дает равенства «и + «31 = «21 + «41 = 0. Снова учитывая центральную симметрию, запишем U в виде

/а b —а —Ь\ bed —a, —adeb \—b —a b a J

U =

Найдем коэффициенты сш d. Еще раз используем матричное соотношение (6), приравняв в нем на этот раз элементы в позициях (4,2) и (4,3). Получаем равенства ±2{й — Ь) = 0 и ±2(с + а) = 0,

откуда с = —а и й = Ь. Итак, II должна быть матрицей вида

( а Ь —а ~Ь\

Ь —а Ь —а

-а Ь —а Ь

к -Ь —а Ь а }

и =

Эта матрица унитарная, поэтому ее строки имеют единичную длину и попарно ортогональны. Отсюда выводим 2(|а|2 + |Ь|2) = 1 и аЬ € гК (ортогональность первой и четвертой строки). Записывая а в виде а = (1/у/2)ег^ соя 7, имеем Ь = г(1/БШ7. Окончательный вид матрицы II таков:

/ соя 7 ¡зт^ ¡зт^ ^соБ7 ¡зт^ — С0Б7

и =

1

» гФ

V

- С0Б7 -¡зт^

— С0Б7 ¡зт^

— С0Б7 ¡зт^

—гви^^

— С0Б7 ¡зт^ С0Б7 /

(8)

Другими словами, все центросимметричные матрицы II из группы иАи^Т?^); удовлетворяющие условию |«1212 + |«1з|2 > 0, описываются формулой (8), где параметры ф и 7 пробегают отрезок [0,2тг].

Рассматривая косоцентросимметричные матрицы II, можно аналогичным образом показать,

что

/ соя 7 ¡зт^ ^соБ7 —гви^Х

и = Д=е

1Ф

-гвш.7 - С0Б7

С0Б7 гзт7 С0Б7

-«31117

- С0Б7 -¡зт^

С0Б7 гзт7 — соя 7 у

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Икрамов X. Д. Унитарные автоморфизмы пространства теплицевых матриц // Докл. АН. 2014. 456. № 4. С. 389-391.

2. Икрамов X. Д. Унитарные автоморфизмы пространства ганкелевых матриц // Мат. заметки. 2014. 96. № 5. С. 687-696.

3. Икрамов Х.Д., Абдикалыков А.К., Чугунов В.Н. Унитарные автоморфизмы пространства (Т+Н)-матриц порядка 3 // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2014. 428. С. 137-151.

4. Абдикалыков А. К. Центросимметричность унитарных матриц, сохраняющих множество (Т+Н)-матриц путем подобия // ЖВМиМФ. 2015. 55. № 5. С. 739-741.

5. Абдикалыков А. К. Об унитарных автоморфизмах пространства (Т+Н)-матриц / / Зап. науч. семин. ПОМИ. 2014. 428. С. 5-12.

Поступила в редакцию 17.12.14

48

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2015. № 4

UNITARY AUTOMORPHISMS OF THE SUBSPACE OF (T+H)-MATRICES OF ORDER 4

Abdikalykov A. K., Ikramov Kh.D., Chugunov V.N.

Consider matrices U in the unitary group U-t for which VA £ TH4 —> B = U*AU £ 7"H4. Here, TH4 is the set of (T+H)-matrices of order four. Such matrices can be identified with unitary automorphisms of the subspace 7"H4. The following problem is treated: Can the boundary of U not contain any zeros? (The boundary of a matrix is the collection of its entries standing in the first and last rows and the first and last columns.) We show that matrices U with an entirely nonzero boundary do exist, which contrasts with the situation for the unitary automorphisms of the subspaces of Toeplitz and Hankel matrices.

Keywords: Toeplitz matrix, Hankel matrix, (T+H)-matrix, characteristic polynomial, unitary similarity.