CC BY
22
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ДьяконовЕ. Г. О регулярных возмущениях дискретных нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 4. С. 3-10.
2. ДьяконовЕ. Г.О регулярных возмущениях нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями. II // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 6. С. 779-791.
3. ДьяконовЕ. Г. О Ньютоновской форме уравнений в энергетическом пространстве для нестационарных задач математической физики // Докл. РАН. 2006. 74. № 3.
4. Мае лов В. П. Операторные методы. М., 1973.
5. Sheen D. Second-order absorbing boundary conditions for the wave equation in a regular domain // Math. Сотр. 1993. 61. P. 599-606.
6. Duong Т.Н., Joly P. On the stability analysis of boundary conditions for the wave equation by energy methods // Math. Сотр. 1994. 62. P. 539-563.
7. D'yakonov E.G. Optimization in solving elliptic problems. Boca Raton: CRC Press, 1996.
8. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2001.
9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
10. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
11. Дьяконов Е.Г. Разностные методы. Нестационарные задачи. М.: Изд-во МГУ, 1972.
12. D'yakonov E.G. Special types of badly conditioned operator problem in energy spaces and numerical methods for them // Lect. Notes Сотр. Science. 2001. 1988. P. 273-284.
13. Дьяконов Е.Г. О спектральных задачах в энергетических пространствах на составных многообразиях с особой геометрией блоков. III // Диф. ур-ния. 2005. 41. № 10. С. 1375-1386.
14. Дьяконов Е.Г. Усиленные пространства Соболева для областей с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2003. 243. С. 213-219.
15. Lions J.L. Some more remarks on boundary value problems and junctions // Asympotic Methods for Elastic Structures / Eds.: Ciarlet, Trabucho, Viano. Berlin: Valter de Grueyter Co, 1995. P. 103-118.
Поступила в редакцию 23.03.06
УДК 519.6
Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов
ОБ ОДНОМ НОВОМ КЛАССЕ НОРМАЛЬНЫХ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ1
(кафедра общей математики факультета ВМиК, e-mail: [email protected])
1. Задача об описании нормальных теплицевых матриц, поставленная и решенная авторами (см. [1-3]), привлекла большое внимание в алгебраической литературе. На протяжении десяти лет был предложен ряд ее решений, отличающихся от первоначального (см. [4-8]). Само описание имеет замечательно простой вид и дается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть А — комплексная матрица, одновременно нормальная и теплицева. Тогда справедливо хотя бы одно из двух утверждений:
1 Работа второго автора была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 04-07-90336 и 05-01-00721) и программой фундаментальных исследований отделения математических наук РАН "Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач" по проекту "Матричные методы в интегральных и дифференциальных уравнениях".
а) А — матрица вида а1 + /ЗН, где а и ¡3 — комплексные числа, Н — эрмитова теплицева матрица;
б) А представляет собой ф-циркулянт для некоторого комплексного числа ф, по модулю равного единице.
Задача описания нормальных ганкелевых матриц, поставленная в [9], оказалась значительно труднее теплицевой задачи. Несмотря на некоторые продвижения, полученные в [8, 10], она все еще далека от полного решения. Имеющиеся частичные результаты состоят в основном в указании конкретных подмножеств класса М'Нп нормальных ганкелевых матриц порядка п. Перечислим эти подмножества.
1. Вещественные ганкелевы матрицы и произвольные их комплексные кратные.
2. Матрицы вида
аТп + /ЗН, а,/ЗеС,
где
есть перъединичная матрица порядка п, а Н — произвольная центросимметричная ганкелева матрица. 3. Блочно-диагональные матрицы вида
а#1+/ЗЯ2, «,/ЗеС,
где Н\ — верхнетреугольная ганкелева матрица порядка к (0 < к < га), а Н2 — нижнетреугольная ганкелева матрица порядка I = га — к. При этом мы называем Н\ и Н2 соответственно верхнетреугольной и нижнетреугольной ганкелевыми матрицами, если
= 0 при г + ] > к + 1
и
{Н2}гз = 0 При 1+]<1+ 1.
В данной публикации мы указываем новые двухпараметрические семейства нормальных ганкелевых матриц.
Теорема2. Пусть Н — невырожденная вещественная верхнетреугольная ганкелева матрица. Тогда всякая матрица вида
аН + ¡ЗН~1, а,/ЗеС, (1)
является нормальной и ганкелевой.
Доказательство теоремы 2 дано в разделе 2. Вместо верхнетреугольной можно было бы взять нижнетреугольную ганкелеву матрицу Н. В действительности выражение (1) симметрично относительно обоих типов треугольности, поскольку, как нетрудно видеть, Н~1 имеет тип треугольности, противоположный типу Н.
В разделе 3 мы показываем, что достраивание треугольной ганкелевой матрицы до полной, предлагаемое формулой (1), в определенном смысле единственно.
ТеоремаЗ. Пусть Н — невырожденная вещественная верхнетреугольная ганкелева матрица, а К — невырожденная нижнетреугольная ганкелева матрица. Если все линейные комбинации
аН + /ЗК, а,/ЗеС,
суть нормальные матрицы, то
к = уН~1, 7 е с.
2. Теорема 2 будет вытекать из следующего простого предложения.
Лемма 1. Пусть А — невырожденная нормальная матрица. Тогда всякая матрица вида
В = аА + [ЗА~*, а,[ЗеС, (2)
нормальна.
(Символ А~* обозначает последовательное (в любом порядке) применение к матрице А обращения и матричной операции сопряжения.)
Доказательство. Можно проверить прямыми выкладками, что для матрицы (2) выполняется равенство
В*В = вв*.
Мы избежим выкладок с помощью следующего рассуждения: матрица С = А~* = (А*)-1, как хорошо известно, является многочленом от А*:
C = f(A*). (3)
С другой стороны, для нормальной матрицы А сопряженная матрица А* представима многочленом от А (см., например, [11, задача 7.2.38]):
А*=д(А). (4)
Соотношения (3) и (4) означают, что С = А~* и вместе с ней матрица В суть многочлены от А. Но многочлен В от нормальной матрицы сам является нормальной матрицей.
Замечание. Для невырожденной эрмитовой или вещественной симметричной матрицы А = Н формула (2) принимает вид
В = аН + ßH~l, a,ßeC.
Доказательство теоремы 2. Поскольку (вещественная) ганкелева матрица симметрична, нормальность матрицы (1) вытекает из только что сделанного замечания.
Матрица, обратная к ганкелевой, может уже не быть ганкелевой. Однако это не относится к треугольным ганкелевым матрицам. Действительно, для матрицы Н теоремы 2 матрица
Т = HV„
верхнетреугольная (в обычном смысле) и теплицева. Верхнетреугольные теплицевы матрицы образуют коммутативную алгебру, поэтому Г-1 также является верхнетреугольной теплицевой матрицей. Но тогда Н~1 = "Р„Т-1 — нижнетреугольная ганкелева матрица. Вместе с Н~1 ганкелевой будет матрица (1).
3. Доказательству теоремы 3 предпошлем следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть в линейной оболочке п X п-матриц А и В все матрицы нормальны (в частности, нормальны сами А и В). Тогда А и В перестановочны:
AB = В А. (5)
Доказательство. Выполнив подходящее унитарное подобие, предположим, без ограничения общности, что одна из заданных матриц (для определенности — А) диагональная:
А = diag{ai,..., ап}.
При этом если матрица А имеет кратные собственные значения, будем считать, что копии каждого такого значения занимают последовательные позиции на ее главной диагонали. Рассмотрим матрицы
Се = А + еВ
для малых комплексных е. Пусть inj таковы, что
ßj ф aj и i < j. (6)
Из условия нормальности
сес* = с*се
выводим
ebjiüi + ebijä] + 0(\е\2) = ebijä~ +ebjiaj + О (| е|2)
или
ebij(ä~ -ä~) - ebji(ai - aj) = 0(|e|2). (7)
Если в (7) б вещественно, то при е —> 0 имеем
bi j (Щ -а]) = bji(ai - aj). Напротив, полагая в (7) е = iS, S £ R, и устремляя S к нулю, получаем
bi j (Щ -а]) = ~bji (а« - aj).
Таким образом,
bij(Щ ~ âj) = bji(ai - cij) = О
и ввиду (6)
bij = bji = 0.
Это означает, что В — матрица блочно-диагонального вида, причем ее диагональные блоки соответствуют группам совпадающих собственных значений матрицы А. Отсюда следует равенство (5). Доказательство теоремы 3. Согласно теореме 4 должно выполняться соотношение
H К = КН.
Тогда
VnHKVn = VnKHVn. (8)
Матрицы VnH, KVn, VnK, HVn теплицевы, причем первые две из них — левые треугольные, а две другие — правые треугольные. Поэтому равенство (8) возможно лишь, если обе части суть скалярная матрица уI. Итак,
Т„КНТ„ = у1 К H = 7/ К = уН~1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Икрамов Х.Д. Об описании нормальных теплицевых матриц // ЖВМиМФ. 1994. 34. № 3. С. 473-479.
2. Икрамов Х.Д. О классификации нормальных теплицевых матриц с вещественными элементами // Матем. заметки. 1995. 57. № 5. С. 670-680.
3. Икрамов Х.Д., Чугунов В.Н. Критерий нормальности комплексной теплицевой матрицы // ЖВМиМФ. 1996. 36. № 2. С. 3-10.
4. Гельфгат В. И. Критерий нормальности теплицевой матрицы // ЖВМиМФ. 1995. 35. № 9. С. 1428-1432.
5. Farenick D.R., Krupnik M., Krupnik N., Lee W. Y. Normal Toeplitz matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1996. 17. P. 1037-1043.
6. Ito K. Every normal Toeplitz matrix is either of type I or of type II // SIAM J. Matrix Anal. Appl.
1996. 17. P. 998-1006.
7. ArimotoA. A simple proof of the classification of normal Toeplitz matrices // Electronic J. Linear Algebra. 2002. 9. P. 108-111.
8. Gu G., Pat ton L. Commutation relations for Toeplitz and Hankel matrices // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2003. 24. P. 728-746.
9. И к p a m о в X. Д. К вопросу об описании нормальных ганкелевых матриц // Фундам. прикл. матем.
1997. 3. № 3. С. 809-819.
10. Икрамов X. Д., Чугунов В.Н. О кососимметричной части произведения теплицевых матриц // Матем. заметки. 1998. 63. № 1. С. 138-141.
11. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. СПб., 2006.
Поступила в редакцию 20.06.06
