О вычислении собственных значений для некоторых классов нормальных ганкелевых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512

А. К. Абдикалыков1, Х. Д. Икрамов2, В. Н. Чугунов3

О ВЫЧИСЛЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НОРМАЛЬНЫХ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ

Представлены алгоритмы быстрого вычисления собственных значений для отдельных классов нормальных ганкелевых матриц. Приведено сравнение этих алгоритмов по времени работы со стандартной процедурой егд системы МаЙаЬ.

Ключевые слова: теплицева матрица, ганкелева матрица, собственные значения.

1. Введение. Теплицевой называется n x п-матрица T вида

< to h t2 • tn-1\

t-1 to h • tn-2

Т = t — 2 t-1 to ■ tn-3

\t-n+1 t-n+2 t-n+3 • to

ганкелевой — п х n-матрица Н вида

(K-l hn-2 hn-3 ... ho \

hn-2 hn-3 hn-4 h-1

Н = hn-3 hn-4 hn — 5 h-2

\ hQ h-1 h-2 ... h-n+ij

(1)

(2)

Теплицева матрица (1) называется циркулянтом, если

косым циркулянтом при и ф-циркулянтом в случае, когда

t-j — tn-ji

t-j — tn-j,

t-j = <f)tn-

ji

3 = 1,2,.

i = 1,2,

3 = 1,2,

,n

,n

,n

1.

Переставив столбцы теплицевой матрицы в обратном порядке, получим ганкелеву матрицу. Напротив, всякая ганкелева матрица Н может быть получена указанным способом из соответствующей теплицевой матрицы Т. Эту связь между Н и Т можно описать матричным соотношением

Н = ТР„.

где Vn есть так называемая перъединичная матрица

/

Vn =

V

i\

/

Будем говорить, что матрица Т ассоциирована или соответствует рассматриваемой ганкелевой матрице Н. Введем операцию ^-преобразования теплицевой матрицы Т, заключающуюся в замене

Т = Т1+¥Г2

1 Факультет ВМК МГУ, заочный асп., e-mail: adiko2008Qgmail.com

2 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ikramovQcs.msu.su

3 ИВМ РАН, с.н.с., д.ф.-м.н., e-mail: chugunov.vadimQgmail.com

матрицей

где

Т = Т1+¥Т2 = (гххТх + г-пТ,) + ¡(гх.,Тх + г-пГ.,).

V =

VII «12

— невырожденная матрица. В терминах ганкелевых матриц ^-преобразование означает переход от матрицы

// Их + гН2

к матрице

Пусть Рп

II //,+;//,. («ц#1 + «21Н2) + г{у12Н1 + У22Н2). (нормированная) матрица дискретного преобразования Фурье:

/1

1 1

1

б ,2

1

\1

рП —1 -2(п —1)

1 \

еп-1

е2(п-1) Лп-1)2

Здесь б = ехр(^р-) — первообразный корень п-ш степени из единицы, а 1п — единичная матрица порядка п.

Полное описание множества комплексных нормальных ганкелевых матриц дается следующим утверждением (см. [1]).

Теорема. Комплексная ганкелева матрица Н является нормальной тогда и только тогда, когда принадлежит хотя бы одному из следующих классов.

Класс 1. Вещественные ганкелевы матрицы и произвольные их комплексные кратные. Класс 2. Матрицы вида

(\ Р„ + .?//,. а,/3 € С,

где Н\ — произвольная вещественная центросимметричная ганкелева матрица. Класс 3. Блочно-диагональные матрицы вида

аН 1 ф

а,/3 € С,

где Н\ — верхнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядка к, 0 < к < п, а Н2 — нижнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядка I = п — к. При этом мы называем Н\ и II2 соответственно верхнетреугольной и нижнетреугольной ганкелевыми матрицами, если

Ша = о Ша = о

при

при

% + 3 > к + 1 1+] <1 + 1.

Класс 4. Матрицы вида

п//, + :ШХ

а,/3 € С,

где Н\ — невырожденная вещественная верхнетреугольная (или нижнетреугольная) ганкелева матрица.

Класс 5. Ганкелевы матрицы, для которых ассоциированные теплицевы матрицы получаются V-преобразованием множества унитарных ф-циркулянтов (\ф\ = 1, ф ф ±1) и их скалярных кратных.

Класс 6. Ганкелевы матрицы, для которых ассоциированные теплицевы матрицы получаются V-преобразованием матриц Т = Т\ + гТ2 одного из следующих двух типов:

а) Т\ — произвольный вещественный невырожденный циркулянт, а Т2 — произвольное вещественное кратное матрицы

б) Т\ иТ2 — вещественные ^-циркулянты, "делящие нульиначе говоря, Т\ иТ2 удовлетворяют условию

Т{Г\ = 0.

Класс 7. Ганкелевы матрицы, для которых ассоциированные теплицевы матрицы являются циркулянтами вида Т = F*DFn, где D = diag(di,... ,dn) — диагональная матрица, удовлетворяющая соотношениям

\dj\ = \dn+2-j\, j = 2,3,...,

Класс 8. Ганкелевы матрицы, для которых ассоциированные теплицевы матрицы являются косыми циркулянтами вида Т = G-\F*DFnGZ\, где G-1 = diag(l,ф,ф2,... ,фп~1), ф — корень п-й степени из (—1) вида ф = егп , D = diag(di,..., dn) — диагональная матрица, для которой выполнены условия

\di\ = \d2\, \dj\ = \dn+3-j\, j = 3,4,...,

Класс 9. Ганкелевы матрицы, для которых ассоциированные теплицевы матрицы получаются V-преобразованием матриц Т = Т\ + гТ2, являющихся результатом выполнения следующей процедуры:

а) задать в качестве Т\ произвольное вещественное кратное вещественного ортогонального циркулянта. Определить Li как строго нижнетреугольную теплицеву матрицу, поддиагональная часть которой совпадает с поддиагональной частью аТ3 как матрицу вида

Т3 = '/", /.', - /.Г/",': (3)

б) в качестве Т2 взять матрицу вида Т2 = С2 + Li, где С2 — любой вещественный циркулянт, решающий уравнение

ХТ[ ^ТгХ* = Т3. (4)

Класс 10. Ганкелевы матрицы, для которых ассоциированные теплицевы матрицы получаются V-преобразованием матриц Т = Т\ + гТ2, являющихся результатом выполнения следующей процедуры:

а) задать в качестве Т\ произвольное вещественное кратное вещественного ортогонального косого циркулянта. Матрицу L\ определить как строго нижнетреугольную теплицеву матрицу, поддиагональная часть которой противоположна поддиагональной части Т\\

б) в качестве Т2 взять Т2 = S2 + Li, где S2 — любой (вещественный) косой циркулянт, решающий уравнение (4), где матрица Т3 определена в (3).

Вычисление всех собственных значений матрицы порядка п является в общем случае дорогостоящей операцией. Однако для некоторых классов нормальных ганкелевых матриц число арифметических действий можно значительно уменьшить, используя особенности строения этих матриц.

В разделе 2 описаны быстрые алгоритмы для вычисления собственных значений матриц из первых четырех указанных выше классов. В заключительном разделе 3 время работы этих алгоритмов сравнивается с временем работы предназначенной для решения спектральных задач Matlab-функции eig, применяемой к исходной комплексной ганкелевой матрице. Тестовые матрицы для такого сравнения были сконструированы с помощью соответствующих генераторов, описываемых в этом же разделе.

2. Алгоритмы нахождения собственных значений. В данном разделе будут описаны способы вычисления собственных значений для первых четырех классов нормальных ганкелевых матриц.

Класс 1. Пусть Н — ганкелева матрица вида Н = аНi, где n е С. а П\ вещественна. В этом случае следует найти спектр /х = (/¿i, /х2, • • •, fin) матрицы Hi с помощью Matlab-функции eig. Собственные значения исходной матрицы получаются из набора /х домножением на комплексное число а. Несмотря на свою тривиальность, этот прием весьма эффективно использует различие в скорости выполнения вещественной и комплексной арифметики.

Класс 2. Алгоритм быстрого вычисления собственных значений матриц данного класса основан на представлении матрицы в блочном виде и использовании свойства центральной симметрии. При п = 2к записываем ганкелеву матрицу Н из класса 2 в виде

,,( №х №2 + 01РЛ \/ЗН2 + aVk РГнЩГн ) '

где Hi и //•> — вещественные ганкелевы матрицы порядка к и Vk,H2 = H2Vk-

п+ 1 2

п

1.

В результате подобия с ортогональной трансформирующей матрицей

1 /4 4

У =

п -Гк

получаем

у*ну = 1 !1к № /5Я2 + аГк\ (1к 4

2 -тк) \Щ2 + аРк тНгГи ) \Гк

= //3(14 + Н2Гк) + а1к О \=В(Н1 + Н2Гк

\ 0 /3(14 - Н2Гк) - а!к) Р\ О

О \ . /4 О

а

Н\ - Н2Тк) \ о -1к

Пусть /¿1, /х2, • • •, цк и 1/1,1/2,...,^ — собственные значения матриц Н\ + Н2Рк и Н \ — Н2Т>к-Вычислив их с помощью Matlab-фyнкции егд, найдем комплексные собственные значения матрицы Н по формулам

А1 = /0//1 + а, Х2 = /3/х2 + а, ..., Хк = (5цк + а, Хк+1 = Рщ - а, Хк+2 - м. ..., Хп = /Зь>к - а.

Таким образом, решение исходной комплексной задачи порядка 2к заменено решением двух вещественных задач порядка к. Даже игнорируя различие в скорости выполнения вещественной и комплексной арифметики, мы должны получить сокращение времени счета в четыре раза, если учесть, что вычисление всех собственных значений матрицы порядка п требует 0(п3) арифметических операций.

При п = 2к + 1 ганкелева матрица Н представляется в виде

/ :1Н1 /Зс /3 Н2 + осРк

Я = /Зс* /3 д + а /3 с*Гк \illj + аГк РРкс рТ>кН{Рк

где с — вещественный вектор размерности к. Преобразование подобия с ортогональной трансформирующей матрицей

! /4 о 4

У=7= 0 л/2 О

\Тк о -гк,

приводит к замене исходной спектральной задачи аналогичной задачей для матрицы

4 0 Гк

0 л/2 0

.4 0 -гк

0 \

0

/>1 - Н2Тк)

/4 0 0

а 0 1 0

\0 0 -4

1 /4 0 4 \ / №х /Зс /3Н2 + аГк' у* НУ = - 0 л/2 0 /Зс* /3 д + а /3 с*Тк

\Рк 0 -Гк) \/ЗЯ2 + аРк /3ркс (ЗГкНгТк

///, + Н2Рк л/2с = /3 л/2с* д

\ О О

Найдем собственные значения , /х2, • • •, (¿к+1 матрицы

И1 + /№ л/2с у/2 с* 5

и собственные значения г/!, г/2,..., ик матрицы Н\ — Н2Рк. Тогда матрица Я имеет комплексные собственные значения

А1 = /3/^1 + а, Л2 = /3/^2 + а, • • •, А*+1 = (5цк+\ + а, Хк+2 = /3^1 - а, Л/г+з = /3г/2 - а, ..., Хп = /Зь>к - а.

Класс 3. Матрица этого класса имеет блочно-диагональный вид, поэтому ее спектр есть объединение собственных значений диагональных блоков. При этом вычислять спектры диагональных блоков следует в соответствии с алгоритмом для матриц из класса 1.

Класс 4. Пусть /х = (/XI, /хг, • • •, /хп) — собственные значения нормальной вещественной матрицы //(:

— Ц^Х^у ^ — 1,2,..., 7Ъ.

В силу ее невырожденности имеем

Н ^ ж у — х ^, ^ — 1,2,..., тъ.

Следовательно,

/3

= ---у Ж:Ь = 1,2,..., п.

Снова исходная спектральная задача свелась к вычислению собственных значений вещественной ган-келевой матрицы.

3. Численные эксперименты. В этом разделе мы указываем способы построения нормальных ганкелевых матриц из обсуждаемых классов (см. [2]) и демонстрируем выигрыш во времени, который алгоритмы, описанные в разделе 2, дают по сравнению с применением МаМаЬ-функции еЛд к данной комплексной ганкелевой матрице.

Класс 1. Чтобы построить комплексное кратное вещественной ганкелевой матрицы, возьмем произвольный вещественный (2п — 1)-мерный вектор х = (#1,...^х^п-хУ и комплексное число а. Тогда элементы нормальной ганкелевой матрицы (см. (2)) из данного класса можно задать как

к1 = ах1+п, э = -(п - 1),... ,п - 1.

Класс 2. Для конструирования линейной комбинации с комплексными коэффициентами перъеди-ничной и вещественной центросимметричной ганкелевой матрицы нужны вещественный (п — ^-мерный вектор х = (ж1,... ,хп-1 У и комплексные числа а и /3. Элементы матрицы Н можно определить как

(РЩзЪ 3 = ~ !)> • • • > а, з = О,

.7 = 1,...,п - 1.

Такой способ построения обеспечит симметрию полученной матрицы относительно побочной диагонали. При этом без ограничения общности можно считать, что матрица Н\ имеет нули на побочной диагонали.

Класс 3. Множество всех (2 х 2)-блочно-диагональных ганкелевых матриц определяется не только элементами блоков, но и размером блока (1,1). Поэтому выберем любой вещественный п-мерный вектор х = (х1,... ,хпУ, комплексные числа а и /3 и натуральное число I < п. В данном случае элементы ганкелевой матрицы (2) можно вычислить по правилу

3 = -(п ~ !)> • • • > -(п ~ з = -(п-1 - 1),...,/ - 1,

3 = I, . . . ,71 - 1.

В результате матрица Н блочно-диагональная.

Класс 4. Как видно из описания этого класса, теплицева матрица, соответствующая ганкелевой, представляет собой линейную комбинацию с комплексными коэффициентами вещественной невырожденной треугольной теплицевой матрицы Т\ и матрицы, транспонированной к Т^1. Для определенности разберем случай нижнетреугольной матрицы Т\. Случай верхнетреугольной матрицы Т\ аналогичен.

Рассмотрим произвольный вещественный (п — 1)-мерный вектор х = (х\,..., хп-\У и комплексные числа а и /3.

Определим Т\ как нижнетреугольную теплицеву матрицу с первым столбцом

х — (жо — 1, Х\, . . . , Хп—1) .

Запишем первый столбец обратной матрицы Т1-1 в виде

У = (Уо = 1,Уъ • • • ,Уп-1)г-

Элементы вектора у можно найти, решая треугольную систему линейных уравнений Т\у = е\, где е\ — первый столбец единичной матрицы. Поскольку матрица, обратная к сама нижнетреугольная и теплицева, то она полностью определяется своим первым столбцом.

Вычислив вектор у, находим элементы требуемой ганкелевой матрицы по формулам

(ахч, j =-(п-1),...,-1,

« + /3, .7 = 0,

РУз, ] = \,...,п-\.

Теперь приведем результаты работы описанных алгоритмов вычисления собственных значений для матриц, сгенерированных указанными в данном разделе способами. Представленные ниже табл. 1-4 относятся к четырем первым классам нормальных ганкелевых матриц. В каждой таблице указаны порядки матриц и время вычисления спектра, усредненное по набору из 10 матриц (данного порядка), принадлежащих соответствующему классу.

Таблица 1 Таблица 2

Класс 1 Класс 2

п Использование функции eig Предлагаемый алгоритм

250 0.1736 0.0114

500 0.8052 0.0389

1000 4.4317 0.2719

2000 25.0830 1.7124

3000 78.7157 4.7415

Таблица 3

Класс 3

п к Использование функции eig Предлагаемый алгоритм

250 50 0.0962 0.0051

125 0.0915 0.0045

500 200 0.3158 0.0150

250 0.3535 0.0153

1000 200 2.7437 0.1133

500 2.2267 0.0812

2000 400 12.7676 0.8550

1000 11.4896 0.4519

3000 600 43.4848 2.3589

1500 37.3402 1.4932

п Использование функции eig Предлагаемый алгоритм

250 0.1057 0.0035

500 0.6158 0.0183

1000 3.2598 0.0879

2000 18.5105 0.5100

3000 57.1573 1.5943

Таблица 4

Класс 4

п Использование функции eig Предлагаемый алгоритм

250 0.1192 0.0070

500 0.6848 0.0366

1000 3.7420 0.2287

2000 23.6584 1.6555

3000 74.5923 4.6300

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Икрамов X. Д., Чугунов В.Н. О классификации нормальных ганкелевых матриц // Докл. РАН. 2009. 424. № 6. С. 736-740.

2. Чугунов В.Н. О параметризации классов нормальных ганкелевых матриц // ЖВМиМФ. 2011. 51. № 11. С. 1939-1951.

Поступила в редакцию 01.07.13

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2014. № 1

33

ON THE CALCULATION OF THE EIGENVALUES FOR CERTAIN CLASSES OF NORMAL HANKEL MATRICES

Abdikalykov A. K., Ikramov Kh. D., Chugunov V. N.

Algorithms for the fast calculation of the eigenvalues for certain classes of normal Hankel matrices are presented. These algorithms are compared in terms of the computation time with the standard function eig of the Matlab environment.

Keywords: Toeplitz matrix, <^>-circulant, eigenvalues.