О структуре ядра теплиц-плюс-ганкелевых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 512.64

о СТРУКТУРЕ ЯДРА ТЕПЛИЦ-ПЛЮС-ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ

ВЖ Адуков, 0./7. Ибряева

В работе изучается структура ядра блочных теплиц-плюс-ганкелевых матриц и на основе этого дается формула для производящего многочлена обратной матрицы для данного класса матриц.

1. Введение

Хорошо известно, что задача описания ядра теплицевых или ганкелевых матриц и задача их обращения тесно связаны между собой [1] - [3]. Обе эти задачи решаются в терминах индексов и существенных многочленов конечной последовательности, порождающей данную теплицеву матрицу [1], [2] (или в терминологии работы [3] в терминах характеристических степеней и характеристических многочленов). Метод оказался также эффективным в задаче явного построения факторизации Винера-Хопфа мероморфных матриц-функций [4] и при исследовании равномерной сходимости строк таблицы Паде для функций и матриц-функций [5]

-[7].

Мы собираемся распространить подход, основанный на понятиях индексов и существенных многочленов, на класс блочных теплиц-плюс-ганкелевых матриц (далее Т + 7/-матриц). Обращение матриц этого класса возникает в задаче приближенного решения интегральных уравнений с ядром, являющимся суммой двух слагаемых: одно из них зависит от разности аргументов, а другое - от суммы. Кроме того, задача нахождения линейной аппроксимации Паде-Чебышева фактически сводится к нахождению ядра Т + //"-матрицы. Эти применения Т + //-матриц и определяют цели данной работы: ввести аналоги индексов и существенных многочленов для случая блочных Т + Н-матриц и, на этой основе, описать структуру их ядра и предложить метод их обращения.

Для Т + //"-матриц существует два подхода к определению индексов и существенных многочленов, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. В этой статье мы ограничимся описанием только того подхода, который более предпочтителен для применения в задаче обращения Т 4- //-матриц. Другой подход, который дает более тонкое описание структуры ядра этих матриц, будет опубликован отдельно. Его мы собираемся использовать для изучения аппроксимаций Паде-Чебышева.

Структура данной работы такова. В параграфе 2 мы вводим понятия существенных индексов и многочленов, объясняем причины возникновения двух различных подходов и сравниваем их. Структура ядра блочных Т + II-матриц описывается одним из методов в параграфе 3. В заключительном параграфе 4 мы приводим результат по обращению блочных Т + //-матриц.

2. Определение индексов и существенных многочленов Т + #-последовательности

Пусть ам, ам+1, ..., а^ и Ьо> ..., (М < М) произвольные конечные последова-

тельности комплексных матриц размером р х д. Упорядоченную пару этих двух последова-

тельностей будем называть Т + H-последовэгпельносшью. Составим с помощью Т + Н-последовательности семейство блочных теплиц-плюс-ганкелевых матриц:

Sk = Тк +Нк = \\аг-3 +6z+j-fe|| г = к,к + 1, tN )

j —0,1, ,к —м

M < к < N.

Для того, чтобы ввести понятия индексов и существенных многочленов Т + H - последовательности изучим структуру правых kerR и левых kerL Sk ядер семейства матриц

Sk.

Поскольку удобнее иметь дело не с векторами, а с производящими векторными многочленами, перейдем от пространств kerR Sk и kerL Sk к изоморфным пространствам и N^ производящих векторных многочленов. Для этого введем операторы crj (<т£), действующие из пространства рациональных матриц-функций вида R(t) (.R(t) — YIj^q1 r^J)> tj ^ ^ qXl- в пространство С pxl по правилу

—M N-M

- £ a-jrj К№)} = Еъл)

и aTL (erf) из пространства рациональных матриц-функций вида L(t) (L(t) = J2j~oM ¥')> lxpi B C lXq по правилу

— M N-M

ЯШ} = E1№(*)} = E w-

j=-JV j=0

Определение 2.1. Определим к ~ M,..., N, как пространство векторных столбцовых многочленов R(t) — гз^31 Тз ^ ^ qXli maKfu*x} что

o*{t-+R(t)} + <T*{1?-kR{t)} = о

для i = k + 1,..., N.

Пусть также Л/^, к — М,... ,7V, - пространство векторных строчных многочленов Щ = £JMÎM7» 1Xi\ тагах, шо

¿ля г — fc, fc — 1,..., M.

Определим пространство как пространство всех столбцовых многочленов от t формальной степени N - M + 1 и положим = ~ № • Введем также пространство всех многочленов от t формальной степени N ~ M + 1 и положим = = {0} Очевидно, что Л/Jf ^ kerR Sk и = kerL i>V

Следующая теорема является ключевой при построении всей теории. Теорема 2.1. Выполняются следующие условия

(* + 1)л4лсл4% wkRçMkR+2, tMkR n (t + l)2MkR = t(t + 1)Хй-2, n (i + 1)Л4я+1 = t(t +

(i + iA/fc ç A/fc_2, tA/£ n (t + 1)2Л4Ь = i(t + l)X+2, n (t + - i(t +

Доказательство- Пусть R(t) G A/jf. Рассмотрим R(t) = (t + 1 )R(t). Очевидно, deg R(t) < k — M +1. Используя условия ортогональности из определения 2.1 для R(t) е A/Jf, получаем

{t~lR(t)} + a^{f~^R(t)} - О

Т (4.-

Vr

для i = k + 1,..., N. Значит, R(t) G Аналогично доказывается вложение üV¿f С Л/"Д2-

Очевидно, что

t(t + l)2TVfe% С n (í + 1)2Л/^.

Докажем противоположное вложение. Пусть е £A/]f П (t + l)2A/jf и А; > М — 2. Тогда, i?(í) - íi2i(í)t ñi(í) € и E(í) = (t + l)2ñ2(¿), ДгМ еЛ/^. Значит, i2(t) - í(í + 1 )2R2(t)y где i?2(¿) = tR2(t) и degi^í) < k — M — 2. Докажем, что ¿2(í) € A/jf_2, т*е-> что выполняются соответствующие условия ортогональности:

aTR{ríR2(t)} + ^{t%~{k-2)R2(t)} = 0 (2.1)

для i — к — 2,к — 1,... ЛГ. Используя условия ортогональности для JfeCO — получим,

что это верно для г ~ к — 1, fc,.. .N — 1. Из условий ортогональности для Ль Д2 и условия (2.1), взятых при г — fe, получаем, что (2.1) верно и для i — к — 2. Аналогично, из условий ортогональности для R\,R2 при i — N и условия (2.1) при i — N - 2, получаем, что (2.1) верно для i — N. Нетрудно убедиться, что tM^ П (t + 1)2А/*^ = О, tA/j^+1 П (í + l)2A/j&+1 = О, т.е. доказываемое соотношение верно и при к — М, М + 1.

Аналогично доказывается вложение П (£ + 1)Л/^!Ь1 = t(t + 1)Л/'^_1 и вторая часть теоремы. ■

Таким образом, в отличии от теплицева случая, теперь мы должны рассмотреть вложения трех последовательных пространств Л/Jf, А/*ДХ, А/"Д2> что дает возможность для двух различных вариантов построения дальнейшей теории. Во-первых, мы можем рассмотреть две независимые цепочки вложений: J\í^ С А/"^+2 Q -^м+4 • • • и 1 - ^м+з Я: -^м+5 э используя тем самым только вложения ¿Л/jf, (é + l)2A/jf (или (í2 +1 )A/jf) в А/^2. Для этих двух цепочек пространств мы независимо определим два набора индексов и существенных многочленов никак не связанных между собой. Этот способ не использует вложения (t + 1 )АГД1 в М*2 и потому дает более грубое описание структуры ядра, чем второй способ, использующий это вложение. В последнем случае мы имеем одну цепочку вложенных пространств A/¿?,Z/7 М < к < N и один набор индексов и существенных многочленов. Однако, при таком подходе многие формулы, относящиеся к задаче обращения Т + Л-матриц, становятся более сложными. Для обращения матрицы So необязательно рассмотривать все пространства Достаточно рассмотреть только одну цепочку вложений, содержащую A/Jf. В данной статье мы поступим именно таким образом. Второй подход будет описан в другой работе.

Пусть a0 = dimA/^, ol\ = dimA/^+1, <vi = dimA/"^, ujq = dimAЗаметим, что всегда <*ü <auuQ <ши т.к.

Будем называть Т -f //-последовательность регулярной, если Q'o, Qíi, равны нулю.

Сами числа ао, аь <*>о будем называть дефектами Т + Я-последовательности. В случае ах — wi — 0, автоматически получаем ао = = О*

Обозначим = dimA/jf, d¡¡ = dimA/¿ . По определению положим А £ ^ - d*_2 и

Д* = -

Легко убедиться, что для М — 1 < /с < ÍV — 1

Д£+2 4- Afc = 2(р + «) (2.2)

Чтобы соотношение (2.2) выполнялось и для к = М - 2, N нужно положить = - М + 3)д + р9 т <1^ _2 ~ (М - М + 3)р 4- д, Теперь имеют место следующие равенства: А* - а0, А*+1 - аь А£+1 - 2(р + д) - ц>г, А£+2 = 2(р + д) - а>0, А^„2 - 2(р + д) - а0, А^ = 2(р + д) - аь Д^г„1 = а>ь = Заметим, что определение чисел и

является формальным - сами пространства Л/^_2 не определены.

Теперь мы можем установить очень важный для дальнейшего факт - монотонность последовательностей

Теорема 2.2. Пусть N - М = €(то<12), е = 0,1. Тогда для любой Т + Н-последовательности справедливы следующие неравенства:

а,

AR < AR <

< AR

2(p + g) — ov — Дм-2+i/ —

[.+„] < + = 2(P + 9) ~ Wl€+I/]1 " = 0 > ^ (2-3)

W[e+1/], ^ = 0,1, (2.4)

> AL > > AL > AL

- t^M+u — ■ • • — N—2—[e-ff] — ^дг-[«+!/]

где € + v = [e + i/](mod 2), [б + i>] = 0,1.

Доказательство. Как показано в теореме 2.1, пространство содержит подпространство tj\f£ + (t + Воспользовавшись формулой Грассмана, получим

dim + (i + 1)2Л^Й) =

dimtA/? + dim (t + 1)2Л^Й - dim (¿Л/£ П (i + 1)2Л^Я) - 2d£ - <

Это и означает, что А£ < А£+2,

Аналогично доказываются остальные неравенства. ■

Перейдем теперь к определению индексов и существенных многочленов для цепочки пространств

\fR \TR \[R и - Hi

jyj M+v > jy,M+2+vi Af+44-1/ ' 4 ' > I/ — U, i.

Из теоремы 2.2 и в силу того, что целые числа, следует, что цепочка неравенств (2.3) возможна лишь в том случае, если найдется 2(р + q) ~ ~ ау целых чисел

/Oi ^ ^ таких, что

Ая

дя

¿A..V I о

К-

Vav+l

Дй

Ая

= а

i/5

(2-5)

2(р + g) - W|€+J/]

Если г-я строка в этих соотношениях отсутствует, считаем, что ¿¿^ = Кроме то-

го, по определению будем считать, ц^ = ... = ¿¿^ = М — 2 + I/ (в случае а^ 0) и М2(рН)-<(,[е+у)+1 - • • • - ^ ^ + 2 [е + (в случае ц/[€+1/] ф 0).

Аналогичным образом для цепочки неравенств (2.4) можно определить 2(р + д) целых

чисел < ...

n2(p+q) • ®ти числа определяются следующей таблицей:

^ 2(р + д)

AL

М—2+f

Д*.

аи+1

а

Ui

2(р H)-W[€+I/]

AL

iV—[еЧ-i/j

- 2(p + g) — г,

= ^[e-ru]

(2.6)

с доопределением 7гх = ... = = М — 2 + V (для случая, когда аи ф 0) и

К(р+я)-ш1л+и]+1 = ■■■ = *%(р+я) = ^ + 2 - + И. если # 0.

Предложение 2.1. Числа ..., п ^>• • • > ^(р+д) совпа^ают- Кроме того,

2 (р+?) «=1

Доказательство. Первая часть предложения легко следует из ранее полученной формулы Д£+2 + Д£ = 2 (р + д).

Докажем формулу для суммы чисел С одной стороны,

ЛГ+2

Дгй = Д* + ... + Д£+2 = ¿«+а + <_2 = (ЛГ - м + % + р.

г—М

Здесь знак означает, что в этой сумме шаг изменения индекса % равен двум. С другой

N+2 2 (р+д)

стороны, Агл = -5 Е <-2(р + д)(^ + 2).

2 (Р+Я)

Сравнивая, получаем К — 2 ЬС^ + 1) + — 1)] • ■

»=1

Заметим, что если 0 € [М, Щ, то эта сумма равна удвоенному индексу оператора 5о, взятому с обратным знаком.

Определение 2.2. Целые числа /х^, • * • ? /-^(р+д) называть индексами порядка и данной

Т + Н-последовательности.

Перейдем теперь к определению существенных многочленов.

Мы знаем, что ¿Л/^ + (4 + 1)2Л/^ С Обозначим дополнение пространства

+ (* + 1)2ЛГ£ до Л/Д2, т.е.

- № + (* + 1

для к = М,М + 2,... . Тогда сНт%£+2 = Д£+2 - Д£. Из таблицы (2.5) видно, что эта разность Д£+2 — Д£ ф 0 только для к = и равна кратности индекса . Таким образом,

= + («+ 1)2Л4Й, к ф

= И? + (* + к =

Аналогично, для случая левых ядер, мы имеем

л^-2 = + (1 + к ф

= + (* + к = Ну

Определение 2.3. Любые столбцовые многочлены Д^+хС*), образу-

ющие базис ^з ~~ ~~ кратность будем называть правыми суще-

ственными многочленами, соответствующими индексу

Аналогично, любые строчные многочлены Щ(£), ..., +1(£), являющиеся ба-

зисом дополнения пу будем называть левыми существенными многочленами, соответ-

"о

ствующими индексу ¡.с".

Многочлены -.., -К^р+д)-^ 4 ] (^аи+Л^)^ * * * >назовем правыми (левыми)

существенными многочленами порядка и для данной Т + Непоследовательности.

Если О Е [МУЩ и М = ¿/(тос!2), и = 0,1, то нетрудно убедиться, что матрица 5о обратима тогда и только тогда, когда Т + ^-последовательность регулярна, все индексы

[и+1] [и+1] - [1/+11 \uj-l] - т/>

порядка у равны нулю, и —— •.. ~ —1, = ... = /4(р+4) = Кроме того,

в этом случае все правые существенные многочлены порядка V мы можем получить, найдя базис кега ¿2, так как <1£ — 2(р + д). Аналогично, базис кегь Б-2 состоит из 2(р + д) левых существенных многочленов порядка V. Как мы увидем в дальнейшем, именно эти правые и левые существенные многочлены и будут определять матрицу Б^1.

3- Структура ядра Т + Я-матриц

Теперь мы можем описать структуру ядра блочных Т + ^-матриц в терминах индексов и существенных многочленов.

Теорема 3.1. Пусть ..., V = 0,1, - индексы Т 4- Н-последовательности и

Я* (£),... + ^ ~ правые существенные многочлены ((]У — М) ~ б(тос!2)). Тогда,

если I Е + 2,/х^|_1]; то производящие многочлены для элементов базиса кегя Бг есть:

+1 ...,*(* +1 )2{-к^Щ{£), (г +1 .

Здесь к3 — —~ 1*

Для удобства в случае = 0 положено /^(р+^+з = N + 2 и, если = 0,

Доказательство. Докажем утверждение теоремы по индукции. Очевидно, утверждение теоремы верно для первого пространства кетнБм. Предположим, что оно выполняется и для кегл^, к < 1 — 1. Докажем, что тогда оно верно и для кегдб'/. Для упрощения записи опустим верхний индекс V.

Рассмотрим случай I Е (¿¿г 4- 2,/хг+х). Производящие многочлены для элементов базиса кегк — 2 есть

~2(г + ...,¿(г + 1)2^-3>л„ {ь + .

Тогда порождается

и (£ + 1)2Л/|^.2 порождается

+ 1)2Д^"2(£ + 1)%,..., £(* + (4 + I)2*'йЛ* .

Тогда пространство Л/*гя = 2 + (£ + 1)2Л/*Д2 порождается

+ + Х)2^-^^, Х)2^^}* . (3.1)

I ) ^=1

Осталось показать, что эти многочлены могут быть выбраны в качестве базисных. Количество многочленов в (3.1) есть

Ел+ч-вЦ^-НЁ*,-

3=1 3=1

3=1

С другой стороны,

¿Г = £ЧЯ = "О [~М +2Ма°+1 + Л + (ао + 1) (^0+2-Ма0+Л +

./=м ^ / \ /

+ (;

- мЛ 1

1 г

оЕ^-

¿=1

Так как количество многочленов в (3.1) совпадает с размерностью df и эти многочлены порождают , то система (3.1) — базис М^. Аналогично можно рассмотреть случаи 1 = рг + 2, ¿ =

Теорема доказана. ■

Аналогичная теорема справедлива и для левых ядер.

Теорема 3.2. Пусть ¡л 1? • • • ^(р+д)' и = ~ индексы, а — , ~ левые

существенные многочлены Т + Н-последовательности.

Тогда, если I € [аС-15 ~2], то прошводящие многочлены для элементов базиса кегь $ есть:

5<?есь к3 = ~ 1*

Для удобства в случае «о — 0 положено /хд — М — 2 и, если а\ — 0, /¿о = Л/ — 1.

4. Обращение Т + Я-матриц

В заключение приведем формулу для производящей функции для обратной к Т + Я-матрице.

Положим М ~ —т, ЛГ — п. Пусть ¿>о = Н^г-^ + ^+¿11 ~ обратимая блочная теплиц-плюс-ганкелевая матрица блочных размеров п х т с блоками из С иВ = ЦЬ^Ц г = о,1, ,т

^ — 0Т1, ,п

(Ьг^ € С ?хр) - обратная к ней матрица.

Введем для матрицы В производящий многочлен от двух переменных

т п г=0 у=О

Теорема 4.1. Пусть матрица ¿>о обратима и М = г/(то(12), Д^),... ~ пРа"

вые, а £].(£),. •., 1/2(р+д)(£) ™ левые существенные многочлены порядка и данной Т + Непоследовательности.

Тогда производящий многочлен для обратной матрицы строится по формуле:

B(t,s)

K(t)A-l£(s)

(t-s)(l-ts)'

f il (s) A

г<?е = {Rxlt) ... R2(P+q){t)) , ù{s) =

A = ALAqAR,

\ L2(p+q){s) /

— ( £o al {s**1 ¿(s-1)} + or" {s™"1/!^)} £n+2 ^{^(s-^J+^fe-1/:^)} ),

/ Ip о о 0 \

Ло =

0

Iq О 0

0 0 Ip 0

V о о о -iq

единичная матрица порядка p.

, A,

Ko

/

Здесь v* jCn+2— старшие коэффициенты правых и левых существенных многочленов} их свободные члены. Неявно присутствующие в AR,AL матрицы a_m_i, i>_i ? bm+n+i - любые матрицы размеров р х д.

Доказательство. Всюду далее в этом доказательстве запись [£?(t, s)p ([£(£, s)]j) будет означать й столбец (строку) матрицы B(t, s).

Докажем вначале, что (i — s)(l — ts)[B(t, s)]J E A/*<f. Заметим , что для I = 0,... п

п

<тТ/ [t-lB(t,s)) + он/ {¿гВ(М)} = %Ips> = slIp.

j=o

(4.1)

Здесь верхний индекс t у оператора означает, что он действует только на эту переменную. Из условий (4.1) следует, что для г = 2,... ,п

аТк -«)(!- t*)B(t, s)} + {i'-2(t - 5)(l - ts)B(t, s)} = 0.

По определению (2.1) это означает, что (t — s)(l — ts)[B(t, s)p E Af*- Аналогично, с использованием условия

aTL>s {s~lB(t, s"1)} + <x?'s {s -lB{t, s)} = t-lJ„ Z = 0,-1,...,-m

можно показать, что для г — —2, —3,...,—m выполняется

- 0(1 ~ s"1)} + <r?'s {s-2-\t - «)(1 - ts)B(t, s)} = 0, (4.2)

Щг)^ (ад),-■)(*)), У(з)

^(р-ьгнОО ••• У2(р+я)р(я) /

что по определению (2.1) означает, что (£ — я)(1 — ts)[B(t,s)]j е Так как Д1ОО,..., Д2(Р4-д)(£) базис для Л/^, мы имеем

2(Р+«)

$-з)(1-Ь8)[В(г,8)у= ]Г НьфУф), 5 = 1,...Р.

к—1

В матричной форме (£ — з)(1 — ¿5)^(^,5) = 7£(£)У($), где

^ Уц(8) ... У1р(з) ^

Из соотношений (4.2) следует, что

о-Г {з^ЩгЩз-1)} + а?-* {*-2-чг(г)у(*)} =

/ {в- мои+& к2-г Р>Ш \

= ТЩ ■■■ =0

V {*"' + {--3"4 у

для г = —2,..., —т. Так как многочлены Йх(£),..., Лг(р+д) (*) линейно независимы, мы имеем <г1'а [УОг1)],-} + <т%'8 [з'2^ = 0 для з = 1,... ,2(р + ?). По определению (2.1)

это означает, что [V(s)}j €

Так как ¿1(5),..., ¿2(р+д)(5)~ базис Л/^2, мы получаем

2 (р+?)

= ^^(в), 5 = 1,...,2(р + д), у^ € С.

Представим эти уравнения в матричной форме У(з) = где

У =

Итак,

- 5)(1 - в) - П(г)У£(з). (4.3)

Осталось найти матрицу V. Докажем, что АНУАЬ — Ло- Для этого нужно вычислить 16 элементов матрицы АНУАЬ.

Сравним в (4.3) коэффициенты при 5° :

гв(щ = щг)УСо. (4.4)

Заметим, что 0) многочлен по £ степени не большей ш + 1, а не большей

тп + 2. Тогда получаем следующее условие: = 0. Фактически мы нашли эле-

мент А21 матрицы Ло- Если сравнить в (4.4) коэффициенты при то мы получим элемент

А41 = ЯоУ£0 = 0.

Далее заметим, что {#(£, 0)} + {B(t, 0)} = Ip. (Мы не указываем явно на какую переменную действует оператор, если это не вызывает сомнений.) Это приводит к результату Лц = {о* {t~lK(t)} + {t~xll(t)}) VCo - Ip- Аналогично, замечая,

а1{Г"Вт}+а% [ínB(t,0)} = 0,

получаем А31 = (<Тд {¿~n_17£(t)} + (í7^1?^)}) V£o — 0. Аналогично могут быть найдены и оставшиеся элементы. Ввиду ограниченности места мы не приводим полного доказательства.

Итак, ArVAl = Ло- Все матрицы в этом выражении квадратные и, очевидно, (Ао)-1 = Ао. Тогда каждая из Лд, У, AL обратима и

У = Л^ЛоЛГ1 = (ЛьЛоЛд)-1 = Л-1.

Теорема доказана. ■

Отметим, что уже созданная теория для теплицевых матриц (см. [2]) не является частным случаем этой теории при нулевой ¿/"-последовательности, так как в данном случае мы иначе определяем разности Этим обьясняются некоторые расхождения с результатами для теплицевых матриц.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект N 01-01-96422. Один из авторов (Ибря-ева О JL) благодарит за финансовую поддержку программу молодежных грантов для студентов, аспирантов и молодых ученых Челябинской области.

Литература

1. Адуков В.М. Структура ядра и обращение блочных теплицевых матриц / Ред. Сиб. мат. журн. - Новосибирск, 1985. - 20 с, Деп. в ВИНИТИ 29.12.85, N 9030-В.

2. Adukov V.M. Generalized inversion of block Toeplitz matrices// Linear Algebra Appl - 1998. - V. 274. - P. 85-124.

3. Heinig G., Jankowski P. Kernel structure of block Hankel and Toeplitz matrices and partial realization// Linear Algebra Appl. - 1992. - V. 175. - P. 1-30.

4. Адуков В.М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфных матриц-функций// Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4, Вып. 1. - С. 54-74.

5. Адуков В.М. О равномерной сходимости подпоследовательностей (А — 1)-й строки таблицы Паде// Известия Челябинского научного центра. - 2001. - Вып. 1. - С. 3-7.

6. Адуков В.М. О геометрии множества предельных точек полюсов (А—1)-й строки таблицы Паде// Известия Челябинского научного центра. - 2001. - Вып. 1. - С. 8-11.

7. Adukov V.M. The essential polynomial approach to convergence of matrix Padé approximants// Contemporary Math. - 2001. - V. 280. - P. 71-87.